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初中数学人教版（2024）七年级上册4.3.1 角测试题
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这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册4.3.1 角测试题，共34页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线OB与射线BO是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（3分）（2023上·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A．12∠2−∠1B．12∠2−32∠1C．12(∠2−∠1)D．13(∠2+∠1)
3．（3分）（2023上·重庆开州·七年级统考期末）如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40°B．45°C．60°D．75°
4．（3分）（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（ ）
A．19cmB．20cmC．21cmD．22cm
5．（3分）（2023上·山东枣庄·七年级校考期末）已知α=36°18'，β=36.18°，γ=36.3°，下面结论正确的是（ ）
A．α＜γ＜β B．γ>α=β C．α=γ>β D．γ＜α＜β
6．（3分）（2023上·重庆江津·七年级统考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA:AP=2:3，OB:BP=3:7.若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ）
A．1:1:2B．2:2:5C．2:3:4D．2:3:5
7．（3分）（2023上·重庆酉阳·七年级统考期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的12条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
A．10∼11点B．7∼8点C．5∼6点D．2∼3点
8．（3分）（2023上·重庆·七年级校考期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB=2DE，线段DE在线段AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDCB的值为（ ）
A．5B．1714C．1714或56D．1110
9．（3分）（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示是一副正方形七巧板（相同的板规定序号相同）．现从七巧板中取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则可以拼成的序号是（ ）
A．②③③④B．①①②③C．①①②④D．①①②⑤
10．（3分）（2023上·山西晋中·七年级统考期末）如图，点O为线段AD外一点，点M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是（ ）
A．以O为顶点的角共有15个
B．若MC=CB，MN=ND，则CD=2CN
C．若M为AB中点，N为CD中点，则MN=12AD−CB
D．若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB，则∠MON=32∠MOC+∠BON
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023上·广东广州·七年级统考期末）如果∠A=30°，则∠A的余角是 度；∠A的补角是 度．
12．（3分）（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）如图是一个正方体的展开图，将展开图折成正方体后，相对的两个面上的数互为倒数，则a+b+c的值为 ．
13．（3分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片ABCD，点P在边AD上，点M，N在边CB上，连接PM，PN．将∠DPN对折，点D落在直线PN上的点D'处，得折痕PE；将∠APM对折，点A落在直线PM上的点A'处，得折痕PF．若∠MPN=30°，则∠EPF= ．
14．（3分）（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知线段AB=8，延长BA至点C，使CB=2AB，点D、E均为线段BA延长线上两点，且BD=4AE，M、N分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，MN的长为 ．
15．（3分）（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，∠AOB=α,OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OAn,OBn分别是∠An−1OM和∠MOBn−1的平分线，则∠AnOBn的度数是 ．
16．（3分）（2023上·浙江温州·七年级统考期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置.开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4.已知CD=74mm，AD2−AC1=50mm，则BE1= mm.
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023上·广东惠州·七年级惠州一中校考期末）按要求解题：
(1)A，B，M，N四点如图所示，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）：
①连接AB；
②在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB；
③连接AN，BM，它们相交于点P；
(2)在（1）题图中，若AB=3cm，D为AB的中点，E为AC的中点，求DE的长．
18．（6分）（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解）
【问题改编】点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．
(1)如图2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．
19．（8分）（2023上·天津·七年级耀华中学校考期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM，ON分别是∠AOC，∠AOD的平分线．
(1)根据题意，补全下列说理过程：
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOC+∠AOD=180°．
又∠AOC+∠___________=180°，
∴∠_________=∠_________．
(2)若∠MOC=68°，求∠AON的度数．
(3)若∠MOC=α，则∠AON=（用α表示）．
20．（8分）（2023上·全国·七年级专题练习）（1）如图，点C在线段AB上，点M在线段AC上，点N在线段BC上．
①已知AC=13,CB=8,，若点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；
②已知AC=13,CB=8,，若点M是AC的中点， BN=34BC，求线段MN的长；
③已知AC=a,CB=b,，若AM=23AC， BN=13BC，请直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）；
（2）若点C在直线AB上，（1）中其他条件不变，已知AC=a,CB=35a，5AM=3CM，3BN=2CN，请直接写出线段MN的长．
21．（8分）（2023下·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
22．（8分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.
(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
23．（8分）（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，将斜边为CD的直角三角板的直角顶点放在点O处，OE平分∠BOC．
(1)如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；
(2)将直角三角板绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究∠AOC和∠DOE度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)在图1中，∠AOC=30°，OP与OD的起始位置重合，再将三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，则t的值为__________秒（直接写出结果）．
第4章 直线与角章末拔尖卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线OB与射线BO是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据直线、线段中点的定义、射线、两点的距离、两点确定一条直线逐个判断即可得．
【详解】解：①经过一点可以画无数条直线，则原说法正确；
②因为点C不一定在线段AB上，所以若线段AC=BC，则点C不一定是线段AB的中点，则原说法错误；
③射线OB与射线BO的端点不同，不是同一条射线，则原说法错误；
④连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，则原说法错误；
⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，则原说法正确；
综上，说法正确的有2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线、线段中点、射线、两点的距离、两点确定一条直线，熟练掌握直线、射线与线段的知识是解题关键．
2．（3分）（2023上·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A．12∠2−∠1B．12∠2−32∠1C．12(∠2−∠1)D．13(∠2+∠1)
【答案】C
【分析】根据平角的性质和余角的定义求解即可．
【详解】解：∵A，O，B在一条直线上，
∴∠1+∠2=180°，
∴12∠1+12∠2=90°，
∠1的余角是90°−∠1=12∠1+12∠2−∠1=12∠2−12∠1=12(∠2−∠1)，
故选：C．
【点睛】本题考查了余角的定义，解题关键是根据平角的定义得出12∠1+12∠2=90°．
3．（3分）（2023上·重庆开州·七年级统考期末）如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【分析】设∠COB=2∠AOC=2x，则∠AOB=3x，根据角平分线的定义可以推出∠COD=0.5x，结合∠COD=20°，即可求出x的值，进而得到∠AOD的度数．
【详解】解：∵∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，
∴设∠COB=2∠AOC=2x，则∠AOB=3x，
∴∠AOD=∠BOD=1.5x
∴∠COD=∠COB−∠BOD=0.5x，
∴0.5x=20°，
解得：x=40°，
∴∠AOD=1.5x=1.5×40°=60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是角度计算，涉及到角平分线的定义以及方程思想，熟练掌握角平分线的定义并灵活运用是解答本题的关键．
4．（3分）（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（ ）
A．19cmB．20cmC．21cmD．22cm
【答案】B
【分析】根据题意可知，所有线段的长度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根据PQ=2cm，线段MN的长度是一个正整数，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
图中以M、P、Q、N这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QN
MP+PQ+QN+MQ+PN+MN
=MN+MN+PQ+MN
=3MN+PQ
∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2，
∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为20．
故选B．
【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．（3分）（2023上·山东枣庄·七年级校考期末）已知α=36°18'，β=36.18°，γ=36.3°，下面结论正确的是（ ）
A．α＜γ＜β B．γ>α=β C．α=γ>β D．γ＜α＜β
【答案】C
【分析】将α=36°18'转化为36.3°，即可得出答案．
【详解】由α=36°18'=36°+18÷60°=36°+0.3°=36.3°，
又因为β=36.18°，γ=36.3°，
所以α=γ>β．
故选：C．
【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键．
6．（3分）（2023上·重庆江津·七年级统考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA:AP=2:3，OB:BP=3:7.若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ）
A．1:1:2B．2:2:5C．2:3:4D．2:3:5
【答案】D
【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.
【详解】设OB=3x，则BP=7x，
∴OP=OB+BP=10x，
∵OA:AP=2:3，
∴OA=4x，AP=6x，
∴AB=OA-OB=x，
将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，再从点B重叠处一起剪开，
得到的三段分别为：2x、3x、5x，
故选：D.
【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意折叠后AB段的长度应是原AB段的2倍，由此计算即可.
7．（3分）（2023上·重庆酉阳·七年级统考期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的12条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
A．10∼11点B．7∼8点C．5∼6点D．2∼3点
【答案】A
【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．
【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表：412×5×360°=24° ，
即时针转了24°，
∵分针每转动1°，时针转动112° ，由此知：
分针转动：24°÷112=288° ，
由每一大格对应30°知：288°÷30°=935 ，
即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：
由此确定此时是10点48分；
故答案为：A．
【点睛】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键．
8．（3分）（2023上·重庆·七年级校考期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB=2DE，线段DE在线段AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDCB的值为（ ）
A．5B．1714C．1714或56D．1110
【答案】B
【分析】设BC=x，则AC=2BC=2x，求得AB=3x，设CE=y，当点E在线段BC之间时，得到AE=2x+y，BE=x−y，求得y=27x，进而即可求出CDCB；当点E在线段AC之间时，同理可求出与条件不符，故舍去；
【详解】设BC=x，则AC=2BC=2x，
∴AB=3x．
∵AB=2DE，
∴DE=32x．
设CE=y，
当点E在线段BC之间时，如图，
∴AE=AC+CE=2x+y，BE=BC−CE=x−y，
∴AD=AE−DE=2x+y−32x=12x+y．
∵AD+ECBE=32，
∴12x+y+yx−y=32，
∴y=27x，
∴CD=DE−CE=32x−y=32x−27x=1714x，
∴CDCB=1714xx=1714；
当点E在线段AC之间时，如图，
∴AE=AC−CE=2x−y，
∴AD=AE−DE=2x−32x−y=12x−y，BE=x+y．
∵AD+ECBE=32，
∴12x−y+yx+y=32，
解得：y=−23x，不符合题意，舍；
综上可得CDCB=1714．
故选B．
【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E的位置．
9．（3分）（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示是一副正方形七巧板（相同的板规定序号相同）．现从七巧板中取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则可以拼成的序号是（ ）
A．②③③④B．①①②③C．①①②④D．①①②⑤
【答案】B
【分析】由题意画出图形可求解．
【详解】解：由题意，B选项可拼成一个小正方形（无空隙不重叠）如下：
故选：B．
【点睛】本题考查了几何图形的想象能力，注意同一个序号的图形有两个时，两个都可以使用．
10．（3分）（2023上·山西晋中·七年级统考期末）如图，点O为线段AD外一点，点M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是（ ）
A．以O为顶点的角共有15个
B．若MC=CB，MN=ND，则CD=2CN
C．若M为AB中点，N为CD中点，则MN=12AD−CB
D．若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB，则∠MON=32∠MOC+∠BON
【答案】B
【分析】由于B选项中的结论是CD=2CN,而CD=CN+ND,因此只要判断ND和CN是否相等即可，根据ND=MN,而MN>CN,因此得到ND>CN，由此得出B选项错误．
【详解】解：以O为顶点的角有6×52=15个，
所以A选项正确；
∵MN=ND，
∴ND>CN,
∴CD=CN+ND>CN+CN,即 CD>2CN,
所以B选项错误；
由中点定义可得：MB=12AB,NC=12CD,
∴MN=MB+CN−CB=12AB+12CD−CB=12AB+CD−CB，
∵AB+CD=AD+CB,
∴MN=12AD+CB−CB=12AD−CB,
所以C选项正确；
由角平分线的定义可得：∠AOC=2∠MOC,∠BOD=2∠BON,
∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠DOB=5∠COB,
∴2∠MOC+2∠BON+∠BOC=5∠BOC,
∴∠MOC+∠BON=2∠BOC,
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=2∠COB+∠COB=3∠COB
32∠MOC+∠BON=32×2∠COB=3∠COB,
∴∠MON=32∠MOC+∠BON,
所以D选项正确，
所以不正确的只有B，
故选：B.
【点睛】本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023上·广东广州·七年级统考期末）如果∠A=30°，则∠A的余角是 度；∠A的补角是 度．
【答案】 60 150
【分析】根据余角和补角的定义列式计算即可．
【详解】解：根据余角的定义，∠A的余角=90°−30°=60°，
根据补角的定义，∠A的补角度数=180°−30°=150°，
故答案为：60，150．
【点睛】本题考查了余角与补角，解题的关键是记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°．
12．（3分）（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）如图是一个正方体的展开图，将展开图折成正方体后，相对的两个面上的数互为倒数，则a+b+c的值为 ．
【答案】74
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“a”与面“2”相对，面“b”与面“4”相对，“c”与面“1”相对．
∴a=12，b=14，c=1，
∴a+b+c=12+14+1=74
故答案为：74．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
13．（3分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片ABCD，点P在边AD上，点M，N在边CB上，连接PM，PN．将∠DPN对折，点D落在直线PN上的点D'处，得折痕PE；将∠APM对折，点A落在直线PM上的点A'处，得折痕PF．若∠MPN=30°，则∠EPF= ．
【答案】75°或105°
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得∠DPN+∠APM=180°−∠MPN=150°，由翻折变换的性质可知∠EPN=12∠DPN，∠FPM=12∠APM，由∠EPF=∠MPN+∠EPN+∠FPM可得答案；当点N在点M的上方时，设∠DPM=x，∠APN=y，则可以得到x+y=180°−∠MPN=150°，由翻折变换的性质可知∠DPE=12∠DPN=12x+30°，∠APF=12∠APM=12y+30°，根据∠EPF=180°−∠DPE+∠APF即可求解．
【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．
∵∠MPN=30°，
∴∠DPN+∠APM=180°−∠MPN=180°−30°=150°，
由翻折变换的性质可知∠EPN=12∠DPN，∠FPM=12∠APM，
∴∠EPN+∠FPM=12×150°=75°，
∴∠EPF=∠MPN+∠EPN+∠FPM=30°+75°=105°．
当点N在点M的下方时，设∠DPM=x，∠APN=y，
则x+y=180°−∠MPN=150°，
由翻折变换的性质可知∠DPE=12∠DPN=12x+30°，∠APF=12∠APM=12y+30°，
∴∠EPF=180°−∠DPE+∠APF=180°−12x+y−30°=75°．
综上所述，满足条件的∠EPF=75°或105°．
故答案为：75°或105°．
【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
14．（3分）（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知线段AB=8，延长BA至点C，使CB=2AB，点D、E均为线段BA延长线上两点，且BD=4AE，M、N分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，MN的长为 ．
【答案】15或29
【分析】分BC=23BD时和BC=13BD时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可．
【详解】解：∵AB=8，CB=2AB，N是线段AB的中点，
∴CB=16，AN=BN=12AB=4，
①若BC=23BD，如图1所示：
∴BD=3AB=24，
∴AD=BD−AB=16，
∵BD=4AE，
∴AE=6，
∴DE=AD−AE=10，
∵M是线段DE的中点，
∴DM=ME=5，
∴MN=BD−DM−BN=15，
②若BC=13BD，如图：
∴BD=3BC=48，
∴AD=BD−AB=40，
∵BD=4AE，
∴AE=12，
∴DE=AD−AE=28，
∵M是线段DE的中点，
∴DM=DE2=14，
∴MN=BD−DM−BN=29；
故答案为：15或29．
【点睛】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．
15．（3分）（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，∠AOB=α,OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OAn,OBn分别是∠An−1OM和∠MOBn−1的平分线，则∠AnOBn的度数是 ．
【答案】α2n
【分析】由角平分线性质推理得∠A1OB1=12α，∠A2OB2=α22，∠A3OB3=α23，据此规律可解答．
【详解】解：∵∠AOB=α，OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，
∴∠A1OM=12∠AOM,∠B1OM=12∠BOM，
∴∠A1OB1=12(∠AOM+∠BOM)=12∠AOB=12α，
∵OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，
∴∠A2OM=12∠A1OM,∠B2OM=12∠B1OM，
∴∠A2OB2=12(∠A1OM+∠B1OM)=12∠A1OB1=12×12∠AOB=14α=α22，
∵OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，
∴∠A3OM=12∠A2OM,∠B3OM=12∠B2OM，
∴∠A3OB3=12(∠A2OM+∠B2OM)=12∠A2OB2=12×12∠A1OB1=12×12×12∠AOB=18α=α23，
…，由此规律得：
∠AnOBn=α2n．
故答案为：α2n．
【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
16．（3分）（2023上·浙江温州·七年级统考期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置.开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4.已知CD=74mm，AD2−AC1=50mm，则BE1= mm.
【答案】24
【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，得出BE1=OD1+OD2=2OD2，再由图形中线段间的关系得出D=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，即可求解．
【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，
由图4得，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，
∴BE1=OD1+OD2=2OD2，
∵AD2−AC1=50mm，
∴AO−OD2−AO−OC1=50mm，
∴OC1−OD2=50mm，
∴OC1=OD2+50，
∵CD=OC+OD=OC1+OD1，
∴CD=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，
∴2OD2=24mm，
∴BE1=24mm，
故答案为：24．
【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023上·广东惠州·七年级惠州一中校考期末）按要求解题：
(1)A，B，M，N四点如图所示，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）：
①连接AB；
②在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB；
③连接AN，BM，它们相交于点P；
(2)在（1）题图中，若AB=3cm，D为AB的中点，E为AC的中点，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE=3cm
【分析】（1）根据题意，作出对应的线段和点即可；
（2）根据题意求得线段AC、AE、AD的长度，由图形可得DE=AE−AD，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：
∵AB=3cm，BC=2AB，
∴BC=6cm，
∴AC=AB+BC=9cm，
又∵D为AB的中点，E为AC的中点，
∴AD=12AB=32cm，AE=12AC=92cm，
∴DE=AE−AD=3cm．
【点睛】本题考查了线段的作图方法和线段中点的性质，线段的和差的计算，解题的关键是掌握线段的作图方法以及有关线段中点的性质．
18．（6分）（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解）
【问题改编】点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．
(1)如图2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．
【答案】(1)∠DOE=25°；
(2)∠DOE=12∠AOC．
【分析】（1）先求∠COB，利用角平分线定义再求∠COE，最终求∠DOE的度数；
（2）设∠AOC=α，再根据（1）的求解过程，用含α的式子表示两个角的数量关系．
【详解】（1）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=40°．
∴∠COB=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12×130°=65°．
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−65°=25°．
（2）设∠AOC=α，则∠BOC=180°−α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=12×180°−α=90°−12α．
∵∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−180°−α=α−90°，
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=α−90°+90°−12α=12α．
∴将图2中的∠COD按图3所示的位置放置时，∠AOC与∠DOE度数间的等量关系为∠DOE=12∠AOC．
【点睛】本题考查了角的和差，角的平分线，平角的性质；关键是弄清角之间的关系，利用数形结合的思想求解．
19．（8分）（2023上·天津·七年级耀华中学校考期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM，ON分别是∠AOC，∠AOD的平分线．
(1)根据题意，补全下列说理过程：
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOC+∠AOD=180°．
又∠AOC+∠___________=180°，
∴∠_________=∠_________．
(2)若∠MOC=68°，求∠AON的度数．
(3)若∠MOC=α，则∠AON=（用α表示）．
【答案】(1)BOC； AOD；BOC；
(2)22°．
(3)90°−α．
【分析】（1）根据∠AOC与∠AOD互补，得出∠AOC+∠AOD=180°．根据∠AOC+∠ BOC =180°，利用同角的补角性质得出∠AOD＝∠BOC．
（2）根据OM是∠AOC的平分线．得出∠AOC＝2∠MOC＝2×68°＝136°，根据∠AOC与∠AOD互补，求出∠AOD＝180°﹣136°＝44°，再根据ON是∠AOD的平分线．可得∠AON＝12∠AOD＝22°．
（3）根据OM是∠AOC的平分线．得出∠AOC＝2∠MOC=2α，根据∠AOC与∠AOD互补，可求∠AOD＝180°﹣2α，根据ON是∠AOD的平分线．得出∠AON＝12∠AOD＝12180°−2α=90°−α．
【详解】（1）解：∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOC+∠AOD=180°．
又∠AOC+∠ BOC =180°，
∴∠AOD＝∠BOC．
故答案为：BOC； AOD；BOC；
（2）解：∵OM是∠AOC的平分线．
∴∠AOC＝2∠MOC＝2×68°＝136°，
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOD＝180°﹣136°＝44°，
∵ON是∠AOD的平分线．
∴∠AON＝12∠AOD＝22°．
（3）解：∵OM是∠AOC的平分线．
∴∠AOC＝2∠MOC=2α，
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOD＝180°﹣2α，
∵ON是∠AOD的平分线．
∴∠AON＝12∠AOD＝12180°−2α=90°−α．
【点睛】本题考查补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算，掌握补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算是解题关键．
20．（8分）（2023上·全国·七年级专题练习）（1）如图，点C在线段AB上，点M在线段AC上，点N在线段BC上．
①已知AC=13,CB=8,，若点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；
②已知AC=13,CB=8,，若点M是AC的中点， BN=34BC，求线段MN的长；
③已知AC=a,CB=b,，若AM=23AC， BN=13BC，请直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）；
（2）若点C在直线AB上，（1）中其他条件不变，已知AC=a,CB=35a，5AM=3CM，3BN=2CN，请直接写出线段MN的长．
【答案】（1）①10.5；②8.5；③13a+23b；（2）173200a或77200a
【分析】（1）①根据线段中点的性质可得，CM=12AC,CN=12BC，由MN=CM+CN，代入计算即可得出答案；
②由点M是AC的中点， BN=34BC，可得CM=12AC,CN=14BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
③由已知AM=23AC,BN=13BC，可得CM=13AC， CN=23BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
（2）由已知5AM＝3CM，3BN＝2CN，可得CM=38AC,CN=25BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案．
【详解】解：（1）①∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=12BC=12×8=4，
∴MN＝CM+CN＝6.5+4＝10.5；
②∵点M是AC的中点， BN=34BC，
∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=14BC=14×8=2，
∴MN＝CM+CN＝6.5+2＝8.5；
③MN=13a+23b；
∵AM=23AC,BN=13BC，
∴CM=13AC=13a,CN=23BC=23b，
∴MN=CM+CN=13a+23b；
（2）MN=173200a或77200a．
∵5AM＝3CM，3BN＝2CN，
∴CM=58AC=58a,CN=25BC=25×35a=625a，
若点C在线段AB上时，
∴MN=CM+CN=(58+625)a=173200a．
若点B在线段AC上时，MN=CM−CN=58a−625a=(58−625)a＝77200a．
综上，线段MN的长为173200a或77200a．
【点睛】本题主要考查了线段中点有关的线段的计算，认真审题，数形结合，明确线段直接的数量关系进行求解是解决本题的关键,（2）小题注意分两种情况讨论．
21．（8分）（2023下·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【答案】(1)是
(2)30°，20°或40°
(3)12α或13α或23α
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；
(2)根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可；
(3) 根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,
∴根据巧分线定义可得OC是这个角的“巧分线”．
故答案为：是．
（2）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×60°=30°；
②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=60°，解得：∠MPQ2=20°；
③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=60°，解得：∠MPQ3=40°．
综上，∠MPQ可以为30°，20°，40°．
（3）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×α=α2；
②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=α，解得：∠MPQ2=13α；
③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=α，解得：∠MPQ3=23α．
综上，∠MPQ可以为α2，13α，23α．
【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．
22．（8分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.
(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
【答案】(1)6；(2) 无关，理由见解析；(3)34m.
【分析】（1）根据中点可得到AC、BC的长，再根据CN=3AN，CM=3BM，可计算出CN、CM，最后根据线段的和差关系进行计算即可；
（2）根据线段之间的关系及CN=3AN，CM=3BM，分别表示出CN、AM及MN，再进行化简即可；
（3）分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可.
【详解】解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8，
∴AC=BC=12AB=4，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=34AC，CM=34BC，
∴CN=3，CM=3，
∴MN=CN+CM=3+3=6;
（2）若C在A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴MN=CM－CN=3BM－3AN，
∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，
∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，
∴CN +2AM－2MN的值与m无关；
（3）①当点C在线段AB上时，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=34AC，CM=34BC，
∴MN=CM+CN=34BC+34AC=34(BC+AC)=34AB=34m；
②当点C在点A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=34AC，BM=14BC，
∴MN=BC－CN－BM=BC－34AC－14BC =34(BC－AC)=34AB=34m；
③当点C在点B的右边，如图所示：
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴AN=14AC，CM=34BC，
∴MN=AC－AN－CM=AC－14AC－34BC =34(AC－BC)=34AB=34m，
综上所述，MN的长度为34m.
【点睛】本题考查线段的计算，分情况讨论，正确找出线段之间的关系是解题的关键.
23．（8分）（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，将斜边为CD的直角三角板的直角顶点放在点O处，OE平分∠BOC．
(1)如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；
(2)将直角三角板绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究∠AOC和∠DOE度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)在图1中，∠AOC=30°，OP与OD的起始位置重合，再将三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，则t的值为__________秒（直接写出结果）．
【答案】(1)15°
(2)∠AOC=2∠DOE，理由见解析
(3)2或4
【分析】（1）根据邻补角互补和角平分线的定义可得∠EOC=75°，再结合∠COD是直角运用角的和差即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠BOC=2∠COE，根据余角的性质可得∠COE=∠BOE=90°−∠DOE，再根据∠AOC=180°−∠BOC=180°−2∠COE并将∠COE=∠BOE=90°−∠DOE代入化简即可解答；
（3）由角∠BOP的三等分线有两条，需分∠POD=13∠POB和∠POD=23∠POB两种情况，分别根据旋转的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC=12∠BOC=75°,
∵∠COD是直角，
∴∠DOE=∠COD−∠EOC=90°−75°=15°．
（2）解：∠AOC=2∠DOE；理由如下：
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE，
∵∠COD=90°，
∴∠COE=∠BOE=90°−∠DOE，
∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−2∠COE=180°−290°−∠DOE，
∴∠AOC=2∠DOE．
（3）解：由角∠BOP的三等分线有两条，需分以下两种情况解答：
①∵射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，
∴∠POD=13∠POB,
∵三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴∠POD=10t；
由（1）可得：∠BOP=180°−30°−90°=60°,
∴∠POD=13∠POB=20°，
∴10t=20，即t=2；
②∵射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，
∴∠POD=23∠POB,
∵三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴∠POD=10t；
由（1）可得：∠BOP=180°−30°−90°=60°,
∴∠POD=23∠POB=40°，
∴10t=40，即t=4．
综上，当t=2或4时，射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的定义、垂直的定义、角三等分线等知识点，灵活运用相关定义是解答本题的关键．
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线OB与射线BO是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（3分）（2023上·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A．12∠2−∠1B．12∠2−32∠1C．12(∠2−∠1)D．13(∠2+∠1)
3．（3分）（2023上·重庆开州·七年级统考期末）如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40°B．45°C．60°D．75°
4．（3分）（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（ ）
A．19cmB．20cmC．21cmD．22cm
5．（3分）（2023上·山东枣庄·七年级校考期末）已知α=36°18'，β=36.18°，γ=36.3°，下面结论正确的是（ ）
A．α＜γ＜β B．γ>α=β C．α=γ>β D．γ＜α＜β
6．（3分）（2023上·重庆江津·七年级统考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA:AP=2:3，OB:BP=3:7.若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ）
A．1:1:2B．2:2:5C．2:3:4D．2:3:5
7．（3分）（2023上·重庆酉阳·七年级统考期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的12条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
A．10∼11点B．7∼8点C．5∼6点D．2∼3点
8．（3分）（2023上·重庆·七年级校考期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB=2DE，线段DE在线段AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDCB的值为（ ）
A．5B．1714C．1714或56D．1110
9．（3分）（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示是一副正方形七巧板（相同的板规定序号相同）．现从七巧板中取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则可以拼成的序号是（ ）
A．②③③④B．①①②③C．①①②④D．①①②⑤
10．（3分）（2023上·山西晋中·七年级统考期末）如图，点O为线段AD外一点，点M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是（ ）
A．以O为顶点的角共有15个
B．若MC=CB，MN=ND，则CD=2CN
C．若M为AB中点，N为CD中点，则MN=12AD−CB
D．若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB，则∠MON=32∠MOC+∠BON
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023上·广东广州·七年级统考期末）如果∠A=30°，则∠A的余角是 度；∠A的补角是 度．
12．（3分）（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）如图是一个正方体的展开图，将展开图折成正方体后，相对的两个面上的数互为倒数，则a+b+c的值为 ．
13．（3分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片ABCD，点P在边AD上，点M，N在边CB上，连接PM，PN．将∠DPN对折，点D落在直线PN上的点D'处，得折痕PE；将∠APM对折，点A落在直线PM上的点A'处，得折痕PF．若∠MPN=30°，则∠EPF= ．
14．（3分）（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知线段AB=8，延长BA至点C，使CB=2AB，点D、E均为线段BA延长线上两点，且BD=4AE，M、N分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，MN的长为 ．
15．（3分）（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，∠AOB=α,OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OAn,OBn分别是∠An−1OM和∠MOBn−1的平分线，则∠AnOBn的度数是 ．
16．（3分）（2023上·浙江温州·七年级统考期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置.开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4.已知CD=74mm，AD2−AC1=50mm，则BE1= mm.
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023上·广东惠州·七年级惠州一中校考期末）按要求解题：
(1)A，B，M，N四点如图所示，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）：
①连接AB；
②在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB；
③连接AN，BM，它们相交于点P；
(2)在（1）题图中，若AB=3cm，D为AB的中点，E为AC的中点，求DE的长．
18．（6分）（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解）
【问题改编】点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．
(1)如图2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．
19．（8分）（2023上·天津·七年级耀华中学校考期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM，ON分别是∠AOC，∠AOD的平分线．
(1)根据题意，补全下列说理过程：
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOC+∠AOD=180°．
又∠AOC+∠___________=180°，
∴∠_________=∠_________．
(2)若∠MOC=68°，求∠AON的度数．
(3)若∠MOC=α，则∠AON=（用α表示）．
20．（8分）（2023上·全国·七年级专题练习）（1）如图，点C在线段AB上，点M在线段AC上，点N在线段BC上．
①已知AC=13,CB=8,，若点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；
②已知AC=13,CB=8,，若点M是AC的中点， BN=34BC，求线段MN的长；
③已知AC=a,CB=b,，若AM=23AC， BN=13BC，请直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）；
（2）若点C在直线AB上，（1）中其他条件不变，已知AC=a,CB=35a，5AM=3CM，3BN=2CN，请直接写出线段MN的长．
21．（8分）（2023下·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
22．（8分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.
(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
23．（8分）（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，将斜边为CD的直角三角板的直角顶点放在点O处，OE平分∠BOC．
(1)如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；
(2)将直角三角板绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究∠AOC和∠DOE度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)在图1中，∠AOC=30°，OP与OD的起始位置重合，再将三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，则t的值为__________秒（直接写出结果）．
第4章 直线与角章末拔尖卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线OB与射线BO是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据直线、线段中点的定义、射线、两点的距离、两点确定一条直线逐个判断即可得．
【详解】解：①经过一点可以画无数条直线，则原说法正确；
②因为点C不一定在线段AB上，所以若线段AC=BC，则点C不一定是线段AB的中点，则原说法错误；
③射线OB与射线BO的端点不同，不是同一条射线，则原说法错误；
④连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，则原说法错误；
⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，则原说法正确；
综上，说法正确的有2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线、线段中点、射线、两点的距离、两点确定一条直线，熟练掌握直线、射线与线段的知识是解题关键．
2．（3分）（2023上·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A．12∠2−∠1B．12∠2−32∠1C．12(∠2−∠1)D．13(∠2+∠1)
【答案】C
【分析】根据平角的性质和余角的定义求解即可．
【详解】解：∵A，O，B在一条直线上，
∴∠1+∠2=180°，
∴12∠1+12∠2=90°，
∠1的余角是90°−∠1=12∠1+12∠2−∠1=12∠2−12∠1=12(∠2−∠1)，
故选：C．
【点睛】本题考查了余角的定义，解题关键是根据平角的定义得出12∠1+12∠2=90°．
3．（3分）（2023上·重庆开州·七年级统考期末）如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【分析】设∠COB=2∠AOC=2x，则∠AOB=3x，根据角平分线的定义可以推出∠COD=0.5x，结合∠COD=20°，即可求出x的值，进而得到∠AOD的度数．
【详解】解：∵∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，
∴设∠COB=2∠AOC=2x，则∠AOB=3x，
∴∠AOD=∠BOD=1.5x
∴∠COD=∠COB−∠BOD=0.5x，
∴0.5x=20°，
解得：x=40°，
∴∠AOD=1.5x=1.5×40°=60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是角度计算，涉及到角平分线的定义以及方程思想，熟练掌握角平分线的定义并灵活运用是解答本题的关键．
4．（3分）（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（ ）
A．19cmB．20cmC．21cmD．22cm
【答案】B
【分析】根据题意可知，所有线段的长度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根据PQ=2cm，线段MN的长度是一个正整数，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
图中以M、P、Q、N这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QN
MP+PQ+QN+MQ+PN+MN
=MN+MN+PQ+MN
=3MN+PQ
∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2，
∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为20．
故选B．
【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．（3分）（2023上·山东枣庄·七年级校考期末）已知α=36°18'，β=36.18°，γ=36.3°，下面结论正确的是（ ）
A．α＜γ＜β B．γ>α=β C．α=γ>β D．γ＜α＜β
【答案】C
【分析】将α=36°18'转化为36.3°，即可得出答案．
【详解】由α=36°18'=36°+18÷60°=36°+0.3°=36.3°，
又因为β=36.18°，γ=36.3°，
所以α=γ>β．
故选：C．
【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键．
6．（3分）（2023上·重庆江津·七年级统考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA:AP=2:3，OB:BP=3:7.若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ）
A．1:1:2B．2:2:5C．2:3:4D．2:3:5
【答案】D
【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.
【详解】设OB=3x，则BP=7x，
∴OP=OB+BP=10x，
∵OA:AP=2:3，
∴OA=4x，AP=6x，
∴AB=OA-OB=x，
将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，再从点B重叠处一起剪开，
得到的三段分别为：2x、3x、5x，
故选：D.
【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意折叠后AB段的长度应是原AB段的2倍，由此计算即可.
7．（3分）（2023上·重庆酉阳·七年级统考期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的12条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
A．10∼11点B．7∼8点C．5∼6点D．2∼3点
【答案】A
【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．
【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表：412×5×360°=24° ，
即时针转了24°，
∵分针每转动1°，时针转动112° ，由此知：
分针转动：24°÷112=288° ，
由每一大格对应30°知：288°÷30°=935 ，
即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：
由此确定此时是10点48分；
故答案为：A．
【点睛】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键．
8．（3分）（2023上·重庆·七年级校考期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB=2DE，线段DE在线段AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDCB的值为（ ）
A．5B．1714C．1714或56D．1110
【答案】B
【分析】设BC=x，则AC=2BC=2x，求得AB=3x，设CE=y，当点E在线段BC之间时，得到AE=2x+y，BE=x−y，求得y=27x，进而即可求出CDCB；当点E在线段AC之间时，同理可求出与条件不符，故舍去；
【详解】设BC=x，则AC=2BC=2x，
∴AB=3x．
∵AB=2DE，
∴DE=32x．
设CE=y，
当点E在线段BC之间时，如图，
∴AE=AC+CE=2x+y，BE=BC−CE=x−y，
∴AD=AE−DE=2x+y−32x=12x+y．
∵AD+ECBE=32，
∴12x+y+yx−y=32，
∴y=27x，
∴CD=DE−CE=32x−y=32x−27x=1714x，
∴CDCB=1714xx=1714；
当点E在线段AC之间时，如图，
∴AE=AC−CE=2x−y，
∴AD=AE−DE=2x−32x−y=12x−y，BE=x+y．
∵AD+ECBE=32，
∴12x−y+yx+y=32，
解得：y=−23x，不符合题意，舍；
综上可得CDCB=1714．
故选B．
【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E的位置．
9．（3分）（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示是一副正方形七巧板（相同的板规定序号相同）．现从七巧板中取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则可以拼成的序号是（ ）
A．②③③④B．①①②③C．①①②④D．①①②⑤
【答案】B
【分析】由题意画出图形可求解．
【详解】解：由题意，B选项可拼成一个小正方形（无空隙不重叠）如下：
故选：B．
【点睛】本题考查了几何图形的想象能力，注意同一个序号的图形有两个时，两个都可以使用．
10．（3分）（2023上·山西晋中·七年级统考期末）如图，点O为线段AD外一点，点M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是（ ）
A．以O为顶点的角共有15个
B．若MC=CB，MN=ND，则CD=2CN
C．若M为AB中点，N为CD中点，则MN=12AD−CB
D．若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB，则∠MON=32∠MOC+∠BON
【答案】B
【分析】由于B选项中的结论是CD=2CN,而CD=CN+ND,因此只要判断ND和CN是否相等即可，根据ND=MN,而MN>CN,因此得到ND>CN，由此得出B选项错误．
【详解】解：以O为顶点的角有6×52=15个，
所以A选项正确；
∵MN=ND，
∴ND>CN,
∴CD=CN+ND>CN+CN,即 CD>2CN,
所以B选项错误；
由中点定义可得：MB=12AB,NC=12CD,
∴MN=MB+CN−CB=12AB+12CD−CB=12AB+CD−CB，
∵AB+CD=AD+CB,
∴MN=12AD+CB−CB=12AD−CB,
所以C选项正确；
由角平分线的定义可得：∠AOC=2∠MOC,∠BOD=2∠BON,
∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠DOB=5∠COB,
∴2∠MOC+2∠BON+∠BOC=5∠BOC,
∴∠MOC+∠BON=2∠BOC,
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=2∠COB+∠COB=3∠COB
32∠MOC+∠BON=32×2∠COB=3∠COB,
∴∠MON=32∠MOC+∠BON,
所以D选项正确，
所以不正确的只有B，
故选：B.
【点睛】本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023上·广东广州·七年级统考期末）如果∠A=30°，则∠A的余角是 度；∠A的补角是 度．
【答案】 60 150
【分析】根据余角和补角的定义列式计算即可．
【详解】解：根据余角的定义，∠A的余角=90°−30°=60°，
根据补角的定义，∠A的补角度数=180°−30°=150°，
故答案为：60，150．
【点睛】本题考查了余角与补角，解题的关键是记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°．
12．（3分）（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）如图是一个正方体的展开图，将展开图折成正方体后，相对的两个面上的数互为倒数，则a+b+c的值为 ．
【答案】74
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“a”与面“2”相对，面“b”与面“4”相对，“c”与面“1”相对．
∴a=12，b=14，c=1，
∴a+b+c=12+14+1=74
故答案为：74．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
13．（3分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片ABCD，点P在边AD上，点M，N在边CB上，连接PM，PN．将∠DPN对折，点D落在直线PN上的点D'处，得折痕PE；将∠APM对折，点A落在直线PM上的点A'处，得折痕PF．若∠MPN=30°，则∠EPF= ．
【答案】75°或105°
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得∠DPN+∠APM=180°−∠MPN=150°，由翻折变换的性质可知∠EPN=12∠DPN，∠FPM=12∠APM，由∠EPF=∠MPN+∠EPN+∠FPM可得答案；当点N在点M的上方时，设∠DPM=x，∠APN=y，则可以得到x+y=180°−∠MPN=150°，由翻折变换的性质可知∠DPE=12∠DPN=12x+30°，∠APF=12∠APM=12y+30°，根据∠EPF=180°−∠DPE+∠APF即可求解．
【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．
∵∠MPN=30°，
∴∠DPN+∠APM=180°−∠MPN=180°−30°=150°，
由翻折变换的性质可知∠EPN=12∠DPN，∠FPM=12∠APM，
∴∠EPN+∠FPM=12×150°=75°，
∴∠EPF=∠MPN+∠EPN+∠FPM=30°+75°=105°．
当点N在点M的下方时，设∠DPM=x，∠APN=y，
则x+y=180°−∠MPN=150°，
由翻折变换的性质可知∠DPE=12∠DPN=12x+30°，∠APF=12∠APM=12y+30°，
∴∠EPF=180°−∠DPE+∠APF=180°−12x+y−30°=75°．
综上所述，满足条件的∠EPF=75°或105°．
故答案为：75°或105°．
【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
14．（3分）（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知线段AB=8，延长BA至点C，使CB=2AB，点D、E均为线段BA延长线上两点，且BD=4AE，M、N分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，MN的长为 ．
【答案】15或29
【分析】分BC=23BD时和BC=13BD时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可．
【详解】解：∵AB=8，CB=2AB，N是线段AB的中点，
∴CB=16，AN=BN=12AB=4，
①若BC=23BD，如图1所示：
∴BD=3AB=24，
∴AD=BD−AB=16，
∵BD=4AE，
∴AE=6，
∴DE=AD−AE=10，
∵M是线段DE的中点，
∴DM=ME=5，
∴MN=BD−DM−BN=15，
②若BC=13BD，如图：
∴BD=3BC=48，
∴AD=BD−AB=40，
∵BD=4AE，
∴AE=12，
∴DE=AD−AE=28，
∵M是线段DE的中点，
∴DM=DE2=14，
∴MN=BD−DM−BN=29；
故答案为：15或29．
【点睛】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．
15．（3分）（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，∠AOB=α,OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OAn,OBn分别是∠An−1OM和∠MOBn−1的平分线，则∠AnOBn的度数是 ．
【答案】α2n
【分析】由角平分线性质推理得∠A1OB1=12α，∠A2OB2=α22，∠A3OB3=α23，据此规律可解答．
【详解】解：∵∠AOB=α，OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，
∴∠A1OM=12∠AOM,∠B1OM=12∠BOM，
∴∠A1OB1=12(∠AOM+∠BOM)=12∠AOB=12α，
∵OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，
∴∠A2OM=12∠A1OM,∠B2OM=12∠B1OM，
∴∠A2OB2=12(∠A1OM+∠B1OM)=12∠A1OB1=12×12∠AOB=14α=α22，
∵OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，
∴∠A3OM=12∠A2OM,∠B3OM=12∠B2OM，
∴∠A3OB3=12(∠A2OM+∠B2OM)=12∠A2OB2=12×12∠A1OB1=12×12×12∠AOB=18α=α23，
…，由此规律得：
∠AnOBn=α2n．
故答案为：α2n．
【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
16．（3分）（2023上·浙江温州·七年级统考期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置.开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4.已知CD=74mm，AD2−AC1=50mm，则BE1= mm.
【答案】24
【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，得出BE1=OD1+OD2=2OD2，再由图形中线段间的关系得出D=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，即可求解．
【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，
由图4得，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，
∴BE1=OD1+OD2=2OD2，
∵AD2−AC1=50mm，
∴AO−OD2−AO−OC1=50mm，
∴OC1−OD2=50mm，
∴OC1=OD2+50，
∵CD=OC+OD=OC1+OD1，
∴CD=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，
∴2OD2=24mm，
∴BE1=24mm，
故答案为：24．
【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023上·广东惠州·七年级惠州一中校考期末）按要求解题：
(1)A，B，M，N四点如图所示，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）：
①连接AB；
②在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB；
③连接AN，BM，它们相交于点P；
(2)在（1）题图中，若AB=3cm，D为AB的中点，E为AC的中点，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE=3cm
【分析】（1）根据题意，作出对应的线段和点即可；
（2）根据题意求得线段AC、AE、AD的长度，由图形可得DE=AE−AD，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：
∵AB=3cm，BC=2AB，
∴BC=6cm，
∴AC=AB+BC=9cm，
又∵D为AB的中点，E为AC的中点，
∴AD=12AB=32cm，AE=12AC=92cm，
∴DE=AE−AD=3cm．
【点睛】本题考查了线段的作图方法和线段中点的性质，线段的和差的计算，解题的关键是掌握线段的作图方法以及有关线段中点的性质．
18．（6分）（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解）
【问题改编】点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．
(1)如图2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．
【答案】(1)∠DOE=25°；
(2)∠DOE=12∠AOC．
【分析】（1）先求∠COB，利用角平分线定义再求∠COE，最终求∠DOE的度数；
（2）设∠AOC=α，再根据（1）的求解过程，用含α的式子表示两个角的数量关系．
【详解】（1）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=40°．
∴∠COB=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12×130°=65°．
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−65°=25°．
（2）设∠AOC=α，则∠BOC=180°−α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=12×180°−α=90°−12α．
∵∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−180°−α=α−90°，
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=α−90°+90°−12α=12α．
∴将图2中的∠COD按图3所示的位置放置时，∠AOC与∠DOE度数间的等量关系为∠DOE=12∠AOC．
【点睛】本题考查了角的和差，角的平分线，平角的性质；关键是弄清角之间的关系，利用数形结合的思想求解．
19．（8分）（2023上·天津·七年级耀华中学校考期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM，ON分别是∠AOC，∠AOD的平分线．
(1)根据题意，补全下列说理过程：
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOC+∠AOD=180°．
又∠AOC+∠___________=180°，
∴∠_________=∠_________．
(2)若∠MOC=68°，求∠AON的度数．
(3)若∠MOC=α，则∠AON=（用α表示）．
【答案】(1)BOC； AOD；BOC；
(2)22°．
(3)90°−α．
【分析】（1）根据∠AOC与∠AOD互补，得出∠AOC+∠AOD=180°．根据∠AOC+∠ BOC =180°，利用同角的补角性质得出∠AOD＝∠BOC．
（2）根据OM是∠AOC的平分线．得出∠AOC＝2∠MOC＝2×68°＝136°，根据∠AOC与∠AOD互补，求出∠AOD＝180°﹣136°＝44°，再根据ON是∠AOD的平分线．可得∠AON＝12∠AOD＝22°．
（3）根据OM是∠AOC的平分线．得出∠AOC＝2∠MOC=2α，根据∠AOC与∠AOD互补，可求∠AOD＝180°﹣2α，根据ON是∠AOD的平分线．得出∠AON＝12∠AOD＝12180°−2α=90°−α．
【详解】（1）解：∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOC+∠AOD=180°．
又∠AOC+∠ BOC =180°，
∴∠AOD＝∠BOC．
故答案为：BOC； AOD；BOC；
（2）解：∵OM是∠AOC的平分线．
∴∠AOC＝2∠MOC＝2×68°＝136°，
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOD＝180°﹣136°＝44°，
∵ON是∠AOD的平分线．
∴∠AON＝12∠AOD＝22°．
（3）解：∵OM是∠AOC的平分线．
∴∠AOC＝2∠MOC=2α，
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOD＝180°﹣2α，
∵ON是∠AOD的平分线．
∴∠AON＝12∠AOD＝12180°−2α=90°−α．
【点睛】本题考查补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算，掌握补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算是解题关键．
20．（8分）（2023上·全国·七年级专题练习）（1）如图，点C在线段AB上，点M在线段AC上，点N在线段BC上．
①已知AC=13,CB=8,，若点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；
②已知AC=13,CB=8,，若点M是AC的中点， BN=34BC，求线段MN的长；
③已知AC=a,CB=b,，若AM=23AC， BN=13BC，请直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）；
（2）若点C在直线AB上，（1）中其他条件不变，已知AC=a,CB=35a，5AM=3CM，3BN=2CN，请直接写出线段MN的长．
【答案】（1）①10.5；②8.5；③13a+23b；（2）173200a或77200a
【分析】（1）①根据线段中点的性质可得，CM=12AC,CN=12BC，由MN=CM+CN，代入计算即可得出答案；
②由点M是AC的中点， BN=34BC，可得CM=12AC,CN=14BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
③由已知AM=23AC,BN=13BC，可得CM=13AC， CN=23BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
（2）由已知5AM＝3CM，3BN＝2CN，可得CM=38AC,CN=25BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案．
【详解】解：（1）①∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=12BC=12×8=4，
∴MN＝CM+CN＝6.5+4＝10.5；
②∵点M是AC的中点， BN=34BC，
∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=14BC=14×8=2，
∴MN＝CM+CN＝6.5+2＝8.5；
③MN=13a+23b；
∵AM=23AC,BN=13BC，
∴CM=13AC=13a,CN=23BC=23b，
∴MN=CM+CN=13a+23b；
（2）MN=173200a或77200a．
∵5AM＝3CM，3BN＝2CN，
∴CM=58AC=58a,CN=25BC=25×35a=625a，
若点C在线段AB上时，
∴MN=CM+CN=(58+625)a=173200a．
若点B在线段AC上时，MN=CM−CN=58a−625a=(58−625)a＝77200a．
综上，线段MN的长为173200a或77200a．
【点睛】本题主要考查了线段中点有关的线段的计算，认真审题，数形结合，明确线段直接的数量关系进行求解是解决本题的关键,（2）小题注意分两种情况讨论．
21．（8分）（2023下·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【答案】(1)是
(2)30°，20°或40°
(3)12α或13α或23α
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；
(2)根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可；
(3) 根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,
∴根据巧分线定义可得OC是这个角的“巧分线”．
故答案为：是．
（2）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×60°=30°；
②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=60°，解得：∠MPQ2=20°；
③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=60°，解得：∠MPQ3=40°．
综上，∠MPQ可以为30°，20°，40°．
（3）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×α=α2；
②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=α，解得：∠MPQ2=13α；
③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=α，解得：∠MPQ3=23α．
综上，∠MPQ可以为α2，13α，23α．
【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．
22．（8分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.
(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
【答案】(1)6；(2) 无关，理由见解析；(3)34m.
【分析】（1）根据中点可得到AC、BC的长，再根据CN=3AN，CM=3BM，可计算出CN、CM，最后根据线段的和差关系进行计算即可；
（2）根据线段之间的关系及CN=3AN，CM=3BM，分别表示出CN、AM及MN，再进行化简即可；
（3）分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可.
【详解】解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8，
∴AC=BC=12AB=4，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=34AC，CM=34BC，
∴CN=3，CM=3，
∴MN=CN+CM=3+3=6;
（2）若C在A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴MN=CM－CN=3BM－3AN，
∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，
∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，
∴CN +2AM－2MN的值与m无关；
（3）①当点C在线段AB上时，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=34AC，CM=34BC，
∴MN=CM+CN=34BC+34AC=34(BC+AC)=34AB=34m；
②当点C在点A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=34AC，BM=14BC，
∴MN=BC－CN－BM=BC－34AC－14BC =34(BC－AC)=34AB=34m；
③当点C在点B的右边，如图所示：
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴AN=14AC，CM=34BC，
∴MN=AC－AN－CM=AC－14AC－34BC =34(AC－BC)=34AB=34m，
综上所述，MN的长度为34m.
【点睛】本题考查线段的计算，分情况讨论，正确找出线段之间的关系是解题的关键.
23．（8分）（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，将斜边为CD的直角三角板的直角顶点放在点O处，OE平分∠BOC．
(1)如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；
(2)将直角三角板绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究∠AOC和∠DOE度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)在图1中，∠AOC=30°，OP与OD的起始位置重合，再将三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，则t的值为__________秒（直接写出结果）．
【答案】(1)15°
(2)∠AOC=2∠DOE，理由见解析
(3)2或4
【分析】（1）根据邻补角互补和角平分线的定义可得∠EOC=75°，再结合∠COD是直角运用角的和差即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠BOC=2∠COE，根据余角的性质可得∠COE=∠BOE=90°−∠DOE，再根据∠AOC=180°−∠BOC=180°−2∠COE并将∠COE=∠BOE=90°−∠DOE代入化简即可解答；
（3）由角∠BOP的三等分线有两条，需分∠POD=13∠POB和∠POD=23∠POB两种情况，分别根据旋转的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC=12∠BOC=75°,
∵∠COD是直角，
∴∠DOE=∠COD−∠EOC=90°−75°=15°．
（2）解：∠AOC=2∠DOE；理由如下：
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE，
∵∠COD=90°，
∴∠COE=∠BOE=90°−∠DOE，
∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−2∠COE=180°−290°−∠DOE，
∴∠AOC=2∠DOE．
（3）解：由角∠BOP的三等分线有两条，需分以下两种情况解答：
①∵射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，
∴∠POD=13∠POB,
∵三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴∠POD=10t；
由（1）可得：∠BOP=180°−30°−90°=60°,
∴∠POD=13∠POB=20°，
∴10t=20，即t=2；
②∵射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，
∴∠POD=23∠POB,
∵三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴∠POD=10t；
由（1）可得：∠BOP=180°−30°−90°=60°,
∴∠POD=23∠POB=40°，
∴10t=40，即t=4．
综上，当t=2或4时，射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的定义、垂直的定义、角三等分线等知识点，灵活运用相关定义是解答本题的关键．
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