初中数学人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形课堂教学ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形课堂教学ppt课件，共33页。
知识点4　角平分线的判定
1.(2023山东济南期末)如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P 是射线OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,下列 条件中:①∠AOC=∠BOC;②PD=PE;③OD=OE;④∠DPO= ∠EPO.能判定OC平分∠AOB的有 (　    )
 A.1个　　　    B.2个
C.3个　　　    D.4个
解析　∵∠AOC=∠BOC,∴OC平分∠AOB,故①符合题意;∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴OC平分∠AOB,故②符合题意;在Rt△POD和Rt△POE中, ∴Rt△POD≌Rt△POE,∴∠AOC=∠BOC,∴OC平分∠AOB,故③符合题意;
在△DPO和△EPO中, ∴△DPO≌△EPO,∴∠AOC=∠BOC,∴OC平分∠AOB,故④符合题意,故选D.
2.如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,连接BD,∠ABD=35°,BD ⊥CD,过点D作DP⊥BC于点P,若AD=PD,则∠C的度数为    　　　    . 
解析　∵AD⊥AB,DP⊥BC,AD=PD,∴BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=35°.∵BD⊥CD,∴∠BDC=90°,∴∠C=90°-∠DBC=90°-35°=55°.
3.(新独家原创)如图,在四边形ABCD中,AD⊥DC,BE⊥DC,交 DC的延长线于点E,BC平分∠ABE,C为DE的中点,若∠ABE= 60°,则∠CAD的度数为　　　　    . 
解析　如图,过点C作CF⊥AB于点B, ∵BC平分∠ABE,BE⊥DC,CF⊥AB,∴CE=CF,∵C为DE的中 点,∴CD=CE,∴CD=CF,∵CF⊥AB,AD⊥DC,∴AC平分∠DAF,∵AD⊥DC,BE⊥DC,∴AD∥BE,∵∠ABE=60°,∴∠DAF=120°,∴∠CAD=60°.
4.(2024陕西西安月考)如图,O是△ABC内一点,且点O到三边 AB,AC,BC的距离相等,即OF=OE=OD,若∠BAC=100°,则∠BOC的度数是　　　　    . 
解析　∵∠BAC=100°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=80°,由题意得OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,∵OF=OE=OD,∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°-40°=140°.
5.(2023河南周口期末,5,★★☆)如图,在四边形ABCD中,∠B =90°,BC=3,连接AC,AC⊥CD,并且∠ACB=∠D,点E是AD边 上一动点,则CE的最小值是 (　    ) A.1.5　　　    B.3　　　    C.3.5　　　    D.4
解析　过点C作CH⊥AD于点H,如图所示,当点E运动到点H 时,CE最短. ∵AC⊥DC,∴∠ACD=90°,∵∠D+∠ACD+∠CAD=180°,∠ACB+∠B+∠BAC=180°,∠ACB=∠D,∠ACD=∠B=90°,
∴∠BAC=∠DAC,∴AC平分∠BAD,∵BC⊥BA,CH⊥AD,∴BC=CH,∵BC=3,∴CH=3,∴CE的最小值为3,故选B.
6.(2024黑龙江哈尔滨期中,15,★★☆)如图,在△ABC中,∠A= 73°,∠C=47°,点D是AC上一点,连接BD,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,若DE=DF,则∠DBF的度数是　　　　    . 
解析　∵∠A=73°,∠C=47°,∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°,∵DE⊥AB,DF⊥BC,DE=DF,∴BD平分∠ABC,∴∠DBF= ∠ABC=30°.
7. (易错题)(2024天津南开田家炳中学期中,20,★★☆)如图, 已知△ABC,∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于 点P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA交BA的延长线于点H.(1)若PH=8 cm,求点P到直线BC的距离. (2)求证:点P在∠HAC的平分线上. 
解析    (1)作PQ⊥BE于Q,如图, ∵BP平分∠ABC,PH⊥BA,∴PQ=PH=8 cm,即点P到直线BC的距离为8 cm.(2)证明:∵CP平分∠ACE,PQ⊥BE,PD⊥AC,
∴PD=PQ,由(1)知PH=PQ,∴PD=PH,∵PD⊥AC,PH⊥BA,∴点P在∠HAC的平分线上.
易错警示    　　在运用角的平分线的判定定理时,一要注意过一点的两 条线段与角的两边垂直,二要注意这两条垂线段长度相等,这 两个条件必须同时具备.
8.(2023江苏泰州期末,24,★★★)如图,A、B两点分别在射线 OM、ON上,点C在∠MON的内部,且AC=BC,CD⊥OM,CE⊥ ON,垂足分别为D,E,AD=BE.(1)求证:OC平分∠MON.(2)若AD=3,BO=4,求AO的长. 
解析    (1)证明:∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴∠ADC=∠CEB=90°,在Rt△ADC和Rt△BEC中, ∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL),∴CD=CE,∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴OC平分∠MON.(2)∵Rt△ADC≌Rt△BEC,AD=3,∴BE=AD=3,∵BO=4,∴OE=OB+BE=4+3=7,∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴∠CDO=∠CEO=90°,
在Rt△DOC和Rt△EOC中, ∴Rt△DOC≌Rt△EOC(HL),∴OD=OE=7,∵AD=3,∴AO=OD+AD=7+3=10.
9.(推理能力)在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B、C重 合),连接AD.(1)如图①,当点D是BC边的中点时,S△ABD∶S△ACD=　　　　    . (2)如图②,当AD平分∠BAC时,若AB=m,AC=n,求S△ABD∶S△ACD (用含m,n的式子表示).(3)如图③,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得DE=AD,连接BE, 如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,求S△ABC的值.
解析    (1)如图,过A作AE⊥BC于E, ∵点D是BC边的中点,∴BD=DC,∴S△ABD∶S△ACD= ∶ =1∶1.(2)如图,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, 
∵AD平分∠BAC,∴DE=DF,∵AB=m,AC=n,∴S△ABD∶S△ACD= ∶ =m∶n.(3)∵AD=DE,∴S△ABD∶S△BDE=1∶1,∵S△BDE=6,∴S△ABD=6,∵AC=2,AB=4,AD平分∠CAB,∴由(2)知S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=4∶2=2∶1,∴S△ACD=3,∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=3+6=9.
1.如图,已知∠AOB=90°,OC平分∠AOB,点P在射线OC上,点E 在射线OA上,点F在射线OB上,且∠EPF=90°.求证:PE=PF. 
证明　如图,过P作PG⊥OB于G,PH⊥AO于H,则∠PGF=∠PHE=90°, ∵OC平分∠AOB,∴PH=PG,∵∠AOB=∠EPF=90°,∴∠PFG+∠PEO=180°,
又∵∠PEH+∠PEO=180°,∴∠PEH=∠PFG,∴△PEH≌△PFG(AAS),∴PE=PF.
2.如图,OC平分∠AOB,P是OC上任意一点,点M,N分别在OB 和OA上,连接PM和PN,若∠PMO+∠PNO=180°,求证:PM= PN. 
证明　如图,过点P作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F, ∵OC平分∠AOB,∴PE=PF,∵∠PMO+∠PME=180°,∠PMO+∠PNO=180°,