初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）2.3 有理数的乘方课时训练

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一、单选题
1．将305000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.305×1011B．3.05×108C．3.05×1012D．305×108
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为比原数的整数位数少的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：将305000000用科学记数法表示为3.05×108，
故选：B．
2．下列各题中的数据，是准确数的是（ ）
A．我们数学教科书封面的长是21厘米
B．小颖班上共有56位同学
C．珠穆朗玛峰的海拔高度约为8848米
D．我国人口总数约为14亿
【答案】B
【知识点】求一个数的近似数
【分析】本题考查近似数和准确数，准确数：与实际完全符合的，没有误差．根据准确数的定义直接判断即可．
【详解】解： A、我们数学教科书封面的长是21厘米, 只是与实际接近，所以是近似数，故不符合题意；
B、小颖班上共有56位同学，是精确数，故符合题意；
C、珠穆朗玛峰的海拔高度约为8848米, 只是与实际接近，所以是近似数，故不符合题意；
D、我国人口总数约为14亿, 只是与实际接近，所以是近似数，故不符合题意；
故选：B．
3．下列四个式子中，计算结果最小的是（ ）
A．(−3−2)2B．(−3)×(−2)2
C．−32÷(−2)2D．−32−23
【答案】D
【知识点】有理数大小比较、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查有理数的乘方和有理数大小比较．原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【详解】解：(−3−2)2=(−5)2=25；
(−3)×(−2)2=(−3)×4=−12；
−32÷(−2)2=−9÷4=−94；
−32−23=−9−8=−17，
−17<−12<−94<25．
故选：D．
4．下列说法中正确的有（ ）
①近似数7.4和7.40是一样的；②近似数8.0精确到十分位的；③近似数9.60精确到百分位的；④由四舍五入得到的近似数5.4×105精确到千分位；⑤3.748和3.752精确到十分位的近似数相同；⑥0.010有一个有效数字.
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【知识点】指出一个近似数精确到哪一位
【分析】本题主要考查了近似数、科学记数法，熟练掌握近似数的概念是解题的关键．
【详解】解：①7.4精确到十分位，7.40精确到百分位，说法错误；②近似数8.0精确到十分位，说法正确；③近似数9.60精确到百分位，说法正确；④近似数5.4×105=540000精确到万位，说法错误；⑤3.748≈3.7，3.752≈3.8精确到十分位的近似数不相同，说法错误；⑥0.010有二个有效数字，说法错误．
故正确的有2个．
故选：C．
5．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（ ）
甲：9−32÷8=0÷8=0
乙：24−(4×32)=24−4×6=0
丙：(36−12)÷32=36×23−12×23=16
丁：(−3)2÷13×3=9÷1=9
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【详解】解：甲：9−32÷8=9−9÷8=778，原来没有做对；
乙：24−(4×32)=24−4×9=−12，原来没有做对；
丙：(36−12)÷32=36×23−12×23=16，做对了；
丁：(−3)2÷13×3=9÷13×3=81，原来没有做对．
故选：C．
6．若y+2024+x−20232+2022−z=0，则(x+y)z的值是（ ）
A．−1B．1C．0D．2
【答案】B
【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘方等知识．熟练掌握绝对值的非负性，有理数的乘方是解题的关键．
由题意得，y+2024=0，x−2023=0，2022−z=0，可求y=−2024，x=2023，z=2022，根据(x+y)z=2023−20242022，求解作答即可．
【详解】解：∵y+2024+x−20232+2022−z=0，
∴y+2024=0，x−2023=0，2022−z=0，
解得，y=−2024，x=2023，z=2022，
∴(x+y)z=2023−20242022=1，
故选：B．
7．a、b是有理数．下列各式中成立的是（ ）
A．若a2>b2，则a>bB．若a>b，则a2>b2
C．若a≠b，则a≠bD．若a≠b，则a≠b
【答案】C
【知识点】绝对值的其他应用、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值性质，根据有理数的乘方与绝对值性质举反例说明即可解题．
【详解】解：A、若a2>b2，则a>b，不成立，如−22>12，−2<1，故选项不符合题意；
B、若a>b，则a2>b2，不成立，如1>−2，但12<−22，故选项不符合题意；
C、若a≠b，则a≠b，成立，符合题意；
D、若a≠b，则a≠b，不成立，如2≠−2，但2=−2，故选项不符合题意；
故选：C．
8．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入−2，则输出的结果是（ ）
A．−8B．−6C．−4D．−2
【答案】D
【知识点】有理数的减法运算、有理数的乘方运算、程序流程图与有理数计算
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，有理数的减法运算，把x=−2代入数值转换器，判断得出结果即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：当x=−2时，−22=4<8，
则输出结果为：4−6=−2，
故选：D．
9．一根2m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第2023次后剩下的绳子的长度为（ ）
A．122020mB．122021m
C．(12)2022mD．(12)2023m
【答案】C
【知识点】乘方的应用
【分析】本题考查有理数的乘方，第一次后剩下原长的12；第二次后剩下原长的122；第三次后剩下原长的123；……；第2023次后剩下原长的122023，这个数乘以绳子的原长即可．
【详解】解：第一次后剩下原长的12；
第二次后剩下原长的122；
第三次后剩下原长的123；
……
第2023次后剩下原长的122023．
∴剪第2023次后剩下的绳子的长度为2×122003=122022m．
故选：C．
10．我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的( )
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算
【分析】根据题意得出1011=1×23+0×22+1×21+1，求出即可
【详解】1011=1×23+0×22+1×21+1=11，
即二进制中的1011相当于十进制中的11.
故答案选C.
二、填空题
11．（1）将−23×−23×−23×−23写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ．
（2）−24表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；−24表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ．
【答案】 −234 −23 4 4个−2相乘 −2 4 4个2相乘的相反数 2 4
【知识点】有理数幂的概念理解
【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的知识是解答本题的关键．
（1 ）根据题意，可以将题目中的数据写成幂的形式，再写出相应的底数和指数即可；
（2 ）根据题意，可以将题目中的数据表示的意义、底数及指数即可．
【详解】解：（1 ）−23×−23×−23×−23=−234，底数是−23，指数是4，
故答案为：−234，−23，4；
（2）−24表示的意义是4个−2相乘，底数是−2，指数是4；
−24表示的意义是4个2相乘的相反数，底数是2，指数是4，
故答案为：4个−2相乘，−2，4；4个2相乘的相反数，2，4．
12．2023年杭州亚运会的志愿者，被亲切地称为“小青荷”，总人数约为37600人．如果将这个人数转换为以“万”为单位的数，并保留一位小数，那么志愿者人数大约是 万人．
【答案】3.8
【知识点】求一个数的近似数
【分析】本题考查近似数，改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；再把百分位上的数进行四舍五入即可．
【详解】解：37600=3.76万，
3.76万≈3.8万，
故答案为：3.8．
13．比较下列a，b，c，d的大小，用“<”连接 ．
a=−−232，b=−223，c=−−233，d=−233．
【答案】d【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算
【分析】本题考查的是有理数的乘方的运算，有理数的大小比较，先计算各数，再比较大小即可．
【详解】解：∵a=−−232=−49，b=−223=−43，
c=−−233=827，d=−233=−83，
而−83>−43>−49，
∴d故答案为：d14．一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为 .
【答案】132
【知识点】乘方的应用
【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O的距离为跳动前的一半．
【详解】解：依题意可知，第n次跳动后，该质点到原点O的距离为12n，
∴第5次跳动后，该质点到原点O的距离为132.
故答案为132．
15．我们知道，根据乘方的意义： a2=a·a，a3=a·a·a，a2·a3=a5，a3·a5=a8 通过以上计算你能否发现规律，得到am·an的结果呢？请根据规律计算：a·a2·a3·a4········a99·a100= ．
【答案】a5050
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】先通过已知的计算得出乘方运算的规律，再根据乘法的结合律和交换律即可得．
【详解】a⋅a=a1+1=a2
a⋅a⋅a=a2⋅a=a2+1=a3
a2⋅a3=a2+3=a5
a3⋅a5=a3+5=a8
归纳类推得：am⋅an=am+n
则a⋅a2⋅a3⋅a4⋅⋯⋅a99⋅a100
=(a⋅a100)⋅(a2⋅a99)⋅(a3⋅a98)⋅(a4⋅a97)⋅⋯⋅(a49⋅a52)⋅(a50⋅a51)
=a101⋅a101⋅a101⋅a101⋅⋯⋅a101⋅a101
=a101+101+101+⋯+101
=a101×50
=a5050
故答案为：a5050．
三、解答题
16．计算
(1) −32+−214÷32+38−512×24；
(2) 229×−19−−1152÷−0.92；
(3) −12022−12−1÷3×2−(−3)2．
【答案】(1) −232；
(2) −4．
(3) 16
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．先计算乘方，再计算乘除，最后计算加法即可
【详解】（1）解：−32+−214÷32+38−512×24
=−9+−94÷32+924−1024×24
=−9+−94×23+−124×24
=−9+−32+−1
=−232；
（2）解：229×−19−−1152÷−0.92
=209×−1−3625÷81100
=−209−3625×10081
=−209−169
=−4．
17．阅读材料：
求1+2+22+23+24+⋯+22020的值.
解：设S=1+2+22+23+24+⋯+22019+22020，将等式两边同时乘2，得 ，2S=2+22+23+24+25+⋯+22020+22021
将下式减上式，得2S−S=22021−1，即 S=22021−1，
即 1+2+22+23+24+⋯+22020=22021−1．
请你仿照此法计算：
(1)1+2+22+23+24+⋯+210；
(2)1+3+32+33+34+⋯+3n （其中n 为正整数）．
【答案】(1)1+2+22+23+24+⋯+210=211−1；
(2)1+3+32+33+34+⋯+3n=123n+1−1．
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查的是探索运算规律题，根据已知材料中的方法，探索出运算规律是解决此题的关键．
（1）设S=1+2+22+23+24+⋯+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
（2）设S=1+3+32+33+34+⋯+3n，两边乘以3后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值．
【详解】（1）设S=1+2+22+23+24+⋯+210，
将等式两边同时乘2，得2S=2+22+23+24+⋯+210+211 ,
将下式减上式，得 2S−S=211−1，即 S=211−1
则1+2+22+23+24+⋯+210=211−1
（2）设 S=1+3+32+33+34+⋯+3n,
将等式两边同时乘3，得 3S=3+32+33+34+⋯+3n+3n+1,
下式减上式，得3S−S=3n+1−1，即 S=123n+1−1，
即 1+3+32+33+34+⋯+3n=123n+1−1．
18．研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1=4=22，2×4+1=9=32，3×5+1=16=42，4×6+1=25=52…
(1)请你找出规律并计算7×9+1=__________；
(2)请依据找到的规律写出第n个算式：__________
(3)用找到的规律解决下面的问题：
计算：1+11×31+12×41+13×51+14×6⋅⋅⋅1+12011×2013
【答案】(1)7×9+1=64=82
(2)n×n+2+1=n+12
(3)40442013
【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索
【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算．
（1）仿照题干给定的等式，计算即可；
（2）根据给出的等式，推出相应的规律即可；
（3）结合规律，进行简算即可．
解题的关键是得到：n×n+2+1=n+12．
【详解】（1）解：7×9+1=64=82；
故答案为：7×9+1=64=82；
（2）由题意，可知，第n个算式为：n×n+2+1=n+12；
故答案为：n×n+2+1=n+12；
（3）1+11×31+12×41+13×51+14×6⋅⋅⋅1+12011×2013
=1×3+11×32×4+12×43×5+13×54×6+14×6⋅⋅⋅2011×2013+12011×2013
=221×3×322×4×423×5×524×6⋅⋅⋅×202222011×2013
=2×20222013
=40442013．
19．商人吴某于上周日买进某农产品10000斤，每斤2.2元．下表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日的批发价格为每斤2.5元）．
(1)星期四该农产品价格为每斤多少元？
(2)本周内该农产品的最高价格为每斤多少元？最低价格为每斤多少元？
(3)吴某在本周的买卖中共赚了约多少钱？（精确到百位）
【答案】(1)星期四价格为：3.15元；
(2)本周内该农产品的最高价格为每斤3.15元，最低价格为每斤2.7元
(3)吴某在本周的买卖中共赚了约6.6×103元．
【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了正负数，有理数的混合运算应用，科学记数法，解题的关键是理解题意和掌握有理数的运算法则．
（1）分别计算每一天的单价即可求解；
（2）根据（1）的结论可得答案；
（3）根据销售额−成本=收益，即可进行计算；
【详解】（1）解： 星期一的价格为：2.5+0.3=2.8元，
星期二的价格为：2.8−0.1=2.7元，
星期三的价格为：2.7+0.2=2.9元，
星期四价格为：2.9+0.25=3.15元；
星期五的价格为：3.15−0.4=2.75元，
∴星期四价格为：3.15元；
（2）解：由（1）得：
本周内该农产品的最高价格为每斤3.15元，最低价格为每斤2.7元
（3）解：解：2.8×2500+2.7×2000+2.9×3000+3.15×1500+2.75×1000−2.2×10000
=7000+5400+8700+4725+2750−22000，
=6575，
≈ 6.6×103，
答：吴某在本周的买卖中共赚了约6.6×103元．
20．求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，−3÷−3÷−3÷−3记作−3④，读作“−3的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋯÷an个a（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
(1)直接写出计算结果：2③=________，(−3)④=________；
(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方→2④=2÷2÷2÷2=2×12×12×12=122→乘方的形式
仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
(−3)④=________；5⑥=________；−12⑩=________．
(3)由（2）中的算式归纳：有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成乘方的形式等于________．
(4)计算27÷−13⑤+2③+(−8)−1−(−3)3
【答案】(1)12，19
(2)：−132，154，(−2)8
(3)1an−2
(4)2638
【知识点】有理数的除法运算、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算
【分析】（1）分别按公式进行计算即可；
（2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为1a，则aⓝ=1an−2；
（4）先将原式化成乘方形式，再按含乘方的有理数混合运算法则计算即可.
【详解】（1）解：依题意得：2③=2÷2÷2=1÷2=12，(−3)④=(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)=19，
故答案是：12，19；
（2）依题意得：(−3)④=(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)=1÷(−3)÷(−3)=(−3)×−13×−13×−13=−132，
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=5×15×15×15×15×15=154，
−12⑩=−12÷−12÷⋯÷−1210个−12=−12×−2×−2×−2×⋯×−28个−2=−28；
故答案为：−132，154，(−2)8；
（3）依题意得：aⓝ=a÷a÷a÷⋯÷an个a=1a×1a×1a⋯×1an−2个1a=1an−2．
故答案为：1an−2；
（4）27÷−13⑤+2③+(−8)−1−(−3)3
=27÷−33+121+−18+27
=27÷−27+12−18+27
=−1+38+27
=2638
星期
一
二
三
四
五
与前一天的价格涨跌情况（元）
+0.3
−0.1
+0.2
+0.25
−0.4
当天的交易量（斤）
2500
2000
3000
1500
1000