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初中数学北师大版（2024）九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程精品随堂练习题
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这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程精品随堂练习题，文件包含第07讲用因式分解法求解一元二次方程1个知识点+2种题型+分层练习原卷版docx、第07讲用因式分解法求解一元二次方程1个知识点+2种题型+分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
知识导图
知识清单
知识点．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
题型强化
题型一．解一元二次方程-因式分解法
1．（2023秋•西华县期末）如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 ．
2．（2024•新疆模拟）一元二次方程的解为
A．，B．，C．，D．，
3．（2023秋•东辽县期末）阅读下面的例题：
解方程：．
解：①当时，原方程化为，
解得，（不合题意，舍去）；
②当时，原方程化为，
解得（不合题意，舍去），．
综上，原方程的根是，．
请参照例题解方程：．
题型二、换元法解一元二次方程
4．（23-24九年级上·四川泸州·期末）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知，且，则 ．
6．（2024九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程：
(1)；
(2)．
分层练习
一、单选题
1．下列方程中，适合用因式分解法来解的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．解方程时，最合适的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法C．因式分解法D．公式法
3．方程中的根是（ ）
A．，B．，
C． D．
4．下列方程同时适合使用直接开平方法与因式分解法求解的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若实数满足方程，那么的值为（ ）
A．B．4C．或4D．2或
6．已知方程的两根为和，则代数式可分解为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．，B．，C．，D．，
9．如果，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．1或
10．已知为实数，且满足，则的值是（ ）
A．6B．30C．36D．12
二、填空题
11．的两个实数根分别是 ．
12．一元二次方程的正数解是 ．
13．若实数a，b满足，则的值为 ．
14．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ．
15．方程是关于的一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，原方程可变为，先求解，再求解．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：若，则 ．
16．下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的倍．
17．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
18．已知实数满足，试求的值．
解：设．
原方程可化为，即，解得．
∵．
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．
已知实数满足，则的值为 ．
三、解答题
19．解方程
20．试用十字相乘法解下列方程
(1)；
(2)
21．解方程：．
22．解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
23．阅读材料，解答问题．
解方程：，
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为：，
解得：，，
或，
，，
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知，求的值．
24．阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
(2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值．
25．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解下列方程：
(1)；
(2)．
26．阅读下面材料，解答问题：
为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，．
上述解题方法叫做换元法．
请利用换元法解方程：．
知识导图
知识清单
知识点．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
题型强化
题型一．解一元二次方程-因式分解法
1．（2023秋•西华县期末）如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 ．
2．（2024•新疆模拟）一元二次方程的解为
A．，B．，C．，D．，
3．（2023秋•东辽县期末）阅读下面的例题：
解方程：．
解：①当时，原方程化为，
解得，（不合题意，舍去）；
②当时，原方程化为，
解得（不合题意，舍去），．
综上，原方程的根是，．
请参照例题解方程：．
题型二、换元法解一元二次方程
4．（23-24九年级上·四川泸州·期末）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知，且，则 ．
6．（2024九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程：
(1)；
(2)．
分层练习
一、单选题
1．下列方程中，适合用因式分解法来解的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．解方程时，最合适的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法C．因式分解法D．公式法
3．方程中的根是（ ）
A．，B．，
C． D．
4．下列方程同时适合使用直接开平方法与因式分解法求解的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若实数满足方程，那么的值为（ ）
A．B．4C．或4D．2或
6．已知方程的两根为和，则代数式可分解为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．，B．，C．，D．，
9．如果，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．1或
10．已知为实数，且满足，则的值是（ ）
A．6B．30C．36D．12
二、填空题
11．的两个实数根分别是 ．
12．一元二次方程的正数解是 ．
13．若实数a，b满足，则的值为 ．
14．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ．
15．方程是关于的一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，原方程可变为，先求解，再求解．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：若，则 ．
16．下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的倍．
17．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
18．已知实数满足，试求的值．
解：设．
原方程可化为，即，解得．
∵．
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．
已知实数满足，则的值为 ．
三、解答题
19．解方程
20．试用十字相乘法解下列方程
(1)；
(2)
21．解方程：．
22．解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
23．阅读材料，解答问题．
解方程：，
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为：，
解得：，，
或，
，，
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知，求的值．
24．阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
(2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值．
25．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解下列方程：
(1)；
(2)．
26．阅读下面材料，解答问题：
为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，．
上述解题方法叫做换元法．
请利用换元法解方程：．
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