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初中数学湘教版（2024）八年级上册2.2 命题与证明教学ppt课件
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这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册2.2 命题与证明教学ppt课件，文件包含223命题的证明pptx、八上第二单元大单元设计doc、223命题的证明docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共26页， 欢迎下载使用。
1.了解证明的基本步骤，包括明确命题、分析条件、推导结论等。2.掌握直接证明法和反证法等常用的证明方法，并能根据题目要求选择合适的证明方法进行解题。3.通过分析和讨论不同的证明方法，学生能够理解逻辑推理的多样性和灵活性。4.强调证明的必要性和重要性，使学生认识到数学证明在科学研究中的价值。5.鼓励学生积极参与课堂讨论和活动，增强他们的学习动力和自信心。
成语故事——自相矛盾楚国有个卖盾和卖矛的人，夸耀他的盾很坚固，没有什么东西能刺穿它。又夸耀他的矛很锋利，没有穿不透的东西。有人就问，有他的矛去刺他的盾，将会有什么样的结果。他回答不上来了。思考：这个故事蕴含了什么道理？这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其词。在数学中，常常借鉴这种“以子之矛攻子之盾”的做法来证明数学题。
一、简单几何命题的证明
采用剪拼或度量的方法， 猜测 “三角形的外角和” 等于多少度？
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°（如图）。 采用剪拼或度量的方法可能接近360°， 但不能很准确地都得到360°
真命题不能靠猜测，所以如何判断其为真命题？
通过推理的方法加以证明
运用定义、 基本事实以及已经证明了的定理和推论
证明命题 “三角形的外角和为360°” 是真命题。
已知： 如图， ∠BAF， ∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.求证： ∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.证明 :∵ ∠BAF=∠2+∠3， ∠CBD=∠1+∠3， ∠ACE=∠1+∠2 （三角形外角定理），∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3） （等式的性质）. ∵ ∠1+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理），∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
证明与图形有关的命题时， 一般有以下步骤：
根据命题的条件和结论， 结合图形
通过分析， 找出证明的途径
例1已知： 如图， 在△ABC中， ∠B=∠C， 点Ｄ在线段BA的延长线上， 射线AE平分∠ＤＡＣ.求证： AE∥BC.证明 ∵ ∠DAC=∠B+∠C （三角形外角定理），∠B＝∠C （已知），∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）.又∵ AE平分∠DAC（已知），∴ ∠DAC=2∠DAE （角平分线的定义）. ∴ ∠DAE＝∠B （等量代换）. ∴ AE∥BC （同位角相等， 两直线平行）
例2 已知： ∠A， ∠B， ∠C是△ABC的内角.求证： ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.分析 这个命题的结论是 “至少有一个”， 也就是说可能出现 “有一个”、“有两个”、 “有三个” 这三种情况. 如果直接来证明， 将很繁琐， 因此， 我们将从另外一个角度来证明。
例2 已知： ∠A， ∠B， ∠C是△ABC的内角.求证： ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.证明： 假设∠A， ∠B， ∠C中没有一个角大于或等于60°，即 ∠A＜60°， ∠B＜60°， ∠C＜60°，则 ∠A+∠B+∠C＜180°.这与 “三角形的内角和等于180°” 矛盾， 所以假设不正确.因此， ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°
当直接证明一个命题为真有困难时， 可以先假设命题不成立， 然后利用命题的条件或有关的结论， 通过推理导出矛盾， 从而得出假设不成立， 即所证明的命题正确， 这种证明方法称为反证法.反证法是一种间接证明的方法， 其基本的思路可归结为 “否定结论， 导出矛盾， 肯定结论”.
用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角小于45°”时，应假设_______直角三角形的每个锐角都小于45°
1.下列说法:①命题“三角形任意两边之和大于第三边”的逆命题是真命题;②三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三角形三个顶点的距离相等;③用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，其中正确的有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【知识技能类作业】必做题：
2.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）A.有两个角是直角B.有两个角是钝角C.有两个角是锐角D.有一个角是钝角
3下列推理正确的是（ ）A.弟弟今年 13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁B.如果 a>b，b>c，那么 a>cC.∠A 与∠B 相等，原因是它们看起来大小差不多D.因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
【知识技能类作业】选做题：
4.用反证法证明:“三角形中最多有一个钝角"时，首先应先假设这个三角形中________________
5.小明在解答“已知△ABC中，AB=AC，求证∠B<90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤:(1)所以∠B+∠C+∠A>180°，这与三角形内角和定理相矛盾.(2)所以∠B<90°.(3)假设∠B≥90°(4)那么，由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°请你写出这四个步骤正确的顺序____________________
（3）（4）（1）（2）
6.用反证法证明：如图，在同一平面内，已知AB⊥l于点F，CD与l斜交于点E.求证：AB与CD必相交．证明：假设AB与CD不相交，则AB∥CD.∵AB⊥l，∴CD⊥l.这与直线CD与l斜交矛盾．∴假设AB与CD不相交不成立，∴AB与CD必相交
1.简单几何命题的证明：通过推理的方法加以证明2.反证法：可以先假设命题不成立， 然后利用命题的条件或有关的结论， 通过推理导出矛盾， 从而得出假设不成立， 即所证明的命题正确， 这种证明方法称为反证法.
1.如图 ，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）A.当∠1=∠2 时，一定有 a∥bB.当 a∥b时，一定有∠1=∠2 C.当 a∥b时，一定有∠1+∠2=90° D.当 ∠1+∠2=90° 时，一定有a∥b
2.用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（ ）A. a≤bB. a≠bC. a3.下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ）A.两个角分别为13°，45°B.两个角分别为45°，55°C.两个角分别为40°，45°D.两个角分别为105°，45°
4.根据条件∠1与∠2互余，∠2与∠3 互补，可以推理得出∠1与∠3的关系是（ ）A.∠1=∠3B.∠1与∠3 互余C.∠1与∠3 互补D.∠3-∠1=90°
5.如图,①AB ∥CD,②∠B=∠C, ③∠E=∠F,请你以其中两个作为题设,另一个作为结论构造命题.(1)你构造的是哪几个命题?解：（1）可构造如下几3个命题:a.如果AB//CD,∠B=∠C,那么∠E=∠Fb.如果AB//CD.∠E=∠F.那么∠B=∠Cc.如果∠B=∠C,∠E=∠F,那么 AB∥CD
5.(2)你构造的命题是真命题还是假命题?若是真命题,请用推理的方法说明理由.若是假命题,请举出反例(说明其中的一个命题即可).上述三个命题均为真命题证明：命题1如下∵AB∥CD ∴∠B=∠CDF ∵∠B=∠C ∴∠CDF=∠C ∴AC∥BD ∴∠E=∠F
1.了解证明的基本步骤，包括明确命题、分析条件、推导结论等。2.掌握直接证明法和反证法等常用的证明方法，并能根据题目要求选择合适的证明方法进行解题。3.通过分析和讨论不同的证明方法，学生能够理解逻辑推理的多样性和灵活性。4.强调证明的必要性和重要性，使学生认识到数学证明在科学研究中的价值。5.鼓励学生积极参与课堂讨论和活动，增强他们的学习动力和自信心。
成语故事——自相矛盾楚国有个卖盾和卖矛的人，夸耀他的盾很坚固，没有什么东西能刺穿它。又夸耀他的矛很锋利，没有穿不透的东西。有人就问，有他的矛去刺他的盾，将会有什么样的结果。他回答不上来了。思考：这个故事蕴含了什么道理？这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其词。在数学中，常常借鉴这种“以子之矛攻子之盾”的做法来证明数学题。
一、简单几何命题的证明
采用剪拼或度量的方法， 猜测 “三角形的外角和” 等于多少度？
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°（如图）。 采用剪拼或度量的方法可能接近360°， 但不能很准确地都得到360°
真命题不能靠猜测，所以如何判断其为真命题？
通过推理的方法加以证明
运用定义、 基本事实以及已经证明了的定理和推论
证明命题 “三角形的外角和为360°” 是真命题。
已知： 如图， ∠BAF， ∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.求证： ∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.证明 :∵ ∠BAF=∠2+∠3， ∠CBD=∠1+∠3， ∠ACE=∠1+∠2 （三角形外角定理），∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3） （等式的性质）. ∵ ∠1+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理），∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
证明与图形有关的命题时， 一般有以下步骤：
根据命题的条件和结论， 结合图形
通过分析， 找出证明的途径
例1已知： 如图， 在△ABC中， ∠B=∠C， 点Ｄ在线段BA的延长线上， 射线AE平分∠ＤＡＣ.求证： AE∥BC.证明 ∵ ∠DAC=∠B+∠C （三角形外角定理），∠B＝∠C （已知），∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）.又∵ AE平分∠DAC（已知），∴ ∠DAC=2∠DAE （角平分线的定义）. ∴ ∠DAE＝∠B （等量代换）. ∴ AE∥BC （同位角相等， 两直线平行）
例2 已知： ∠A， ∠B， ∠C是△ABC的内角.求证： ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.分析 这个命题的结论是 “至少有一个”， 也就是说可能出现 “有一个”、“有两个”、 “有三个” 这三种情况. 如果直接来证明， 将很繁琐， 因此， 我们将从另外一个角度来证明。
例2 已知： ∠A， ∠B， ∠C是△ABC的内角.求证： ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.证明： 假设∠A， ∠B， ∠C中没有一个角大于或等于60°，即 ∠A＜60°， ∠B＜60°， ∠C＜60°，则 ∠A+∠B+∠C＜180°.这与 “三角形的内角和等于180°” 矛盾， 所以假设不正确.因此， ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°
当直接证明一个命题为真有困难时， 可以先假设命题不成立， 然后利用命题的条件或有关的结论， 通过推理导出矛盾， 从而得出假设不成立， 即所证明的命题正确， 这种证明方法称为反证法.反证法是一种间接证明的方法， 其基本的思路可归结为 “否定结论， 导出矛盾， 肯定结论”.
用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角小于45°”时，应假设_______直角三角形的每个锐角都小于45°
1.下列说法:①命题“三角形任意两边之和大于第三边”的逆命题是真命题;②三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三角形三个顶点的距离相等;③用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，其中正确的有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【知识技能类作业】必做题：
2.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）A.有两个角是直角B.有两个角是钝角C.有两个角是锐角D.有一个角是钝角
3下列推理正确的是（ ）A.弟弟今年 13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁B.如果 a>b，b>c，那么 a>cC.∠A 与∠B 相等，原因是它们看起来大小差不多D.因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
【知识技能类作业】选做题：
4.用反证法证明:“三角形中最多有一个钝角"时，首先应先假设这个三角形中________________
5.小明在解答“已知△ABC中，AB=AC，求证∠B<90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤:(1)所以∠B+∠C+∠A>180°，这与三角形内角和定理相矛盾.(2)所以∠B<90°.(3)假设∠B≥90°(4)那么，由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°请你写出这四个步骤正确的顺序____________________
（3）（4）（1）（2）
6.用反证法证明：如图，在同一平面内，已知AB⊥l于点F，CD与l斜交于点E.求证：AB与CD必相交．证明：假设AB与CD不相交，则AB∥CD.∵AB⊥l，∴CD⊥l.这与直线CD与l斜交矛盾．∴假设AB与CD不相交不成立，∴AB与CD必相交
1.简单几何命题的证明：通过推理的方法加以证明2.反证法：可以先假设命题不成立， 然后利用命题的条件或有关的结论， 通过推理导出矛盾， 从而得出假设不成立， 即所证明的命题正确， 这种证明方法称为反证法.
1.如图 ，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）A.当∠1=∠2 时，一定有 a∥bB.当 a∥b时，一定有∠1=∠2 C.当 a∥b时，一定有∠1+∠2=90° D.当 ∠1+∠2=90° 时，一定有a∥b
2.用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（ ）A. a≤bB. a≠bC. a
4.根据条件∠1与∠2互余，∠2与∠3 互补，可以推理得出∠1与∠3的关系是（ ）A.∠1=∠3B.∠1与∠3 互余C.∠1与∠3 互补D.∠3-∠1=90°
5.如图,①AB ∥CD,②∠B=∠C, ③∠E=∠F,请你以其中两个作为题设,另一个作为结论构造命题.(1)你构造的是哪几个命题?解：（1）可构造如下几3个命题:a.如果AB//CD,∠B=∠C,那么∠E=∠Fb.如果AB//CD.∠E=∠F.那么∠B=∠Cc.如果∠B=∠C,∠E=∠F,那么 AB∥CD
5.(2)你构造的命题是真命题还是假命题?若是真命题,请用推理的方法说明理由.若是假命题,请举出反例(说明其中的一个命题即可).上述三个命题均为真命题证明：命题1如下∵AB∥CD ∴∠B=∠CDF ∵∠B=∠C ∴∠CDF=∠C ∴AC∥BD ∴∠E=∠F
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