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沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第19章几何证明(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)
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这是一份沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第19章几何证明(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)，共67页。
第19章几何证明（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级专题练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A．的三条中线的交点B．三边的垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点2．（2022·上海·八年级单元测试）三角形的外心是三角形的（ ）A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，真命题是（ ）A．三角形的一个外角大于这个三角形的内角B．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等C．一对邻补角的角平分线互相垂直D．面积相等的两个三角形全等4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OB．若OA＝8，则点A经过的路径长度为（ ）A． B． C． D．5．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）下列语句不是命题的是（ ）A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等6．（2022·上海浦东新·八年级期中）在下列各命题中，是假命题的是（ ）A．在一个三角形中，等边对等角 B．全等三角形的对应边相等C．同旁内角相等，两直线平行 D．等角的补角相等7．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）A． B． C． D．8．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中,其逆命题是真命题的命题个数（ )(1)全等三角形的对应角相等; (2) 对顶角相等; (3) 等角对等边;(4)两直线平行,同位角相等; (5)全等三角形的面积相等;A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2022·上海·八年级单元测试）如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，若PR＝PS，则下列结论正确的个数是（ ）（1）PQ＝PB； （2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC （4）∠C＝∠SPCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题10．（2022·上海·八年级专题练习）命题：“对顶角相等”的逆命题是_____________________________．11．（2022·上海市市西初级中学八年级期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．12．（2022·上海·八年级专题练习）请写出“两直线平行，同位角相等”的结论：_____．13．（2022·上海·八年级专题练习）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．14．（2022·上海·八年级专题练习）命题“如果，那么”的逆命题是_______，逆命题是______命题（填“真”或“假”）15．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是_____．16．（2022·上海浦东新·八年级期中）“若，则，”_____命题（选填“是”或“不是”）．17．（2022·上海·八年级专题练习）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________．18．（2022·上海·八年级专题练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．19．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）把命题“同角的余角相等”写成“如果……，那么……”的形式为______．20．（2022·上海·八年级专题练习）平面上经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是_____．21．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．22．（2022·上海·八年级专题练习）到点A的距离等于6cm的点的轨迹是________________．23．（2022·上海·八年级专题练习）“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________．24．（2022·上海·八年级期末）已知两点A、B，到这两点距离相等的点的轨迹是____________．25．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是_____．26．（2022·上海·八年级单元测试）已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于_____．27．（2022·上海·八年级专题练习）“若，则”的逆命题为___________________．三、解答题28．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在正方形中，点、分别在、边上，且，联结、．求证：．【常考】一．选择题（共5小题）1．（2020秋•闵行区期中）下列命题是真命题的是（ ）A．两个锐角的和还是锐角 B．全等三角形的对应边相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形2．（2019秋•虹口区校级月考）如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（ ）A．60° B．55° C．50° D．40°3．（2022秋•杨浦区期中）若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）A．一对同位角的平分线互相平行 B．一对内错角的平分线互相平行 C．一对同旁内角的平分线互相平行 D．一对同旁内角的平分线互相垂直4．（2019秋•浦东新区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°5．（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）A．0＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．2＜AD＜10 D．0＜AD＜5二．填空题（共11小题）6．（2021秋•奉贤区校级期中）将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 ．7．（2022秋•闵行区校级期中）将一副三角板如图所示放置（其中含30°角的三角板的一条较短直角边与另一块三角板的斜边放置在一直线上），那么图中∠1＝ 度．8．（2021秋•静安区校级期末）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 ．9．（2022秋•徐汇区校级期中）命题“同旁内角相等，两直线平行”是 （填“真“或“假”）命题10．（2022秋•闵行区校级期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： ．11．（2022秋•虹口区校级期中）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中正确的是 ．（填写序号）12．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE＝ 度．13．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠EFD＝90°，点B、F、C、D在同一直线上，已知AB⊥DE，且AB＝DE，AC＝6，EF＝8，DB＝10，则CF的长度为 ．14．（2020秋•徐汇区校级期中）“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是 ．15．（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为 ．（用含α的代数式表示）16．（2022秋•虹口区校级期中）如图，已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC＝5：3，则D点到AB的距离是 ．三．解答题（共2小题）17．（2022秋•静安区校级期中）如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．18．（2021秋•崇明区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AC＝8cm，BD＝10cm时，求MN的长．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2022秋•黄浦区校级月考）下列命题中，是真命题的是（ ）A．从直线外一点向直线引垂线，这条垂线段就是这个点到这条直线的距离 B．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．两点之间，线段最短2．（2021秋•浦东新区期末）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）A．3，3，3 B．4，8，4 C．6，8，10 D．5，5，53．（2021秋•浦东新区期中）在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．两直线平行，同旁内角互补 B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 D．两个相等的角是对顶角4．（2019秋•浦东新区校级月考）BP和CP是△ABC两个外角的平分线，则∠BPC为（ ）A． B．90°+ C．90°﹣ D．∠A二．填空题（共2小题）5．（2020秋•浦东新区校级期末）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 ．6．（2020秋•浦东新区校级月考）在△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，高AD＝12cm，则BC＝ ．三．解答题（共1小题）7．（2019秋•浦东新区期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【压轴】一、单选题1．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：①≌；②；③；④．其中正确的结论有（ ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题2．（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）在中，，，点是中点，点在上，，将沿着翻折，点的对应点是点，直线与交于点，那么的面积__________．三、解答题3．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点．(1)当点与点重合时，求的长；(2)若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；(3)联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．4．（2022·上海·八年级专题练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．6．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点 A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当BE=BF时，求线段CD的长．7．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．8．（2021·上海·八年级专题练习）在直角梯形中，，，，联结，如图（a）．点沿梯形的边，按照点移动，设点移动的距离为，．（1）当点从点移动到点时，与的函数关系如图（b）中折线所示．则______，_____，_____．（2）在（1）的情况下，点按照点移动（点与点不重合），是否能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的值；若不能，请说明理由．9．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF．连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如果∠BAD=60°，CD=．①当AF=时，设，求与的函数关系式；（不需要写定义域）②当AF=2时，求△CEF的边CE上的高．10．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在中，，平分线交于点，点为上一动点，过作直线于，分别交直线、、于点、、．（1）当直线经过点时（如图2），求证：；（2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；（3）请直接写出、和之间的数量关系． 第19章几何证明（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级专题练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A．的三条中线的交点B．三边的垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点【答案】C【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点．【详解】∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，∴凉亭应在三条角平分线的交点处．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别．2．（2022·上海·八年级单元测试）三角形的外心是三角形的（ ）A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点【答案】C【分析】根据三角形的外心的定义（三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点）即可得．【详解】解：三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外心，熟记定义是解题关键．3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，真命题是（ ）A．三角形的一个外角大于这个三角形的内角B．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等C．一对邻补角的角平分线互相垂直D．面积相等的两个三角形全等【答案】C【分析】根据三角形的外角性质、平行线的性质、邻补角的概念、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、三角形的一个外角大于这个三角形与它不相邻的内角，本选项说法是假命题，不符合题意；B、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，本选项说法是假命题，不符合题意；C、一对邻补角的角平分线互相垂直，本选项说法是真命题，符合题意；D、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OB．若OA＝8，则点A经过的路径长度为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，再根据弧长公式，即可求解．【详解】解：根据题意得：，∴点A经过的路径长度为．故选：C【点睛】本题主要考查了求弧长公式，熟练掌握弧长公式为（其中为圆心角，为半径）是解题的关键．5．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）下列语句不是命题的是（ ）A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等【答案】C【分析】对事情进行判断真假的陈述句叫做命题，对选项逐个分析即可．【详解】解：A、两条直线相交有且只有一个交点，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意；B、两点之间线段最短，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意；C、延长到D，使，不可以判断真假，不是命题，符合题意；D、等角的补角相等，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意．故选：C【点睛】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键．6．（2022·上海浦东新·八年级期中）在下列各命题中，是假命题的是（ ）A．在一个三角形中，等边对等角 B．全等三角形的对应边相等C．同旁内角相等，两直线平行 D．等角的补角相等【答案】C【分析】分别判断命题的真假即可得出答案．【详解】在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，则A不符合题意；全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，则B不符合题意；同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，则C符合题意；等角的补角相等，正确，是真命题，则D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了命题的真假，掌握定义是解题的关键．即条件和结论相矛盾的命题是假命题．7．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．【详解】∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故选：B．【点睛】考查了二次根式的应用和勾股定理，解题关键是根据已知条件求出AB和AB′的长度．8．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中,其逆命题是真命题的命题个数（ )(1)全等三角形的对应角相等; (2) 对顶角相等; (3) 等角对等边;(4)两直线平行,同位角相等; (5)全等三角形的面积相等;A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．【详解】（1）逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误；（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；（3）逆命题是等边对等角，正确；（4）逆命题是同位角相等，两条直线平行，正确；（5）逆命题是面积相等，两三角形全等，错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．9．（2022·上海·八年级单元测试）如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，若PR＝PS，则下列结论正确的个数是（ ）（1）PQ＝PB； （2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC （4）∠C＝∠SPCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，由直角三角形全等的判定方法得出Rt△ARP≌Rt△ASP，从而判断出（2）正确；根据由一组边相等和一组角相等无法判断△BRP≌△PSC，从而判断出（3）错误；同（3）也无法判断△BRP≌△PSQ，所以PQ≠PB，从而判断出（1）错误；△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以∠C与∠SPC不一定相等，从而判断出（4）错误.【详解】连接AP，∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴∠SAP＝∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，，∴Rt△ARP≌Rt△ASP，（HL），∴AR＝AS，∴（2）正确；∵PR＝PS，∠PRB＝∠PSC＝90°，∴无法判断△BRP≌△PSC，故（3）错误；∵∠PRB＝∠PSQ＝90°，PR＝PS，无法判断△BRP≌△PSQ，∴PQ≠PB，故（1）错误；∵△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，∴∠C与∠SPC不一定相等，故（4）错误；故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 角平分线的性质.二、填空题10．（2022·上海·八年级专题练习）命题：“对顶角相等”的逆命题是_____________________________．【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．11．（2022·上海市市西初级中学八年级期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形；【分析】先找到原命题的题设和结论，在将题设和结论互换，即可得到答案．【详解】解：原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是：“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”．【点睛】本题考查命题的转化，准确找到命题的题设和结论进行转化是解题的关键．12．（2022·上海·八年级专题练习）请写出“两直线平行，同位角相等”的结论：_____．【答案】同位角相等【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，将这个命题改写成“如果那么”的形式即可得出答案．【详解】解：将命题改写成“如果那么”的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等，则此命题的结论为：同位角相等，故答案为：同位角相等．【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的概念是解题关键．13．（2022·上海·八年级专题练习）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．【答案】角平分线【分析】根据角平分线的判定可知．【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，故答案为：角平分线．【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．14．（2022·上海·八年级专题练习）命题“如果，那么”的逆命题是_______，逆命题是______命题（填“真”或“假”）【答案】 如果a2=b2，那么a=b 假【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．【详解】解：根据题意得：命题“如果a=b，那么a2=b2”的条件是如果a=b，结论是a2=b2”，故逆命题是如果a2=b2，那么a=b，该命题是假命题．故答案为：如果a2=b2，那么a=b；假．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．15．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是_____．【答案】底边BC的垂直平分线（除底边中点外）【分析】由等腰三角形三线合一的性质可以确定答案．【详解】在已知线段BC的等腰三角形ABC中，根据等腰三角形三线合一的性质，顶点A必在底边BC的垂直平分线上．故答案为：底边BC的垂直平分线（除底边中点外）．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质并运用是解题的关键．16．（2022·上海浦东新·八年级期中）“若，则，”_____命题（选填“是”或“不是”）．【答案】是【分析】根据命题的定义判断即可．【详解】若，则，是一个命题.故答案为：是．【点睛】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题.17．（2022·上海·八年级专题练习）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________．【答案】有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形【分析】根据逆命题的定义写出即可．【详解】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”．故答案是：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，掌握逆命题的定义是解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．18．（2022·上海·八年级专题练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等【分析】找到命题的条件和结论进行改写即可．【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题的特点，解题的关键是“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．19．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）把命题“同角的余角相等”写成“如果……，那么……”的形式为______．【答案】如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等．【分析】根据命题的概念把原命题改写成“如果…，那么…”的形式即可．【详解】解：命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．20．（2022·上海·八年级专题练习）平面上经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是_____．【答案】线段AB的垂直平分线【分析】要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．【详解】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．故答案为：线段AB的垂直平分线．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等是解题关键．21．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了命题与逆命题，解题的关键在于找出原命题的条件和结论．22．（2022·上海·八年级专题练习）到点A的距离等于6cm的点的轨迹是________________．【答案】以A为圆心，6cm为半径的圆【分析】到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，据此解题即可．【详解】根据圆的定义，到点A的距离等于定长6cm的点的轨迹是以点A为圆心,6cm为半径的圆，故答案为：以点A为圆心，6cm为半径的圆．【点睛】本题考查点的轨迹、圆的定义，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．23．（2022·上海·八年级专题练习）“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________．【答案】对应角相等的两个三角形全等【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题．【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形．故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形．【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．24．（2022·上海·八年级期末）已知两点A、B，到这两点距离相等的点的轨迹是____________．【答案】线段的垂直平分线【分析】根据线段垂直平分线的性质可得结论.【详解】解：因为线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以到这两点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线.故答案为：线段的垂直平分线.【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.25．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是_____．【答案】cm【分析】作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出AB，证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到CD＝ED，AE＝AC＝9，根据角平分线的性质、勾股定理列式计算即可．【详解】解：作DE⊥AB于E，由勾股定理得，AB＝＝＝15，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS）∴CD＝ED，AE＝AC＝9，∴BE＝AB﹣AE＝6，在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即BD2＝（12﹣BD）2+62，解得，BD＝，故答案为：cm．【点睛】此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握利用勾股定理解直角三角形和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．26．（2022·上海·八年级单元测试）已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于_____．【答案】5．【分析】根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB=【详解】A. B两点间的距离为：AB== =5,故答案为5,故答案是：5.【点睛】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式．27．（2022·上海·八年级专题练习）“若，则”的逆命题为___________________．【答案】若，则【分析】把命题的题设和结论换一下位置即可．【详解】解： “若，则”的逆命题为若，则．故答案为∶若，则【点睛】本题主要考查了逆命题，熟练掌握把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题是解题的关键．三、解答题28．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在正方形中，点、分别在、边上，且，联结、．求证：．【答案】详见解析【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据已知条件可证≌，即可得出.【详解】解：∵四边形是正方形，∴，．在与中，，∴≌（SAS）．∴．【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形四边相等，四角相等都等于90°是解题关键.【常考】一．选择题（共5小题）1．（2020秋•闵行区期中）下列命题是真命题的是（ ）A．两个锐角的和还是锐角 B．全等三角形的对应边相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形【分析】根据锐角的概念、全等三角形的性质、平行线的判定定理、轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、两个锐角的和还是锐角，是假命题，例如60°+60°＝120°；B、全等三角形的对应边相等，是真命题；C、同旁内角合并，两直线平行，本选项说法是假命题；D、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项说法是假命题；故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．（2019秋•虹口区校级月考）如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（ ）A．60° B．55° C．50° D．40°【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵CE平分∠ACB，∠ACB＝70°，∴∠DCO＝35°，∴∠BOE＝∠COD＝90°﹣35°＝55°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．3．（2022秋•杨浦区期中）若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）A．一对同位角的平分线互相平行 B．一对内错角的平分线互相平行 C．一对同旁内角的平分线互相平行 D．一对同旁内角的平分线互相垂直【分析】结合角平分线的定义，根据平行线的性质与判定进行分析，从而得到答案．【解答】解：如图所示：若两条平行线被第三条直线所截，一对同位角和内错角的平分线互相平行，一对同旁内角的平分线互相垂直，所以C错误．故选C．【点评】本题考查两条平行线被第三条直线所截得的角的角平分线之间的关系，可结合图形进行分析．4．（2019秋•浦东新区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵D在斜边AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B，∵D在∠CAB的角平分线上，∴∠DAB＝∠DAC，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B＝30°，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）A．0＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．2＜AD＜10 D．0＜AD＜5【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△ECD，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．【解答】解：延长AD至点E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，∵，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．二．填空题（共11小题）6．（2021秋•奉贤区校级期中）将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 ．【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．7．（2022秋•闵行区校级期中）将一副三角板如图所示放置（其中含30°角的三角板的一条较短直角边与另一块三角板的斜边放置在一直线上），那么图中∠1＝ 105 度．【分析】根据三角形的外角定理，即可得出∠1的度数．【解答】解：由题意可得，∠2＝60°，∠3＝45°，由三角形外角定理，∠1＝∠2+∠3＝60°+45°＝105°．故答案为105．【点评】本题主要考查了三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中．8．（2021秋•静安区校级期末）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形 ．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【解答】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．9．（2022秋•徐汇区校级期中）命题“同旁内角相等，两直线平行”是 假 （填“真“或“假”）命题【分析】利用平行线的判定对命题进行判断即可确定答案．【解答】解：∵同旁内角互补，两直线平行；∴命题“同旁内角相等，两直线平行”错误，是假命题，故答案为：假．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．10．（2022秋•闵行区校级期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．【解答】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．11．（2022秋•虹口区校级期中）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中正确的是 ①②④ ．（填写序号）【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：在同一个平面内，①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故答案为：①②④．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE＝ 50 度．【分析】根据直角三角形中线的性质及互为余角的性质计算．【解答】解：∠A＝20°，CD为AB边上的高，∴∠ACD＝70°，∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝20°，∴∠DCE的度数为70°﹣20°＝50°．故答案为：50．【点评】此题主要考查了直角三角形中线的性质及互为余角的性质．13．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠EFD＝90°，点B、F、C、D在同一直线上，已知AB⊥DE，且AB＝DE，AC＝6，EF＝8，DB＝10，则CF的长度为 4 ．【分析】由“AAS”可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DF＝6，EF＝BC＝8，即可求CF的长．【解答】解：∵∠ACB＝∠EFD＝90°，AB⊥DE，∴∠B+∠D＝90°，∠B+∠A＝90°∴∠A＝∠D，且∠ACB＝∠EFD＝90°，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS）∴AC＝DF＝6，EF＝BC＝8，∴CF＝BC+DF﹣BD＝4【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△DEF是本题的关键．14．（2020秋•徐汇区校级期中）“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是 两边上的中线相等的三角形是等腰三角形 ．【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题；【解答】解：“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是两边上的中线相等的三角形是等腰三角形，故答案为：两边上的中线相等的三角形是等腰三角形．【点评】本题考查了命题与定理的知识，了解如何写出一个命题的逆命题是解答本题的关键，难度不大．15．（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为 2α﹣180°或180°﹣2α ．（用含α的代数式表示）【分析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，再根据角的和差关系进行计算即可．【解答】解：分两种情况：①如图所示，当∠BAC≥90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠BAD，同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°；②如图所示，当∠BAC＜90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠BAD，同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α．故答案为：2α﹣180°或180°﹣2α．【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．16．（2022秋•虹口区校级期中）如图，已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC＝5：3，则D点到AB的距离是 15 ．【分析】先求出CD的长，再根据角平分线的性质即可得出结论．【解答】解：∵AC＝40，AD：DC＝5：3，∴CD＝40×＝15．∵BD平分∠BAC交AC于D，∴D点到AB的距离是15．故答案为：15．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．三．解答题（共2小题）17．（2022秋•静安区校级期中）如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB；（2）连接MN，由（1）的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM＝MN，即AM+BM+CM＝EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）根据（2）中费马点的定义，又△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．【解答】解：（1）证明：∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（2）连接MN．由（1）知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．（3）由（2）知，△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大．18．（2021秋•崇明区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AC＝8cm，BD＝10cm时，求MN的长．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定AM＝MC＝BD，从而推知N点是AC边上的中点，所以MN是AC的中垂线；（2）在Rt△AMN中，利用勾股定理求得MN的长．【解答】（1）证明：连接AM、MC．在△DCB和△BAD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，M是边BD的中点，∴AM＝MC＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；∵N是AC的中点，∴MN⊥AC；（2）解：∵AC＝8cm，BD＝10cm，M、N分别是边BD、AC的中点．∴AM＝5cm，AN＝4cm；在Rt△AMN中，MN＝＝3cm（勾股定理）．【点评】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理．解题时，通过作辅助线AM、MC构建了直角三角形斜边上的中线，然后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解答问题．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2022秋•黄浦区校级月考）下列命题中，是真命题的是（ ）A．从直线外一点向直线引垂线，这条垂线段就是这个点到这条直线的距离 B．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．两点之间，线段最短【分析】根据点到这条直线的距离的概念、平行公理、平行线的性质、线段的性质判断即可．【解答】解：A、从直线外一点向直线引垂线，这条垂线段的长度就是这个点到这条直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；D、两点之间，线段最短，本选项命题是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．（2021秋•浦东新区期末）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）A．3，3，3 B．4，8，4 C．6，8，10 D．5，5，5【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：A．∵32+32＝18，（）2＝18，∴32+32＝（）2，∴以3，3，三个数为边长的三角形是直角三角形，故A不符合题意；B．∵42+（）2＝64，82＝64，∴42+（）2＝82，∴以4，8，三个数为边长的三角形是直角三角形，故B不符合题意；C．∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴以6，8，10三个数为边长的三角形是直角三角形，故B不符合题意；D．∵52+52＝50，（）2＝75，∴52+52≠（）2，∴以5，5，三个数为边长的三角形不是直角三角形，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3．（2021秋•浦东新区期中）在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．两直线平行，同旁内角互补 B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 D．两个相等的角是对顶角【分析】先写出各个命题的逆命题，再根据平行线的判定定理、全等三角形的判定定理、对顶角的性质判断即可．【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；B、如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等的逆命题是两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等，是真命题，不符合题意；C、如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等的逆命题是两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，是假命题，符合题意；D、两个相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握平行线的判定定理、全等三角形的判定定理、对顶角的性质是解题的关键．4．（2019秋•浦东新区校级月考）BP和CP是△ABC两个外角的平分线，则∠BPC为（ ）A． B．90°+ C．90°﹣ D．∠A【分析】根据题意得∠PBC＝（∠A+∠ACB），∠PCB＝（∠A+∠ABC），由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系，从而计算出∠P的度数．【解答】解：如图，∵BP、CP是△ABC的外角平分线，∴∠PBC＝（∠A+∠ACB），∠PCB＝（∠A+∠ABC），又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（180+∠A）＝90°﹣∠A，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角的性质以及三角形的内角和定理．解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．二．填空题（共2小题）5．（2020秋•浦东新区校级期末）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外） ．【分析】满足△MNC以线段MN为底边且CM＝CN，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件）．【解答】解：∵△MNC以线段MN为底边，CM＝CN，∴点C在线段MN的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件），∴以线段MN为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．故答案为：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．【点评】本题考查了轨迹：轨迹是动点按一定条件运动所经过的痕迹．也考查了线段的垂直平分线判定与性质，解题的关键是熟记线段AB的垂直平分线的定义6．（2020秋•浦东新区校级月考）在△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，高AD＝12cm，则BC＝ 14cm或4cm ．【分析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【解答】解：由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论．（1）△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝5，CD＝＝9，∴BC＝9+5＝14cm．（2）△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝5，CD＝9，∴BC＝9﹣5＝4cm．【点评】本题需注意高不确定位置的时候，三角形的形状有两种．三．解答题（共1小题）7．（2019秋•浦东新区期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质证明；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；（3）仿照（2）的计算过程解答．【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连接DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【压轴】一、单选题1．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：①≌；②；③；④．其中正确的结论有（ ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再证明，即可证明Rt△CDE和Rt△BDF全等；根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；∠FDE与∠BAC都与∠FAE互补，可得∠FDE=∠BAC，于是可证；利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB，由Rt△CDE≌Rt△BDF可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，故∠DBC=∠DCB，于是可证明∠DAF=∠CBD．【详解】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，=∵，∴，在Rt△CDE和Rt△BDF中，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，故①正确；∴CE=BF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；∵=，∴∠EDF+∠FAE=，∵∠BAC+∠FAE=，∴∠FDE=∠BAC，∵∠FDE=∠BDC，∴∠BDC =∠BAC，故③正确；∵∠FAE是△ABC的外角，∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB，∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠ABD=∠DCE，BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴2∠DAF=∠DCE +∠DBC +∠ACB=∠DBC +∠DCB=2∠DBC，∴∠DAF=∠CBD，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④共4个．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．二、填空题2．（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）在中，，，点是中点，点在上，，将沿着翻折，点的对应点是点，直线与交于点，那么的面积__________．【答案】或【分析】通过计算E到AC的距离即EH的长度为3，所以根据DE的长度有两种情况：①当点D在H点上方时，②当点D在H点下方时，两种情况都是过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH的长度，进而可求AD的长度，然后利用角度之间的关系证明，再利用等腰三角形的性质求出GQ的长度，最后利用即可求解．【详解】①当点D在H点上方时，过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q， ，点是中点， ．∵， ．， ， ． ， ，，， ， ．由折叠的性质可知，， ，， ．又 ， ． ，． ，即， ． ，；②当点D在H点下方时，过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q， ，点是中点， ．∵，． ， ， ． ， ，，， ， ．由折叠的性质可知，， ，， ．又 ， ．， ． ，即， ． ，，综上所述，的面积为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．三、解答题3．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点．(1)当点与点重合时，求的长；(2)若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；(3)联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．【答案】(1)(2)(3)的长为或或．【分析】（1）连接，过作于，根据线段垂直平分线的性质可得，在中，由勾股定理可得，然后证明四边形ABHD是矩形，求出DH＝AB＝4，CH＝2，在中，由勾股定理可得CD的长；（2）连接，过点作于，求出，，在中，由勾股定理可得，整理后可得答案；分情况讨论：当在线段上时，当时，可证≌，过作于，在中，求出，即可求得；当时，设，可证≌（ASA），求出，然后在中，利用勾股定理可求；当点在射线上时，如图4，此时，同理可得≌，过作交BC的延长线于，在中，求出CH即可解决问题．（1）解：如图，连接，过作于， ，平分，，，，，∴在中，，∵，，∴∠A＝180°－90°＝90°，又∵∠DHB＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴DH＝AB＝4，AD＝BH＝3，∴CH＝5－3＝2，∴在中，；（2）如图，连接，过点作于，是的垂直平分线，， ，，，，，，，在中，由得：，整理得：，∵点与点重合时，AD＝3，∴，∴；（3）如图，当在线段上时，当时，是的垂直平分线，，，∴∠PED＝∠PDE，∠PDC＝∠PCD，∵∠PED＋∠PDE＋∠PDC＋∠PCD＝180°，，平分，，又∵CE＝CE，≌（AAS），，，，过作于，在中，，；当时，，设，则，，，，，，，又∵，≌（ASA），，，，，∴在中，，（负值已舍去）；当点在射线上时，如图4，此时，， 同理可得：≌（AAS），，过作交BC的延长线于，在中，，，；综上所述：的长为或或．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用是解题的关键．4．（2022·上海·八年级专题练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，证明见解析；(3)成立，理由见解析【分析】（1）根据∠ABC=∠CDE=90°，点M为EC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得BM=DM=MC，即有∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，则可得∠MBC+∠MDC =∠MCB+∠MCD=∠ACB，根据三角形外角的性质可得，∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠ACB=245=90，即可证得△BMD为等腰直角三角形；（2）延长DM交BC于N，先证明△EMD≌△CMN，即有DM=MN，ED=CN，进而有AD=CN，BD=BN，则有BM=DN=DM，可得BM⊥DN，即∠BMD=90，则有△BMD为等腰直角三角形；（3）作交DM延长线于N，连接BN，先证明△EMD≌△CMN，根据（2）的方法同理可证得△BMD为等腰直角三角形．（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，点M为EC的中点，∴BM=MC=EC，DM=MC=EC，∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC =∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD为等腰直角三角形；（2）成立；如图1，延长DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴，∴∠DEM=∠NCM，∵M为EC中点，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN，∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=DN=DM，∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD为等腰直角三角形；（3）成立；如图2，作交DM延长线于N，连接BN，∵，∴∠BAC=∠MCN=45，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB =180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(SAS)，∴∠DBA =∠NBC，BD=BN；∴∠DBN=∠ABC=90，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边中线，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，BM=DM=MN，即△BMD为等腰直角三角形．【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、平行的性质等知识，充分利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解答本题的关键．5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【答案】(1)(2)或(3)的坐标为：或或或【分析】（1）先求解的坐标，再代入反比例函数解析式，从而可得答案；（2）分两种情况讨论：如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则再利用角平分线的性质与全等三角形的性质，勾股定理可得答案；（3）画出图形，分4种情况讨论，当时， 当时， 当时， 当时，再结合等腰三角形的性质与勾股定理可得答案.【详解】（1）解： AB⊥x轴，AB=3， 则 设反比例函数为 所以反比例函数为（2）解：存在，或；理由如下：如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 则 而 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则 而 而 设 解得： 综上：或（3）解：如图， 为等腰三角形，当时， 当时， 当时， 当时，设 解得： 综上：的坐标为：或或或【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简与二次根式的除法运算，熟练的运用以上知识解题是关键.6．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点 A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当BE=BF时，求线段CD的长．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先证明 再证明是等边三角形，结合垂直平分线的性质求解 再求解 即可得到结论；（2）如图，当过点，是的垂直平分线，求解 如图，当过点 则 所以分别在AB、BC上时，则 如图，过作于 再利用勾股定理与线段的和差写函数关系式，整理后可得答案；（3）先画出符合题意的图形，再证明 设 则 由 再列方程解方程即可.（1）解： ∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1， 是的垂直平分线， 是等边三角形， 而 （2）解：如图，当过点，是的垂直平分线，则 如图，当过点 则 所以分别在AB、BC上时，则 如图，过作于 同理： 整理得：（3）解：当 同理可得： 设 则 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键.7．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．【答案】(1)(2)y关于x的函数解析式为(3)PA的值为或或6【分析】（1）根据题意由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，根据BD2=C′D2+C′B2，构建方程即可解决问题；（2）根据题意直接利用勾股定理进行分析即可解决问题；（3）根据题意分三种情形：①PA=PD，②AP=AD，③当PD=AD时，分别求解即可．（1）解：如图1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，∵BD2=C′D2+C′B2，∴（4-x）2=x2+22，解得：x=，∴．（2）如图2中，当点P在C'D左侧，AC=AC'=3，则PC'=3-x，∵，∴．当点P在C'D右侧，同理可得．∴y关于x的函数解析式为．（3）如图3中，①当PA=PD时，设PA=PD=m，在Rt△PCD中，∵PD2=DC′2+C′P2，∴，解得：，∴PA=．②当AD=AP′=时，即P在P′时，△ADP是等腰三角形，③当PD=AD时，点P在AB的延长线上．如图4，AP=2AC'=6．综上所述，满足条件的PA的值为或或6．【点睛】本题属于三角形综合题，考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题．8．（2021·上海·八年级专题练习）在直角梯形中，，，，联结，如图（a）．点沿梯形的边，按照点移动，设点移动的距离为，．（1）当点从点移动到点时，与的函数关系如图（b）中折线所示．则______，_____，_____．（2）在（1）的情况下，点按照点移动（点与点不重合），是否能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）5，3，1；（2）2或或或【分析】（1）由图（b）得：AB＝5，作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝4，得出CD＝BE＝AB−AE＝1；（2）分情况讨论：①点P在AB边上时；②点P在BC上时；③点P在AD上时；由等腰三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：（1）由图（b）得：AB＝5，AB＋BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如图1所示：则DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB−AE＝1，故答案是：5，3，1；（2）解：可能；理由如下：分情况讨论：①点P在AB边上时，当DP＝DB时，BP＝2BE＝2，当BP＝BD时，BP＝BD＝；②点P在BC上时，存在PD＝PB，设PD=BP=m，则CP=3-m，∴，解得：m=，∴BP=；③点P在AD上时，当BP＝BD时， 则BP＝BD=，当时，则AP=5-，过点P作PM⊥AB，则sinA=，cosA=，∴PM=（5-）=3-，AM=（5-）=4-，∴BM=5-（4-）=1+，∴PB==，综上所述：△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的的值为：2或或或．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．9．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF．连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如果∠BAD=60°，CD=．①当AF=时，设，求与的函数关系式；（不需要写定义域）②当AF=2时，求△CEF的边CE上的高．【答案】（1）见解析；（2）①；②．【分析】（1）先证明△ACD≌△ACB，再证明△CAF≌△CAE即可；（2）①分别求出AO，EO和CO的长，再根据三角形面积公式求解即可；②先求出CE的长，再求出△CEF的面积即可．【详解】（1）证明：连接AC，∵∠ADC=∠ABC=90°，在Rt△ACD和RT△ACB中，，∴△ACD≌△ACB（HL），∴∠CAF=∠CAE，在△CAF和△CAE中，，∴△CAF≌△CAE(SAS)，∴CE=CF；（2）①设AC与EF交于点O，∵AE=AF，∠BAD=60°∴△AFE是等边三角形，由（1）知∠CAF=∠CAE=30°，∴AC⊥FE，∵AF=x，∴EF=x，FO=，AO=， ∵∠ADC=90°，∠CAF =30°，CD=，∴AC=，∴CO=-，∵， ∴； ②作FH⊥EC于H，∵△ACD≌△ACB，∠DAB=60°，∴AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，在Rt△ACD中，∠D=90°，CD=2，∴AC=2CD=4，AD=，∴DF=AD-AF=4，CE=CF==，由（2）①可得：当AF=2时，S△EFC=，又∵S△EFC=CE•FH，∴3=×2FH，∴FH=，∴△CEF的边CE上的高为．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．10．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在中，，平分线交于点，点为上一动点，过作直线于，分别交直线、、于点、、．（1）当直线经过点时（如图2），求证：；（2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；（3）请直接写出、和之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）CD=2CE，证明见解析；（3）当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN．【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明DN=DC，再证明BN=DN即可；（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论．【详解】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的数量关系为CD=2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∵CG∥AB，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M是BC中点，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE-BN．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
第19章几何证明（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级专题练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A．的三条中线的交点B．三边的垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点2．（2022·上海·八年级单元测试）三角形的外心是三角形的（ ）A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，真命题是（ ）A．三角形的一个外角大于这个三角形的内角B．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等C．一对邻补角的角平分线互相垂直D．面积相等的两个三角形全等4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OB．若OA＝8，则点A经过的路径长度为（ ）A． B． C． D．5．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）下列语句不是命题的是（ ）A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等6．（2022·上海浦东新·八年级期中）在下列各命题中，是假命题的是（ ）A．在一个三角形中，等边对等角 B．全等三角形的对应边相等C．同旁内角相等，两直线平行 D．等角的补角相等7．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）A． B． C． D．8．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中,其逆命题是真命题的命题个数（ )(1)全等三角形的对应角相等; (2) 对顶角相等; (3) 等角对等边;(4)两直线平行,同位角相等; (5)全等三角形的面积相等;A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2022·上海·八年级单元测试）如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，若PR＝PS，则下列结论正确的个数是（ ）（1）PQ＝PB； （2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC （4）∠C＝∠SPCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题10．（2022·上海·八年级专题练习）命题：“对顶角相等”的逆命题是_____________________________．11．（2022·上海市市西初级中学八年级期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．12．（2022·上海·八年级专题练习）请写出“两直线平行，同位角相等”的结论：_____．13．（2022·上海·八年级专题练习）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．14．（2022·上海·八年级专题练习）命题“如果，那么”的逆命题是_______，逆命题是______命题（填“真”或“假”）15．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是_____．16．（2022·上海浦东新·八年级期中）“若，则，”_____命题（选填“是”或“不是”）．17．（2022·上海·八年级专题练习）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________．18．（2022·上海·八年级专题练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．19．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）把命题“同角的余角相等”写成“如果……，那么……”的形式为______．20．（2022·上海·八年级专题练习）平面上经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是_____．21．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．22．（2022·上海·八年级专题练习）到点A的距离等于6cm的点的轨迹是________________．23．（2022·上海·八年级专题练习）“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________．24．（2022·上海·八年级期末）已知两点A、B，到这两点距离相等的点的轨迹是____________．25．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是_____．26．（2022·上海·八年级单元测试）已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于_____．27．（2022·上海·八年级专题练习）“若，则”的逆命题为___________________．三、解答题28．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在正方形中，点、分别在、边上，且，联结、．求证：．【常考】一．选择题（共5小题）1．（2020秋•闵行区期中）下列命题是真命题的是（ ）A．两个锐角的和还是锐角 B．全等三角形的对应边相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形2．（2019秋•虹口区校级月考）如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（ ）A．60° B．55° C．50° D．40°3．（2022秋•杨浦区期中）若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）A．一对同位角的平分线互相平行 B．一对内错角的平分线互相平行 C．一对同旁内角的平分线互相平行 D．一对同旁内角的平分线互相垂直4．（2019秋•浦东新区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°5．（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）A．0＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．2＜AD＜10 D．0＜AD＜5二．填空题（共11小题）6．（2021秋•奉贤区校级期中）将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 ．7．（2022秋•闵行区校级期中）将一副三角板如图所示放置（其中含30°角的三角板的一条较短直角边与另一块三角板的斜边放置在一直线上），那么图中∠1＝ 度．8．（2021秋•静安区校级期末）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 ．9．（2022秋•徐汇区校级期中）命题“同旁内角相等，两直线平行”是 （填“真“或“假”）命题10．（2022秋•闵行区校级期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： ．11．（2022秋•虹口区校级期中）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中正确的是 ．（填写序号）12．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE＝ 度．13．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠EFD＝90°，点B、F、C、D在同一直线上，已知AB⊥DE，且AB＝DE，AC＝6，EF＝8，DB＝10，则CF的长度为 ．14．（2020秋•徐汇区校级期中）“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是 ．15．（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为 ．（用含α的代数式表示）16．（2022秋•虹口区校级期中）如图，已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC＝5：3，则D点到AB的距离是 ．三．解答题（共2小题）17．（2022秋•静安区校级期中）如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．18．（2021秋•崇明区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AC＝8cm，BD＝10cm时，求MN的长．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2022秋•黄浦区校级月考）下列命题中，是真命题的是（ ）A．从直线外一点向直线引垂线，这条垂线段就是这个点到这条直线的距离 B．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．两点之间，线段最短2．（2021秋•浦东新区期末）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）A．3，3，3 B．4，8，4 C．6，8，10 D．5，5，53．（2021秋•浦东新区期中）在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．两直线平行，同旁内角互补 B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 D．两个相等的角是对顶角4．（2019秋•浦东新区校级月考）BP和CP是△ABC两个外角的平分线，则∠BPC为（ ）A． B．90°+ C．90°﹣ D．∠A二．填空题（共2小题）5．（2020秋•浦东新区校级期末）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 ．6．（2020秋•浦东新区校级月考）在△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，高AD＝12cm，则BC＝ ．三．解答题（共1小题）7．（2019秋•浦东新区期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【压轴】一、单选题1．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：①≌；②；③；④．其中正确的结论有（ ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题2．（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）在中，，，点是中点，点在上，，将沿着翻折，点的对应点是点，直线与交于点，那么的面积__________．三、解答题3．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点．(1)当点与点重合时，求的长；(2)若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；(3)联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．4．（2022·上海·八年级专题练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．6．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点 A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当BE=BF时，求线段CD的长．7．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．8．（2021·上海·八年级专题练习）在直角梯形中，，，，联结，如图（a）．点沿梯形的边，按照点移动，设点移动的距离为，．（1）当点从点移动到点时，与的函数关系如图（b）中折线所示．则______，_____，_____．（2）在（1）的情况下，点按照点移动（点与点不重合），是否能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的值；若不能，请说明理由．9．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF．连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如果∠BAD=60°，CD=．①当AF=时，设，求与的函数关系式；（不需要写定义域）②当AF=2时，求△CEF的边CE上的高．10．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在中，，平分线交于点，点为上一动点，过作直线于，分别交直线、、于点、、．（1）当直线经过点时（如图2），求证：；（2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；（3）请直接写出、和之间的数量关系． 第19章几何证明（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级专题练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A．的三条中线的交点B．三边的垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点【答案】C【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点．【详解】∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，∴凉亭应在三条角平分线的交点处．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别．2．（2022·上海·八年级单元测试）三角形的外心是三角形的（ ）A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点【答案】C【分析】根据三角形的外心的定义（三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点）即可得．【详解】解：三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外心，熟记定义是解题关键．3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，真命题是（ ）A．三角形的一个外角大于这个三角形的内角B．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等C．一对邻补角的角平分线互相垂直D．面积相等的两个三角形全等【答案】C【分析】根据三角形的外角性质、平行线的性质、邻补角的概念、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、三角形的一个外角大于这个三角形与它不相邻的内角，本选项说法是假命题，不符合题意；B、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，本选项说法是假命题，不符合题意；C、一对邻补角的角平分线互相垂直，本选项说法是真命题，符合题意；D、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OB．若OA＝8，则点A经过的路径长度为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，再根据弧长公式，即可求解．【详解】解：根据题意得：，∴点A经过的路径长度为．故选：C【点睛】本题主要考查了求弧长公式，熟练掌握弧长公式为（其中为圆心角，为半径）是解题的关键．5．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）下列语句不是命题的是（ ）A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等【答案】C【分析】对事情进行判断真假的陈述句叫做命题，对选项逐个分析即可．【详解】解：A、两条直线相交有且只有一个交点，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意；B、两点之间线段最短，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意；C、延长到D，使，不可以判断真假，不是命题，符合题意；D、等角的补角相等，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意．故选：C【点睛】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键．6．（2022·上海浦东新·八年级期中）在下列各命题中，是假命题的是（ ）A．在一个三角形中，等边对等角 B．全等三角形的对应边相等C．同旁内角相等，两直线平行 D．等角的补角相等【答案】C【分析】分别判断命题的真假即可得出答案．【详解】在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，则A不符合题意；全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，则B不符合题意；同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，则C符合题意；等角的补角相等，正确，是真命题，则D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了命题的真假，掌握定义是解题的关键．即条件和结论相矛盾的命题是假命题．7．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．【详解】∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故选：B．【点睛】考查了二次根式的应用和勾股定理，解题关键是根据已知条件求出AB和AB′的长度．8．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中,其逆命题是真命题的命题个数（ )(1)全等三角形的对应角相等; (2) 对顶角相等; (3) 等角对等边;(4)两直线平行,同位角相等; (5)全等三角形的面积相等;A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．【详解】（1）逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误；（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；（3）逆命题是等边对等角，正确；（4）逆命题是同位角相等，两条直线平行，正确；（5）逆命题是面积相等，两三角形全等，错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．9．（2022·上海·八年级单元测试）如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，若PR＝PS，则下列结论正确的个数是（ ）（1）PQ＝PB； （2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC （4）∠C＝∠SPCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，由直角三角形全等的判定方法得出Rt△ARP≌Rt△ASP，从而判断出（2）正确；根据由一组边相等和一组角相等无法判断△BRP≌△PSC，从而判断出（3）错误；同（3）也无法判断△BRP≌△PSQ，所以PQ≠PB，从而判断出（1）错误；△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以∠C与∠SPC不一定相等，从而判断出（4）错误.【详解】连接AP，∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴∠SAP＝∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，，∴Rt△ARP≌Rt△ASP，（HL），∴AR＝AS，∴（2）正确；∵PR＝PS，∠PRB＝∠PSC＝90°，∴无法判断△BRP≌△PSC，故（3）错误；∵∠PRB＝∠PSQ＝90°，PR＝PS，无法判断△BRP≌△PSQ，∴PQ≠PB，故（1）错误；∵△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，∴∠C与∠SPC不一定相等，故（4）错误；故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 角平分线的性质.二、填空题10．（2022·上海·八年级专题练习）命题：“对顶角相等”的逆命题是_____________________________．【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．11．（2022·上海市市西初级中学八年级期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形；【分析】先找到原命题的题设和结论，在将题设和结论互换，即可得到答案．【详解】解：原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是：“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”．【点睛】本题考查命题的转化，准确找到命题的题设和结论进行转化是解题的关键．12．（2022·上海·八年级专题练习）请写出“两直线平行，同位角相等”的结论：_____．【答案】同位角相等【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，将这个命题改写成“如果那么”的形式即可得出答案．【详解】解：将命题改写成“如果那么”的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等，则此命题的结论为：同位角相等，故答案为：同位角相等．【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的概念是解题关键．13．（2022·上海·八年级专题练习）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．【答案】角平分线【分析】根据角平分线的判定可知．【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，故答案为：角平分线．【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．14．（2022·上海·八年级专题练习）命题“如果，那么”的逆命题是_______，逆命题是______命题（填“真”或“假”）【答案】 如果a2=b2，那么a=b 假【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．【详解】解：根据题意得：命题“如果a=b，那么a2=b2”的条件是如果a=b，结论是a2=b2”，故逆命题是如果a2=b2，那么a=b，该命题是假命题．故答案为：如果a2=b2，那么a=b；假．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．15．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是_____．【答案】底边BC的垂直平分线（除底边中点外）【分析】由等腰三角形三线合一的性质可以确定答案．【详解】在已知线段BC的等腰三角形ABC中，根据等腰三角形三线合一的性质，顶点A必在底边BC的垂直平分线上．故答案为：底边BC的垂直平分线（除底边中点外）．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质并运用是解题的关键．16．（2022·上海浦东新·八年级期中）“若，则，”_____命题（选填“是”或“不是”）．【答案】是【分析】根据命题的定义判断即可．【详解】若，则，是一个命题.故答案为：是．【点睛】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题.17．（2022·上海·八年级专题练习）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________．【答案】有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形【分析】根据逆命题的定义写出即可．【详解】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”．故答案是：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，掌握逆命题的定义是解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．18．（2022·上海·八年级专题练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等【分析】找到命题的条件和结论进行改写即可．【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题的特点，解题的关键是“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．19．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）把命题“同角的余角相等”写成“如果……，那么……”的形式为______．【答案】如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等．【分析】根据命题的概念把原命题改写成“如果…，那么…”的形式即可．【详解】解：命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．20．（2022·上海·八年级专题练习）平面上经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是_____．【答案】线段AB的垂直平分线【分析】要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．【详解】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．故答案为：线段AB的垂直平分线．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等是解题关键．21．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了命题与逆命题，解题的关键在于找出原命题的条件和结论．22．（2022·上海·八年级专题练习）到点A的距离等于6cm的点的轨迹是________________．【答案】以A为圆心，6cm为半径的圆【分析】到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，据此解题即可．【详解】根据圆的定义，到点A的距离等于定长6cm的点的轨迹是以点A为圆心,6cm为半径的圆，故答案为：以点A为圆心，6cm为半径的圆．【点睛】本题考查点的轨迹、圆的定义，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．23．（2022·上海·八年级专题练习）“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________．【答案】对应角相等的两个三角形全等【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题．【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形．故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形．【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．24．（2022·上海·八年级期末）已知两点A、B，到这两点距离相等的点的轨迹是____________．【答案】线段的垂直平分线【分析】根据线段垂直平分线的性质可得结论.【详解】解：因为线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以到这两点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线.故答案为：线段的垂直平分线.【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.25．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是_____．【答案】cm【分析】作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出AB，证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到CD＝ED，AE＝AC＝9，根据角平分线的性质、勾股定理列式计算即可．【详解】解：作DE⊥AB于E，由勾股定理得，AB＝＝＝15，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS）∴CD＝ED，AE＝AC＝9，∴BE＝AB﹣AE＝6，在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即BD2＝（12﹣BD）2+62，解得，BD＝，故答案为：cm．【点睛】此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握利用勾股定理解直角三角形和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．26．（2022·上海·八年级单元测试）已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于_____．【答案】5．【分析】根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB=【详解】A. B两点间的距离为：AB== =5,故答案为5,故答案是：5.【点睛】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式．27．（2022·上海·八年级专题练习）“若，则”的逆命题为___________________．【答案】若，则【分析】把命题的题设和结论换一下位置即可．【详解】解： “若，则”的逆命题为若，则．故答案为∶若，则【点睛】本题主要考查了逆命题，熟练掌握把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题是解题的关键．三、解答题28．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在正方形中，点、分别在、边上，且，联结、．求证：．【答案】详见解析【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据已知条件可证≌，即可得出.【详解】解：∵四边形是正方形，∴，．在与中，，∴≌（SAS）．∴．【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形四边相等，四角相等都等于90°是解题关键.【常考】一．选择题（共5小题）1．（2020秋•闵行区期中）下列命题是真命题的是（ ）A．两个锐角的和还是锐角 B．全等三角形的对应边相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形【分析】根据锐角的概念、全等三角形的性质、平行线的判定定理、轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、两个锐角的和还是锐角，是假命题，例如60°+60°＝120°；B、全等三角形的对应边相等，是真命题；C、同旁内角合并，两直线平行，本选项说法是假命题；D、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项说法是假命题；故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．（2019秋•虹口区校级月考）如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（ ）A．60° B．55° C．50° D．40°【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵CE平分∠ACB，∠ACB＝70°，∴∠DCO＝35°，∴∠BOE＝∠COD＝90°﹣35°＝55°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．3．（2022秋•杨浦区期中）若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）A．一对同位角的平分线互相平行 B．一对内错角的平分线互相平行 C．一对同旁内角的平分线互相平行 D．一对同旁内角的平分线互相垂直【分析】结合角平分线的定义，根据平行线的性质与判定进行分析，从而得到答案．【解答】解：如图所示：若两条平行线被第三条直线所截，一对同位角和内错角的平分线互相平行，一对同旁内角的平分线互相垂直，所以C错误．故选C．【点评】本题考查两条平行线被第三条直线所截得的角的角平分线之间的关系，可结合图形进行分析．4．（2019秋•浦东新区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵D在斜边AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B，∵D在∠CAB的角平分线上，∴∠DAB＝∠DAC，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B＝30°，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）A．0＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．2＜AD＜10 D．0＜AD＜5【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△ECD，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．【解答】解：延长AD至点E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，∵，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．二．填空题（共11小题）6．（2021秋•奉贤区校级期中）将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 ．【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．7．（2022秋•闵行区校级期中）将一副三角板如图所示放置（其中含30°角的三角板的一条较短直角边与另一块三角板的斜边放置在一直线上），那么图中∠1＝ 105 度．【分析】根据三角形的外角定理，即可得出∠1的度数．【解答】解：由题意可得，∠2＝60°，∠3＝45°，由三角形外角定理，∠1＝∠2+∠3＝60°+45°＝105°．故答案为105．【点评】本题主要考查了三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中．8．（2021秋•静安区校级期末）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形 ．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【解答】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．9．（2022秋•徐汇区校级期中）命题“同旁内角相等，两直线平行”是 假 （填“真“或“假”）命题【分析】利用平行线的判定对命题进行判断即可确定答案．【解答】解：∵同旁内角互补，两直线平行；∴命题“同旁内角相等，两直线平行”错误，是假命题，故答案为：假．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．10．（2022秋•闵行区校级期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．【解答】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．11．（2022秋•虹口区校级期中）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中正确的是 ①②④ ．（填写序号）【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：在同一个平面内，①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故答案为：①②④．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE＝ 50 度．【分析】根据直角三角形中线的性质及互为余角的性质计算．【解答】解：∠A＝20°，CD为AB边上的高，∴∠ACD＝70°，∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝20°，∴∠DCE的度数为70°﹣20°＝50°．故答案为：50．【点评】此题主要考查了直角三角形中线的性质及互为余角的性质．13．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠EFD＝90°，点B、F、C、D在同一直线上，已知AB⊥DE，且AB＝DE，AC＝6，EF＝8，DB＝10，则CF的长度为 4 ．【分析】由“AAS”可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DF＝6，EF＝BC＝8，即可求CF的长．【解答】解：∵∠ACB＝∠EFD＝90°，AB⊥DE，∴∠B+∠D＝90°，∠B+∠A＝90°∴∠A＝∠D，且∠ACB＝∠EFD＝90°，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS）∴AC＝DF＝6，EF＝BC＝8，∴CF＝BC+DF﹣BD＝4【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△DEF是本题的关键．14．（2020秋•徐汇区校级期中）“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是 两边上的中线相等的三角形是等腰三角形 ．【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题；【解答】解：“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是两边上的中线相等的三角形是等腰三角形，故答案为：两边上的中线相等的三角形是等腰三角形．【点评】本题考查了命题与定理的知识，了解如何写出一个命题的逆命题是解答本题的关键，难度不大．15．（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为 2α﹣180°或180°﹣2α ．（用含α的代数式表示）【分析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，再根据角的和差关系进行计算即可．【解答】解：分两种情况：①如图所示，当∠BAC≥90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠BAD，同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°；②如图所示，当∠BAC＜90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠BAD，同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α．故答案为：2α﹣180°或180°﹣2α．【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．16．（2022秋•虹口区校级期中）如图，已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC＝5：3，则D点到AB的距离是 15 ．【分析】先求出CD的长，再根据角平分线的性质即可得出结论．【解答】解：∵AC＝40，AD：DC＝5：3，∴CD＝40×＝15．∵BD平分∠BAC交AC于D，∴D点到AB的距离是15．故答案为：15．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．三．解答题（共2小题）17．（2022秋•静安区校级期中）如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB；（2）连接MN，由（1）的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM＝MN，即AM+BM+CM＝EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）根据（2）中费马点的定义，又△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．【解答】解：（1）证明：∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（2）连接MN．由（1）知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．（3）由（2）知，△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大．18．（2021秋•崇明区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AC＝8cm，BD＝10cm时，求MN的长．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定AM＝MC＝BD，从而推知N点是AC边上的中点，所以MN是AC的中垂线；（2）在Rt△AMN中，利用勾股定理求得MN的长．【解答】（1）证明：连接AM、MC．在△DCB和△BAD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，M是边BD的中点，∴AM＝MC＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；∵N是AC的中点，∴MN⊥AC；（2）解：∵AC＝8cm，BD＝10cm，M、N分别是边BD、AC的中点．∴AM＝5cm，AN＝4cm；在Rt△AMN中，MN＝＝3cm（勾股定理）．【点评】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理．解题时，通过作辅助线AM、MC构建了直角三角形斜边上的中线，然后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解答问题．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2022秋•黄浦区校级月考）下列命题中，是真命题的是（ ）A．从直线外一点向直线引垂线，这条垂线段就是这个点到这条直线的距离 B．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．两点之间，线段最短【分析】根据点到这条直线的距离的概念、平行公理、平行线的性质、线段的性质判断即可．【解答】解：A、从直线外一点向直线引垂线，这条垂线段的长度就是这个点到这条直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；D、两点之间，线段最短，本选项命题是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．（2021秋•浦东新区期末）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）A．3，3，3 B．4，8，4 C．6，8，10 D．5，5，5【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：A．∵32+32＝18，（）2＝18，∴32+32＝（）2，∴以3，3，三个数为边长的三角形是直角三角形，故A不符合题意；B．∵42+（）2＝64，82＝64，∴42+（）2＝82，∴以4，8，三个数为边长的三角形是直角三角形，故B不符合题意；C．∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴以6，8，10三个数为边长的三角形是直角三角形，故B不符合题意；D．∵52+52＝50，（）2＝75，∴52+52≠（）2，∴以5，5，三个数为边长的三角形不是直角三角形，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3．（2021秋•浦东新区期中）在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．两直线平行，同旁内角互补 B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 D．两个相等的角是对顶角【分析】先写出各个命题的逆命题，再根据平行线的判定定理、全等三角形的判定定理、对顶角的性质判断即可．【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；B、如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等的逆命题是两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等，是真命题，不符合题意；C、如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等的逆命题是两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，是假命题，符合题意；D、两个相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握平行线的判定定理、全等三角形的判定定理、对顶角的性质是解题的关键．4．（2019秋•浦东新区校级月考）BP和CP是△ABC两个外角的平分线，则∠BPC为（ ）A． B．90°+ C．90°﹣ D．∠A【分析】根据题意得∠PBC＝（∠A+∠ACB），∠PCB＝（∠A+∠ABC），由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系，从而计算出∠P的度数．【解答】解：如图，∵BP、CP是△ABC的外角平分线，∴∠PBC＝（∠A+∠ACB），∠PCB＝（∠A+∠ABC），又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（180+∠A）＝90°﹣∠A，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角的性质以及三角形的内角和定理．解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．二．填空题（共2小题）5．（2020秋•浦东新区校级期末）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外） ．【分析】满足△MNC以线段MN为底边且CM＝CN，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件）．【解答】解：∵△MNC以线段MN为底边，CM＝CN，∴点C在线段MN的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件），∴以线段MN为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．故答案为：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．【点评】本题考查了轨迹：轨迹是动点按一定条件运动所经过的痕迹．也考查了线段的垂直平分线判定与性质，解题的关键是熟记线段AB的垂直平分线的定义6．（2020秋•浦东新区校级月考）在△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，高AD＝12cm，则BC＝ 14cm或4cm ．【分析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【解答】解：由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论．（1）△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝5，CD＝＝9，∴BC＝9+5＝14cm．（2）△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝5，CD＝9，∴BC＝9﹣5＝4cm．【点评】本题需注意高不确定位置的时候，三角形的形状有两种．三．解答题（共1小题）7．（2019秋•浦东新区期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质证明；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；（3）仿照（2）的计算过程解答．【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连接DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【压轴】一、单选题1．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：①≌；②；③；④．其中正确的结论有（ ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再证明，即可证明Rt△CDE和Rt△BDF全等；根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；∠FDE与∠BAC都与∠FAE互补，可得∠FDE=∠BAC，于是可证；利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB，由Rt△CDE≌Rt△BDF可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，故∠DBC=∠DCB，于是可证明∠DAF=∠CBD．【详解】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，=∵，∴，在Rt△CDE和Rt△BDF中，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，故①正确；∴CE=BF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；∵=，∴∠EDF+∠FAE=，∵∠BAC+∠FAE=，∴∠FDE=∠BAC，∵∠FDE=∠BDC，∴∠BDC =∠BAC，故③正确；∵∠FAE是△ABC的外角，∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB，∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠ABD=∠DCE，BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴2∠DAF=∠DCE +∠DBC +∠ACB=∠DBC +∠DCB=2∠DBC，∴∠DAF=∠CBD，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④共4个．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．二、填空题2．（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）在中，，，点是中点，点在上，，将沿着翻折，点的对应点是点，直线与交于点，那么的面积__________．【答案】或【分析】通过计算E到AC的距离即EH的长度为3，所以根据DE的长度有两种情况：①当点D在H点上方时，②当点D在H点下方时，两种情况都是过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH的长度，进而可求AD的长度，然后利用角度之间的关系证明，再利用等腰三角形的性质求出GQ的长度，最后利用即可求解．【详解】①当点D在H点上方时，过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q， ，点是中点， ．∵， ．， ， ． ， ，，， ， ．由折叠的性质可知，， ，， ．又 ， ． ，． ，即， ． ，；②当点D在H点下方时，过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q， ，点是中点， ．∵，． ， ， ． ， ，，， ， ．由折叠的性质可知，， ，， ．又 ， ．， ． ，即， ． ，，综上所述，的面积为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．三、解答题3．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点．(1)当点与点重合时，求的长；(2)若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；(3)联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．【答案】(1)(2)(3)的长为或或．【分析】（1）连接，过作于，根据线段垂直平分线的性质可得，在中，由勾股定理可得，然后证明四边形ABHD是矩形，求出DH＝AB＝4，CH＝2，在中，由勾股定理可得CD的长；（2）连接，过点作于，求出，，在中，由勾股定理可得，整理后可得答案；分情况讨论：当在线段上时，当时，可证≌，过作于，在中，求出，即可求得；当时，设，可证≌（ASA），求出，然后在中，利用勾股定理可求；当点在射线上时，如图4，此时，同理可得≌，过作交BC的延长线于，在中，求出CH即可解决问题．（1）解：如图，连接，过作于， ，平分，，，，，∴在中，，∵，，∴∠A＝180°－90°＝90°，又∵∠DHB＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴DH＝AB＝4，AD＝BH＝3，∴CH＝5－3＝2，∴在中，；（2）如图，连接，过点作于，是的垂直平分线，， ，，，，，，，在中，由得：，整理得：，∵点与点重合时，AD＝3，∴，∴；（3）如图，当在线段上时，当时，是的垂直平分线，，，∴∠PED＝∠PDE，∠PDC＝∠PCD，∵∠PED＋∠PDE＋∠PDC＋∠PCD＝180°，，平分，，又∵CE＝CE，≌（AAS），，，，过作于，在中，，；当时，，设，则，，，，，，，又∵，≌（ASA），，，，，∴在中，，（负值已舍去）；当点在射线上时，如图4，此时，， 同理可得：≌（AAS），，过作交BC的延长线于，在中，，，；综上所述：的长为或或．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用是解题的关键．4．（2022·上海·八年级专题练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，证明见解析；(3)成立，理由见解析【分析】（1）根据∠ABC=∠CDE=90°，点M为EC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得BM=DM=MC，即有∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，则可得∠MBC+∠MDC =∠MCB+∠MCD=∠ACB，根据三角形外角的性质可得，∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠ACB=245=90，即可证得△BMD为等腰直角三角形；（2）延长DM交BC于N，先证明△EMD≌△CMN，即有DM=MN，ED=CN，进而有AD=CN，BD=BN，则有BM=DN=DM，可得BM⊥DN，即∠BMD=90，则有△BMD为等腰直角三角形；（3）作交DM延长线于N，连接BN，先证明△EMD≌△CMN，根据（2）的方法同理可证得△BMD为等腰直角三角形．（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，点M为EC的中点，∴BM=MC=EC，DM=MC=EC，∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC =∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD为等腰直角三角形；（2）成立；如图1，延长DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴，∴∠DEM=∠NCM，∵M为EC中点，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN，∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=DN=DM，∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD为等腰直角三角形；（3）成立；如图2，作交DM延长线于N，连接BN，∵，∴∠BAC=∠MCN=45，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB =180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(SAS)，∴∠DBA =∠NBC，BD=BN；∴∠DBN=∠ABC=90，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边中线，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，BM=DM=MN，即△BMD为等腰直角三角形．【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、平行的性质等知识，充分利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解答本题的关键．5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【答案】(1)(2)或(3)的坐标为：或或或【分析】（1）先求解的坐标，再代入反比例函数解析式，从而可得答案；（2）分两种情况讨论：如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则再利用角平分线的性质与全等三角形的性质，勾股定理可得答案；（3）画出图形，分4种情况讨论，当时， 当时， 当时， 当时，再结合等腰三角形的性质与勾股定理可得答案.【详解】（1）解： AB⊥x轴，AB=3， 则 设反比例函数为 所以反比例函数为（2）解：存在，或；理由如下：如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 则 而 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则 而 而 设 解得： 综上：或（3）解：如图， 为等腰三角形，当时， 当时， 当时， 当时，设 解得： 综上：的坐标为：或或或【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简与二次根式的除法运算，熟练的运用以上知识解题是关键.6．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点 A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当BE=BF时，求线段CD的长．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先证明 再证明是等边三角形，结合垂直平分线的性质求解 再求解 即可得到结论；（2）如图，当过点，是的垂直平分线，求解 如图，当过点 则 所以分别在AB、BC上时，则 如图，过作于 再利用勾股定理与线段的和差写函数关系式，整理后可得答案；（3）先画出符合题意的图形，再证明 设 则 由 再列方程解方程即可.（1）解： ∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1， 是的垂直平分线， 是等边三角形， 而 （2）解：如图，当过点，是的垂直平分线，则 如图，当过点 则 所以分别在AB、BC上时，则 如图，过作于 同理： 整理得：（3）解：当 同理可得： 设 则 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键.7．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．【答案】(1)(2)y关于x的函数解析式为(3)PA的值为或或6【分析】（1）根据题意由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，根据BD2=C′D2+C′B2，构建方程即可解决问题；（2）根据题意直接利用勾股定理进行分析即可解决问题；（3）根据题意分三种情形：①PA=PD，②AP=AD，③当PD=AD时，分别求解即可．（1）解：如图1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，∵BD2=C′D2+C′B2，∴（4-x）2=x2+22，解得：x=，∴．（2）如图2中，当点P在C'D左侧，AC=AC'=3，则PC'=3-x，∵，∴．当点P在C'D右侧，同理可得．∴y关于x的函数解析式为．（3）如图3中，①当PA=PD时，设PA=PD=m，在Rt△PCD中，∵PD2=DC′2+C′P2，∴，解得：，∴PA=．②当AD=AP′=时，即P在P′时，△ADP是等腰三角形，③当PD=AD时，点P在AB的延长线上．如图4，AP=2AC'=6．综上所述，满足条件的PA的值为或或6．【点睛】本题属于三角形综合题，考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题．8．（2021·上海·八年级专题练习）在直角梯形中，，，，联结，如图（a）．点沿梯形的边，按照点移动，设点移动的距离为，．（1）当点从点移动到点时，与的函数关系如图（b）中折线所示．则______，_____，_____．（2）在（1）的情况下，点按照点移动（点与点不重合），是否能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）5，3，1；（2）2或或或【分析】（1）由图（b）得：AB＝5，作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝4，得出CD＝BE＝AB−AE＝1；（2）分情况讨论：①点P在AB边上时；②点P在BC上时；③点P在AD上时；由等腰三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：（1）由图（b）得：AB＝5，AB＋BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如图1所示：则DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB−AE＝1，故答案是：5，3，1；（2）解：可能；理由如下：分情况讨论：①点P在AB边上时，当DP＝DB时，BP＝2BE＝2，当BP＝BD时，BP＝BD＝；②点P在BC上时，存在PD＝PB，设PD=BP=m，则CP=3-m，∴，解得：m=，∴BP=；③点P在AD上时，当BP＝BD时， 则BP＝BD=，当时，则AP=5-，过点P作PM⊥AB，则sinA=，cosA=，∴PM=（5-）=3-，AM=（5-）=4-，∴BM=5-（4-）=1+，∴PB==，综上所述：△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的的值为：2或或或．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．9．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF．连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如果∠BAD=60°，CD=．①当AF=时，设，求与的函数关系式；（不需要写定义域）②当AF=2时，求△CEF的边CE上的高．【答案】（1）见解析；（2）①；②．【分析】（1）先证明△ACD≌△ACB，再证明△CAF≌△CAE即可；（2）①分别求出AO，EO和CO的长，再根据三角形面积公式求解即可；②先求出CE的长，再求出△CEF的面积即可．【详解】（1）证明：连接AC，∵∠ADC=∠ABC=90°，在Rt△ACD和RT△ACB中，，∴△ACD≌△ACB（HL），∴∠CAF=∠CAE，在△CAF和△CAE中，，∴△CAF≌△CAE(SAS)，∴CE=CF；（2）①设AC与EF交于点O，∵AE=AF，∠BAD=60°∴△AFE是等边三角形，由（1）知∠CAF=∠CAE=30°，∴AC⊥FE，∵AF=x，∴EF=x，FO=，AO=， ∵∠ADC=90°，∠CAF =30°，CD=，∴AC=，∴CO=-，∵， ∴； ②作FH⊥EC于H，∵△ACD≌△ACB，∠DAB=60°，∴AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，在Rt△ACD中，∠D=90°，CD=2，∴AC=2CD=4，AD=，∴DF=AD-AF=4，CE=CF==，由（2）①可得：当AF=2时，S△EFC=，又∵S△EFC=CE•FH，∴3=×2FH，∴FH=，∴△CEF的边CE上的高为．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．10．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在中，，平分线交于点，点为上一动点，过作直线于，分别交直线、、于点、、．（1）当直线经过点时（如图2），求证：；（2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；（3）请直接写出、和之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）CD=2CE，证明见解析；（3）当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN．【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明DN=DC，再证明BN=DN即可；（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论．【详解】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的数量关系为CD=2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∵CG∥AB，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M是BC中点，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE-BN．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
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