2.4 用因式分解法求解一元二次方程 数学北师大版九年级上册学案

4　用因式分解法求解一元二次方程

【旧知再现】

分解因式的方法有：__提公因式__法和公式法．

【新知初探】

阅读教材P46—P47完成下面问题：

解以下方程

你会发现：对于x(x－8)＝0，可以转化为x＝0或x－8＝0，进而求出方程的解：x1＝0，x2＝8.

你发现的规律是：

1．当一元二次方程的一边为__0__，而另一边易于分解成两个一次因式的__乘积__时，通过分解因式将一元二次方程转化为两个__一元一次__方程求解的方法，称为因式分解法．

2．因式分解法的理论依据

如果a·b＝0，那么a＝__0__或b＝__0__．

3．因式分解法的数学思想

体现了__转化__的思想，即将二次方程利用因式分解转化为一次方程．

妙招巧记

方程没有一次项，

直接开方最理想；

如果缺少常数项，

因式分解没商量；

b，c相等都为零，

等根是零不要忘；

b，c同时不为零，

因式分解或配方，

也可直接套公式，

因题而异择良方．

　用因式分解法求解一元二次方程

【教材P47例题补充】——灵活运用因式分解法求解一元二次方程

　用因式分解法解下列方程：

(1)(2021·连云港期中)2x2－8＝0.

(2)(2021·永州期中)x(x＋2)＝2x＋4.

(3)(2021·鸡西期中)x2＋16＝8x.

【思路点拨】

根据方程的特点，利用因式分解法求解各个方程．

【解析】见全解全析

【归纳提升】

因式分解法解一元二次方程的“四个步骤”

1．转化：把方程化为右边__为0__的形式．

2．分解：将方程的左边分解成两个一次因式__乘积__的形式．

3．降次：令每个因式分别等于__0__，得到两个一元一次方程．

4．求解：__解__这两个一元一次方程，得到原方程的解．

变式一：巩固 (2021·重庆期末)方程x2－5x＝0的解为(C)

A．x1＝0，x2＝－5    B．x＝5

C．x1＝0，x2＝5    D．x＝0

变式二：提升 用因式分解法解下列方程：

(1)(x－1)2＝2－2x.

(2)(3x－1)2＝16.

【解析】(1)移项，得(x－1)2＋2x－2＝0，

∴(x－1)2＋2(x－1)＝0，

∴(x－1)(x－1＋2)＝0，

∴(x－1)(x＋1)＝0，∴x－1＝0，x＋1＝0，

∴x1＝1，x2＝－1.

(2)移项，得(3x－1)2－16＝0，

∴(3x－1＋4)(3x－1－4)＝0，

∴3x－1＋4＝0，3x－1－4＝0，

∴x1＝－1，x2＝.

　一元二次方程解法的选择

【教材P48习题2.7T2补充】——一元二次方程解法的选择技巧

　选择适当的方法求解下列方程：

(1)x2－3x＋1＝0.

(2)(x－1)2＝3.

(3)x2－2x＝4.

(4)(1－x)2＋2x(x－1)＝0.

【自主解答】(1)a＝1，b＝－3，c＝1，由求根公式得x＝＝.

∴x1＝，x2＝.

(2)开平方，得x－1＝±，

∴x1＝1＋，x2＝1－.

(3)配方，得(x－1)2＝5，∴x－1＝±，

∴x1＝1＋，x2＝1－.

(4)原方程变形为(x－1)(x－1＋2x)＝0，

即(x－1)(3x－1)＝0，

∴x－1＝0或3x－1＝0，∴x1＝1，x2＝.

【归纳提升】

一元二次方程解法的理论依据及适用范围

变式一：巩固 (2021·佛山月考)解方程x2－3x＝0较为合适的方法是(D)

A．直接开平方法    B．配方法

C．公式法    D．分解因式法

变式二：提升 (2021·黄冈期中)解下列方程：

(1)2x2－4x＋1＝0.

(2)(2x－1)2＝(3－x)2.

【解析】见全解全析

【火眼金睛】

解方程(x－2)(x－3)＝6.

【正解】∵(x－2)(x－3)＝6，∴x2－5x＋6＝6，

∴x2－5x＝0，∴x(x－5)＝0，

∴x1＝0，x2＝5.

【一题多变】

　如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝－1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”．通过计算，判断方程2x2－2x＋1＝0是否是“邻根方程”？

【解析】2x2－2x＋1＝0，

解得x＝＝，

∵＝＋1，

∴2x2－2x＋1＝0是“邻根方程”．

【母题变式】

　(变换条件与问法)(2021·厦门月考)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根是2和4，则方程x2－6x＋8＝0就是“倍根方程”．若(x－2)(mx－n)＝0且(m≠0)是“倍根方程”，求的值．

【解析】见全解全析

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