湘教版八年级上册2.2 命题与证明精品同步练习题

2.2　命题与证明

基础过关全练

知识点1　定义

1.下列语句中,属于定义的是(　　)

A.两点确定一条直线

B.两直线平行,同位角相等

C.两点之间,线段最短

D.直线外一点到直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离

知识点2　命题与互逆命题

2.下列语句中,是命题的是(　　)

A.延长线段AB到C

B.垂线段最短

C.画∠AOB=45°

D.等角的余角相等吗?

3.(2022湖南常德澧县期中)命题“如果a<0,b<0,那么ab>0”的逆命题是(　　)

A.如果a<0,b<0,那么ab<0

B.如果ab>0,那么a<0,b<0

C.如果a>0,b>0,那么ab<0

D.如果ab<0,那么a>0,b>0

4.将下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.

(1)能被2整除的数也能被4整除;

(2)两个锐角互余;

(3)若xy=0,则x=0;

(4)两直线平行,同旁内角互补.

5.写出下列命题的逆命题.

(1)若a=b,则a3=b3;

(2)个位数是0的数能被2整除;

(3)如果一个三角形有一个内角是钝角,那么它的另外两个内角是锐角.

知识点3　真、假命题及证明

6.以下命题的逆命题为真命题的是(　　)

A.直角三角形没有钝角

B.同旁内角互补,两直线平行

C.若a=b,则a2=b2

D.若a>0,b>0,则a2+b2>0

7.下列选项中,可以用来说明命题“若|x|>2,则x>2”是假命题的反例是(　　)

A.x=-3　B.x=-2　C.x=3　D.x=2

8.真、假命题的思考.

一天,老师在黑板上写下了三个命题:

①垂直于同一条直线的两条直线平行;

②若a2=b2,则a=b;

③若∠α和∠β的两边所在的直线分别平行,则∠α=∠β.

小明和小丽的对话如下:

小明:“命题①是真命题,好像可以证明.”

小丽:“命题①是假命题,好像少了一些条件.”

(1)结合小明和小丽的对话,谈谈你的观点.如果你认为命题①是真命题,请证明;如果你认为命题①是假命题,请增加一个适当的条件,使之成为真命题;

(2)请在命题②③中选一个,如果你认为它是真命题,请证明;如果你认为它是假命题,请举出反例.

知识点4　公理与定理

9.给出下列语句:(1)经过两点有且只有一条直线;(2)平行于同一条直线的两条直线平行;(3)在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线;(4)两点之间,线段最短;(5)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;(6)同位角相等,两直线平行.其中是公理的有(　　)

A.3个　B.4个　C.5个　D.6个

10.下列定理中,没有逆定理的是(　　)

A.两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,则这两条直线平行

B.对顶角相等

C.同旁内角互补,两直线平行

D.两直线平行,内错角相等

知识点5　证明与图形有关的命题

11.(教材P59变式题)如图,在四边形ABCD中,①AB∥CD,②∠A=∠C,

③AD∥BC.

(1)请你以其中两个为条件,第三个为结论,写出一个命题;

(2)判断这个命题是不是真命题,并说明理由.

12.(1)如图,已知∠A=∠C,若AB∥CD,则BC∥AD.请说明理由.

理由如下:

∵AB∥CD(已知),

∴∠ABE=∠　　　　(　　　　　　　　　　　　). 

∵∠A=∠C(已知),

∴　　　　　　　(　　　　　　). 

∴BC∥AD(                      　). 

(2)若把(1)的条件中的“AB∥CD”与结论中的“BC∥AD”对调,请判断它是真命题还是假命题,若是真命题,请写出证明过程,若是假命题,请举出反例.

13.(1)如图,DE∥BC,∠1=∠3,CD⊥AB,求证:FG⊥AB;

(2)若把(1)的条件中的“DE∥BC”与结论中的“FG⊥AB”对调,命题成立吗?说明理由;

(3)若把(1)的条件中的“∠1=∠3”与结论中的“FG⊥AB”对调,命题成立吗?说明理由.

知识点6　反证法

14.用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补(填空).

已知:如图,l1∥l2,l1,l2都被l3所截.

求证:∠1+∠2=180°.

证明:假设∠1+∠2　　180°. 

∵l1∥l2,

∴∠1　　∠3. 

∵∠1+∠2　　180°, 

∴∠3+∠2≠180°,这和　　　　　　　矛盾, 

∴假设∠1+∠2　　180°不成立,即∠1+∠2=180°. 

能力提升全练

15.(2020湖北宜昌中考,6,)能说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是(　　)

A                         B

C                         D

16.(2021湖南怀化新晃期中,8,)下列语句是命题的是(　　)

(1)两点之间,线段最短;

(2)如果两个角的和是180度,那么这两个角互补;

(3)请画出两条互相平行的直线;

(4)一个锐角与一个钝角互补吗?

A.(1)(2)　B.(3)(4)

C.(2)(3)　D.(1)(4)

17.(2022湖南长沙期末,11,)一个命题由“条件”和“结论”两部分组成.命题“如果同旁内角互补,那么两直线平行”的条件是　　　　　　　　　　　. 

18.(2019安徽中考,12,)命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

素养探究全练

19.[逻辑推理](2022河北模拟)已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行,结合图形探索这两个角的关系.

(1)如图1,AB∥EF,BC∥DE,则∠1与∠2的关系是　　　　. 

证明:

(2)如图2,AB∥EF,BC∥DE,则∠1与∠2的关系是　　　　. 

证明:

(3)综合上述,我们可以得一个真命题是                 　. 

图1        图2

答案全解全析

基础过关全练

1.D　A、B、C选项中的语句不是对某一概念的含义加以描述说明或作出明确规定,而D选项中的语句把点到直线的距离的含义进行了描述.故选D.

2.B　选项A和C是作图语言,选项D是问句,不是命题;只有选项B,对事情作出了判断,是命题.

3.B　交换原命题的条件与结论即可得到其逆命题.

4.解析　(1)如果一个数能被2整除,那么这个数也能被4整除.

(2)如果两个角是锐角,那么这两个角互余.

(3)如果xy=0,那么x=0.

(4)如果两直线平行,那么同旁内角互补.

5.解析　(1)逆命题:若a3=b3,则a=b.

(2)逆命题:能被2整除的数的个位数是0.

(3)逆命题:如果一个三角形有两个内角是锐角,那么这个三角形的另一个内角是钝角.

6.B　“直角三角形没有钝角”的逆命题为“没有钝角的三角形是直角三角形”,此逆命题为假命题,故A选项错误;“同旁内角互补,两直线平行”的逆命题为“两直线平行,同旁内角互补”,此逆命题为真命题,故B选项正确;若“a=b,则a2=b2”的逆命题为“若a2=b2,则a=b”,此逆命题为假命题,故C选项错误;“若a>0,b>0,则a2+b2>0”的逆命题为“若a2+b2>0,则a>0,b>0”,此逆命题为假命题,故D选项错误.

7.A　当x=-3时,|x|=3>2,而-3<2,∴“若|x|>2,则x>2”是假命题.故选A.

8.解析　(1)命题①是假命题,增加“在同一平面内”这个条件,即可成为真命题.

(2)命题②是假命题,反例:当a=1,b=-1时,a2=b2,但a≠b.

命题③是假命题,反例:如图,∠α和∠β的两边所在的直线分别平行,但∠α≠∠β.

9.B　(1)(4)(5)(6)是公理.

10.B　相等的角不一定是对顶角.

11.解析　(1)如果AB∥CD,AD∥BC,那么∠A=∠C.(答案不唯一)

(2)这个命题是真命题.

理由:∵AB∥CD,

∴∠B+∠C=180°,

∵AD∥BC,

∴∠B+∠A=180°,

∴∠A=∠C.

12.解析　(1)∵AB∥CD(已知),

∴∠ABE=∠C(两直线平行,同位角相等).

∵∠A=∠C(已知),

∴∠ABE=∠A(等量代换).

∴BC∥AD(内错角相等,两直线平行).

(2)它是真命题.

证明:∵BC∥AD(已知),

∴∠ABE=∠A(两直线平行,内错角相等),

∵∠A=∠C(已知),

∴∠ABE=∠C(等量代换),

∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).

13.解析　(1)证明:∵DE∥BC,

∴∠1=∠2,∵∠1=∠3,

∴∠2=∠3,∴CD∥FG,

∵CD⊥AB,∴FG⊥AB.

(2)成立.理由:∵FG⊥AB,CD⊥AB,∴CD∥FG,

∴∠2=∠3,

∵∠1=∠3,∴∠1=∠2,∴DE∥BC.

(3)成立.理由:∵FG⊥AB,CD⊥AB,

∴CD∥FG,∴∠2=∠3,

∵DE∥BC,∴∠1=∠2,

∴∠1=∠3.

14.≠;=;≠;平角为180°;≠

解析　反证法的一般步骤:①假设命题的结论不成立;②从这个假设出发,经过推理导出矛盾,从而得出假设不成立;③由此肯定所证明的命题正确.

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15.C　选项C中,若三角形三个内角都是锐角,则∠α+∠β>90°,所以“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题.故选C.

16.A　(3)是作图语言,(4)是问句,都没有对事情作出判断,故不是命题.(1)(2)是命题.

17.同旁内角互补

18.如果a,b互为相反数,那么a+b=0

解析　该命题的条件为“a+b=0”,结论为“a,b互为相反数”.交换命题的条件和结论得其逆命题.故答案为如果a,b互为相反数,那么a+b=0.

素养探究全练

19.解析　(1)∠1=∠2.

证明:如图①,∵AB∥EF,∴∠1=∠3,

∵BC∥DE,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2.

图①                     图②

(2)∠1+∠2=180°.

证明:如图②,∵AB∥EF,∴∠1=∠3,

∵BC∥DE,∴∠2+∠3=180°,∴∠1+∠2=180°.

(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.