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沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第16章二次根式(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)
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第16章 二次根式（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）若，则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．x< 3．（2022·上海·八年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．二、填空题4．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）二次根式有意义，则的取值范围是__________5．（2021·上海杨浦·八年级期中）计算：＝___（计算结果保留π）．6．（2021·上海杨浦·八年级期中）的一个有理化因式是 ___．7．（2021·上海市罗星中学八年级期中）已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为______________．8．（2021·上海市莘光学校八年级期中）的有理化因式可以是 ___．9．（2021·上海浦东新·八年级期末）计算：（）2+1=___．10．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）的有理化因式是 ___．11．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）计算：＝___；12．（2022·上海·八年级开学考试）化简：______.13．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）化简__________．14．（2022·上海浦东新·八年级期末）计算：________．三、解答题15．（2021·上海浦东新·八年级期中）计算：﹣÷（2）16．（2021·上海·八年级期中）计算：17．（2021·上海市建平中学西校八年级阶段练习）计算：．18．（2021·上海浦东新·八年级期中）计算：【常考】一．选择题（共3小题）1．（2021秋•浦东新区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．2．（2020秋•长宁区期末）如x为实数，在“（﹣1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+”、“﹣”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则x不可能是（ ）A．﹣1 B．+1 C．3 D．1﹣3．（2020秋•上海期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）4．（2021秋•浦东新区期末）计算：＝ ．5．（2021秋•松江区期末）不等式的解集是 ．6．（2021秋•松江区期末）化简：＝ ．7．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．8．（2020秋•静安区期末）计算：＝ ．9．（2021秋•普陀区期中）化简：＝ ．三．解答题（共2小题）10．（2021秋•普陀区校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+11．（2021秋•浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．【易错】一．选择题（共2小题）1．（2021秋•徐汇区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．2．（2021秋•徐汇区校级期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．二．填空题（共11小题）3．（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内： ．4．（2020秋•闵行区期末）化简＝ ．5．（2021秋•杨浦区期中）﹣的一个有理化因式是 ．6．（2021秋•宝山区校级期中）最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 ．7．（2021秋•黄浦区期中）化简：＝ ．8．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是 ．9．（2021秋•闵行区校级期中）+2的有理化因式可以是 ．10．（2021秋•浦东新区校级月考）化简：＝ ．11．（2021秋•浦东新区校级月考）若实数a满足|5﹣a|+＝a，则a的值为 ．12．（2021秋•宝山区校级月考）化简：＝ ．13．（2021秋•浦东新区校级月考）若0＜x＜1，化简＝ ．三．解答题（共4小题）14．（2021秋•浦东新区校级期中）解关于x的不等式：2x＞x+4．15．（2021秋•浦东新区期中）计算：+6﹣（）．16．（2021秋•浦东新区期中）计算：．17．（2021秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：[﹣﹣]÷（﹣）•（+），其中x＝3，y＝2．【压轴】一、单选题1．（2021·上海·八年级期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A． B． C． D．2．（2021·上海·八年级期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．A．5 B．4 C．3 D．23．（2021·上海·八年级期中）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（ ）A． B． C． D．4．（2021·上海·八年级期中）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）A． B． C． D．5．（2021·上海·八年级期中）关于代数式，有以下几种说法，①当时，则的值为-4.②若值为2，则.③若，则存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A．① B．①② C．①③ D．①②③6．（2021·上海·八年级期中）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是二、解答题7．（2022·上海·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简：．8．（2022·上海·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在中，已知，，，求的面积；（2）计算（1）中的边上的高．9．（2022·上海·八年级期末）阅读，并回答下列问题：公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值.（1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确.（2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值. 第16章 二次根式（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据最简二次根式的概念进行判断即可．【详解】是最简二次根式，不是最简二次根式，被开方数含分母，也不是嘴贱二次根式；故答案为：C【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）若，则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．x< 【答案】C【分析】由题意利用二次根式的性质，进而去绝对值讨论即可得出x的取值范围.【详解】解：∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．3．（2022·上海·八年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A、，与不是同类二次根式；B、，与不是同类二次根式；C、，与不是同类二次根式；D、，与是同类二次根式；故选：D．【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．二、填空题4．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）二次根式有意义，则的取值范围是__________【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．5．（2021·上海杨浦·八年级期中）计算：＝___（计算结果保留π）．【答案】【分析】利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．6．（2021·上海杨浦·八年级期中）的一个有理化因式是 ___．【答案】【分析】根据有理化因式的定义，即可求解．【详解】解：∵，∴的一个有理化因式是 ．故答案为：【点睛】本题主要考查了有理化因式的定义，熟练掌握有理化因式的概念：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式是解题的关键．7．（2021·上海市罗星中学八年级期中）已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为______________．【答案】【分析】先把x的值代入（x﹣2）2﹣x中，然后利用二次根式的性质计算．【详解】解：∵x＝2﹣，∴（x﹣2）2﹣x＝（2﹣﹣2）2﹣（2﹣）＝2﹣2＋＝．故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确进行计算．8．（2021·上海市莘光学校八年级期中）的有理化因式可以是 ___．【答案】【分析】利用平方差公式进行有理化即可得．【详解】解：因为，所以的有理化因式可以是，故答案为：．【点睛】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化的方法是解题关键．9．（2021·上海浦东新·八年级期末）计算：（）2+1=___．【答案】4【分析】先乘方，再加法．【详解】解：原式=3+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握()2=a（a0）是解决本题的关键．10．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）的有理化因式是 ___．【答案】【分析】根据有理化因式的定义（两个根式相乘的积不含根号）即可得答案．【详解】解：因为，所以的有理化因式是，故答案为：．【点睛】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化的方法是解题关键．11．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）计算：＝___；【答案】【分析】根据二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0）计算．【详解】解：原式==，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则，最后的化简是解题关键．12．（2022·上海·八年级开学考试）化简：______.【答案】【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】．故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．13．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）化简__________．【答案】-2x【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：，故答案为：-2x．【点睛】本题考查了二次根式的性质，要牢牢掌握，化简时注意符号．14．（2022·上海浦东新·八年级期末）计算：________．【答案】【分析】根据二次根式的性质，即可求解．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质，属于基础题，关键是掌握二次根式的算术平方根为非负数．三、解答题15．（2021·上海浦东新·八年级期中）计算：﹣÷（2）【答案】试题分析：按二次根式的乘除的运算法则计算即可.试题分析：原式====.16．（2021·上海·八年级期中）计算：【答案】【分析】利用和两个公式把每一项化简，再去括号合并同类二次根式即可.【详解】解：=====【点睛】此题考查的是二次根式的化简及二次根式的混合运算，掌握两个公式是解决此题的关键.17．（2021·上海市建平中学西校八年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】先算二次根式的乘法再化简即可．【详解】 【点睛】本题考查二次根式的乘法及二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的乘法及二次根式的性质和化简是解题关键．18．（2021·上海浦东新·八年级期中）计算：【答案】【分析】先进行通分，分母有理化，然后进行化简计算即可．【详解】解：．【点睛】题目主要考查了二次根式的混合运算，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，是解题关键．【常考】一．选择题（共3小题）1．（2021秋•浦东新区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】把各个选项化简，判断是否与是同类二次根式即可．【解答】解：A、＝＝，故选项错误；B、是最简二次根式，故选项错误；C、＝，故正确；D、＝，故选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查了同类二次根式的定义，正确对各个选项化简是关键．2．（2020秋•长宁区期末）如x为实数，在“（﹣1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+”、“﹣”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则x不可能是（ ）A．﹣1 B．+1 C．3 D．1﹣【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A、（﹣1）÷（﹣1）＝1，故不合题意；B、（﹣1）×（+1）＝2，故不合题意；C、（﹣1）与3无论运用哪种运算，无法得出有理数，故符合题意；D、（﹣1）÷（1﹣）＝﹣1，故不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2020秋•上海期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝2，故A不是最简二次根式．B、原式＝，故B不是最简二次根式．C、原式＝2，故C不是最简二次根式．D、是最简二次根式，故D是最简二次根式．故选：D．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的性质，本题属于基础题型．二．填空题（共6小题）4．（2021秋•浦东新区期末）计算：＝ ．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：＝3﹣．故答案为：3﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．5．（2021秋•松江区期末）不等式的解集是 ．【分析】利用不等式的基本性质，将不等式两边先移项再合并同类项，不等式两边同乘以（+）可系数为1．即可求出不等式的解集．【解答】解：移项、合并同类项得，（﹣）x＜1，不等式两边同乘以（+）得，x＜．【点评】解不等式应依据不等式的基本性质，确定未知数系数的有理化因式．6．（2021秋•松江区期末）化简：＝ ．【分析】在分子和分母中同时乘以即可化简．【解答】解：＝＝．故答案是：．【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．7．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．【解答】解：二次根式有意义，则9﹣3x≥0，故x的取值范围是x≤3．故答案为：x≤3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．8．（2020秋•静安区期末）计算：＝ ．【分析】判断1和的大小，根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵1＜，∴1﹣＜0，∴＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．9．（2021秋•普陀区期中）化简：＝ ．【分析】先根据二次根式的乘法得到原式＝＝×，然后根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：原式＝＝×＝3．故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了二次根式的乘法．三．解答题（共2小题）10．（2021秋•普陀区校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣c+a﹣b+c＝﹣b【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．11．（2021秋•浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．【解答】解：依题意得：x＝，则y＝，所以＝＝，＝＝2，所以﹣＝﹣＝﹣＝．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．【易错】一．选择题（共2小题）1．（2021秋•徐汇区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：A.＝，故A不符合题意；B.＝2，故B不符合题意；C.＝|x﹣1|，故C不符合题意；D.是最简二次根式，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2．（2021秋•徐汇区校级期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可．【解答】解：A.＝，故A不符合题意；B.＝2，故B不符合题意；C.是最简二次根式，故C符合题意；D.＝|x+3y|，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．二．填空题（共11小题）3．（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内： ．【分析】根据已知可得x＜0，所以把x转化为﹣（﹣x），然后再把（﹣x）的平方移到根号内，然后进行化简计算即可．【解答】解：由题意得：≥0，∴≤0，∵x≠0，∴＜0，∴x3＜0，∴x＜0，∴将＝﹣（﹣x）＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，确定根号外x的取值范围是解题的关键．4．（2020秋•闵行区期末）化简＝ ．【分析】根据二次根式有意义的条件判断x的取值范围，然后利用二次根式的性质进行化简．【解答】解：∵x＞0，∴3x＞0，∴＝＝3x．故答案为：3x．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，理解二次根式有意义的条件和二次根式的性质是解题的关键．5．（2021秋•杨浦区期中）﹣的一个有理化因式是 ．【分析】根据分母有理化是指把分母中的根号化去这一定义求得．【解答】解：∵（﹣）（+）＝2a﹣b，∴﹣的一个有理化因式是：（+）；故答案为：+（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了分母有理化，掌握分母有理化的定义，正确判断什么时候乘二次根式本身，什么时候与分母组成平方差公式是解题关键．6．（2021秋•宝山区校级期中）最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 ．【分析】根据同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同列方程，解出即可．【解答】解：∵最简二次根式3与是同类二次根式，∴2x﹣5＝7﹣x，解得x＝4；故答案为：4．【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，掌握同类二次根式的定义，根据定义列方程是解题关键．7．（2021秋•黄浦区期中）化简：＝ ．【分析】先写成绝对值的形式，再判断6﹣2π的大小，根据绝对值的性质求出结果．【解答】解：＝|6﹣2π|＝2π﹣6；故答案为：2π﹣6．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解决此题的关键．8．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是 ．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．【点评】本题考查二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，关键是注意到a≥0这个条件．9．（2021秋•闵行区校级期中）+2的有理化因式可以是 ．【分析】根据两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式这个定义求出结果．【解答】解：∵（+2）（﹣2）＝x﹣1+2＝x+1，∴（﹣2）是（+2）的有理化因式，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了分母有理化，掌握分母有理化定义，注意一个二次根式的有理化因式不止一个是解题关键．10．（2021秋•浦东新区校级月考）化简：＝ ．【分析】先化简二次根式，再根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．【解答】解：因为y＜0，所以|y|＝﹣y，原式＝|y|＝﹣y．故答案为：﹣y．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，根据负数的绝对值等于它的相反数是解答此题的关键．11．（2021秋•浦东新区校级月考）若实数a满足|5﹣a|+＝a，则a的值为 ．【分析】已知等式整理后，利用非负数的性质求出a的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：由a﹣6≥0，得到a≥6，即5﹣a＜0，已知等式整理得：a﹣5+＝a，即＝5，两边平方得：a﹣6＝25，解得：a＝31，故答案为：31．【点评】此题考查了实数的运算，以及算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．12．（2021秋•宝山区校级月考）化简：＝ ．【分析】依据二次根式的性质进行计算，即可得出结论．【解答】解：＝|﹣|＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．13．（2021秋•浦东新区校级月考）若0＜x＜1，化简＝ ．【分析】由，，又0＜x＜1，则有﹣x＞0，通过变形化简原式即可得出最终结果．【解答】解：原式＝﹣＝x+﹣（﹣x）＝2x．【点评】本题考查的是对完全平方公式的灵活使用和对二次根式的化简应用．三．解答题（共4小题）14．（2021秋•浦东新区校级期中）解关于x的不等式：2x＞x+4．【分析】根据移项，合并同类项，系数化为1，分母有理化可解答．【解答】解：2x＞x+4，移项得：2x﹣x＞4，整理得：（2﹣）x＞4，∵2﹣＜0，解得：x＜，分母有理化得：x＜，化简得：x＜﹣4﹣2．【点评】本题主要考查了一元一次不等式解的求法和二次根式的分母有理化，解不等式时要注意系数化为1时，利用不等式性质3时，两边同时除以负数不等号方向改变．15．（2021秋•浦东新区期中）计算：+6﹣（）．【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【解答】解：原式＝+2﹣（2﹣）＝+2﹣2+＝．【点评】本题主要考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法的运算法则，化简二次根式是解题关键．16．（2021秋•浦东新区期中）计算：．【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式＝3+3﹣2＝6﹣2．【点评】本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变，化简二次根式是解题关键．17．（2021秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：[﹣﹣]÷（﹣）•（+），其中x＝3，y＝2．【分析】根据二次根式的化简求值即可求解．【解答】解：原式＝（+）÷•（+）＝••（+）＝•（+）＝﹣当x＝3，y＝2时，原式＝﹣．答：原式的值为﹣．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是分母有理化．【压轴】一、单选题1．（2021·上海·八年级期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．【详解】解：a=2019×2021-2019×2020=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020=20202-1-20202+2020=2019；∵20222-4×2021=（2021+1）2-4×2021=20212+2×2021+1-4×2021=20212-2×2021+1=（2021-1）2=20202，∴b=2020；∵，∴c＞b＞a．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键．2．（2021·上海·八年级期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．【详解】解：解不等式得x＞m，解不等式得x＞2，∵不等式组解集为x＞2，∴m≤2，∵式子的值是整数，则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，由m≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m的个数是3个．故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．3．（2021·上海·八年级期中）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据公式解答即可．【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则其面积为故选：A．【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·上海·八年级期中）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a的小数部分为，∴b的小数部分为，∴，故选：B．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．5．（2021·上海·八年级期中）关于代数式，有以下几种说法，①当时，则的值为-4.②若值为2，则.③若，则存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】C【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．【详解】解：①当时，．故①正确；②若值为2，则，∴a2+2a+1=2a+4，∴a2=3，∴．故②错误；③若a＞-2，则a+2＞0，∴===≥0．∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．故③正确．综上，正确的有①③．故选：C．【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．6．（2021·上海·八年级期中）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是【答案】C【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数，∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．二、解答题7．（2022·上海·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简：．【答案】(1)，(2)28或12，(3)【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．(1)∵，∴，∴．故答案为：，；(2)∵，∴，6=2mn，∴mn=3．∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3或m=3，n=1．当m=1，n=3时，；当m=3，n=1时，．∴a的值为28或12；(3)令，则∴．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．8．（2022·上海·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在中，已知，，，求的面积；（2）计算（1）中的边上的高．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．【详解】解：（1），所以，答：的面积是．（2）边上的高，答：边的高是．故答案为（1）；（2）．【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．9．（2022·上海·八年级期末）阅读，并回答下列问题：公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值.（1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确.（2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值.【答案】（1）；（2）或 ；或【分析】根据近似公式计算出近似值的过程和方法计算的近似值和确定a和r的值.【详解】（1）根据近似公式可知：≈故答案为；（2）∵ ∴ ∴ ∴ 整理， 解得： 或 ∴或 故答案为或 ；或【点睛】本题考查二次根式的估算，审清题意，根据题目所给的近似公式计算是解题关键.
第16章 二次根式（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）若，则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．x< 3．（2022·上海·八年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．二、填空题4．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）二次根式有意义，则的取值范围是__________5．（2021·上海杨浦·八年级期中）计算：＝___（计算结果保留π）．6．（2021·上海杨浦·八年级期中）的一个有理化因式是 ___．7．（2021·上海市罗星中学八年级期中）已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为______________．8．（2021·上海市莘光学校八年级期中）的有理化因式可以是 ___．9．（2021·上海浦东新·八年级期末）计算：（）2+1=___．10．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）的有理化因式是 ___．11．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）计算：＝___；12．（2022·上海·八年级开学考试）化简：______.13．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）化简__________．14．（2022·上海浦东新·八年级期末）计算：________．三、解答题15．（2021·上海浦东新·八年级期中）计算：﹣÷（2）16．（2021·上海·八年级期中）计算：17．（2021·上海市建平中学西校八年级阶段练习）计算：．18．（2021·上海浦东新·八年级期中）计算：【常考】一．选择题（共3小题）1．（2021秋•浦东新区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．2．（2020秋•长宁区期末）如x为实数，在“（﹣1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+”、“﹣”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则x不可能是（ ）A．﹣1 B．+1 C．3 D．1﹣3．（2020秋•上海期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）4．（2021秋•浦东新区期末）计算：＝ ．5．（2021秋•松江区期末）不等式的解集是 ．6．（2021秋•松江区期末）化简：＝ ．7．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．8．（2020秋•静安区期末）计算：＝ ．9．（2021秋•普陀区期中）化简：＝ ．三．解答题（共2小题）10．（2021秋•普陀区校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+11．（2021秋•浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．【易错】一．选择题（共2小题）1．（2021秋•徐汇区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．2．（2021秋•徐汇区校级期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．二．填空题（共11小题）3．（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内： ．4．（2020秋•闵行区期末）化简＝ ．5．（2021秋•杨浦区期中）﹣的一个有理化因式是 ．6．（2021秋•宝山区校级期中）最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 ．7．（2021秋•黄浦区期中）化简：＝ ．8．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是 ．9．（2021秋•闵行区校级期中）+2的有理化因式可以是 ．10．（2021秋•浦东新区校级月考）化简：＝ ．11．（2021秋•浦东新区校级月考）若实数a满足|5﹣a|+＝a，则a的值为 ．12．（2021秋•宝山区校级月考）化简：＝ ．13．（2021秋•浦东新区校级月考）若0＜x＜1，化简＝ ．三．解答题（共4小题）14．（2021秋•浦东新区校级期中）解关于x的不等式：2x＞x+4．15．（2021秋•浦东新区期中）计算：+6﹣（）．16．（2021秋•浦东新区期中）计算：．17．（2021秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：[﹣﹣]÷（﹣）•（+），其中x＝3，y＝2．【压轴】一、单选题1．（2021·上海·八年级期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A． B． C． D．2．（2021·上海·八年级期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．A．5 B．4 C．3 D．23．（2021·上海·八年级期中）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（ ）A． B． C． D．4．（2021·上海·八年级期中）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）A． B． C． D．5．（2021·上海·八年级期中）关于代数式，有以下几种说法，①当时，则的值为-4.②若值为2，则.③若，则存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A．① B．①② C．①③ D．①②③6．（2021·上海·八年级期中）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是二、解答题7．（2022·上海·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简：．8．（2022·上海·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在中，已知，，，求的面积；（2）计算（1）中的边上的高．9．（2022·上海·八年级期末）阅读，并回答下列问题：公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值.（1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确.（2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值. 第16章 二次根式（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据最简二次根式的概念进行判断即可．【详解】是最简二次根式，不是最简二次根式，被开方数含分母，也不是嘴贱二次根式；故答案为：C【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）若，则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．x< 【答案】C【分析】由题意利用二次根式的性质，进而去绝对值讨论即可得出x的取值范围.【详解】解：∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．3．（2022·上海·八年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A、，与不是同类二次根式；B、，与不是同类二次根式；C、，与不是同类二次根式；D、，与是同类二次根式；故选：D．【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．二、填空题4．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）二次根式有意义，则的取值范围是__________【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．5．（2021·上海杨浦·八年级期中）计算：＝___（计算结果保留π）．【答案】【分析】利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．6．（2021·上海杨浦·八年级期中）的一个有理化因式是 ___．【答案】【分析】根据有理化因式的定义，即可求解．【详解】解：∵，∴的一个有理化因式是 ．故答案为：【点睛】本题主要考查了有理化因式的定义，熟练掌握有理化因式的概念：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式是解题的关键．7．（2021·上海市罗星中学八年级期中）已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为______________．【答案】【分析】先把x的值代入（x﹣2）2﹣x中，然后利用二次根式的性质计算．【详解】解：∵x＝2﹣，∴（x﹣2）2﹣x＝（2﹣﹣2）2﹣（2﹣）＝2﹣2＋＝．故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确进行计算．8．（2021·上海市莘光学校八年级期中）的有理化因式可以是 ___．【答案】【分析】利用平方差公式进行有理化即可得．【详解】解：因为，所以的有理化因式可以是，故答案为：．【点睛】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化的方法是解题关键．9．（2021·上海浦东新·八年级期末）计算：（）2+1=___．【答案】4【分析】先乘方，再加法．【详解】解：原式=3+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握()2=a（a0）是解决本题的关键．10．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）的有理化因式是 ___．【答案】【分析】根据有理化因式的定义（两个根式相乘的积不含根号）即可得答案．【详解】解：因为，所以的有理化因式是，故答案为：．【点睛】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化的方法是解题关键．11．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）计算：＝___；【答案】【分析】根据二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0）计算．【详解】解：原式==，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则，最后的化简是解题关键．12．（2022·上海·八年级开学考试）化简：______.【答案】【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】．故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．13．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）化简__________．【答案】-2x【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：，故答案为：-2x．【点睛】本题考查了二次根式的性质，要牢牢掌握，化简时注意符号．14．（2022·上海浦东新·八年级期末）计算：________．【答案】【分析】根据二次根式的性质，即可求解．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质，属于基础题，关键是掌握二次根式的算术平方根为非负数．三、解答题15．（2021·上海浦东新·八年级期中）计算：﹣÷（2）【答案】试题分析：按二次根式的乘除的运算法则计算即可.试题分析：原式====.16．（2021·上海·八年级期中）计算：【答案】【分析】利用和两个公式把每一项化简，再去括号合并同类二次根式即可.【详解】解：=====【点睛】此题考查的是二次根式的化简及二次根式的混合运算，掌握两个公式是解决此题的关键.17．（2021·上海市建平中学西校八年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】先算二次根式的乘法再化简即可．【详解】 【点睛】本题考查二次根式的乘法及二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的乘法及二次根式的性质和化简是解题关键．18．（2021·上海浦东新·八年级期中）计算：【答案】【分析】先进行通分，分母有理化，然后进行化简计算即可．【详解】解：．【点睛】题目主要考查了二次根式的混合运算，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，是解题关键．【常考】一．选择题（共3小题）1．（2021秋•浦东新区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】把各个选项化简，判断是否与是同类二次根式即可．【解答】解：A、＝＝，故选项错误；B、是最简二次根式，故选项错误；C、＝，故正确；D、＝，故选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查了同类二次根式的定义，正确对各个选项化简是关键．2．（2020秋•长宁区期末）如x为实数，在“（﹣1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+”、“﹣”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则x不可能是（ ）A．﹣1 B．+1 C．3 D．1﹣【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A、（﹣1）÷（﹣1）＝1，故不合题意；B、（﹣1）×（+1）＝2，故不合题意；C、（﹣1）与3无论运用哪种运算，无法得出有理数，故符合题意；D、（﹣1）÷（1﹣）＝﹣1，故不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2020秋•上海期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝2，故A不是最简二次根式．B、原式＝，故B不是最简二次根式．C、原式＝2，故C不是最简二次根式．D、是最简二次根式，故D是最简二次根式．故选：D．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的性质，本题属于基础题型．二．填空题（共6小题）4．（2021秋•浦东新区期末）计算：＝ ．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：＝3﹣．故答案为：3﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．5．（2021秋•松江区期末）不等式的解集是 ．【分析】利用不等式的基本性质，将不等式两边先移项再合并同类项，不等式两边同乘以（+）可系数为1．即可求出不等式的解集．【解答】解：移项、合并同类项得，（﹣）x＜1，不等式两边同乘以（+）得，x＜．【点评】解不等式应依据不等式的基本性质，确定未知数系数的有理化因式．6．（2021秋•松江区期末）化简：＝ ．【分析】在分子和分母中同时乘以即可化简．【解答】解：＝＝．故答案是：．【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．7．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．【解答】解：二次根式有意义，则9﹣3x≥0，故x的取值范围是x≤3．故答案为：x≤3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．8．（2020秋•静安区期末）计算：＝ ．【分析】判断1和的大小，根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵1＜，∴1﹣＜0，∴＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．9．（2021秋•普陀区期中）化简：＝ ．【分析】先根据二次根式的乘法得到原式＝＝×，然后根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：原式＝＝×＝3．故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了二次根式的乘法．三．解答题（共2小题）10．（2021秋•普陀区校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣c+a﹣b+c＝﹣b【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．11．（2021秋•浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．【解答】解：依题意得：x＝，则y＝，所以＝＝，＝＝2，所以﹣＝﹣＝﹣＝．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．【易错】一．选择题（共2小题）1．（2021秋•徐汇区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：A.＝，故A不符合题意；B.＝2，故B不符合题意；C.＝|x﹣1|，故C不符合题意；D.是最简二次根式，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2．（2021秋•徐汇区校级期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可．【解答】解：A.＝，故A不符合题意；B.＝2，故B不符合题意；C.是最简二次根式，故C符合题意；D.＝|x+3y|，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．二．填空题（共11小题）3．（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内： ．【分析】根据已知可得x＜0，所以把x转化为﹣（﹣x），然后再把（﹣x）的平方移到根号内，然后进行化简计算即可．【解答】解：由题意得：≥0，∴≤0，∵x≠0，∴＜0，∴x3＜0，∴x＜0，∴将＝﹣（﹣x）＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，确定根号外x的取值范围是解题的关键．4．（2020秋•闵行区期末）化简＝ ．【分析】根据二次根式有意义的条件判断x的取值范围，然后利用二次根式的性质进行化简．【解答】解：∵x＞0，∴3x＞0，∴＝＝3x．故答案为：3x．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，理解二次根式有意义的条件和二次根式的性质是解题的关键．5．（2021秋•杨浦区期中）﹣的一个有理化因式是 ．【分析】根据分母有理化是指把分母中的根号化去这一定义求得．【解答】解：∵（﹣）（+）＝2a﹣b，∴﹣的一个有理化因式是：（+）；故答案为：+（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了分母有理化，掌握分母有理化的定义，正确判断什么时候乘二次根式本身，什么时候与分母组成平方差公式是解题关键．6．（2021秋•宝山区校级期中）最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 ．【分析】根据同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同列方程，解出即可．【解答】解：∵最简二次根式3与是同类二次根式，∴2x﹣5＝7﹣x，解得x＝4；故答案为：4．【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，掌握同类二次根式的定义，根据定义列方程是解题关键．7．（2021秋•黄浦区期中）化简：＝ ．【分析】先写成绝对值的形式，再判断6﹣2π的大小，根据绝对值的性质求出结果．【解答】解：＝|6﹣2π|＝2π﹣6；故答案为：2π﹣6．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解决此题的关键．8．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是 ．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．【点评】本题考查二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，关键是注意到a≥0这个条件．9．（2021秋•闵行区校级期中）+2的有理化因式可以是 ．【分析】根据两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式这个定义求出结果．【解答】解：∵（+2）（﹣2）＝x﹣1+2＝x+1，∴（﹣2）是（+2）的有理化因式，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了分母有理化，掌握分母有理化定义，注意一个二次根式的有理化因式不止一个是解题关键．10．（2021秋•浦东新区校级月考）化简：＝ ．【分析】先化简二次根式，再根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．【解答】解：因为y＜0，所以|y|＝﹣y，原式＝|y|＝﹣y．故答案为：﹣y．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，根据负数的绝对值等于它的相反数是解答此题的关键．11．（2021秋•浦东新区校级月考）若实数a满足|5﹣a|+＝a，则a的值为 ．【分析】已知等式整理后，利用非负数的性质求出a的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：由a﹣6≥0，得到a≥6，即5﹣a＜0，已知等式整理得：a﹣5+＝a，即＝5，两边平方得：a﹣6＝25，解得：a＝31，故答案为：31．【点评】此题考查了实数的运算，以及算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．12．（2021秋•宝山区校级月考）化简：＝ ．【分析】依据二次根式的性质进行计算，即可得出结论．【解答】解：＝|﹣|＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．13．（2021秋•浦东新区校级月考）若0＜x＜1，化简＝ ．【分析】由，，又0＜x＜1，则有﹣x＞0，通过变形化简原式即可得出最终结果．【解答】解：原式＝﹣＝x+﹣（﹣x）＝2x．【点评】本题考查的是对完全平方公式的灵活使用和对二次根式的化简应用．三．解答题（共4小题）14．（2021秋•浦东新区校级期中）解关于x的不等式：2x＞x+4．【分析】根据移项，合并同类项，系数化为1，分母有理化可解答．【解答】解：2x＞x+4，移项得：2x﹣x＞4，整理得：（2﹣）x＞4，∵2﹣＜0，解得：x＜，分母有理化得：x＜，化简得：x＜﹣4﹣2．【点评】本题主要考查了一元一次不等式解的求法和二次根式的分母有理化，解不等式时要注意系数化为1时，利用不等式性质3时，两边同时除以负数不等号方向改变．15．（2021秋•浦东新区期中）计算：+6﹣（）．【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【解答】解：原式＝+2﹣（2﹣）＝+2﹣2+＝．【点评】本题主要考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法的运算法则，化简二次根式是解题关键．16．（2021秋•浦东新区期中）计算：．【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式＝3+3﹣2＝6﹣2．【点评】本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变，化简二次根式是解题关键．17．（2021秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：[﹣﹣]÷（﹣）•（+），其中x＝3，y＝2．【分析】根据二次根式的化简求值即可求解．【解答】解：原式＝（+）÷•（+）＝••（+）＝•（+）＝﹣当x＝3，y＝2时，原式＝﹣．答：原式的值为﹣．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是分母有理化．【压轴】一、单选题1．（2021·上海·八年级期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．【详解】解：a=2019×2021-2019×2020=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020=20202-1-20202+2020=2019；∵20222-4×2021=（2021+1）2-4×2021=20212+2×2021+1-4×2021=20212-2×2021+1=（2021-1）2=20202，∴b=2020；∵，∴c＞b＞a．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键．2．（2021·上海·八年级期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．【详解】解：解不等式得x＞m，解不等式得x＞2，∵不等式组解集为x＞2，∴m≤2，∵式子的值是整数，则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，由m≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m的个数是3个．故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．3．（2021·上海·八年级期中）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据公式解答即可．【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则其面积为故选：A．【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·上海·八年级期中）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a的小数部分为，∴b的小数部分为，∴，故选：B．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．5．（2021·上海·八年级期中）关于代数式，有以下几种说法，①当时，则的值为-4.②若值为2，则.③若，则存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】C【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．【详解】解：①当时，．故①正确；②若值为2，则，∴a2+2a+1=2a+4，∴a2=3，∴．故②错误；③若a＞-2，则a+2＞0，∴===≥0．∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．故③正确．综上，正确的有①③．故选：C．【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．6．（2021·上海·八年级期中）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是【答案】C【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数，∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．二、解答题7．（2022·上海·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简：．【答案】(1)，(2)28或12，(3)【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．(1)∵，∴，∴．故答案为：，；(2)∵，∴，6=2mn，∴mn=3．∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3或m=3，n=1．当m=1，n=3时，；当m=3，n=1时，．∴a的值为28或12；(3)令，则∴．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．8．（2022·上海·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在中，已知，，，求的面积；（2）计算（1）中的边上的高．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．【详解】解：（1），所以，答：的面积是．（2）边上的高，答：边的高是．故答案为（1）；（2）．【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．9．（2022·上海·八年级期末）阅读，并回答下列问题：公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值.（1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确.（2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值.【答案】（1）；（2）或 ；或【分析】根据近似公式计算出近似值的过程和方法计算的近似值和确定a和r的值.【详解】（1）根据近似公式可知：≈故答案为；（2）∵ ∴ ∴ ∴ 整理， 解得： 或 ∴或 故答案为或 ；或【点睛】本题考查二次根式的估算，审清题意，根据题目所给的近似公式计算是解题关键.
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