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所属成套资源：沪科版七年级数学上册举一反三专项练习(学生版+解析)
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初中数学人教版（2024）七年级上册4.3.1 角课时作业
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这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册4.3.1 角课时作业，共55页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11656" 【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】 PAGEREF _Tc11656 \h 1
\l "_Tc4141" 【题型2 根据线段间的关系判断结论】 PAGEREF _Tc4141 \h 2
\l "_Tc21298" 【题型3 根据线段间的关系求线段长度】 PAGEREF _Tc21298 \h 3
\l "_Tc30579" 【题型4 钟表中的角度计算】 PAGEREF _Tc30579 \h 4
\l "_Tc30771" 【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】 PAGEREF _Tc30771 \h 5
\l "_Tc19734" 【题型6 根据角与角之间的关系求角度】 PAGEREF _Tc19734 \h 7
\l "_Tc10739" 【题型7 线段中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Tc10739 \h 8
\l "_Tc7678" 【题型8 角度中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Tc7678 \h 10
\l "_Tc2670" 【题型9 展开与折叠】 PAGEREF _Tc2670 \h 11
【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】
【例1】（2023上·河南·七年级河南省实验中学校考期中）下列语句正确的有( )
（1）线段AB就是A、B两点间的距离；
（2）画射线AB=10cm；
（3）A，B两点之间的所有连线中，最短的是线段AB；
（4）在直线上取A，B，C三点，若AB=5cm，BC=2cm，则AC=7cm．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2023上·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n−m的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式1-2】（2023上·天津北辰·七年级统考期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经过点C．其中结论正确的结论是 ．
【变式1-3】（2023上·七年级单元测试）如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:
(1)画直线AB、射线AD；
(2)画∠CDB；
(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.
【题型2 根据线段间的关系判断结论】
【例2】（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB=20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．若BE−DE=0，则AE−CD=7B．若BE−DE=2，则AE−CD=7
C．若BE−DE=4，则AE−CD=7D．若BE−DE=6，则AE−CD=7
【变式2-1】（2023上·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：
①图中的点D，P，C，E都是动点；
②AD>BE；
③AB=2DE；
④当AC=BC时，点P与点C重合．
其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【变式2-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB，D是线段AB的中点，E是BC的三等分点，则下列结论：①EC=13AE，②DE=5BD，③BE=13AE+BC，④AE=65BC−AD，其中正确结论的有（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④
【变式2-3】（2023上·福建泉州·七年级校联考期末）如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型3 根据线段间的关系求线段长度】
【例3】（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，已知线段AB=23，BC=15，点M是AC的中点．
(1)求线段AM的长；
(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=2:3，求线段MN的长．
【变式3-1】（2023上·河北承德·七年级统考期末）根据题意，补全解题过程．
如图，已知点C为线段AB的中点，E为线段AB上一点，且AE:EB=2:5，若EC=3，求线段AB的长度．
解：设AE=2x，
∵AE:EB=2:5，
∴EB=______，
∴AB=AE+______=______，
∵C为AB的中点，
∴AC=______=______，
∴EC=______−AE=______，
∵EC=3，
∴x=______，
∴AB=7x=______．
【变式3-2】（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图，线段BD=13AB=14CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN=20cm，求AC的长．
【变式3-3】（2023上·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=12，AC=8，求MN的长；
（2）设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长；
②若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，直接写出MN的值．
【题型4 钟表中的角度计算】
【例4】（2023上·浙江金华·七年级统考期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．
(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．
(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．
(3)设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
【变式4-1】（2023上·福建宁德·七年级统考期末）如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是 ．
【变式4-2】（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t秒（t>0），请你试着解决他们提出的下列问题：
(1)当t=3秒时，求∠AOB的度数；
(2)当OA与OB第三次重合时，求∠BOM的度数；
(3)在OA与OB第四次重合前，当t=___________时，直线MN平分∠AOB．
【变式4-3】（2023上·山东济南·七年级统考期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．
(1)∠BOM＝________；
(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；
(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】
【例5】（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12∠AOE+∠BOC；④∠AOE=65∠BOC−∠AOD．其中正确结论有 （写序号）．
【变式5-1】（2023上·江苏苏州·七年级校联考期末）如图，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列结论中错误的是（ ）
A．OB、OC分别平分∠AOC、∠BOD
B．∠AOD=∠AOB+∠AOC
C．∠BOC=12∠AOD−∠AOB
D．∠COD=12(∠AOD−∠BOC)
【变式5-2】（2023上·贵州铜仁·七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（ ）
∠AOM=3∠NOCB．∠AOM=2∠NOC
C．2∠AOM=3∠NOCD．3∠AOM=5∠NOC
【变式5-3】（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，现给出以下4个结论：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF−∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=12∠COF+∠BOF其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号） ．
【题型6 根据角与角之间的关系求角度】
【例6】（2023上·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知∠AOB=120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．
(1)如图1，若∠AOD=90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；
(2)作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC=α．
①如图2，当0°<α<60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；
②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．
【变式6-1】（2023上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，OE平分∠BOD，∠AOB=90°，∠COD=110°，∠AOD=40°，求∠COE的度数．
【变式6-2】（2023下·山东泰安·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD=90∘．
(1)如图1，过点O作射线OE，使OE平分∠AOC，当∠COE=25∘时，∠BOD的度数为多少？
(2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE的数量关系．
【变式6-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．
数学课上，老师提出了如下问题：已知点O在直线AB上，∠COE=90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC=2∠AOD．当∠BOC=40°时，如图1所示，求∠DOE的度数．
甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）
解：如图2，∵点O在直线AB上，
∴∠AOB= °，
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC= °，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC= °，
∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，
∴∠DOE= °．
乙同学：“我认为还有一种情况．”
请完成以下问题：
(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．
(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．
(3)将题目中“∠BOC=40°”的条件改成“∠BOC=α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD=∠BOE成立？请直接写出此时α的值．
【题型7 线段中的分类讨论思想问题】
【例7】（2023上·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为 ．
【变式7-1】（2023上·山西晋城·七年级统考期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，且AB=9cm．
(1)图中共有___________条线段；
(2)求AD的长；
(3)若点E在直线AB上，且EA=3cm，直接写出DE的长．
【变式7-2】（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知，直线l上线段AB=6、线段CD=2(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)．
(1)若线段BC=1，则线段AD= ；
(2)如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；
(3)若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN=2DN，求线段CD运动的时间．
【变式7-3】（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A−C−B，若该折线A−C−B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”．
（1）若AC=BC，点D与 重合（填A、B、C）；
（2）若E为线段AC中点，EC=5cm，CD=2cm，则BC的长为 ．
【题型8 角度中的分类讨论思想问题】
【例8】（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC=40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE=23∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH=90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF=3∠BOH，∠COE>90°直接写出∠AOH的度数．
【变式8-1】（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，则∠BOC的度数是 ．
【变式8-2】（2023上·广东肇庆·七年级统考期末）在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，求∠BOD的度数．
【变式8-3】（2023上·广东珠海·七年级统考期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)在图1中，若∠AOC=28°，求∠DOE的度数；
(2)在图1中，若∠AOC=α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，且保持射线OC在直线AB上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE=32∠DOB？
【题型9 展开与折叠】
【例9】（2023上·江西九江·七年级统考期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究如下：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的_________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“小”字相对的字是_________．
【变式9-1】（2023上·河北保定·七年级统考期末）下列4个平面图，能沿虚线折叠围成几何体的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-2】（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点A，B在围成的正方体上的距离是 ．
【变式9-3】（2023上·山东威海·七年级统考期末）如图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，得到一个三角形．在得到的三角形的三个内角各剪去一个圆，然后将纸片展开，得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
专题4.10 直线与角章末九大题型总结（培优篇）
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2891" 【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】 PAGEREF _Tc2891 \h 1
\l "_Tc25690" 【题型2 根据线段间的关系判断结论】 PAGEREF _Tc25690 \h 4
\l "_Tc10152" 【题型3 根据线段间的关系求线段长度】 PAGEREF _Tc10152 \h 8
\l "_Tc15102" 【题型4 钟表中的角度计算】 PAGEREF _Tc15102 \h 11
\l "_Tc20268" 【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】 PAGEREF _Tc20268 \h 18
\l "_Tc13896" 【题型6 根据角与角之间的关系求角度】 PAGEREF _Tc13896 \h 22
\l "_Tc11119" 【题型7 线段中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Tc11119 \h 29
\l "_Tc19508" 【题型8 角度中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Tc19508 \h 34
\l "_Tc10787" 【题型9 展开与折叠】 PAGEREF _Tc10787 \h 39
【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】
【例1】（2023上·河南·七年级河南省实验中学校考期中）下列语句正确的有( )
（1）线段AB就是A、B两点间的距离；
（2）画射线AB=10cm；
（3）A，B两点之间的所有连线中，最短的是线段AB；
（4）在直线上取A，B，C三点，若AB=5cm，BC=2cm，则AC=7cm．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据两点之间距离的定义可以判断A、C，根据射线的定义可以判断B，据题意画图可以判断D．
【详解】∵线段AB的长度是A、 B两点间的距离，
∴（1）错误；
∵射线没有长度，
∴（2）错误；
∵两点之间，线段最短
∴（3）正确；
∵在直线上取A，B，C三点，使得AB=5cm，BC=2cm，
当C在B的右侧时，如图，
AC=5+2=7cm
当C在B的左侧时，如图，
AC=5-2=3cm，
综上可得AC=3cm或7cm，
∴（4）错误；
正确的只有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段与射线的定义，线段的和差，熟记基本定义，以及两点之间线段最短是解题的关键．
【变式1-1】（2023上·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n−m的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据线段的定义和小于平角的角的性质得出m，n的值，再代入求解即可．
【详解】由题意得m=7，n=8
故n−m=8−7=1
故答案为：D．
【点睛】本题考查了线段和平角的问题，掌握线段的定义和平角的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2023上·天津北辰·七年级统考期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经过点C．其中结论正确的结论是 ．
【答案】①③
【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解．
【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确；
②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误；
③射线AC和射线AD是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确；
④直线BD和直线BC相交于点B，直线BD经过点B，不经过点C，故④说法错误，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义．
【变式1-3】（2023上·七年级单元测试）如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:
(1)画直线AB、射线AD；
(2)画∠CDB；
(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用直线以及射线的定义画出图形即可；
（2）利用角的定义作射线DC，DB即可；
（3）连接AC，与BD的交点即为所求．
【详解】解：（1）如图所示：直线AB、射线AD即为所求；
（2）如图所示：∠CDB即为所求；
（3）如图所示：点P即为所求．
【点睛】此题主要考查了直线、射线以及角的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【题型2 根据线段间的关系判断结论】
【例2】（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB=20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．若BE−DE=0，则AE−CD=7B．若BE−DE=2，则AE−CD=7
C．若BE−DE=4，则AE−CD=7D．若BE−DE=6，则AE−CD=7
【答案】D
【分析】先利用中点的含义及线段的和差关系证明AE−CD=CE,再逐一分析即可得到答案.
【详解】解：∵ C为AD的中点，
∴AC=CD=12AD,
∵ BE−DE=0，则BE=DE=12BD,
∴AE−CD=AC+CD+DE−CD=AC+DE=CD+DE=CE=12AB=10,
故A不符合题意；
∵ BE−DE=2，则BE=DE+2,
∴2CD+DE+DE+2=20,
∴CD+DE=CE=9,
同理：AE−CD=CE=9, 故B不符合题意；
∵ BE−DE=4，则BE=DE+4,
∴2CD+DE+DE+4=20,
∴CD+DE=CE=8,
同理：AE−CD=CE=8, 故C不符合题意；
∵ BE−DE=6，则BE=DE+6,
∴2CD+DE+DE+6=20,
∴CD+DE=CE=7,
同理：AE−CD=CE=7, 故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的和差关系即中点的含义证明AE−CD=CE”是解本题的关键
【变式2-1】（2023上·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：
①图中的点D，P，C，E都是动点；
②AD>BE；
③AB=2DE；
④当AC=BC时，点P与点C重合．
其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【分析】①由题意可知随着C的运动，D、P、E都在动，故正确；
②可以推得当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，AC③由题意及中点的性质可知正确；
④由题意，当AC=BC时，C为DE中点，根据已知，P也为DE中点，所以点P与点C重合．
【详解】解：①∵点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，∴D、E随着C的运动而运动，点P随着D、E的运动而运动，因此，随着C的运动，D、P、E都在动，∴本选项正确；
②∵AD=12AC，BE=12BC，
∴当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，由于AC③由题意可知：DC=12AC，EC=12BC，∴DE=DC+EC=12AC+BC，
∴DE=12AB，即AB=2DE，∴本选项正确；
④由③可知，当AC=BC时，DC=EC，所以C为DE中点，
又P也为DE中点，∴点P与点C重合，∴本选项正确．
故答案为①③④．
【点睛】本题考查中点的应用，熟练掌握中点的意义和性质并灵活应用是解题关键．
【变式2-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB，D是线段AB的中点，E是BC的三等分点，则下列结论：①EC=13AE，②DE=5BD，③BE=13AE+BC，④AE=65BC−AD，其中正确结论的有（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案．
【详解】解：∵ E是BC的三等分点，BC=3AB，
∴EC=13BC，AB=13BC，
∴AB=EC，
∴AB+BE=EC+BE，
∴AE=BC，
∴EC=13AE，
故①正确；
∵EC=13AE，
∴AE=3EC，
∵AB=EC，
∴AE=3AB，
∵ D是线段AB的中点，
∴AD=BD=12AB，
∴DE=AE−AD=3AB−12AB=52AB，
∴DE=52×2BD=5BD，
故②正确；
∵BE=2AB，AE=3AB
∴12AE+BC=123AB+3AB=3AB，
∵BE=AE−AB=3AB−AB=2AB，
∴BE12AE+BC=2AB3AB=23，
∴BE=23×12AE+BC=13AE+BC，
故③正确；
∵BC=3AB，AD=12AB，
∴65BC−AD=653AB−12AB=3AB，
∵AE=3AB，
∴AE=65BC−AD，
故④正确；
综上，正确的有①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键．
【变式2-3】（2023上·福建泉州·七年级校联考期末）如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据AB=30，BC比AC的4倍少20可分别求出AC与BC的长度；分别表示出BM、BQ，由QM=BM+BQ即可得QM的值；由N为QM的中点得NQ=12QM可得NQ的值；当BQ=PB时，可得30-2t=t，此时t=10秒，综上所述即可得结论．
【详解】∵AB=30，BC比AC的4倍少20，
∴AC=10，BC=20，
∴BC=2AC，①正确；
∵P、Q两点的运动速度分别为2单位/秒和1单位/秒的速度，
∴BP=30-2t，BQ=t，
∵M为BP的中点，N为QM的中点，
∴PM=MB=15-t，MQ=MB+BQ=15，NQ=7.5，
∴运动过程中，QM的长度保持不变，AB=4NQ，②③正确；
∵PB=30-2t，BQ=t，当BQ=PB时，，
∴30-2t=t，
解方程得：t=10，④错误；
∴①②③项结论正确．
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的性质，两点间的距离，解题的关键是运用数形结合的思想推出相关线段之间的关系式.
【题型3 根据线段间的关系求线段长度】
【例3】（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，已知线段AB=23，BC=15，点M是AC的中点．
(1)求线段AM的长；
(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=2:3，求线段MN的长．
【答案】(1)4
(2)MN的长度是10
【分析】（1）根据线段的和差关系，可得AC=8，根据点M是AC的中点，可得AM=12AC；
（2）由CN:NB=2:3，求得CN=6,根据点M是AC的中点，求得MC，根据MN=MC+NC即可求解．
【详解】（1）解：线段AB=23，BC=15，
∴AC=AB−BC=23−15=8，
又∵点M是AC的中点．
∴AM=12AC=12×8=4，即线段AM的长度是4；
（2）解：∵BC=15，CN:NB=2:3，
∴CN=25BC=25×15=6，
又∵点M是AC的中点，AC=8，
∴MC=12AC=4，
∴MN=MC+NC=4+6=10，即MN的长度是10 ．
【点睛】本题考查了线段和差的计算，线段中点的定义，数形结合是解题的关键．
【变式3-1】（2023上·河北承德·七年级统考期末）根据题意，补全解题过程．
如图，已知点C为线段AB的中点，E为线段AB上一点，且AE:EB=2:5，若EC=3，求线段AB的长度．
解：设AE=2x，
∵AE:EB=2:5，
∴EB=______，
∴AB=AE+______=______，
∵C为AB的中点，
∴AC=______=______，
∴EC=______−AE=______，
∵EC=3，
∴x=______，
∴AB=7x=______．
【答案】5x；EB；7x；12AB或BC；3.5x；AC；1.5x；2；14
【分析】根据线段之间的关系按照推理过程即可解答．
【详解】设AE=2x，
∵AE:EB=2:5，
∴EB=5x，
∴AB=AE+EB=7x，
∵C为AB的中点，
∴AC=BC=3.5x，
∴EC=AC−AE=1.5x，
∵EC=3，
∴x=2，
∴AB=7x=14，
故答案为：5x；EB；7x；12AB或BC；3.5x；AC；1.5x；2；14．
【点睛】本题考查了两点间的距离以及推理过程的完整书写，解题的关键是正确理解题干中的信息和把握图中的线段关系．
【变式3-2】（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图，线段BD=13AB=14CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN=20cm，求AC的长．
【答案】48cm
【分析】根据等式的性质，可得AB与BD的关系，CD与BD的关系，根据线段中点的性质，可得AM与BM的关系，DN与NC的关系，根据线段的和差，可得BD的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：∵BD=13AB=14CD，
∴ AB=3BD，CD=4BD．
∵点M、N分别是线段AB、CD的中点，
AM=BM=12AB=32BD，DN=CN=12CD=2BD．
∵BN=DN−BD=2BD−BD=BD，BC=CD−BD=4BD−BD=3BD，
∴MN=BM+BN=32BD+BD=52BD=20．
解得BD=8．
∴AC=AB+BC=3BD+3BD=6BD=48cm．
【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点的性质，熟练的利用线段的和差倍分关系建立方程解题是关键．
【变式3-3】（2023上·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=12，AC=8，求MN的长；
（2）设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长；
②若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，直接写出MN的值．
【答案】（1）6；（2）①23a；②n−1na
【分析】（1）由中点的定义可得MC=12AC,CN=12BC，然后根据MN=MC+CN求解即可；
（2）由AM=13AC，BN=13BC可得MC=23AC,CN=23BC，然后根据MN=MC+CN求解即可；
（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：（1）∵M，N分别是AC，BC的中点
∴MC=12AC,CN=12BC
∵AB=12
∴MN=MC+CN=12AC+12BC=12AB=12×12=6
（2）①∵AM=13AC,BN=13BC
∴MC=23AC,CN=23BC
∵AB=a
∴MN=MC+CN=23AC+23BC=23AB=23a；
②∵AM=1nAC，BN=1nBC
∴CM=n−1nAC，CN=n−1nBC
∴MN=CM+MN=CM+CN=n−1nAC+n−1nBC=n−1nAB
∴AB=a
∴MN=n−1na．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【题型4 钟表中的角度计算】
【例4】（2023上·浙江金华·七年级统考期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．
(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．
(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．
(3)设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
【答案】(1)75°
(2)48011分钟
(3)48013分钟或96023分钟或48分钟
【分析】（1）根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹的锐角的度数；
（2）计算出8：00时时针与分针所夹钝角的度数，设x分钟后分针第一次追上时针，利用追击问题列方程，即可求解；
（3）分OB平分∠QOP，OP平分∠QOB，OQ平分∠POB三种情况，利用角的和、差、倍数关系列方程，即可求解．
【详解】（1）解：8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，
2.5×30°=75°，
即分针与时针所夹的锐角的度数是75°．
（2）解：设x分钟后分针第一次追上时针．
8：00时，时针与分针所夹钝角是8个大格，
8×30°=240°，
由题意，6x−0.5x=240，
解得x=48011，
即8：00开始48011分钟后分针第一次追上时针．
（3）解：设运动m分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．分三种情况：
如图①，当OB平分∠QOP时，∠QOB=∠POB，
∴0.5m=240−6m，
解得m=48013；
如图②，当OP平分∠QOB时，∠QOB=2∠POB，
∴0.5m=26m−240，
解得m=96023；
如图③，当OQ平分∠POB时，∠POB=2∠QOB，
∴6m−240=2×0.5m，
解得m=48；
综上，运动48013分钟或96023分钟或48分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，以及角平分线的定义，能够计算出任一时刻时针与分针之间的角度是解题的关键．
【变式4-1】（2023上·福建宁德·七年级统考期末）如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是 ．
【答案】72013
【分析】根据题意可得当分针转一圈再回到秒针左侧时，秒针再次平分时针与分针夹角，此时经过的时间最少，分针每分钟走360°60°=6°，时针每分钟走30°60°=12°，根据题意得：∠AOB=∠BOC=45°，经过m分钟后，∠AOA1=360°−6°×m，∠COB1=12°×m，列出方程360−6m+45=45+12m，即可得出答案．
【详解】解：
∵3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，分针在秒针的左侧，秒针不动，
∴当分针转一圈再回到秒针左侧时，秒针再次平分时针与分针夹角，此时经过的时间最少，
分针每分钟走360°60°=6°，时针每分钟走30°60°=12°，
根据题意得：∠AOB=∠BOC=45°，
经过m分钟后，∠AOA1=360°−6°×m，∠COB1=12°×m，
∵OB平分∠A1OB1，
∴∠A1OB=∠BOB1，
∴∠A1OA+∠AOB=∠BOC+∠B1OC，
∴360−6m+45=45+12m，
解得：m=72013，
故答案为：72013．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，正确理解题意列出方程是解题的关键．
【变式4-2】（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t秒（t>0），请你试着解决他们提出的下列问题：
(1)当t=3秒时，求∠AOB的度数；
(2)当OA与OB第三次重合时，求∠BOM的度数；
(3)在OA与OB第四次重合前，当t=___________时，直线MN平分∠AOB．
【答案】(1)120°
(2)45°
(3)18或54秒
【分析】（1）根据∠AOB=180°−∠AON−∠BON，求出∠AON、∠BON即可．
（2）设t秒后第三次重合，由题意得15t+5t=360×2+180，解方程求出t，进一步即可求出∠BOM的度数．
（3）先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后根据∠BON=∠AON求出t的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：当t=3秒时，
∴∠AOM=15°×3=45°，∠BON=5°×3=15°，
∴∠AOB=180°−45°−15°=120°；
（2）解：设t秒后第三次重合，由题意得
15t+5t=360×2+180，
解得t=45，
5°×45−180°=45°．
答：∠BOM的度数为45°；
（3）解：在OA与OB第一次重合前，直线MN不可能平分∠AOB；
在OA与OB第一次重合后第二次重合前，
∠BON=5t°，∠AON=15t−180°
依题意有5t=15t−180，
解得t=18；
在OA与OB第二次重合后第三次重合前，直线MN不可能平分∠AOB；
在OA与OB第三次重合后第四次重合前，
∠BON=360−5t°，∠AON=360×2+180−15t°=900−15t°，
依题意有360﹣5t=900−15t，
解得t=54．
故当t=18或54秒时，直线MN平分∠AOB．
故答案为：18或54秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式4-3】（2023上·山东济南·七年级统考期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．
(1)∠BOM＝________；
(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；
(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
【答案】(1)30°
(2)20°或40°
(3)8011分钟
【分析】（1）根据角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据题意分类讨论，分为射线OC在∠AOB内部和外部两种情况计算即可；
（3）根据钟表转动求出时针和分针转动的速度，再根据分针转动的角度-时针转动的角度=∠AOB增加的度数，建立方程解出答案即可．
【详解】（1）解：∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，
∴∠BOM=12∠AOB=12×60°=30°；
（2）当射线OC在∠AOB内部时，如图所示，
∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，
∴∠BON=12∠BOC=12×20°=10°，
∴∠MON=∠BOM−∠BON=30°−10°=20°；
当射线OC在∠AOB外部时，如图所示，
∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，
∴∠BON=12∠BOC=12×20°=10°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=30°+10°=40°；
综上所述，∠MON的度数为20°或40°；
（3）∵OM平分∠AOB，∠BOM＝50°
∴∠AOB=2∠BOM=100°
设经过x分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°，
∵分针OB的运动速度为每分钟转动：360°60=6°，
时针OA的运动速度为每分钟转动：360°12×60=0.5°，
∴6°x−0.5°x=100°−60°，
解得x=8011，
所以经过8011分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，分类讨论思想，一元一次方程的应用之行程问题，分类讨论思想和方程思想是本题的关键．
【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】
【例5】（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12∠AOE+∠BOC；④∠AOE=65∠BOC−∠AOD．其中正确结论有 （写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，得到∠AOB=∠COE，进而得到∠AOE=∠BOC，根据OD是∠AOB的平分线，得到∠AOD=∠BOD=12∠AOB，再根据角之间的和差，倍数关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，
∴∠AOB=∠COE，
∴∠AOB+∠BOE=∠COE+∠BOE，
∴∠AOE=∠BOC，
∴∠AOE=3∠COE，∠AOE=3∠AOB，
∴∠COE=13∠AOE；故①正确；
∴∠BOE=2∠AOB，
∵OD是∠AOB的平分线，
∴∠BOD=∠AOD=12∠AOB，
∴∠BOE=2∠AOB=4∠BOD，
∴∠DOE=5∠BOD，故②正确；
∵∠AOE=3∠AOB，∠BOC=3∠AOB，
∴∠AOE+∠BOC=6∠AOB，
∴12∠AOE+∠BOC=3∠AOB，
∵∠BOE=2∠AOB，
∴∠BOE≠12∠AOE+∠BOC，故③错误；
∵65∠BOC−∠AOD=653∠AOB−12∠AOB=3∠AOB，∠AOE=3∠AOB，
∴∠AOE=65∠BOC−∠AOD；故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．
【变式5-1】（2023上·江苏苏州·七年级校联考期末）如图，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列结论中错误的是（ ）
A．OB、OC分别平分∠AOC、∠BOD
B．∠AOD=∠AOB+∠AOC
C．∠BOC=12∠AOD−∠AOB
D．∠COD=12(∠AOD−∠BOC)
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和角的和差逐一进行判断即可．
【详解】A、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴OB、OC分别平分∠AOC、∠BOD，故正确；
B、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD=∠AOB+∠AOC，故正确；
C、∵∠BOC═∠AOC-∠AOB，
∵∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴∠AOC=23∠AOD，
∴∠BOC=23∠AOD-∠AOB，故错误；
D、∵∠AOB=∠COD，
∴∠COD=∠AOD-∠BOC-∠AOB，
∴2∠COD=∠AOD-∠BOC，
∴∠COD=12(∠AOD-∠BOC)，故正确，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义和角的和差是解题的关键．
【变式5-2】（2023上·贵州铜仁·七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（ ）
∠AOM=3∠NOCB．∠AOM=2∠NOC
C．2∠AOM=3∠NOCD．3∠AOM=5∠NOC
【答案】B
【分析】先求解2∠BON=180°−2∠AOM,利用角平分线的定义再求解∠AOM=180°−2∠BOC=180°−2∠BON−2∠CON,从而可得答案.
【详解】解：∵∠MON=90°,
∴∠AOM=90°−∠BON,
∴2∠BON=180°−2∠AOM,
∵OC平分∠BOM,
∴∠MOC=∠BOC=12∠MOB,
∴∠AOM=180°−2∠BOC=180°−2∠BON−2∠CON,
∴∠AOM=180°−(180°−2∠AOM)−2∠CON,
∴∠AOM=2∠CON.
故选B
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练的运用角的和差关系探究角与角之间的关系是解本题的关键.
【变式5-3】（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，现给出以下4个结论：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF−∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=12∠COF+∠BOF其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号） ．
【答案】①②④
【分析】①根据OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出∠AOD=∠COD=12∠AOC，∠BOE=∠COE=12∠BOC，∠AOF=∠BOF=12∠AOB，求出∠DOE=12∠AOB，即可得出结论；
②根据角度之间的关系得出∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠AOF−∠COF=∠BOF−∠COF=∠BOC，即可得出结论；
③无法证明∠AOD=∠BOC；
④根据∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠EOF=∠COD，∠COF+∠BOF=2∠COD，即可得出结论．
【详解】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，
∴∠AOD=∠COD=12∠AOC，∠BOE=∠COE=12∠BOC，
∠AOF=∠BOF=12∠AOB，
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB，
∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE=12∠AOB，
即∠DOE=12∠AOB，
∴∠DOE=∠AOF，故①正确；
②∵∠DOF=∠DOE−∠EOF
=12∠AOB−∠COF+12∠BOC
=12∠AOB−∠COF−12∠BOC
=12∠AOB−∠BOF−∠BOC−12∠BOC
=12∠AOB−12∠AOB−∠BOC−12∠BOC
=12∠AOB−12∠AOB+∠BOC−12∠BOC
=12∠BOC
∠AOF−∠COF=∠BOF−∠COF=∠BOC，
∴2∠DOF=∠AOF−∠COF，故②正确；
③∠AOD与∠BOC不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知，∠DOF=12∠BOC=∠COE，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠COF+∠DOF=∠COD，
∵∠COF+∠BOF=∠COF+∠AOF=∠AOC=2∠COD，
∴∠EOF=12∠COF+∠BOF，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出∠DOF=12∠BOC=∠COE，是解题的关键．
【题型6 根据角与角之间的关系求角度】
【例6】（2023上·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知∠AOB=120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．
(1)如图1，若∠AOD=90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；
(2)作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC=α．
①如图2，当0°<α<60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；
②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．
【答案】(1)∠AOC=∠BOD，理由见解析
(2)①40°②∠COE=12∠BOD
【分析】（1）根据∠AOC=∠AOD−∠COD=30°，∠BOD=∠AOB−∠AOD=30°，即可确定两个角的大小；
（2）①根据角平分线的定义可得∠AOE=2∠AOC=2α，∠COD=∠COE+∠DOE=3α，根据∠COD=60°列方程，求出α的值，再根据∠BOD=∠AOB−∠AOD计算即可；
②分两种情况：当0°<α<60°时，当60°<α<120°时，分别根据角平分线的定义，角的和差计算即可．
【详解】（1）解：∠AOC=∠BOD，理由如下：
∵∠COD=60°，∠AOD=90°，
∴∠AOC=∠AOD−∠COD=30°，
又∵∠AOB=120°
∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=30°，
∴∠BOD=∠AOC；
（2）①∵OC恰好平分∠AOE，
∴∠AOC=∠EOC=α，
∴∠AOE=2∠AOC=2α，
∵OE为∠AOC的平分线，
∴∠DOE=∠AOE=2α，
∴∠COD=∠COE+∠DOE=3α，
∵∠COD=60°，
∴3α=60°，
∴α=20°，
∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=120°−4α=40°；
②分情况讨论：
当0°<α<60°时，
∵∠BOD=∠AOB−∠COD−∠AOC=60°−α，
∵∠AOD=α+60°，OE为∠AOD的平分线，
∴ ∠AOE=12∠AOD=12α+60°，
∴ ∠COE=∠AOE−∠AOC=12a+60°−a=1260°−a，
∴ ∠COE=12∠BOD；
当60°<α<120°时，
∵∠BOD=∠AOC+∠COD−∠AOB=α−60°，
∵∠AOD=α+60°，OE为∠AOD的平分线，
∴ ∠AOE=12∠AOD=12α+60°，
∴ ∠COE=∠AOC−∠AOE=α−12α+60°=12α−60°，
∴ ∠COE=12∠BOD；
综上所述，∠COE=12∠BOD．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
【变式6-1】（2023上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，OE平分∠BOD，∠AOB=90°，∠COD=110°，∠AOD=40°，求∠COE的度数．
【答案】85°
【分析】由余角的定义可求得∠BOD=50°，再由角平分线的定义可得∠DOE=25°，即可求∠COE的度数．
【详解】解：∵∠AOB=90°，∠AOD=40°，
∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=50°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=25°，
∵∠COD=110°，
∴∠COE=∠COD−∠DOE=85°．
【点睛】本题主要考查余角，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
【变式6-2】（2023下·山东泰安·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD=90∘．
(1)如图1，过点O作射线OE，使OE平分∠AOC，当∠COE=25∘时，∠BOD的度数为多少？
(2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE的数量关系．
【答案】(1)40°
(2)∠BOD=2∠COE
【分析】（1）由已知得出∠AOC+∠BOD=90°，由角平分线定义得出∠EOC=12∠AOC，∠BOD=90°−∠AOC，即可得出答案；
（2）由已知得出∠AOC=90°−∠BOD，由角平分线定义得出∠AOE=12∠AOD=1290°+∠AOC=45°−12∠AOC， ∠AOC+∠COE=∠AOE，即可得出答案．
【详解】（1）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵OE为∠AOC的角平分线，
∴∠COE=12∠AOC，
∴∠AOC=25°×2=50°，
∴∠BOD=90°−∠AOC=90°−50°=40°；
（2）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠AOC=90°−∠BOD，
∵OE为∠AOD的角平分线，
∴∠AOC+∠COE=12∠AOD=45°+12∠AOC，即∠AOC=90°−2∠COE，
∴90°−2∠COE=90°−∠BOD，即∠BOD=2∠COE．
【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
【变式6-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．
数学课上，老师提出了如下问题：已知点O在直线AB上，∠COE=90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC=2∠AOD．当∠BOC=40°时，如图1所示，求∠DOE的度数．
甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）
解：如图2，∵点O在直线AB上，
∴∠AOB= °，
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC= °，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC= °，
∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，
∴∠DOE= °．
乙同学：“我认为还有一种情况．”
请完成以下问题：
(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．
(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．
(3)将题目中“∠BOC=40°”的条件改成“∠BOC=α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD=∠BOE成立？请直接写出此时α的值．
【答案】(1)180，140，70，160
(2)正确，理由见解析，∠DOE=60°或160°
(3)α=120°或144°
【分析】（1）根据平角定义和角平分线的定义补充即可；
（2）由题意，还有∠AOD在∠AOC的外部时的情况，根据平角定义求解即可；
（3）由题意，∠BOE=∠COD=α−90°，∠AOC=180°−α，分∠AOD在∠AOC的内部和∠AOD在∠AOC的外部，由∠AOC=2∠AOD求出α即可．
【详解】（1）解：∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=140°，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC=70°，
∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，
∴∠DOE=160°，
故答案为：180；140；70；160；
（2）解：正确，理由如下：
当∠AOD在∠AOC的外部时，如图所示：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=140°，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴∠AOD=70°，
∵∠COE=90°，
∴∠BOE=50°，
∴∠DOE=∠AOB−∠AOD−∠BOE，
∴∠DOE=60°，
综上所述，∠DOE=60°或160°；
（3）解：∵∠BOC=α，∠COD=∠BOE，
∴∠BOE=∠COD=α−90°，∠AOC=180°−α，
当∠AOD在∠AOC的内部时，如图，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，即∠AOC=2∠COD
∴180°−α=2α−90°，
解得：α=120°；
当∠AOD在∠AOC的外部时，如图，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴∠AOD=12∠AOC=12(180°−α)，
∵∠COD=∠AOC+∠AOD，
∴α−90°=180°−α+12180°−α，
解得：α=144°，
综上，α=120°或144°．
【点睛】本题考查角的运算、角平分线的有关计算、平角定义，能根据图形进行角度运算，能利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
【题型7 线段中的分类讨论思想问题】
【例7】（2023上·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为 ．
【答案】6或10或16
【分析】由于没有图形，故A,B,C,D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．
【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：
∵ AB=8，BC=3，CD=5，
∴AD=AB+BC−CD=8+3−5=6，
II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD=AB+BC−CD=8+3+5=16，
III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：
∴AD=AB−BC−CD=8−3−5=0，点A、D重合，不合题意，
IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD=AB−BC+CD=8−3+5=10，点A、D重合，不合题意，
综上所述：AD的长为6或10或16
故答案为：6或10或16．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到AD的长度．
【变式7-1】（2023上·山西晋城·七年级统考期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，且AB=9cm．
(1)图中共有___________条线段；
(2)求AD的长；
(3)若点E在直线AB上，且EA=3cm，直接写出DE的长．
【答案】(1)6
(2)6.75cm
(3)3.75cm或9.75cm
【分析】（1）根据线段的定义找出线段即可；
（2）根据线段的中点和两条线段的和的定义，求出结果；
（3）由于点E在直线AB上的具体位置不确定，故应分点E在点A的左边和点E在点A的右边两种情况分别求解．
【详解】（1）图中有6条线段，它们是线段AC，AD，AB，CD，CB，DB．
故答案为：6．
（2）∵点C是线段AB的中点，AB=9cm，
∴ AC=CB=12AB=4.5cm，
∵点D是线段CB的中点，
∴ CD=DB=12CB=2.25cm，
∴ AD=AC+CD=6.75cm
（3）当点E在点A的左边，EA=3cm，
∴ DE=AE+AD=9.75cm，
当点E在点A的右边，EA=3cm，
∴ DE=AD−AE=3.75cm
故答案为：3.75cm或9.75cm．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义和线段和差的定义，熟练掌握各线段之间的和差以及倍数关系是解本题的关键．
【变式7-2】（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知，直线l上线段AB=6、线段CD=2(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)．
(1)若线段BC=1，则线段AD= ；
(2)如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；
(3)若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN=2DN，求线段CD运动的时间．
【答案】(1)7或9
(2)PQ=2；
(3)线段CD运动的时间为2s或18s．
【分析】（1）①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，根据线段的和差即可得到结论；
（2）设BC=x，则AD=AB+BC+CD=8+x，根据线段中点的定义得到PD=12AD=4+12x，CQ=12x，于是得到结论；
（3）线段CD运动的时间为t，则AM=2t，BC=t，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：①当点C在点B的左侧时，
∵AB=6，BC=1，CD=2，
∴AC=5，
∴AD=AC+CD=7；
②当点C在点B的右侧时，
∵AB=6，BC=1，CD=2，
∴AD=AB+BC+CD=9，
∴线段AD=7或9；
故答案为：7或9；
（2）解：设BC=x，
则AD=AB+BC+CD=8+x，
∵点P、Q分别为AD、BC的中点，
∴PD=12AD=4+12x，CQ=12x，
∴PQ=PD−CD−CQ=4+12x−2−12x=2；
（3）解：线段CD运动的时间为t，
则AM=2t，BC=t，
∴BM=AB−AM=6−2t或BM=AM−AB=2t−6，BD=BC+CD=t+2，
∵点N是线段BD的中点，
∴DN=BN=12BD=12t+1，
∵MN=2DN，
∴6−2t+12t+1=212t+1或2t−6−12t+1=212t+1，
解得：t=2或t=18．
故线段CD运动的时间为2s或18s．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，依据线段的和差关系列方程是解决问题的关键．
【变式7-3】（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A−C−B，若该折线A−C−B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”．
（1）若AC=BC，点D与 重合（填A、B、C）；
（2）若E为线段AC中点，EC=5cm，CD=2cm，则BC的长为 ．
【答案】 C 6或14
【分析】（1）由折中点的含义、线段和差关系，可得CD=0，即可确定答案；
（2）分两种情况：点D在线段AC上与点D在线段BC上，利用中点的意义及折中点的含义即可求解．
【详解】（1）解：由折中点含义得：AD=CD+BC，
而AC=BC，AD=AC−CD，
∴AC−CD=CD+AC，
∴CD=0，
即点D与点C重合；
故选：C；
（2）解：当点D在线段AC上时，
则CD+BC=AD=AC−CD，
∴BC=AC−2CD；
∵E为线段AC中点，EC=5cm，
∴AC=2EC=10cm，
∴BC=AC−2CD=10−2×2=6(cm)；
当点D在线段BC上时，如图，
则CD+AC=BD=BC−CD，
∴BC=AC+2CD；
∵E为线段AC中点，EC=5cm，
∴AC=2EC=10cm，
∴BC=AC+2CD=10+2×2=14(cm)；
综上，BC的长为6cm或14cm；
故答案为：6或14．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，线段中点，新定义折中点等知识，分类讨论，结合图形利用线段的和差倍分关系是解题的关键．
【题型8 角度中的分类讨论思想问题】
【例8】（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC=40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE=23∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH=90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF=3∠BOH，∠COE>90°直接写出∠AOH的度数．
【答案】(1)70°
(2)∠COE的度数为24°或120°
(3)170°或140°
【分析】（1）根据角平分线的定义即可求解；
（2）分情况讨论当射线OE在AB上方和下方，即可求解；
（3）
【详解】（1）解：∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=12∠AOC=70°；
（2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE=23∠COE，
∵∠BOE+∠COE=∠BOC，
∴23∠COE+∠COE=40°，
∴∠COE=24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE=23∠COE，
∵∠COE−∠BOE=∠BOC，
∴∠COE−23∠COE=40°，
∴∠COE=120°；
∴∠COE的度数为24°或120°．
（3）解：170°或140°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的倍数关系等．根据题意进行分类讨论是解题关键．
【变式8-1】（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，则∠BOC的度数是 ．
【答案】36°或72°
【分析】分两种情况讨论：①当OB在∠AOC的内部时；②当OB在∠AOC的外部时，分别求解即可得到答案．
【详解】解：①如图，当OB在∠AOC的内部时，
∵∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，
∴∠AOC=54°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=54°−18°=36°；
②如图，当OB在∠AOC的外部时，
∵∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，
∴∠AOC=54°，
∴∠BOC=∠AOC+∠AOB=54°+18°=72°；
综上可知，∠BOC的度数为36°或72°，
故答案为：36°或72°．
【点睛】本题考查了角度的和差计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【变式8-2】（2023上·广东肇庆·七年级统考期末）在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，求∠BOD的度数．
【答案】65°或115°或165°
【分析】分当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部时，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部时，当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，三种情况画出图形求解即可．
【详解】解：如图1所示，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部时，
∵∠AOC=25°，∠COD=50°，
∴∠AOD=25°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=65°；
如图2所示，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部时，
∵∠AOC=25°，∠COD=50°，
∴∠AOD=75°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=165°；
如图3所示，当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，
∵∠AOC=25°，∠COD=50°，
∴∠AOD=25°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=115°；
综上所述，∠BOD的度数为65°或115°或165°．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，画出对应图形是解题的关键．
【变式8-3】（2023上·广东珠海·七年级统考期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)在图1中，若∠AOC=28°，求∠DOE的度数；
(2)在图1中，若∠AOC=α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，且保持射线OC在直线AB上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE=32∠DOB？
【答案】(1)14°
(2)12α
(3)45°或112.5°
【分析】（1）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可；
（2）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可；
（3）分点D在直线AB上方和下方，两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵∠COD是直角，
∴∠COD=90°，
∵∠AOC=28°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=152°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=76°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=14°；
（2）同法（1）可得：∠DOE=∠COD−∠COE=90°−12180°−α，
即：∠DOE=90°−90°+12α=12α；
（3）设∠AOC=α，则∠BOC=180°−α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12×180°−α=90°−12α，
①当点D在直线AB上方时：
∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=90°−α，
∵∠COE=32∠DOB，
∴90°−12α=3290°−α，
解得：α=45°；
②当点D在直线AB下方时：
∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−180°−α=α−90°，
∵∠COE=32∠DOB，
∴90°−12α=32α−90°，
解得：α=112.5°；
综上：当∠AOC的度数是45°或112.5°时，∠COE=32∠DOB．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的计算．正确的识图，理清角之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．
【题型9 展开与折叠】
【例9】（2023上·江西九江·七年级统考期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究如下：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的_________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“小”字相对的字是_________．
【答案】(1)C
(2)环
【分析】（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；
（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；
【详解】（1）解：∵折叠成一个无盖的正方体纸盒，
∴展开图有5个面，
再根据正方体的展开图的特征，可得A选项、B选项中图形不符合题意，
选项C的图形符合题意，
选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，因此选项D不符合题意．
故答案为：C；
（2）解：根据正方体展开图的特征可知，“小”字相对的面为“环”，
答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的面为“环”；
故答案为：环．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键．
【变式9-1】（2023上·河北保定·七年级统考期末）下列4个平面图，能沿虚线折叠围成几何体的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据常见几何体的展开图以及三棱柱三棱锥及其表面展开图的特点逐个分析判断即可求解．
【详解】解：第一个图可以围成三棱锥（四面体）；
第二个，折叠后底面重合，不能围成几何体，
第三个图形能围成三棱柱，
第四个能围城长方体
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键．
【变式9-2】（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点A，B在围成的正方体上的距离是 ．
【答案】2
【分析】将图1折成正方体，然后判断出A，B在正方体中的位置关系，从而可得到AB之间的距离．
【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出AB=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键．
【变式9-3】（2023上·山东威海·七年级统考期末）如图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，得到一个三角形．在得到的三角形的三个内角各剪去一个圆，然后将纸片展开，得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题．
【详解】解：在三角形的角上剪洞，展开后洞肯定还是在角上，排除C和D；
画出折叠线，两个三角形中每个三角形的角上都有一个洞，排除B；
所以答案为A；
故选：A．
【点睛】本题考查学生的空间想象能力和动手实践能力，熟练掌握空间想象能力是解题的关键．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11656" 【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】 PAGEREF _Tc11656 \h 1
\l "_Tc4141" 【题型2 根据线段间的关系判断结论】 PAGEREF _Tc4141 \h 2
\l "_Tc21298" 【题型3 根据线段间的关系求线段长度】 PAGEREF _Tc21298 \h 3
\l "_Tc30579" 【题型4 钟表中的角度计算】 PAGEREF _Tc30579 \h 4
\l "_Tc30771" 【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】 PAGEREF _Tc30771 \h 5
\l "_Tc19734" 【题型6 根据角与角之间的关系求角度】 PAGEREF _Tc19734 \h 7
\l "_Tc10739" 【题型7 线段中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Tc10739 \h 8
\l "_Tc7678" 【题型8 角度中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Tc7678 \h 10
\l "_Tc2670" 【题型9 展开与折叠】 PAGEREF _Tc2670 \h 11
【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】
【例1】（2023上·河南·七年级河南省实验中学校考期中）下列语句正确的有( )
（1）线段AB就是A、B两点间的距离；
（2）画射线AB=10cm；
（3）A，B两点之间的所有连线中，最短的是线段AB；
（4）在直线上取A，B，C三点，若AB=5cm，BC=2cm，则AC=7cm．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2023上·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n−m的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式1-2】（2023上·天津北辰·七年级统考期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经过点C．其中结论正确的结论是 ．
【变式1-3】（2023上·七年级单元测试）如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:
(1)画直线AB、射线AD；
(2)画∠CDB；
(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.
【题型2 根据线段间的关系判断结论】
【例2】（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB=20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．若BE−DE=0，则AE−CD=7B．若BE−DE=2，则AE−CD=7
C．若BE−DE=4，则AE−CD=7D．若BE−DE=6，则AE−CD=7
【变式2-1】（2023上·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：
①图中的点D，P，C，E都是动点；
②AD>BE；
③AB=2DE；
④当AC=BC时，点P与点C重合．
其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【变式2-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB，D是线段AB的中点，E是BC的三等分点，则下列结论：①EC=13AE，②DE=5BD，③BE=13AE+BC，④AE=65BC−AD，其中正确结论的有（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④
【变式2-3】（2023上·福建泉州·七年级校联考期末）如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型3 根据线段间的关系求线段长度】
【例3】（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，已知线段AB=23，BC=15，点M是AC的中点．
(1)求线段AM的长；
(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=2:3，求线段MN的长．
【变式3-1】（2023上·河北承德·七年级统考期末）根据题意，补全解题过程．
如图，已知点C为线段AB的中点，E为线段AB上一点，且AE:EB=2:5，若EC=3，求线段AB的长度．
解：设AE=2x，
∵AE:EB=2:5，
∴EB=______，
∴AB=AE+______=______，
∵C为AB的中点，
∴AC=______=______，
∴EC=______−AE=______，
∵EC=3，
∴x=______，
∴AB=7x=______．
【变式3-2】（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图，线段BD=13AB=14CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN=20cm，求AC的长．
【变式3-3】（2023上·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=12，AC=8，求MN的长；
（2）设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长；
②若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，直接写出MN的值．
【题型4 钟表中的角度计算】
【例4】（2023上·浙江金华·七年级统考期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．
(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．
(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．
(3)设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
【变式4-1】（2023上·福建宁德·七年级统考期末）如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是 ．
【变式4-2】（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t秒（t>0），请你试着解决他们提出的下列问题：
(1)当t=3秒时，求∠AOB的度数；
(2)当OA与OB第三次重合时，求∠BOM的度数；
(3)在OA与OB第四次重合前，当t=___________时，直线MN平分∠AOB．
【变式4-3】（2023上·山东济南·七年级统考期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．
(1)∠BOM＝________；
(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；
(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】
【例5】（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12∠AOE+∠BOC；④∠AOE=65∠BOC−∠AOD．其中正确结论有 （写序号）．
【变式5-1】（2023上·江苏苏州·七年级校联考期末）如图，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列结论中错误的是（ ）
A．OB、OC分别平分∠AOC、∠BOD
B．∠AOD=∠AOB+∠AOC
C．∠BOC=12∠AOD−∠AOB
D．∠COD=12(∠AOD−∠BOC)
【变式5-2】（2023上·贵州铜仁·七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（ ）
∠AOM=3∠NOCB．∠AOM=2∠NOC
C．2∠AOM=3∠NOCD．3∠AOM=5∠NOC
【变式5-3】（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，现给出以下4个结论：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF−∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=12∠COF+∠BOF其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号） ．
【题型6 根据角与角之间的关系求角度】
【例6】（2023上·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知∠AOB=120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．
(1)如图1，若∠AOD=90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；
(2)作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC=α．
①如图2，当0°<α<60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；
②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．
【变式6-1】（2023上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，OE平分∠BOD，∠AOB=90°，∠COD=110°，∠AOD=40°，求∠COE的度数．
【变式6-2】（2023下·山东泰安·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD=90∘．
(1)如图1，过点O作射线OE，使OE平分∠AOC，当∠COE=25∘时，∠BOD的度数为多少？
(2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE的数量关系．
【变式6-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．
数学课上，老师提出了如下问题：已知点O在直线AB上，∠COE=90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC=2∠AOD．当∠BOC=40°时，如图1所示，求∠DOE的度数．
甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）
解：如图2，∵点O在直线AB上，
∴∠AOB= °，
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC= °，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC= °，
∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，
∴∠DOE= °．
乙同学：“我认为还有一种情况．”
请完成以下问题：
(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．
(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．
(3)将题目中“∠BOC=40°”的条件改成“∠BOC=α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD=∠BOE成立？请直接写出此时α的值．
【题型7 线段中的分类讨论思想问题】
【例7】（2023上·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为 ．
【变式7-1】（2023上·山西晋城·七年级统考期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，且AB=9cm．
(1)图中共有___________条线段；
(2)求AD的长；
(3)若点E在直线AB上，且EA=3cm，直接写出DE的长．
【变式7-2】（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知，直线l上线段AB=6、线段CD=2(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)．
(1)若线段BC=1，则线段AD= ；
(2)如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；
(3)若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN=2DN，求线段CD运动的时间．
【变式7-3】（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A−C−B，若该折线A−C−B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”．
（1）若AC=BC，点D与 重合（填A、B、C）；
（2）若E为线段AC中点，EC=5cm，CD=2cm，则BC的长为 ．
【题型8 角度中的分类讨论思想问题】
【例8】（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC=40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE=23∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH=90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF=3∠BOH，∠COE>90°直接写出∠AOH的度数．
【变式8-1】（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，则∠BOC的度数是 ．
【变式8-2】（2023上·广东肇庆·七年级统考期末）在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，求∠BOD的度数．
【变式8-3】（2023上·广东珠海·七年级统考期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)在图1中，若∠AOC=28°，求∠DOE的度数；
(2)在图1中，若∠AOC=α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，且保持射线OC在直线AB上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE=32∠DOB？
【题型9 展开与折叠】
【例9】（2023上·江西九江·七年级统考期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究如下：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的_________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“小”字相对的字是_________．
【变式9-1】（2023上·河北保定·七年级统考期末）下列4个平面图，能沿虚线折叠围成几何体的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-2】（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点A，B在围成的正方体上的距离是 ．
【变式9-3】（2023上·山东威海·七年级统考期末）如图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，得到一个三角形．在得到的三角形的三个内角各剪去一个圆，然后将纸片展开，得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
专题4.10 直线与角章末九大题型总结（培优篇）
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2891" 【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】 PAGEREF _Tc2891 \h 1
\l "_Tc25690" 【题型2 根据线段间的关系判断结论】 PAGEREF _Tc25690 \h 4
\l "_Tc10152" 【题型3 根据线段间的关系求线段长度】 PAGEREF _Tc10152 \h 8
\l "_Tc15102" 【题型4 钟表中的角度计算】 PAGEREF _Tc15102 \h 11
\l "_Tc20268" 【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】 PAGEREF _Tc20268 \h 18
\l "_Tc13896" 【题型6 根据角与角之间的关系求角度】 PAGEREF _Tc13896 \h 22
\l "_Tc11119" 【题型7 线段中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Tc11119 \h 29
\l "_Tc19508" 【题型8 角度中的分类讨论思想问题】 PAGEREF _Tc19508 \h 34
\l "_Tc10787" 【题型9 展开与折叠】 PAGEREF _Tc10787 \h 39
【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】
【例1】（2023上·河南·七年级河南省实验中学校考期中）下列语句正确的有( )
（1）线段AB就是A、B两点间的距离；
（2）画射线AB=10cm；
（3）A，B两点之间的所有连线中，最短的是线段AB；
（4）在直线上取A，B，C三点，若AB=5cm，BC=2cm，则AC=7cm．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据两点之间距离的定义可以判断A、C，根据射线的定义可以判断B，据题意画图可以判断D．
【详解】∵线段AB的长度是A、 B两点间的距离，
∴（1）错误；
∵射线没有长度，
∴（2）错误；
∵两点之间，线段最短
∴（3）正确；
∵在直线上取A，B，C三点，使得AB=5cm，BC=2cm，
当C在B的右侧时，如图，
AC=5+2=7cm
当C在B的左侧时，如图，
AC=5-2=3cm，
综上可得AC=3cm或7cm，
∴（4）错误；
正确的只有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段与射线的定义，线段的和差，熟记基本定义，以及两点之间线段最短是解题的关键．
【变式1-1】（2023上·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n−m的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据线段的定义和小于平角的角的性质得出m，n的值，再代入求解即可．
【详解】由题意得m=7，n=8
故n−m=8−7=1
故答案为：D．
【点睛】本题考查了线段和平角的问题，掌握线段的定义和平角的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2023上·天津北辰·七年级统考期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经过点C．其中结论正确的结论是 ．
【答案】①③
【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解．
【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确；
②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误；
③射线AC和射线AD是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确；
④直线BD和直线BC相交于点B，直线BD经过点B，不经过点C，故④说法错误，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义．
【变式1-3】（2023上·七年级单元测试）如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:
(1)画直线AB、射线AD；
(2)画∠CDB；
(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用直线以及射线的定义画出图形即可；
（2）利用角的定义作射线DC，DB即可；
（3）连接AC，与BD的交点即为所求．
【详解】解：（1）如图所示：直线AB、射线AD即为所求；
（2）如图所示：∠CDB即为所求；
（3）如图所示：点P即为所求．
【点睛】此题主要考查了直线、射线以及角的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【题型2 根据线段间的关系判断结论】
【例2】（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB=20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．若BE−DE=0，则AE−CD=7B．若BE−DE=2，则AE−CD=7
C．若BE−DE=4，则AE−CD=7D．若BE−DE=6，则AE−CD=7
【答案】D
【分析】先利用中点的含义及线段的和差关系证明AE−CD=CE,再逐一分析即可得到答案.
【详解】解：∵ C为AD的中点，
∴AC=CD=12AD,
∵ BE−DE=0，则BE=DE=12BD,
∴AE−CD=AC+CD+DE−CD=AC+DE=CD+DE=CE=12AB=10,
故A不符合题意；
∵ BE−DE=2，则BE=DE+2,
∴2CD+DE+DE+2=20,
∴CD+DE=CE=9,
同理：AE−CD=CE=9, 故B不符合题意；
∵ BE−DE=4，则BE=DE+4,
∴2CD+DE+DE+4=20,
∴CD+DE=CE=8,
同理：AE−CD=CE=8, 故C不符合题意；
∵ BE−DE=6，则BE=DE+6,
∴2CD+DE+DE+6=20,
∴CD+DE=CE=7,
同理：AE−CD=CE=7, 故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的和差关系即中点的含义证明AE−CD=CE”是解本题的关键
【变式2-1】（2023上·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：
①图中的点D，P，C，E都是动点；
②AD>BE；
③AB=2DE；
④当AC=BC时，点P与点C重合．
其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【分析】①由题意可知随着C的运动，D、P、E都在动，故正确；
②可以推得当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，AC
④由题意，当AC=BC时，C为DE中点，根据已知，P也为DE中点，所以点P与点C重合．
【详解】解：①∵点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，∴D、E随着C的运动而运动，点P随着D、E的运动而运动，因此，随着C的运动，D、P、E都在动，∴本选项正确；
②∵AD=12AC，BE=12BC，
∴当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，由于AC
∴DE=12AB，即AB=2DE，∴本选项正确；
④由③可知，当AC=BC时，DC=EC，所以C为DE中点，
又P也为DE中点，∴点P与点C重合，∴本选项正确．
故答案为①③④．
【点睛】本题考查中点的应用，熟练掌握中点的意义和性质并灵活应用是解题关键．
【变式2-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB，D是线段AB的中点，E是BC的三等分点，则下列结论：①EC=13AE，②DE=5BD，③BE=13AE+BC，④AE=65BC−AD，其中正确结论的有（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案．
【详解】解：∵ E是BC的三等分点，BC=3AB，
∴EC=13BC，AB=13BC，
∴AB=EC，
∴AB+BE=EC+BE，
∴AE=BC，
∴EC=13AE，
故①正确；
∵EC=13AE，
∴AE=3EC，
∵AB=EC，
∴AE=3AB，
∵ D是线段AB的中点，
∴AD=BD=12AB，
∴DE=AE−AD=3AB−12AB=52AB，
∴DE=52×2BD=5BD，
故②正确；
∵BE=2AB，AE=3AB
∴12AE+BC=123AB+3AB=3AB，
∵BE=AE−AB=3AB−AB=2AB，
∴BE12AE+BC=2AB3AB=23，
∴BE=23×12AE+BC=13AE+BC，
故③正确；
∵BC=3AB，AD=12AB，
∴65BC−AD=653AB−12AB=3AB，
∵AE=3AB，
∴AE=65BC−AD，
故④正确；
综上，正确的有①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键．
【变式2-3】（2023上·福建泉州·七年级校联考期末）如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据AB=30，BC比AC的4倍少20可分别求出AC与BC的长度；分别表示出BM、BQ，由QM=BM+BQ即可得QM的值；由N为QM的中点得NQ=12QM可得NQ的值；当BQ=PB时，可得30-2t=t，此时t=10秒，综上所述即可得结论．
【详解】∵AB=30，BC比AC的4倍少20，
∴AC=10，BC=20，
∴BC=2AC，①正确；
∵P、Q两点的运动速度分别为2单位/秒和1单位/秒的速度，
∴BP=30-2t，BQ=t，
∵M为BP的中点，N为QM的中点，
∴PM=MB=15-t，MQ=MB+BQ=15，NQ=7.5，
∴运动过程中，QM的长度保持不变，AB=4NQ，②③正确；
∵PB=30-2t，BQ=t，当BQ=PB时，，
∴30-2t=t，
解方程得：t=10，④错误；
∴①②③项结论正确．
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的性质，两点间的距离，解题的关键是运用数形结合的思想推出相关线段之间的关系式.
【题型3 根据线段间的关系求线段长度】
【例3】（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，已知线段AB=23，BC=15，点M是AC的中点．
(1)求线段AM的长；
(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=2:3，求线段MN的长．
【答案】(1)4
(2)MN的长度是10
【分析】（1）根据线段的和差关系，可得AC=8，根据点M是AC的中点，可得AM=12AC；
（2）由CN:NB=2:3，求得CN=6,根据点M是AC的中点，求得MC，根据MN=MC+NC即可求解．
【详解】（1）解：线段AB=23，BC=15，
∴AC=AB−BC=23−15=8，
又∵点M是AC的中点．
∴AM=12AC=12×8=4，即线段AM的长度是4；
（2）解：∵BC=15，CN:NB=2:3，
∴CN=25BC=25×15=6，
又∵点M是AC的中点，AC=8，
∴MC=12AC=4，
∴MN=MC+NC=4+6=10，即MN的长度是10 ．
【点睛】本题考查了线段和差的计算，线段中点的定义，数形结合是解题的关键．
【变式3-1】（2023上·河北承德·七年级统考期末）根据题意，补全解题过程．
如图，已知点C为线段AB的中点，E为线段AB上一点，且AE:EB=2:5，若EC=3，求线段AB的长度．
解：设AE=2x，
∵AE:EB=2:5，
∴EB=______，
∴AB=AE+______=______，
∵C为AB的中点，
∴AC=______=______，
∴EC=______−AE=______，
∵EC=3，
∴x=______，
∴AB=7x=______．
【答案】5x；EB；7x；12AB或BC；3.5x；AC；1.5x；2；14
【分析】根据线段之间的关系按照推理过程即可解答．
【详解】设AE=2x，
∵AE:EB=2:5，
∴EB=5x，
∴AB=AE+EB=7x，
∵C为AB的中点，
∴AC=BC=3.5x，
∴EC=AC−AE=1.5x，
∵EC=3，
∴x=2，
∴AB=7x=14，
故答案为：5x；EB；7x；12AB或BC；3.5x；AC；1.5x；2；14．
【点睛】本题考查了两点间的距离以及推理过程的完整书写，解题的关键是正确理解题干中的信息和把握图中的线段关系．
【变式3-2】（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图，线段BD=13AB=14CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN=20cm，求AC的长．
【答案】48cm
【分析】根据等式的性质，可得AB与BD的关系，CD与BD的关系，根据线段中点的性质，可得AM与BM的关系，DN与NC的关系，根据线段的和差，可得BD的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：∵BD=13AB=14CD，
∴ AB=3BD，CD=4BD．
∵点M、N分别是线段AB、CD的中点，
AM=BM=12AB=32BD，DN=CN=12CD=2BD．
∵BN=DN−BD=2BD−BD=BD，BC=CD−BD=4BD−BD=3BD，
∴MN=BM+BN=32BD+BD=52BD=20．
解得BD=8．
∴AC=AB+BC=3BD+3BD=6BD=48cm．
【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点的性质，熟练的利用线段的和差倍分关系建立方程解题是关键．
【变式3-3】（2023上·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=12，AC=8，求MN的长；
（2）设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长；
②若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，直接写出MN的值．
【答案】（1）6；（2）①23a；②n−1na
【分析】（1）由中点的定义可得MC=12AC,CN=12BC，然后根据MN=MC+CN求解即可；
（2）由AM=13AC，BN=13BC可得MC=23AC,CN=23BC，然后根据MN=MC+CN求解即可；
（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：（1）∵M，N分别是AC，BC的中点
∴MC=12AC,CN=12BC
∵AB=12
∴MN=MC+CN=12AC+12BC=12AB=12×12=6
（2）①∵AM=13AC,BN=13BC
∴MC=23AC,CN=23BC
∵AB=a
∴MN=MC+CN=23AC+23BC=23AB=23a；
②∵AM=1nAC，BN=1nBC
∴CM=n−1nAC，CN=n−1nBC
∴MN=CM+MN=CM+CN=n−1nAC+n−1nBC=n−1nAB
∴AB=a
∴MN=n−1na．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【题型4 钟表中的角度计算】
【例4】（2023上·浙江金华·七年级统考期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．
(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．
(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．
(3)设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
【答案】(1)75°
(2)48011分钟
(3)48013分钟或96023分钟或48分钟
【分析】（1）根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹的锐角的度数；
（2）计算出8：00时时针与分针所夹钝角的度数，设x分钟后分针第一次追上时针，利用追击问题列方程，即可求解；
（3）分OB平分∠QOP，OP平分∠QOB，OQ平分∠POB三种情况，利用角的和、差、倍数关系列方程，即可求解．
【详解】（1）解：8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，
2.5×30°=75°，
即分针与时针所夹的锐角的度数是75°．
（2）解：设x分钟后分针第一次追上时针．
8：00时，时针与分针所夹钝角是8个大格，
8×30°=240°，
由题意，6x−0.5x=240，
解得x=48011，
即8：00开始48011分钟后分针第一次追上时针．
（3）解：设运动m分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．分三种情况：
如图①，当OB平分∠QOP时，∠QOB=∠POB，
∴0.5m=240−6m，
解得m=48013；
如图②，当OP平分∠QOB时，∠QOB=2∠POB，
∴0.5m=26m−240，
解得m=96023；
如图③，当OQ平分∠POB时，∠POB=2∠QOB，
∴6m−240=2×0.5m，
解得m=48；
综上，运动48013分钟或96023分钟或48分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，以及角平分线的定义，能够计算出任一时刻时针与分针之间的角度是解题的关键．
【变式4-1】（2023上·福建宁德·七年级统考期末）如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是 ．
【答案】72013
【分析】根据题意可得当分针转一圈再回到秒针左侧时，秒针再次平分时针与分针夹角，此时经过的时间最少，分针每分钟走360°60°=6°，时针每分钟走30°60°=12°，根据题意得：∠AOB=∠BOC=45°，经过m分钟后，∠AOA1=360°−6°×m，∠COB1=12°×m，列出方程360−6m+45=45+12m，即可得出答案．
【详解】解：
∵3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，分针在秒针的左侧，秒针不动，
∴当分针转一圈再回到秒针左侧时，秒针再次平分时针与分针夹角，此时经过的时间最少，
分针每分钟走360°60°=6°，时针每分钟走30°60°=12°，
根据题意得：∠AOB=∠BOC=45°，
经过m分钟后，∠AOA1=360°−6°×m，∠COB1=12°×m，
∵OB平分∠A1OB1，
∴∠A1OB=∠BOB1，
∴∠A1OA+∠AOB=∠BOC+∠B1OC，
∴360−6m+45=45+12m，
解得：m=72013，
故答案为：72013．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，正确理解题意列出方程是解题的关键．
【变式4-2】（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t秒（t>0），请你试着解决他们提出的下列问题：
(1)当t=3秒时，求∠AOB的度数；
(2)当OA与OB第三次重合时，求∠BOM的度数；
(3)在OA与OB第四次重合前，当t=___________时，直线MN平分∠AOB．
【答案】(1)120°
(2)45°
(3)18或54秒
【分析】（1）根据∠AOB=180°−∠AON−∠BON，求出∠AON、∠BON即可．
（2）设t秒后第三次重合，由题意得15t+5t=360×2+180，解方程求出t，进一步即可求出∠BOM的度数．
（3）先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后根据∠BON=∠AON求出t的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：当t=3秒时，
∴∠AOM=15°×3=45°，∠BON=5°×3=15°，
∴∠AOB=180°−45°−15°=120°；
（2）解：设t秒后第三次重合，由题意得
15t+5t=360×2+180，
解得t=45，
5°×45−180°=45°．
答：∠BOM的度数为45°；
（3）解：在OA与OB第一次重合前，直线MN不可能平分∠AOB；
在OA与OB第一次重合后第二次重合前，
∠BON=5t°，∠AON=15t−180°
依题意有5t=15t−180，
解得t=18；
在OA与OB第二次重合后第三次重合前，直线MN不可能平分∠AOB；
在OA与OB第三次重合后第四次重合前，
∠BON=360−5t°，∠AON=360×2+180−15t°=900−15t°，
依题意有360﹣5t=900−15t，
解得t=54．
故当t=18或54秒时，直线MN平分∠AOB．
故答案为：18或54秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式4-3】（2023上·山东济南·七年级统考期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．
(1)∠BOM＝________；
(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；
(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
【答案】(1)30°
(2)20°或40°
(3)8011分钟
【分析】（1）根据角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据题意分类讨论，分为射线OC在∠AOB内部和外部两种情况计算即可；
（3）根据钟表转动求出时针和分针转动的速度，再根据分针转动的角度-时针转动的角度=∠AOB增加的度数，建立方程解出答案即可．
【详解】（1）解：∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，
∴∠BOM=12∠AOB=12×60°=30°；
（2）当射线OC在∠AOB内部时，如图所示，
∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，
∴∠BON=12∠BOC=12×20°=10°，
∴∠MON=∠BOM−∠BON=30°−10°=20°；
当射线OC在∠AOB外部时，如图所示，
∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，
∴∠BON=12∠BOC=12×20°=10°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=30°+10°=40°；
综上所述，∠MON的度数为20°或40°；
（3）∵OM平分∠AOB，∠BOM＝50°
∴∠AOB=2∠BOM=100°
设经过x分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°，
∵分针OB的运动速度为每分钟转动：360°60=6°，
时针OA的运动速度为每分钟转动：360°12×60=0.5°，
∴6°x−0.5°x=100°−60°，
解得x=8011，
所以经过8011分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，分类讨论思想，一元一次方程的应用之行程问题，分类讨论思想和方程思想是本题的关键．
【题型5 根据角与角之间的关系判断结论】
【例5】（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12∠AOE+∠BOC；④∠AOE=65∠BOC−∠AOD．其中正确结论有 （写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，得到∠AOB=∠COE，进而得到∠AOE=∠BOC，根据OD是∠AOB的平分线，得到∠AOD=∠BOD=12∠AOB，再根据角之间的和差，倍数关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，
∴∠AOB=∠COE，
∴∠AOB+∠BOE=∠COE+∠BOE，
∴∠AOE=∠BOC，
∴∠AOE=3∠COE，∠AOE=3∠AOB，
∴∠COE=13∠AOE；故①正确；
∴∠BOE=2∠AOB，
∵OD是∠AOB的平分线，
∴∠BOD=∠AOD=12∠AOB，
∴∠BOE=2∠AOB=4∠BOD，
∴∠DOE=5∠BOD，故②正确；
∵∠AOE=3∠AOB，∠BOC=3∠AOB，
∴∠AOE+∠BOC=6∠AOB，
∴12∠AOE+∠BOC=3∠AOB，
∵∠BOE=2∠AOB，
∴∠BOE≠12∠AOE+∠BOC，故③错误；
∵65∠BOC−∠AOD=653∠AOB−12∠AOB=3∠AOB，∠AOE=3∠AOB，
∴∠AOE=65∠BOC−∠AOD；故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．
【变式5-1】（2023上·江苏苏州·七年级校联考期末）如图，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列结论中错误的是（ ）
A．OB、OC分别平分∠AOC、∠BOD
B．∠AOD=∠AOB+∠AOC
C．∠BOC=12∠AOD−∠AOB
D．∠COD=12(∠AOD−∠BOC)
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和角的和差逐一进行判断即可．
【详解】A、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴OB、OC分别平分∠AOC、∠BOD，故正确；
B、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD=∠AOB+∠AOC，故正确；
C、∵∠BOC═∠AOC-∠AOB，
∵∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴∠AOC=23∠AOD，
∴∠BOC=23∠AOD-∠AOB，故错误；
D、∵∠AOB=∠COD，
∴∠COD=∠AOD-∠BOC-∠AOB，
∴2∠COD=∠AOD-∠BOC，
∴∠COD=12(∠AOD-∠BOC)，故正确，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义和角的和差是解题的关键．
【变式5-2】（2023上·贵州铜仁·七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（ ）
∠AOM=3∠NOCB．∠AOM=2∠NOC
C．2∠AOM=3∠NOCD．3∠AOM=5∠NOC
【答案】B
【分析】先求解2∠BON=180°−2∠AOM,利用角平分线的定义再求解∠AOM=180°−2∠BOC=180°−2∠BON−2∠CON,从而可得答案.
【详解】解：∵∠MON=90°,
∴∠AOM=90°−∠BON,
∴2∠BON=180°−2∠AOM,
∵OC平分∠BOM,
∴∠MOC=∠BOC=12∠MOB,
∴∠AOM=180°−2∠BOC=180°−2∠BON−2∠CON,
∴∠AOM=180°−(180°−2∠AOM)−2∠CON,
∴∠AOM=2∠CON.
故选B
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练的运用角的和差关系探究角与角之间的关系是解本题的关键.
【变式5-3】（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，现给出以下4个结论：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF−∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=12∠COF+∠BOF其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号） ．
【答案】①②④
【分析】①根据OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出∠AOD=∠COD=12∠AOC，∠BOE=∠COE=12∠BOC，∠AOF=∠BOF=12∠AOB，求出∠DOE=12∠AOB，即可得出结论；
②根据角度之间的关系得出∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠AOF−∠COF=∠BOF−∠COF=∠BOC，即可得出结论；
③无法证明∠AOD=∠BOC；
④根据∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠EOF=∠COD，∠COF+∠BOF=2∠COD，即可得出结论．
【详解】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，
∴∠AOD=∠COD=12∠AOC，∠BOE=∠COE=12∠BOC，
∠AOF=∠BOF=12∠AOB，
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB，
∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE=12∠AOB，
即∠DOE=12∠AOB，
∴∠DOE=∠AOF，故①正确；
②∵∠DOF=∠DOE−∠EOF
=12∠AOB−∠COF+12∠BOC
=12∠AOB−∠COF−12∠BOC
=12∠AOB−∠BOF−∠BOC−12∠BOC
=12∠AOB−12∠AOB−∠BOC−12∠BOC
=12∠AOB−12∠AOB+∠BOC−12∠BOC
=12∠BOC
∠AOF−∠COF=∠BOF−∠COF=∠BOC，
∴2∠DOF=∠AOF−∠COF，故②正确；
③∠AOD与∠BOC不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知，∠DOF=12∠BOC=∠COE，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠COF+∠DOF=∠COD，
∵∠COF+∠BOF=∠COF+∠AOF=∠AOC=2∠COD，
∴∠EOF=12∠COF+∠BOF，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出∠DOF=12∠BOC=∠COE，是解题的关键．
【题型6 根据角与角之间的关系求角度】
【例6】（2023上·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知∠AOB=120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．
(1)如图1，若∠AOD=90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；
(2)作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC=α．
①如图2，当0°<α<60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；
②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．
【答案】(1)∠AOC=∠BOD，理由见解析
(2)①40°②∠COE=12∠BOD
【分析】（1）根据∠AOC=∠AOD−∠COD=30°，∠BOD=∠AOB−∠AOD=30°，即可确定两个角的大小；
（2）①根据角平分线的定义可得∠AOE=2∠AOC=2α，∠COD=∠COE+∠DOE=3α，根据∠COD=60°列方程，求出α的值，再根据∠BOD=∠AOB−∠AOD计算即可；
②分两种情况：当0°<α<60°时，当60°<α<120°时，分别根据角平分线的定义，角的和差计算即可．
【详解】（1）解：∠AOC=∠BOD，理由如下：
∵∠COD=60°，∠AOD=90°，
∴∠AOC=∠AOD−∠COD=30°，
又∵∠AOB=120°
∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=30°，
∴∠BOD=∠AOC；
（2）①∵OC恰好平分∠AOE，
∴∠AOC=∠EOC=α，
∴∠AOE=2∠AOC=2α，
∵OE为∠AOC的平分线，
∴∠DOE=∠AOE=2α，
∴∠COD=∠COE+∠DOE=3α，
∵∠COD=60°，
∴3α=60°，
∴α=20°，
∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=120°−4α=40°；
②分情况讨论：
当0°<α<60°时，
∵∠BOD=∠AOB−∠COD−∠AOC=60°−α，
∵∠AOD=α+60°，OE为∠AOD的平分线，
∴ ∠AOE=12∠AOD=12α+60°，
∴ ∠COE=∠AOE−∠AOC=12a+60°−a=1260°−a，
∴ ∠COE=12∠BOD；
当60°<α<120°时，
∵∠BOD=∠AOC+∠COD−∠AOB=α−60°，
∵∠AOD=α+60°，OE为∠AOD的平分线，
∴ ∠AOE=12∠AOD=12α+60°，
∴ ∠COE=∠AOC−∠AOE=α−12α+60°=12α−60°，
∴ ∠COE=12∠BOD；
综上所述，∠COE=12∠BOD．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
【变式6-1】（2023上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，OE平分∠BOD，∠AOB=90°，∠COD=110°，∠AOD=40°，求∠COE的度数．
【答案】85°
【分析】由余角的定义可求得∠BOD=50°，再由角平分线的定义可得∠DOE=25°，即可求∠COE的度数．
【详解】解：∵∠AOB=90°，∠AOD=40°，
∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=50°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=25°，
∵∠COD=110°，
∴∠COE=∠COD−∠DOE=85°．
【点睛】本题主要考查余角，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
【变式6-2】（2023下·山东泰安·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD=90∘．
(1)如图1，过点O作射线OE，使OE平分∠AOC，当∠COE=25∘时，∠BOD的度数为多少？
(2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE的数量关系．
【答案】(1)40°
(2)∠BOD=2∠COE
【分析】（1）由已知得出∠AOC+∠BOD=90°，由角平分线定义得出∠EOC=12∠AOC，∠BOD=90°−∠AOC，即可得出答案；
（2）由已知得出∠AOC=90°−∠BOD，由角平分线定义得出∠AOE=12∠AOD=1290°+∠AOC=45°−12∠AOC， ∠AOC+∠COE=∠AOE，即可得出答案．
【详解】（1）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵OE为∠AOC的角平分线，
∴∠COE=12∠AOC，
∴∠AOC=25°×2=50°，
∴∠BOD=90°−∠AOC=90°−50°=40°；
（2）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠AOC=90°−∠BOD，
∵OE为∠AOD的角平分线，
∴∠AOC+∠COE=12∠AOD=45°+12∠AOC，即∠AOC=90°−2∠COE，
∴90°−2∠COE=90°−∠BOD，即∠BOD=2∠COE．
【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
【变式6-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．
数学课上，老师提出了如下问题：已知点O在直线AB上，∠COE=90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC=2∠AOD．当∠BOC=40°时，如图1所示，求∠DOE的度数．
甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）
解：如图2，∵点O在直线AB上，
∴∠AOB= °，
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC= °，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC= °，
∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，
∴∠DOE= °．
乙同学：“我认为还有一种情况．”
请完成以下问题：
(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．
(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．
(3)将题目中“∠BOC=40°”的条件改成“∠BOC=α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD=∠BOE成立？请直接写出此时α的值．
【答案】(1)180，140，70，160
(2)正确，理由见解析，∠DOE=60°或160°
(3)α=120°或144°
【分析】（1）根据平角定义和角平分线的定义补充即可；
（2）由题意，还有∠AOD在∠AOC的外部时的情况，根据平角定义求解即可；
（3）由题意，∠BOE=∠COD=α−90°，∠AOC=180°−α，分∠AOD在∠AOC的内部和∠AOD在∠AOC的外部，由∠AOC=2∠AOD求出α即可．
【详解】（1）解：∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=140°，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC=70°，
∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，
∴∠DOE=160°，
故答案为：180；140；70；160；
（2）解：正确，理由如下：
当∠AOD在∠AOC的外部时，如图所示：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=140°，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴∠AOD=70°，
∵∠COE=90°，
∴∠BOE=50°，
∴∠DOE=∠AOB−∠AOD−∠BOE，
∴∠DOE=60°，
综上所述，∠DOE=60°或160°；
（3）解：∵∠BOC=α，∠COD=∠BOE，
∴∠BOE=∠COD=α−90°，∠AOC=180°−α，
当∠AOD在∠AOC的内部时，如图，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，即∠AOC=2∠COD
∴180°−α=2α−90°，
解得：α=120°；
当∠AOD在∠AOC的外部时，如图，
∵∠AOC=2∠AOD，
∴∠AOD=12∠AOC=12(180°−α)，
∵∠COD=∠AOC+∠AOD，
∴α−90°=180°−α+12180°−α，
解得：α=144°，
综上，α=120°或144°．
【点睛】本题考查角的运算、角平分线的有关计算、平角定义，能根据图形进行角度运算，能利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
【题型7 线段中的分类讨论思想问题】
【例7】（2023上·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为 ．
【答案】6或10或16
【分析】由于没有图形，故A,B,C,D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．
【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：
∵ AB=8，BC=3，CD=5，
∴AD=AB+BC−CD=8+3−5=6，
II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD=AB+BC−CD=8+3+5=16，
III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：
∴AD=AB−BC−CD=8−3−5=0，点A、D重合，不合题意，
IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD=AB−BC+CD=8−3+5=10，点A、D重合，不合题意，
综上所述：AD的长为6或10或16
故答案为：6或10或16．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到AD的长度．
【变式7-1】（2023上·山西晋城·七年级统考期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，且AB=9cm．
(1)图中共有___________条线段；
(2)求AD的长；
(3)若点E在直线AB上，且EA=3cm，直接写出DE的长．
【答案】(1)6
(2)6.75cm
(3)3.75cm或9.75cm
【分析】（1）根据线段的定义找出线段即可；
（2）根据线段的中点和两条线段的和的定义，求出结果；
（3）由于点E在直线AB上的具体位置不确定，故应分点E在点A的左边和点E在点A的右边两种情况分别求解．
【详解】（1）图中有6条线段，它们是线段AC，AD，AB，CD，CB，DB．
故答案为：6．
（2）∵点C是线段AB的中点，AB=9cm，
∴ AC=CB=12AB=4.5cm，
∵点D是线段CB的中点，
∴ CD=DB=12CB=2.25cm，
∴ AD=AC+CD=6.75cm
（3）当点E在点A的左边，EA=3cm，
∴ DE=AE+AD=9.75cm，
当点E在点A的右边，EA=3cm，
∴ DE=AD−AE=3.75cm
故答案为：3.75cm或9.75cm．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义和线段和差的定义，熟练掌握各线段之间的和差以及倍数关系是解本题的关键．
【变式7-2】（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知，直线l上线段AB=6、线段CD=2(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)．
(1)若线段BC=1，则线段AD= ；
(2)如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；
(3)若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN=2DN，求线段CD运动的时间．
【答案】(1)7或9
(2)PQ=2；
(3)线段CD运动的时间为2s或18s．
【分析】（1）①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，根据线段的和差即可得到结论；
（2）设BC=x，则AD=AB+BC+CD=8+x，根据线段中点的定义得到PD=12AD=4+12x，CQ=12x，于是得到结论；
（3）线段CD运动的时间为t，则AM=2t，BC=t，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：①当点C在点B的左侧时，
∵AB=6，BC=1，CD=2，
∴AC=5，
∴AD=AC+CD=7；
②当点C在点B的右侧时，
∵AB=6，BC=1，CD=2，
∴AD=AB+BC+CD=9，
∴线段AD=7或9；
故答案为：7或9；
（2）解：设BC=x，
则AD=AB+BC+CD=8+x，
∵点P、Q分别为AD、BC的中点，
∴PD=12AD=4+12x，CQ=12x，
∴PQ=PD−CD−CQ=4+12x−2−12x=2；
（3）解：线段CD运动的时间为t，
则AM=2t，BC=t，
∴BM=AB−AM=6−2t或BM=AM−AB=2t−6，BD=BC+CD=t+2，
∵点N是线段BD的中点，
∴DN=BN=12BD=12t+1，
∵MN=2DN，
∴6−2t+12t+1=212t+1或2t−6−12t+1=212t+1，
解得：t=2或t=18．
故线段CD运动的时间为2s或18s．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，依据线段的和差关系列方程是解决问题的关键．
【变式7-3】（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A−C−B，若该折线A−C−B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”．
（1）若AC=BC，点D与 重合（填A、B、C）；
（2）若E为线段AC中点，EC=5cm，CD=2cm，则BC的长为 ．
【答案】 C 6或14
【分析】（1）由折中点的含义、线段和差关系，可得CD=0，即可确定答案；
（2）分两种情况：点D在线段AC上与点D在线段BC上，利用中点的意义及折中点的含义即可求解．
【详解】（1）解：由折中点含义得：AD=CD+BC，
而AC=BC，AD=AC−CD，
∴AC−CD=CD+AC，
∴CD=0，
即点D与点C重合；
故选：C；
（2）解：当点D在线段AC上时，
则CD+BC=AD=AC−CD，
∴BC=AC−2CD；
∵E为线段AC中点，EC=5cm，
∴AC=2EC=10cm，
∴BC=AC−2CD=10−2×2=6(cm)；
当点D在线段BC上时，如图，
则CD+AC=BD=BC−CD，
∴BC=AC+2CD；
∵E为线段AC中点，EC=5cm，
∴AC=2EC=10cm，
∴BC=AC+2CD=10+2×2=14(cm)；
综上，BC的长为6cm或14cm；
故答案为：6或14．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，线段中点，新定义折中点等知识，分类讨论，结合图形利用线段的和差倍分关系是解题的关键．
【题型8 角度中的分类讨论思想问题】
【例8】（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC=40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE=23∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH=90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF=3∠BOH，∠COE>90°直接写出∠AOH的度数．
【答案】(1)70°
(2)∠COE的度数为24°或120°
(3)170°或140°
【分析】（1）根据角平分线的定义即可求解；
（2）分情况讨论当射线OE在AB上方和下方，即可求解；
（3）
【详解】（1）解：∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=12∠AOC=70°；
（2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE=23∠COE，
∵∠BOE+∠COE=∠BOC，
∴23∠COE+∠COE=40°，
∴∠COE=24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE=23∠COE，
∵∠COE−∠BOE=∠BOC，
∴∠COE−23∠COE=40°，
∴∠COE=120°；
∴∠COE的度数为24°或120°．
（3）解：170°或140°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的倍数关系等．根据题意进行分类讨论是解题关键．
【变式8-1】（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，则∠BOC的度数是 ．
【答案】36°或72°
【分析】分两种情况讨论：①当OB在∠AOC的内部时；②当OB在∠AOC的外部时，分别求解即可得到答案．
【详解】解：①如图，当OB在∠AOC的内部时，
∵∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，
∴∠AOC=54°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=54°−18°=36°；
②如图，当OB在∠AOC的外部时，
∵∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，
∴∠AOC=54°，
∴∠BOC=∠AOC+∠AOB=54°+18°=72°；
综上可知，∠BOC的度数为36°或72°，
故答案为：36°或72°．
【点睛】本题考查了角度的和差计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【变式8-2】（2023上·广东肇庆·七年级统考期末）在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，求∠BOD的度数．
【答案】65°或115°或165°
【分析】分当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部时，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部时，当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，三种情况画出图形求解即可．
【详解】解：如图1所示，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部时，
∵∠AOC=25°，∠COD=50°，
∴∠AOD=25°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=65°；
如图2所示，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部时，
∵∠AOC=25°，∠COD=50°，
∴∠AOD=75°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=165°；
如图3所示，当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，
∵∠AOC=25°，∠COD=50°，
∴∠AOD=25°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=115°；
综上所述，∠BOD的度数为65°或115°或165°．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，画出对应图形是解题的关键．
【变式8-3】（2023上·广东珠海·七年级统考期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)在图1中，若∠AOC=28°，求∠DOE的度数；
(2)在图1中，若∠AOC=α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，且保持射线OC在直线AB上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE=32∠DOB？
【答案】(1)14°
(2)12α
(3)45°或112.5°
【分析】（1）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可；
（2）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可；
（3）分点D在直线AB上方和下方，两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵∠COD是直角，
∴∠COD=90°，
∵∠AOC=28°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=152°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=76°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=14°；
（2）同法（1）可得：∠DOE=∠COD−∠COE=90°−12180°−α，
即：∠DOE=90°−90°+12α=12α；
（3）设∠AOC=α，则∠BOC=180°−α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12×180°−α=90°−12α，
①当点D在直线AB上方时：
∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=90°−α，
∵∠COE=32∠DOB，
∴90°−12α=3290°−α，
解得：α=45°；
②当点D在直线AB下方时：
∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−180°−α=α−90°，
∵∠COE=32∠DOB，
∴90°−12α=32α−90°，
解得：α=112.5°；
综上：当∠AOC的度数是45°或112.5°时，∠COE=32∠DOB．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的计算．正确的识图，理清角之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．
【题型9 展开与折叠】
【例9】（2023上·江西九江·七年级统考期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究如下：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的_________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“小”字相对的字是_________．
【答案】(1)C
(2)环
【分析】（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；
（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；
【详解】（1）解：∵折叠成一个无盖的正方体纸盒，
∴展开图有5个面，
再根据正方体的展开图的特征，可得A选项、B选项中图形不符合题意，
选项C的图形符合题意，
选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，因此选项D不符合题意．
故答案为：C；
（2）解：根据正方体展开图的特征可知，“小”字相对的面为“环”，
答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的面为“环”；
故答案为：环．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键．
【变式9-1】（2023上·河北保定·七年级统考期末）下列4个平面图，能沿虚线折叠围成几何体的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据常见几何体的展开图以及三棱柱三棱锥及其表面展开图的特点逐个分析判断即可求解．
【详解】解：第一个图可以围成三棱锥（四面体）；
第二个，折叠后底面重合，不能围成几何体，
第三个图形能围成三棱柱，
第四个能围城长方体
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键．
【变式9-2】（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点A，B在围成的正方体上的距离是 ．
【答案】2
【分析】将图1折成正方体，然后判断出A，B在正方体中的位置关系，从而可得到AB之间的距离．
【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出AB=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键．
【变式9-3】（2023上·山东威海·七年级统考期末）如图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，得到一个三角形．在得到的三角形的三个内角各剪去一个圆，然后将纸片展开，得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题．
【详解】解：在三角形的角上剪洞，展开后洞肯定还是在角上，排除C和D；
画出折叠线，两个三角形中每个三角形的角上都有一个洞，排除B；
所以答案为A；
故选：A．
【点睛】本题考查学生的空间想象能力和动手实践能力，熟练掌握空间想象能力是解题的关键．
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