人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质一等奖ppt课件

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角的平分线的定义是什么？
已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法。
要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线.已知AB=AD.将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线.
把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边AB与AD相等，从几何作图角度怎么画？
BC=DC从几何作图角度怎么画？
角平分线的画法
（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．
（3）作射线，则射线OC即为所求
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC.求证：OC平分∠AOB.
证明：连接CM，CN 在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌△ONC （SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.
问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？
归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E求证：PD=PE
证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP∠PDO=∠PEO=90°∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS)∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)
定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
（在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E， PD=PE。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,∠ODP=∠OEP=90°OP=OP, PD=PERt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)
角的内部到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
定理 2的应用书写格式：
（角的内部到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
用途：判定一条射线是角平分线
如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为500米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。
∵到公路的距离与到河岸的距离相等
∴工厂在河岸与公路的角平分线上
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5㎝
则另一点就是工厂的位置。
例题讲解 例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA 的距离相等
3 角的平分线的性质定理1，定理2是证明角相等，线段相等的新途径。定理1多用于证明线段相等，定理2多用于证明角相等或点在角平分线上。
1 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2 角的内部到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。