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沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略八年级数学上学期【第一次月考卷】(原卷版+解析)
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这是一份沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略八年级数学上学期【第一次月考卷】(原卷版+解析)，共19页。
八年级数学上学期【第一次月考卷】（沪教版）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共6小题）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．2．下列式子中一定是二次根式的是（ ）A． B． C． D．3．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．4．若＝3﹣a，则a的取值范围是（ ）A．a≥3 B．a≤3 C．a≤0 D．a＜35．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（ ）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或46．关于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0，下列说法中正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定二．填空题（共12小题）7．若在实数范围内有意义，则x取值范围是 ．8．三角形三边的长是2、5、m，则＝ ．9．某口罩厂2020年1月口罩生产数量40万个，2月份口罩产量增长了25%，则2月份口罩生产数量为 万个．为应对“新冠”疫情，计划通过两个月增加口罩的数量，预计到4月份时月产量达到60.5万个，设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为 ，则可列出方程 ．10．计算：﹣2＝ ，＝ ．11．分母有理化：＝ ．12．（x﹣1）2＝20212的根是 ．13．若x＝2是方程x2﹣3x+q＝0的一个根．则q的值是 ．14．把一元二次方程2x2﹣8x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式是 ．15．关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2+4＝0有实数根，则a的取值范围是 ．16．关于x的方程（a2﹣4）x2﹣（a+2）x+3＝0的一个根，则a 时是一元二次方程．17．在实数范围内因式分解：x2﹣3＝ ，3x2﹣5x+2＝ ．18．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）＝0的一个根是0，则m的值是 ．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）； （2）．20．解方程：（1）（x+3）2＝1； （2）（x+3）（x﹣5）＝1；（3）x（x﹣6）＝2（x﹣8）．21．先化简，再求值﹣，其中a＝2﹣．22．自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率．23．如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？24．如图，四边形ABCD中，BC＝CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，求证：AB＝AD．25．如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝BAC．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）过B作BE平分∠ABC交AC于E，过点E作EF∥AD交BC于点F，若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．26．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝ 时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化，当t＝ 时，△AMN是等边三角形；（3）当点M、N运动到BC边上时，若存在以MN为底边的等腰△AMN，则t＝ ． 八年级数学上学期【第一次月考卷】（沪教版）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共6小题）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】先将各选项化简，再根据同类二次根式的定义解答．【解答】解：A、与被开方数相同，故是同类二次根式；B、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；C、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；D、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；故选：A．【点评】此题考查同类二次根式的定义，正确对根式进行化简，以及正确理解同类二次根式的定义是解决问题的关键．2．下列式子中一定是二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的概念进行分析判断．【解答】解：A、∵﹣7＜0，∴原式没有意义，故此选项不符合题意；B、原式是三次根式，故此选项不符合题意；C、∵a2﹣2a+1＝（a﹣1）2恒≥0，∴原式一定是二次根式，故此选项符合题意；D、当a，b异号或b＝0时，原式没有意义，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查二次根式的定义，理解二次根式的定义是解决问题的关键．3．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的条件分别进行判断．【解答】解：A． ＝，所以A选项不符合题意；B． 为最简二次根式，所以B选项符合题意；C． ＝，所以C选项不符合题意；D． ＝|x|•，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件（被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）是解决此类问题的关键．4．若＝3﹣a，则a的取值范围是（ ）A．a≥3 B．a≤3 C．a≤0 D．a＜3【分析】结合完全平方公式对被开方式子进行变形，然后利用二次根式的性质进行化简，从而结合绝对值的意义作出分析判断．【解答】解：，∴a﹣3≤0，∴a≤3，故选：B．【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的性质，理解＝|a|，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构是解题关键．5．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（ ）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．【解答】解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2+ax﹣a2＝0，得：4﹣3a﹣a2＝0，即a2+3a﹣4＝0，左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）＝0，∴a﹣1＝0，或a+4＝0，解得：a＝1或﹣4，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．6．关于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0，下列说法中正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【分析】计算出Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（k﹣2）＝（k﹣2）2+4＞0即可得出结论．【解答】解：Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（k﹣2）＝（k﹣2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．二．填空题（共12小题）7．若在实数范围内有意义，则x取值范围是 x＜﹣3 ．【分析】根据分式有意义可得x+3≠0，根据二次根式有意义的条件可得x+3≤0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+3≠0且x+3≤0，解得：x≤﹣3且x≠﹣3，故答案为：x＜﹣3．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．8．三角形三边的长是2、5、m，则＝ 4 ．【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵三角形三边的长是2、5、m，∴3＜m＜7，∴原式＝m﹣3+7﹣m＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了三角形三边关系和二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．9．某口罩厂2020年1月口罩生产数量40万个，2月份口罩产量增长了25%，则2月份口罩生产数量为 50 万个．为应对“新冠”疫情，计划通过两个月增加口罩的数量，预计到4月份时月产量达到60.5万个，设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为 x ，则可列出方程 50（1+x）2＝60.5 ．【分析】利用2月份口罩生产数量＝1月份口罩生产数量×（1+25%），即可求出2月份口罩生产数量，设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为x，利用4月份口罩生产数量＝2月份口罩生产数量×（1+25%）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：2月份口罩生产数量为40×（1+25%）＝40×1.25＝50（万个）．设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为x，依题意得：50（1+x）2＝60.5，故答案为：50；x；50（1+x）2＝60.5．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．计算：﹣2＝ ，＝ ﹣a2b ．【分析】利用二次根式的加减法计算﹣2；利用二次根式的乘法法则得到×＝，然后利用二次根式的性质化简．【解答】解：﹣2＝2﹣＝；∵﹣a2b3≥0，而a2≥0，∴b3≤0，即b≤0，∴×＝＝﹣a2b．故答案为：，﹣a2b【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．11．分母有理化：＝ ．【分析】把分子分母都乘以（2﹣），然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．12．（x﹣1）2＝20212的根是 x1＝2022，x2＝﹣2020 ．【分析】利用直接开平方发求解即可．【解答】解：∵（x﹣1）2＝20212，∴x﹣1＝2021或x﹣1＝﹣2021，解得x1＝2022，x2＝﹣2020，故答案为：x1＝2022，x2＝﹣2020．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．13．若x＝2是方程x2﹣3x+q＝0的一个根．则q的值是 2 ．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝2代入已知方程，列出关于q的新方程，通过解该方程即可求得q的值．【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣3x+q＝0的一个根，∴x＝2满足该方程，∴22﹣3×2+q＝0，解得，q＝2．故答案为2．【点评】本题主要考查了方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14．把一元二次方程2x2﹣8x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式是 （x﹣2）2＝． ．【分析】方程移项变形后，配方即可得到结果．【解答】解：方程整理得：x2﹣4x＝，配方得：x2﹣4x+4＝，即（x﹣2）2＝．故答案为：（x﹣2）2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2+4＝0有实数根，则a的取值范围是 a≤﹣ ．【分析】根据题意得：根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2+4＝0有实数根，∴Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2﹣16＞0，解得：a≤﹣．故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据方程根的情况知根的判别式Δ＜0，找出关于a的一元一次不等式是解题的关键．16．关于x的方程（a2﹣4）x2﹣（a+2）x+3＝0的一个根，则a ≠±2 时是一元二次方程．【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可．【解答】解：∵关于x的方程（a2﹣4）x2﹣（a+2）x+3＝0是一元二次方程，∴a2﹣4≠0，解得a≠±2．故答案为：≠±2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．17．在实数范围内因式分解：x2﹣3＝ （x+）（x﹣） ，3x2﹣5x+2＝ （3x﹣2）（x﹣1） ．【分析】第一个用平方差公式分解，第二个用十字相乘法分解．【解答】解：x2﹣3＝x2﹣＝（x+）（x﹣）；3x2﹣5x+2＝（3x﹣2）（x﹣1）．故答案为：（x+）（x﹣）；（3x﹣2）（x﹣1）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握公式法和十字相乘法是解决本题的关键．18．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）＝0的一个根是0，则m的值是 ﹣3 ．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）＝0，得m2﹣9＝0，解得：m＝±3，∵m﹣3≠0，∴m＝﹣3，故答案是：﹣3．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解，注意方程有意义，其二次项系数不能为0．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后利用分式的混合运算化简即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣+﹣2＝﹣；（2）原式＝3××＝2×＝2×＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则解决问题的关键．20．解方程：（1）（x+3）2＝1；（2）（x+3）（x﹣5）＝1；（3）x（x﹣6）＝2（x﹣8）．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）整理后，利用配方法求解即可；（3）整理后，利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）（x+3）2＝1，（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x1＝﹣1，x2＝﹣5；（2）（x+3）（x﹣5）＝1，x2﹣2x＝16，x2﹣2x+1＝16+1，即（x﹣1）2＝17，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x（x﹣6）＝2（x﹣8），x2﹣8x+16＝0，（x﹣4）2＝0，∴x﹣4＝0，∴x1＝x2＝4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键．21．先化简，再求值﹣，其中a＝2﹣．【分析】先将原式中能进行因式分解的分子，分母进行因式分解，然后通分，再计算，最后代入求值．【解答】解：原式＝＝a+1﹣＝＝＝，当a＝2﹣时，原式＝＝＝＝＝4．【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的分母有理化计算，掌握通分及约分的技巧以及完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．22．自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率．【分析】设这几周工作时间的增长率为x，利用第三周教师周工作时间＝第一周教师周工作时间×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出这几周工作时间的增长率为10%．【解答】解：设这几周工作时间的增长率为x，依题意得：40（1+x）2＝48.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：这几周工作时间的增长率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？【分析】设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间为x分钟，横行的时间为（8﹣2x）分钟，根据面积为72m2，列出方程即可解决问题．【解答】解：设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间为x分钟，横行的时间为（8﹣2x）分钟，根据题意得：3x×4（8﹣2x）＝72，解得x＝1或x＝3，当x＝1时，机器人走的路程为：2×3×3+4×（8﹣2×1）＝30（米）；当x＝3时，机器人走的路程为：2×3×3+4×（8﹣2×3）＝26（米），∵26＜30，∴取x＝3，从而8﹣2x＝2，∴安排上、下行和横行的时间分别为3分钟，3分钟，2分钟．【点评】本题主要考查了矩形的面积，一元二次方程的应用，读懂题意，设出合适的未知数列出方程是解题的关键，注意对答案的取舍．24．如图，四边形ABCD中，BC＝CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，求证：AB＝AD．【分析】连接AC，利用HL得出Rt△ADC与Rt△ABC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：连接AC，∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，在Rt△ADC与Rt△ABC中，，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），∴AB＝AD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用HL得出Rt△ADC与Rt△ABC全等解答．25．如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝BAC．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）过B作BE平分∠ABC交AC于E，过点E作EF∥AD交BC于点F，若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．【分析】（1）由三角形的内角和可得∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠B+∠BAC+∠C＝180°，从而可证得∠BAD＝∠C；（2）作出相应的图形，由三角形的内角和可求得∠ABC＝50°，再由角平分线的定义可得∠EBF＝25°，由平行线的性质可得∠BFE＝∠ADB＝110°，再次利用三角形的内角和可求∠BEF的度数．【解答】（1）证明：在△ABD和△ABC中，∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠B+∠BAC+∠C＝180°，∵∠ADB＝∠BAC，∴∠BAD＝∠C；（2）解：如图所示：∵∠C＝20°，∠BAC＝110°，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝50°，∠ADB＝110°，∵BE平分∠ABC交AC于E，∴∠EBF＝25°，∵EF∥AD，∴∠BFE＝∠ADB＝110°，在△BEF中，∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠BFE＝45°．【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．26．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝ 6 时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化，当t＝ 2 时，△AMN是等边三角形；（3）当点M、N运动到BC边上时，若存在以MN为底边的等腰△AMN，则t＝ 8 ．【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+6＝2x，解得：x＝6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M，故答案为：6；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图2，由题意，AM＝t，AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形∴t＝6﹣2t，解得t＝2，∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．故答案为：2；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图3，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．故答案为：8．【点评】此题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
八年级数学上学期【第一次月考卷】（沪教版）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共6小题）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．2．下列式子中一定是二次根式的是（ ）A． B． C． D．3．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．4．若＝3﹣a，则a的取值范围是（ ）A．a≥3 B．a≤3 C．a≤0 D．a＜35．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（ ）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或46．关于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0，下列说法中正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定二．填空题（共12小题）7．若在实数范围内有意义，则x取值范围是 ．8．三角形三边的长是2、5、m，则＝ ．9．某口罩厂2020年1月口罩生产数量40万个，2月份口罩产量增长了25%，则2月份口罩生产数量为 万个．为应对“新冠”疫情，计划通过两个月增加口罩的数量，预计到4月份时月产量达到60.5万个，设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为 ，则可列出方程 ．10．计算：﹣2＝ ，＝ ．11．分母有理化：＝ ．12．（x﹣1）2＝20212的根是 ．13．若x＝2是方程x2﹣3x+q＝0的一个根．则q的值是 ．14．把一元二次方程2x2﹣8x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式是 ．15．关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2+4＝0有实数根，则a的取值范围是 ．16．关于x的方程（a2﹣4）x2﹣（a+2）x+3＝0的一个根，则a 时是一元二次方程．17．在实数范围内因式分解：x2﹣3＝ ，3x2﹣5x+2＝ ．18．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）＝0的一个根是0，则m的值是 ．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）； （2）．20．解方程：（1）（x+3）2＝1； （2）（x+3）（x﹣5）＝1；（3）x（x﹣6）＝2（x﹣8）．21．先化简，再求值﹣，其中a＝2﹣．22．自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率．23．如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？24．如图，四边形ABCD中，BC＝CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，求证：AB＝AD．25．如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝BAC．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）过B作BE平分∠ABC交AC于E，过点E作EF∥AD交BC于点F，若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．26．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝ 时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化，当t＝ 时，△AMN是等边三角形；（3）当点M、N运动到BC边上时，若存在以MN为底边的等腰△AMN，则t＝ ． 八年级数学上学期【第一次月考卷】（沪教版）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共6小题）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】先将各选项化简，再根据同类二次根式的定义解答．【解答】解：A、与被开方数相同，故是同类二次根式；B、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；C、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；D、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；故选：A．【点评】此题考查同类二次根式的定义，正确对根式进行化简，以及正确理解同类二次根式的定义是解决问题的关键．2．下列式子中一定是二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的概念进行分析判断．【解答】解：A、∵﹣7＜0，∴原式没有意义，故此选项不符合题意；B、原式是三次根式，故此选项不符合题意；C、∵a2﹣2a+1＝（a﹣1）2恒≥0，∴原式一定是二次根式，故此选项符合题意；D、当a，b异号或b＝0时，原式没有意义，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查二次根式的定义，理解二次根式的定义是解决问题的关键．3．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的条件分别进行判断．【解答】解：A． ＝，所以A选项不符合题意；B． 为最简二次根式，所以B选项符合题意；C． ＝，所以C选项不符合题意；D． ＝|x|•，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件（被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）是解决此类问题的关键．4．若＝3﹣a，则a的取值范围是（ ）A．a≥3 B．a≤3 C．a≤0 D．a＜3【分析】结合完全平方公式对被开方式子进行变形，然后利用二次根式的性质进行化简，从而结合绝对值的意义作出分析判断．【解答】解：，∴a﹣3≤0，∴a≤3，故选：B．【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的性质，理解＝|a|，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构是解题关键．5．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（ ）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．【解答】解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2+ax﹣a2＝0，得：4﹣3a﹣a2＝0，即a2+3a﹣4＝0，左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）＝0，∴a﹣1＝0，或a+4＝0，解得：a＝1或﹣4，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．6．关于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0，下列说法中正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【分析】计算出Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（k﹣2）＝（k﹣2）2+4＞0即可得出结论．【解答】解：Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（k﹣2）＝（k﹣2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．二．填空题（共12小题）7．若在实数范围内有意义，则x取值范围是 x＜﹣3 ．【分析】根据分式有意义可得x+3≠0，根据二次根式有意义的条件可得x+3≤0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+3≠0且x+3≤0，解得：x≤﹣3且x≠﹣3，故答案为：x＜﹣3．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．8．三角形三边的长是2、5、m，则＝ 4 ．【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵三角形三边的长是2、5、m，∴3＜m＜7，∴原式＝m﹣3+7﹣m＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了三角形三边关系和二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．9．某口罩厂2020年1月口罩生产数量40万个，2月份口罩产量增长了25%，则2月份口罩生产数量为 50 万个．为应对“新冠”疫情，计划通过两个月增加口罩的数量，预计到4月份时月产量达到60.5万个，设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为 x ，则可列出方程 50（1+x）2＝60.5 ．【分析】利用2月份口罩生产数量＝1月份口罩生产数量×（1+25%），即可求出2月份口罩生产数量，设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为x，利用4月份口罩生产数量＝2月份口罩生产数量×（1+25%）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：2月份口罩生产数量为40×（1+25%）＝40×1.25＝50（万个）．设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为x，依题意得：50（1+x）2＝60.5，故答案为：50；x；50（1+x）2＝60.5．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．计算：﹣2＝ ，＝ ﹣a2b ．【分析】利用二次根式的加减法计算﹣2；利用二次根式的乘法法则得到×＝，然后利用二次根式的性质化简．【解答】解：﹣2＝2﹣＝；∵﹣a2b3≥0，而a2≥0，∴b3≤0，即b≤0，∴×＝＝﹣a2b．故答案为：，﹣a2b【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．11．分母有理化：＝ ．【分析】把分子分母都乘以（2﹣），然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．12．（x﹣1）2＝20212的根是 x1＝2022，x2＝﹣2020 ．【分析】利用直接开平方发求解即可．【解答】解：∵（x﹣1）2＝20212，∴x﹣1＝2021或x﹣1＝﹣2021，解得x1＝2022，x2＝﹣2020，故答案为：x1＝2022，x2＝﹣2020．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．13．若x＝2是方程x2﹣3x+q＝0的一个根．则q的值是 2 ．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝2代入已知方程，列出关于q的新方程，通过解该方程即可求得q的值．【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣3x+q＝0的一个根，∴x＝2满足该方程，∴22﹣3×2+q＝0，解得，q＝2．故答案为2．【点评】本题主要考查了方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14．把一元二次方程2x2﹣8x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式是 （x﹣2）2＝． ．【分析】方程移项变形后，配方即可得到结果．【解答】解：方程整理得：x2﹣4x＝，配方得：x2﹣4x+4＝，即（x﹣2）2＝．故答案为：（x﹣2）2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2+4＝0有实数根，则a的取值范围是 a≤﹣ ．【分析】根据题意得：根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2+4＝0有实数根，∴Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2﹣16＞0，解得：a≤﹣．故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据方程根的情况知根的判别式Δ＜0，找出关于a的一元一次不等式是解题的关键．16．关于x的方程（a2﹣4）x2﹣（a+2）x+3＝0的一个根，则a ≠±2 时是一元二次方程．【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可．【解答】解：∵关于x的方程（a2﹣4）x2﹣（a+2）x+3＝0是一元二次方程，∴a2﹣4≠0，解得a≠±2．故答案为：≠±2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．17．在实数范围内因式分解：x2﹣3＝ （x+）（x﹣） ，3x2﹣5x+2＝ （3x﹣2）（x﹣1） ．【分析】第一个用平方差公式分解，第二个用十字相乘法分解．【解答】解：x2﹣3＝x2﹣＝（x+）（x﹣）；3x2﹣5x+2＝（3x﹣2）（x﹣1）．故答案为：（x+）（x﹣）；（3x﹣2）（x﹣1）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握公式法和十字相乘法是解决本题的关键．18．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）＝0的一个根是0，则m的值是 ﹣3 ．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）＝0，得m2﹣9＝0，解得：m＝±3，∵m﹣3≠0，∴m＝﹣3，故答案是：﹣3．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解，注意方程有意义，其二次项系数不能为0．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后利用分式的混合运算化简即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣+﹣2＝﹣；（2）原式＝3××＝2×＝2×＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则解决问题的关键．20．解方程：（1）（x+3）2＝1；（2）（x+3）（x﹣5）＝1；（3）x（x﹣6）＝2（x﹣8）．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）整理后，利用配方法求解即可；（3）整理后，利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）（x+3）2＝1，（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x1＝﹣1，x2＝﹣5；（2）（x+3）（x﹣5）＝1，x2﹣2x＝16，x2﹣2x+1＝16+1，即（x﹣1）2＝17，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x（x﹣6）＝2（x﹣8），x2﹣8x+16＝0，（x﹣4）2＝0，∴x﹣4＝0，∴x1＝x2＝4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键．21．先化简，再求值﹣，其中a＝2﹣．【分析】先将原式中能进行因式分解的分子，分母进行因式分解，然后通分，再计算，最后代入求值．【解答】解：原式＝＝a+1﹣＝＝＝，当a＝2﹣时，原式＝＝＝＝＝4．【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的分母有理化计算，掌握通分及约分的技巧以及完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．22．自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率．【分析】设这几周工作时间的增长率为x，利用第三周教师周工作时间＝第一周教师周工作时间×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出这几周工作时间的增长率为10%．【解答】解：设这几周工作时间的增长率为x，依题意得：40（1+x）2＝48.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：这几周工作时间的增长率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？【分析】设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间为x分钟，横行的时间为（8﹣2x）分钟，根据面积为72m2，列出方程即可解决问题．【解答】解：设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间为x分钟，横行的时间为（8﹣2x）分钟，根据题意得：3x×4（8﹣2x）＝72，解得x＝1或x＝3，当x＝1时，机器人走的路程为：2×3×3+4×（8﹣2×1）＝30（米）；当x＝3时，机器人走的路程为：2×3×3+4×（8﹣2×3）＝26（米），∵26＜30，∴取x＝3，从而8﹣2x＝2，∴安排上、下行和横行的时间分别为3分钟，3分钟，2分钟．【点评】本题主要考查了矩形的面积，一元二次方程的应用，读懂题意，设出合适的未知数列出方程是解题的关键，注意对答案的取舍．24．如图，四边形ABCD中，BC＝CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，求证：AB＝AD．【分析】连接AC，利用HL得出Rt△ADC与Rt△ABC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：连接AC，∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，在Rt△ADC与Rt△ABC中，，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），∴AB＝AD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用HL得出Rt△ADC与Rt△ABC全等解答．25．如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝BAC．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）过B作BE平分∠ABC交AC于E，过点E作EF∥AD交BC于点F，若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．【分析】（1）由三角形的内角和可得∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠B+∠BAC+∠C＝180°，从而可证得∠BAD＝∠C；（2）作出相应的图形，由三角形的内角和可求得∠ABC＝50°，再由角平分线的定义可得∠EBF＝25°，由平行线的性质可得∠BFE＝∠ADB＝110°，再次利用三角形的内角和可求∠BEF的度数．【解答】（1）证明：在△ABD和△ABC中，∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠B+∠BAC+∠C＝180°，∵∠ADB＝∠BAC，∴∠BAD＝∠C；（2）解：如图所示：∵∠C＝20°，∠BAC＝110°，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝50°，∠ADB＝110°，∵BE平分∠ABC交AC于E，∴∠EBF＝25°，∵EF∥AD，∴∠BFE＝∠ADB＝110°，在△BEF中，∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠BFE＝45°．【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．26．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝ 6 时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化，当t＝ 2 时，△AMN是等边三角形；（3）当点M、N运动到BC边上时，若存在以MN为底边的等腰△AMN，则t＝ 8 ．【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+6＝2x，解得：x＝6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M，故答案为：6；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图2，由题意，AM＝t，AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形∴t＝6﹣2t，解得t＝2，∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．故答案为：2；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图3，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．故答案为：8．【点评】此题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
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