湘教版八年级上册2.2 命题与证明第3课时导学案及答案

这是一份湘教版八年级上册2.2 命题与证明第3课时导学案及答案，共5页。学案主要包含了合作探究，自主学习等内容，欢迎下载使用。

1．知道证明的含义及步骤，能用规范的语言进行证明．
2．会证明文字类证明题．
3．能利用反证法进行简单的证明．(重点)
知识模块一 探究对命题的证明的步骤
【合作探究】
1．教材P55做一做．
2．教材P56动脑筋．
(1)如图，△ABC的一边BC延长，则∠ACD叫作△ABC的一个__外角__，∠ACB是与它__相邻__的内角，∠A、∠B是与它__不相邻__的内角．
(2)三角形的一个外角等于__和它不相邻的两个内角的和__．
(3)与三角形的一个内角相邻的外角有__2__个，它们是一对__对顶角__．三角形的外角和等于__360°__．
【自主学习】
1．认真阅读教材P57例1.
2．已知，如图，AD是△ABD和△ACD的公共边．
求证：∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.
证明：延长AD于E.∵∠BDE＝∠B＋∠BAD，∠CDE＝∠C＋∠CAD.∴∠BDE＋∠CDE＝∠B＋∠C＋∠BAD＋∠CAD.而∠BDE＋∠CDE＝∠BDC.∠BAD＋∠CAD＝∠BAC.即∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.
知识模块二 探究反证法的步骤
【自主学习】
阅读教材P57例2，学习如何运用反证法．
【合作探究】
用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
已知：如图，在△ABC中，∠ABD是△ABC的一个外角．
求证：∠ABD＝∠A＋∠C.
证明：假设∠ABD≠∠A＋∠C.于是就有两种情况：
(1)∠ABD＞∠A＋∠C；
由邻补角的定义可知：∠ABD＋∠ABC＝180°，
则∠A＋∠C＋∠ABC＜180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以∠ABD＞∠A＋∠C不成立；
(2)∠ABD＜∠A＋∠C.
由邻补角的定义可知：∠ABD＋∠ABC＝180°，
则∠A＋∠C＋∠ABC＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以∠ABD＜∠A＋∠C不成立．
所以三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
证明：因为∠DAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，
所以∠DAC＝2∠B.
又因为AE平分∠DAC.
所以∠DAC＝2∠DAE.
所以∠DAE＝∠B.
所以AE∥BC.
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A＋∠B＋∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立．
因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
活动2 跟踪训练
1．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：∠P＝90°.
证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF＝eq \f(1,2)∠BEF，∠PFE＝eq \f(1,2)∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝eq \f(1,2)(∠BEF＋∠DFE)＝90°.∵∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°.∴∠P＝90°
2．用反证法证明：两条直线相交只有一个交点．
已知：如图两条相交直线a、b.
求证：a与b只有一个交点．
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A′，因为两点确定一条直线，即经过A和A′的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立．
所以a与b只有一个交点．
活动3 课堂小结
eq \x(\a\al(命题的,证明))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\x(直接证明)\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\x(\a\al(（画图）写出已知、,求证)),\x(写出证明过程))),\x(反证法)\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\x(反设结论),\x(推理),\x(导出矛盾),\x(证得结论)))))