初中数学北师大版（2024）九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程优秀教案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程优秀教案，共4页。教案主要包含了预习新知，合作探究等内容，欢迎下载使用。


教学目标
1.掌握用因式分解法解一元二次方程.
2.通过复习用配方法、公式法解方程寻求更简单的解一元二次方程的方法，并应用因式分解法解决一些具体问题.
3.通过学习因式分解法解方程，培养学生分析问题、解决问题的能力，并通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，让学生体会转化的思想.
教学重难点
重点：用运用因式分解法解一元二次方程.
难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
教学过程
导入新课
1.(1)什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.
(2)因式分解有哪些方法？
提公因式法、公式法、十字相乘法.
将下列各式分解因式：
（1）5x2－4x；（2）x2－4 x＋4；（3）4x（x－1）－2＋2x；
（4）x2－4；（5）（2x－1）²－x2.
设计意图：通过复习相关知识，有利于学生熟练且正确地将多项式因式分解，从而有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习做好铺垫.
探究新知
一、预习新知
让学生自主预习课本46~47页，然后提出问题：
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
教师展示小颖、小明和小亮的三种解法：
小颖的解法： 小明的解法：
由方程x2＝3x，得 由方程x2＝3x两边
x2－3x＝0. 同时约去x，得
因此x＝3±92， x＝3.
x1＝0，x2＝3. 所以这个数是3.
所以这个数是0或3.
小亮的解法：
由方程x2＝3x，得
x2－3x＝0.
即x（x－3）＝0，
于是x＝0或x－3＝0.
因此x1＝0，x2＝3.
所以这个数是0或3.
然后教师引导学生讨论看哪种方法对，且更简便.
二、合作探究
提出问题：学生探讨哪种方法对，哪种方法错，错的原因在哪里，哪种方法更简便？
小颖用的什么方法？
公式法.
小明的解法对吗？为什么？
不对，违背了等式的基本性质，x可能为零.
小亮的解法对吗?其依据是什么？
对.依据是两个数相乘，如果积等于零，那么这两个数中至少有一个为零.
教师引导学生得出结论：
如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.
如果两个因式的积为零，那么至少有一个因式为零，反之，如果两个因式有一个等于零，那么它们的积也就等于零.
“或”有下列三层含义：
= 1 \* GB3 ①a＝0，b≠0； = 2 \* GB3 ②a≠0，b＝0； = 3 \* GB3 ③a＝0，b＝0.
问题：
什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？
教师引导，学生总结得到因式分解法的定义.
因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
因式分解法的步骤：
1.移项：将方程的右边化为0;
2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积;
3.转化：方程转化为两个一元一次方程;
4.求解：解两个一元一次方程，写出方程的解.
巩固练习
用因式分解法解下列方程：
(1)3x2－6x＝－3； (2)3(x-2)－(x-2)2＝0.
解：（1）化为一般式为x2－2x＋1＝0，
因式分解，得（x－1）（x－1）＝0，
从而x－1＝0，
所以x1＝x2＝1.
（2）把方程左边因式分解，得
（x－2）（5－x）＝0，
从而（x－2）＝0或（5－x）＝0，
所以x1＝2，x2＝5.
典型例题
【例1】我们知道x2－(a＋b)x＋ab＝(x－a)(x－b)，那么x2－(a＋b)x＋ab＝0就可转化为(x－a)(x－b)＝0，请你用上面的方法解下列方程.
(1)x2－3x－4＝0； (2)x2－7x＋6＝0； (3)x2＋4x－5＝0.
【问题探索】上面因式分解的特点是什么？一次项系数与常数项有什么关系？
【解】二次三项式x2－(a＋b)x＋ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由(－a)·(－b)而成的，而一次项是由－a，－b分别与x交叉相乘而成的，根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式.
(1)因式分解，得(x＋1)(x－4)＝0.
于是，得x＋1＝0或x－4＝0，
故x1＝－1，x2＝4.
(2)因式分解，得(x－1)(x－6)＝0.
于是，得x－1＝0或x－6＝0，
故x1＝1，x2＝6.
(3)因式分解，得(x＋5)(x－1)＝0.
于是，得x＋5＝0或x－1＝0，
故x1＝－5，x2＝1.
【总结】上面这种因式分解的方法叫做十字相乘法，在解一元二次方程中经常用到这种方法.
【例2】已知9a2－4b2＝0，求代数式ab－ba－a2+b2ab的值.
【问题探索】a，b的值能直接求出来吗？a，b之间有怎样的关系？怎样将a，b的关系代入代数式中求值.
【解】原式＝a2−b2−a2−b2ab＝－2ba.
∵ 9a2－4b2＝0，
∴ (3a＋2b)(3a－2b)＝0，
即3a＋2b＝0或3a－2b＝0，
∴ a＝－23b或a＝23b.
当a＝－23b时，原式＝－2b−23b＝3；
当a＝23b时，原式＝－3.
【总结】要求ab－ba－a2+b2ab的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误，本题注意不要漏解.
课堂练习
1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( )
A.(x－2)( x＋5)＝2 B. x2＋x－6＝0
C.x2＋5x－2＝0 D.12(2－x)2＝3
2.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根，则该三角形的周长可以是( )
A.5 B.7
C.5或7 D.10
3.小华在解一元二次方程x2－8x＝0时，只得出一个根是x＝8，则被她漏掉的一个根是x＝______.
4. 用因式分解法解下列方程：
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
(2)3x(2x＋1)＝4x＋2.
参考答案
1.B
2.B
3.0
4.解：(1)因式分解，得(x＋1)(x－2)＝0.
于是，得x＋1＝0或x－2＝0，
故x1＝－1，x2＝2.
(2)原方程可变形为3x(2x＋1)－2(2x＋1)＝0.
因式分解，得(2x＋1)(3x－2)＝0.
于是，得2x＋1＝0或3x－2＝0，
故x1＝－12，x2＝23.
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1.因式分解的方法有：
ma+mb+mc＝m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2＝(a ±b)2；
a2 -b2＝(a +b)(a-b) .
2.因式分解法的原理：如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.
3.因式分解法的步骤：
简记口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
布置作业
习题2.7 知识技能 1，2
板书设计
4 用因式分解法求解一元二次方程
因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
因式分解法的步骤：
1.移项：将方程的右边化为0;
2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积;
3.转化：方程转化为两个一元一次方程;
4.求解：解两个一元一次方程，写出方程的解.