初中数学湘教版八年级上册2.2 命题与证明同步训练题

2.2命题与证明同步练习湘教版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是   

A. 当时，一定有
B. 当时，一定有
C. 当时，一定有
D. 当时，一定有
 

2. 如图，已知，，，求证：现有下列步骤：

，．
 

那么能体现证明顺序的是   

A.  B.  C.  D.

3. 如图，下列条件能证明的是   

A.
B.
C.
D.
 

4. 下列句子：负数没有相反数是分式过点P作直线l的平行线两个单项式的和一定是多项式其中，命题有   

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

5. 下列命题中，是假命题的是

A. 两点之间，线段最短 B. 同旁内角都互补
C. 直角的补角仍然是直角 D. 对顶角相等

6. 对假命题“若，则”举反例，正确的反例是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7. 下列命题中，是假命题的是

A. 两点之间，线段最短 B. 同旁内角互补
C. 直角的补角仍然是直角 D. 垂线段最短

8. 下列命题中错误的命题有
   线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等；
   若两三角形关于直线L对称，则对应线段所在的直线必相交，且交点在对称轴上；
   顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；
   一腰和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等；
   有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

9. 对于下列命题：
   关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；
   等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；
   一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；
   如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．
   其中真命题的个数为

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

10. 能说明命题“对于任何实数x，二次根式都无意义”是假命题的反例为

A.  B.  C.  D.

11. 下列命题正确的是

A. 平行四边形的对角线互相垂直平分
B. 矩形的对角线互相垂直平分
C. 菱形的对角线互相平分且相等
D. 正方形的对角线互相垂直平分

12. 下列命题是真命题的个数有
    同位角相等．
    一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定．
    三角形的一个外角等于它的两个内角之和．
    立方根等于自身的数有1和0．
    过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 下列命题中：若，则；两直线平行，同位角相等：对顶角相等；内错角相等，两直线平行，是真命题的是______填写所有真命题的序号．
14. 定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是_____________________．
15. 将“互为相反数的两个数之和等于0”的逆命题写成“_______________，那么________________”的形式，其逆命题是___命题．填“真”或“假”
16. “互补的两个角一定都是锐角”这个命题是______命题．填“真”或“假”

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明：
    
    
     

18. 命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例，
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在四边形ABCD中，给出下列条件：；；；以其中两个作条件，一个作结论，组成一个命题．请写出三个真命题，再选择其中的一个说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，若，则，试判断命题的真假
    
    若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假．

若，则；

若，则与至少有一个是钝角．






 

22. 把下列命题改写成“如果，那么”的形式，并写出它的逆命题．

不相等的角不是对顶角

两直线平行，同位角相等

等边三角形是等腰三角形．






 

23. 判断下列语句是不是命题如果是，请写出它的条件和结论．

同旁内角互补

画一个的角．






 

24. 将下列命题改写成“如果，那么”的形式，并分别指出命题的条件和结论：

锐角小于

末位数是5的整数能被5整除．






 

25. 已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，求证：．
    你在的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】略
 

2.【答案】C
 

【解析】略
 

3.【答案】D
 

【解析】略
 

4.【答案】C
 

【解析】略
 

5.【答案】B
 

【解析】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
C、直角的补角仍然是直角，是真命题；
D、对顶角相等，是真命题；
故选：B．
根据线段定理、平行线的性质、对顶角和直角的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：用来证明命题“若，则是假命题的反例可以是：，，
因为，但是，
所以D符合题意；
故选：D．
根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
C、直角的补角仍然是直角，是真命题；
D、垂线段最短，是真命题；
故选：B．
根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及直角的概念判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，所以正确；
若两三角形关于直线L对称，则对应线段所在的直线必相交，且交点在对称轴上，所以正确；
顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，所以正确；
一腰和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形不一定全等，所以错误；
有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，所以错误．
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质对进行判断；根据轴对称的性质对进行判断；根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法对进行判断；根据等腰三角形的判定方法对进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和对称的性质．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：关于某一直线成轴对称的两个三角形全等，所以为真命题；
等腰三角形的对称轴是直线而等腰三角形顶角的平分线为线段，所以为假命题；
一条线段的两个端点关于该线段的垂直平分线对称，所以为假命题；
两个全等三角形不一定是轴对称图形，所以为假命题．
故选B．
根据轴对称的性质得到关于某一直线成轴对称的两个三角形全等，而两个全等三角形不一定是轴对称图形；等腰三角形的对称轴垂直平分底边，且平分顶角；一条线段的两个端点关于该线段的垂直平分线对称．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理、论证得到的真命题称为定理．也考查了轴对称的性质．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：根据题意得：，
，
，
故选：B．
反例就是符合题目的条件，但是不符合结论．
本题考查了反例，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式是解题的关键．
 

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．根据平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线平分且相等；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线互相垂直平分进行分析即可．
【解答】
解：平行四边形的对角线互相垂直平分，是假命题；
B.矩形的对角线互相垂直平分，是假命题；
C.菱形的对角线互相平分且相等，是假命题；
D.正方形的对角线互相垂直平分，是真命题；
故选D．  

12.【答案】B
 

【解析】解：两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定，正确，是真命题，符合题意．
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
立方根等于自身的数有和0，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：B．
利用同位角的性质、极差的意义、三角形的外角的性质、立方根的定义及平行线的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解同位角的性质、极差的意义、三角形的外角的性质、立方根的定义及平行线的判定等知识，难度不大．
 

13.【答案】
 

【解析】解：若，则，所以为假命题；
两直线平行，同位角相等，所以为真命题：
对顶角相等，所以为真命题；
内错角相等，两直线平行，所以为真命题．
故答案为．
根据绝对值的意义对进行判断；根据平行线的性质对进行判断；根据对顶角的性质对进行判断；根据平行线的判定方法对进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

14.【答案】两直线平行，内错角相等
 

【解析】

【分析】
此题考查写出一个定理的逆定理把一个定理的条件和结论互换就得到它的逆命题，如果逆命题正确，也是一个定理，则为逆定理．
【解答】
解：“内错角相等，两条直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
逆定理为：两直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．  

15.【答案】两个数和为0；这两个数互为相反数；真
 

【解析】

【分析】
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
分清题设和结论即可写成如果那么的形式．
【解答】
解：“互为相反数的两个数之和等于0”的题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的和为0，改写成如果，那么的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0，
逆命题为：如果两个数和为0，那么这两个数互为相反数，
根据相反数的定义可知逆命题是真命题；
故答案为两个数和为0；这两个数互为相反数；真．  

16.【答案】假
 

【解析】

【分析】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解互补的定义及锐角的定义，难度不大．
利用互补的定义和锐角的定义进行判断后即可得到正确的答案．
【解答】
解：根据锐角的定义得出，互补的两个角不能都是锐角，此命题是假命题．
故答案为假．  

17.【答案】解：逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
已知，如图，中，D是AB边的中点，且
求证：是直角三角形
证明：是AB边的中点，且，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
是直角三角形．
 

【解析】先写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，再根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理得出，代入即可求出，即，即可推出答案．
此题考查的是命题与定理，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用．
 

18.【答案】解：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等的逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；

在与中
．
≌，
．
 

【解析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，再得出命题的正确性．
此题主要考查了命题与定理的证明，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，进而利用全等三角形的证明方法求出即可．
 

19.【答案】解：答案不唯一，如：命题1：条件，结论．
命题2：条件，结论．
命题3：条件，结论．
选择命题1：条件，结论．
理由：因为，
所以．
因为，
所以．
所以．
 

【解析】本题考查了命题与定理的知识，属于基础题，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键，注意本题答案不唯一．根据平行线的判定定理，结合所给条件即可作出判断．
 

20.【答案】解：是假命题．
可添加条件：．
因为，所以．
又因为，
所以，即．
所以．
 

【解析】见答案
 

21.【答案】解：逆命题是：若，则是真命题；
逆命题是：若与至少有一个是钝角，那么是假命题．
 

【解析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
交换原命题中如果和那么后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据有理数的乘方判断即可；
交换原命题中如果和那么后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；
 

22.【答案】解：如果两个角不相等，那么它们不是对顶角．
逆命题：不是对顶角的两个角不相等．
如果两直线平行，那么同位角相等．
逆命题：同位角相等，两直线平行．
如果一个三角形是等边三角形，那么它也是等腰三角形，
逆命题：等腰三角形也是等边三角形．
 

【解析】见答案
 

23.【答案】解：是命题．
条件是：两个角是同旁内角结论是：这两个角互补．
不是判断一件事情的语句，所以不是命题．
 

【解析】略
 

24.【答案】解：如果一个角是锐角，那么这个角小于．
条件是“一个角是锐角”，结论是“这个角小于”
如果一个整数的末位数是5，那么它能被5整除．
条件是“一个整数的末位数是5”，结论是“它能被5整除”．
 

【解析】见答案
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
解：在的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
 

【解析】利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论；
利用了平行线的判定与性质定理求解．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．