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人教版（2024）八年级上册14.2 乘法公式综合与测试练习题
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这是一份人教版（2024）八年级上册14.2 乘法公式综合与测试练习题，共50页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1099" 【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】 PAGEREF _Tc1099 \h 1
\l "_Tc1353" 【题型2 利用完全平方式确定系数】 PAGEREF _Tc1353 \h 2
\l "_Tc31477" 【题型3 乘法公式的计算】 PAGEREF _Tc31477 \h 2
\l "_Tc4396" 【题型4 利用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc4396 \h 2
\l "_Tc1347" 【题型5 利用面积法验证乘法公式】 PAGEREF _Tc1347 \h 3
\l "_Tc28542" 【题型6 乘法公式的应用】 PAGEREF _Tc28542 \h 4
\l "_Tc23871" 【题型7 平方差公式的几何背景】 PAGEREF _Tc23871 \h 6
\l "_Tc20180" 【题型8 完全平方公式的几何背景】 PAGEREF _Tc20180 \h 8
\l "_Tc18681" 【题型9 乘法公式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc18681 \h 10
\l "_Tc12172" 【题型10 乘法公式的规律探究】 PAGEREF _Tc12172 \h 11
【知识点 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】
【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）计算x−y+3x+y−3时，下列变形正确的是（ ）
A．x−y+3x+y−3B．x+3−yx−3+y
C．x−y+3x+y−3D．x−y−3x+y−3
【变式1-2】（2023春·天津滨海新·八年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）
A．(x+y)(x−y)B．(−x+y)(x+y)
C．(−x−y)(−x+y)D．(x−y)(−x+y)
【变式1-3】（2023春·广东茂名·八年级统考期中）下列多项式不是完全平方式的是( )．
A．x2−4x−4B．14+m2+mC．a2+2ab+b2D．t2+4t+4
【题型2 利用完全平方式确定系数】
【例2】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若将多项式4a2−2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是 ．（只要写出符合条件的一个）
【变式2-1】（2023春·四川达州·八年级校考期中）若x2+2(m−3)x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为 ．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）若9x2−k−1xy+25y2是关于x的完全平方式，则k= ．
【变式2-3】（2023春·福建泉州·八年级晋江市季延中学校考期中）已知B是含字母x的单项式，要使x2+B+14是完全平方式，那么B= ．
【题型3 乘法公式的计算】
【例3】（2023春·云南昭通·八年级校考期末）计算：
(1)(2m−n+3p)(2m+3p+n)；
(2)化简求值：(x−3)(x+3)−(x2−2x+1)，其中x=12．
【变式3-1】（2023春·山东东营·六年级统考期末）利用整式乘法公式计算．
(1)1002−98×102；
(2)a+b+3a+b−3；
(3)−2m+3−2m−3；
(4)12x−2y2．
【变式3-2】（2023春·湖南永州·八年级校联考期中）1−1221−1321−−1142= ．
【变式3-3】（2023春·江西抚州·八年级校联考期中）运用乘法公式计算：
(1)2m−3n−2m−3n−(2m−3n)2
(2)1002−992+982−972+…+22−12．
【题型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2023春·山东济南·八年级统考期末）设 a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023．若a2+b2=16，则c2的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【变式4-1】（2023春·广西贵港·八年级校考期末）若x−y−7=0，则代数式x2−y2−14y的值为 ．
【变式4-2】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）（1）已知a+1a=3，求a2+1a2的值；
（2）已知a−b2=9，ab=18，求a2+b2的值．
【变式4-3】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）已知m满足3m−20152+2014−3m2=5．
(1)求2015−3m2014−3m的值．
(2)求6m−4029的值．
【题型5 利用面积法验证乘法公式】
【例5】（2023春·八年级课时练习）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①B．②C．①②D．①②都不能
【变式5-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证a+b2=a−b2+4ab的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）
A．a+b2=a2+2ab+b2
B．a+bb+c=ab+ac+b2+bc
C．a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
D．a+ba−b=a2−b2
【变式5-3】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______；
（2）应用公式计算：
①已知x+y=5，xy=−1，求x2+y2的值；
②求20222−2021×2023的值．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为30平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为14米，则m-n的值为（ ）
A．4米B．7米C．5米D．3.5米
【变式6-1】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）我们知道，将完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：
(1)若m+n=9，mn=10，求m2+n2的值；
(2)如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积．
【变式6-2】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是八年级四个班的清洁区，其中分给八年级（1）班的清洁区是一块边长为a−2bm的正方形．(0<2b
(1)分别求出八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积．
(2)八年级（4）班的清洁区的面积比八年级（1）班的清洁区的面积多多少？
【变式6-3】（2023春·浙江温州·八年级期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地ABCD上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；
(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长b的值．
【题型7 平方差公式的几何背景】
【例7】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形(如图2)，解答下列问题：
(1)设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1= ______ ，S2= ______ ；(不必化简)
(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______ ；
(3)利用（2）中得到的公式，计算：20232−2022×2024．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 ；
A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
(3)请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝ ；
②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．
【变式7-2】（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）【知识生成】
（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；
【知识应用】
（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=a+2ma−2m，Q=a+ma−m，比较P、Q大小；
【知识迁移】
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．
【变式7-3】（2023春·山西大同·八年级统考期中）【实践操作】
（1）如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把图①中L形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③，请求出图③中大长方形的面积；
（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为： ．
【应用探究】
（3）利用（2）中验证的公式简便计算：499×501+1；
（4）计算：1−122×1−132×1−142×…×1−120212×1−120222．
【知识迁移】
（5）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为a的正方体中去掉一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：a3−b3= ．（结果不需要化简）
【题型8 完全平方公式的几何背景】
【例8】（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2，三个代数式m+n2，(m−n)2，mn之间的等量关系是 ；
(3)若x+y=−6，xy=114，则x−y= ；（直接写出答案）
【变式8-1】（2023春·八年级课时练习）完全平方公式：a±b2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，所以a+b2=9，即：a2+2ab+b2=9，
又因ab=1，所以a2+b2=7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy的值为______；
(2)拓展：若4−xx=3，则4−x2+x2=______．
(3)应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【变式8-2】（2023春·江苏·八年级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形a>b．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是 ；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ；
【知识迁移】
（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为ba>b的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到(a−b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式：________﹔
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知x+y=6,xy=114，求(x−y)2的值；
（2）已知a+b=6,ab=7，求a3+b3的值．
【题型9 乘法公式中的新定义问题】
【例9】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）新定义：如果a，b都是非零整数，且a=4b，那么就称a是“4倍数”．
验证：嘉嘉说：232−212是“4倍数”，琪琪说：122−6×12+9也是“4倍数”，判断 说得对（填“嘉嘉”、“琪琪”或“嘉嘉、琪琪”）．
【变式9-1】（2023春·浙江金华·八年级统考期末）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”，例如：22+32+2×2×3=25，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．14个B．15个C．26个D．60个
【变式9-2】（2023春·广东揭阳·八年级校联考期中）现定义一种运算“⊕”，对任意有理数m，n规定：m⊕n=mnm−n，如：1⊕2=1×21−2=−2，则a+b⊕a−b的值是 ．
【变式9-3】（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：acbd=a2+b2−cd．
(1)12−13=______；
(2)对于有理数x、y，若xkyxy是一个完全平方式，则k______；
(3)对于有理数x、y，若x+y=10，xy=22．
①求2x−y 3x−yy x−y的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD=x，AB=nx，FG=y，EF=ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值．
【题型10 乘法公式的规律探究】
【例10】（2023·上海·八年级假期作业）杨辉是我国南宋时著名的数学家，他发现了著名的三角系数表，它的其中一个作用是指导按规律写出形如(a+b)n（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a+b)4展开式中所缺的系数．
=a3+3a2−b+3a−b2+−b3
a+b1=a+b a−b1=a−b
a+b2=a2+2ab+b2 a−b2=a2+2a−b+−b2=a2−2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 a−b3=a3+3a2−b+3a−b2+−b3
(1)仔细观察上边的图和下边的式子，写出a−b3=___________；
(2)直接在横线上填数字：a+b4=a4+___________a3b+___________a2b2+___________ab3+___________b4；
(3)请根据你找到的规律写出下列式子的结果：
x−y5=___________；
2x−y5=___________．
【变式10-1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）观察下列等式：第1个等式：1×2+1=22−1；第2个等式：2×3+2=32−1；第3个等式：3×4+3=42−1；第4个等式：4×5+4=52−1；…按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，n≥1，且n为整数），并加以证明．
【变式10-2】（2023春·安徽合肥·八年级中国科技大学附属中学校考期中）观察下列等式：
①32−124=1+1；②42−224=1+2；③52−324=1+3；④62−424=1+4；⑤72−524=1+5……
(1)请按以上规律写出第⑥个等式______；
(2)猜想并写出第n个等式______；并证明猜想的正确性
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）仔细观察下列等式：
第1个：52﹣12=8×3
第2个：92﹣52=8×7
第3个：132﹣92=8×11
第4个：172﹣132=8×15
…
（1）请你写出第6个等式： ；
（2）请写出第n个等式，并加以验证；
（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．
专题14.3 乘法公式【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1099" 【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】 PAGEREF _Tc1099 \h 1
\l "_Tc1353" 【题型2 利用完全平方式确定系数】 PAGEREF _Tc1353 \h 3
\l "_Tc31477" 【题型3 乘法公式的计算】 PAGEREF _Tc31477 \h 5
\l "_Tc4396" 【题型4 利用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc4396 \h 8
\l "_Tc1347" 【题型5 利用面积法验证乘法公式】 PAGEREF _Tc1347 \h 10
\l "_Tc28542" 【题型6 乘法公式的应用】 PAGEREF _Tc28542 \h 13
\l "_Tc23871" 【题型7 平方差公式的几何背景】 PAGEREF _Tc23871 \h 17
\l "_Tc20180" 【题型8 完全平方公式的几何背景】 PAGEREF _Tc20180 \h 22
\l "_Tc18681" 【题型9 乘法公式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc18681 \h 28
\l "_Tc12172" 【题型10 乘法公式的规律探究】 PAGEREF _Tc12172 \h 31
【知识点 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】
【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）计算x−y+3x+y−3时，下列变形正确的是（ ）
A．x−y+3x+y−3B．x+3−yx−3+y
C．x−y+3x+y−3D．x−y−3x+y−3
【答案】D
【分析】将y−3看做一个整体，则x是相同项，互为相反项的是y−3，对照平方差公式变形即可求解．
【详解】解：x−y+3x+y−3=x−y−3x+y−3，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出相同项和相反项．
【变式1-1】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）下列运算正确的是（ ）
A．x+y−y+x=x2−y2B．−x+y2=−x2+2xy+y2
C．−x−y2=−x2−2xy−y2D．x+yy−x=x2−y2
【答案】A
【分析】根据平方差公式和完全平方公式，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、x+y−y+x=x2−y2，故A正确，符合题意；
B、−x+y2=x2−2xy+y2，故B不正确，不符合题意；
C、−x−y2=x2+2xy+y2，故C不正确，不符合题意；
D、x+yy−x=y2−x2，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查根据平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式a+ba−b=a2−b2和完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2．
【变式1-2】（2023春·天津滨海新·八年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）
A．(x+y)(x−y)B．(−x+y)(x+y)
C．(−x−y)(−x+y)D．(x−y)(−x+y)
【答案】D
【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．
【详解】A、B、C选项都是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式，
D选项变形后为−(x−y)2，不能使用平方差公式；
故选：D．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【变式1-3】（2023春·广东茂名·八年级统考期中）下列多项式不是完全平方式的是( )．
A．x2−4x−4B．14+m2+mC．a2+2ab+b2D．t2+4t+4
【答案】A
【分析】根据a2±2ab+b2的形式判断即可；
【详解】x2−4x−4不是完全平方公式，故A符合题意；
14+m2+m=12+m2，故B不符合题意；
a2+2ab+b2=a+b2，故C不符合题意；
t2+4t+4=t+22，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的判断，准确分析是解题的关键．
【题型2 利用完全平方式确定系数】
【例2】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若将多项式4a2−2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是 ．（只要写出符合条件的一个）
【答案】−2a，6a，−34，−3a2．
【分析】根据完全平方公式的特点分情况讨论：若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以；是(2a−1)2或(2a+1)2；②若把4a2看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2；③若把1看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2．分别算出所需添加的单项式即可．
【详解】①若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以是(2a−1)2或(2a+1)2，
∵(2a−1)2=4a2−4a+1=4a2−2a+1+(−2a)，
∴这个单项式可以是−2a；
∵(2a+1)2=4a2+4a+1=4a2−2a+1+6a，
∴这个单项式可以是6a；
②若把4a2成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2，
∵(2a−12)2=4a2−2a+14=4a2−2a+1+(−34)，
∴这个单项式可以是−34；
③若把1成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2，
∵(a−1)2=a2−2a+1=4a2−2a+1+(−3a2)，
∴这个单项式可以是−3a2．
综上，添加的这个单项式可以是−2a，6a，−34，−3a2．
故答案为：−2a，6a，−34，−3a2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点，进行分类讨论是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·四川达州·八年级校考期中）若x2+2(m−3)x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为 ．
【答案】4或16
【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵x2+2(m−3)x+1是完全平方式，
∴m−3=±1，
∴m=4或m=2，
∵x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，x+nx+2=x2+n+2x+2n，
∴n+2=0，
∴n=−2，
当m=4，n=−2时，nm=−24=16；
当m=2，n=−2时，nm=−22=4，
则nm=4或16，
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）若9x2−k−1xy+25y2是关于x的完全平方式，则k= ．
【答案】31或−29/−29或31
【分析】由9x2−k−1xy+25y2是关于x的完全平方式，得出9x2−k−1xy+25y2=3x±5y2，进而得出−k−1=±30，即可求出k的值．
【详解】解：∵9x2−k−1xy+25y2是关于x的完全平方式，
∴9x2−k−1xy+25y2=3x±5y2，
∴−k−1=±30，
解得：k=31或−29，
故答案为：31或−29
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点，考虑两种情况是解决问题的关键．
【变式2-3】（2023春·福建泉州·八年级晋江市季延中学校考期中）已知B是含字母x的单项式，要使x2+B+14是完全平方式，那么B= ．
【答案】±x或x4．
【分析】分类讨论：①当x2+B+14是完全平方式时和当B+x2+14是完全平方式时，再根据完全平方式的特点即可得出答案．
【详解】解：分类讨论：①当x2+B+14是完全平方式时．
∵x2+B+14=x2+B+122，
∴B=±2×x×12=±x；
②当B+x2+14是完全平方式时．
∵B+x2+14=B+2×x2×12+122，
∴B=x4．
综上可知，B=±x或x4．
故答案为：±x或x4．
【点睛】本题考查完全平方式．掌握完全平方式的结构特征和利用分类讨论的思想是解题关键．
【题型3 乘法公式的计算】
【例3】（2023春·云南昭通·八年级校考期末）计算：
(1)(2m−n+3p)(2m+3p+n)；
(2)化简求值：(x−3)(x+3)−(x2−2x+1)，其中x=12．
【答案】(1)4m2+12mp+9p2−n2
(2)2x−10，−9
【分析】（1）先把原式化为(2m+3p)−n(2m+3p)+n，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
（2）先利用平方差公式和去括号法则展开，再合并同类项，最后求值即可．
【详解】（1）解：原式=(2m+3p)−n(2m+3p)+n
=(2m+3p)2−n2
=4m2+12mp+9p2−n2；
（2）原式=x2−9−x2+2x−1
=2x−10，
当x=12时，
原式=1−10
=−9．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及平方差公式，熟练掌握整式的混合运算法则是解本题的关键．
【变式3-1】（2023春·山东东营·六年级统考期末）利用整式乘法公式计算．
(1)1002−98×102；
(2)a+b+3a+b−3；
(3)−2m+3−2m−3；
(4)12x−2y2．
【答案】(1)4
(2)a2+2ab+b2−9
(3)4m2−9
(4)14x2−2xy+4y2
【分析】（1）首先把98×102转化为100−2×100+2，然后再根据平方差公式计算即可；
（2）利用平方差公式变形，然后再根据完全平方公式计算即可；
（3）根据平方差公式计算即可；
（4）根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：1002−98×102
=1002−100−2×100+2
=1002−1002−22
=1002−1002+22
=4；
（2）解：a+b+3a+b−3
=a+b+3a+b−3
=a+b2−32
=a2+2ab+b2−9；
（3）解：−2m+3−2m−3
=−2m2−32
=4m2−9；
（4）解：12x−2y2
=14x2−2xy+4y2．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握整式的乘法公式进行计算．
【变式3-2】（2023春·湖南永州·八年级校联考期中）1−1221−1321−−1142= ．
【答案】1528
【分析】根据平方差公式得，1−1221−1321−−1142 =1−121+121−131+131−141+−1141+114 =12×32×23×43×34×54...×1314×1514，然后计算求解即可．
【详解】解：1−1221−1321−−1142
=1−121+121−131+131−141+−1141+114
=12×32×23×43×34×54...×1314×1514
=12×1514
=1528，
故答案为：1528．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式3-3】（2023春·江西抚州·八年级校联考期中）运用乘法公式计算：
(1)2m−3n−2m−3n−(2m−3n)2
(2)1002−992+982−972+…+22−12．
【答案】(1)−8m2+12mn
(2)5050
【分析】1原式第一项利用平方差是化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；
2原式结合后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．
【详解】（1）原式=9n2−4m2−4m2+12mn−9n2
=−8m2+12mn；
（2）原式=100+99×100−99+98+97×98−97+…+2+1×2−1
=100+99+98+97+96+……+1
=5050．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【题型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2023春·山东济南·八年级统考期末）设 a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023．若a2+b2=16，则c2的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得出ab=6，a−b=2，进而根据已知条件得出c2=(a−1)(b+1)，进而即可求解．
【详解】∵a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023，
∴a−1=x−2023=c=b+1，a−b=2，
∵ a2+b2=16，
∴ (a−b)2+2ab=16，
∴ ab=6，
∴ c2=(a−1)(b+1)
=ab+a−b−1
=6+2−1
=7，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出c2=(a−1)(b+1)是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·广西贵港·八年级校考期末）若x−y−7=0，则代数式x2−y2−14y的值为 ．
【答案】49
【分析】先计算x−y的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将x−y的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解．
【详解】解：∵x−y−7=0，
∴x−y=7，
∴x2−y2−14y
=x+yx−y−14y
=7x+y−14y
=7x+7y−14y
=7x−y
=49．
故答案为：49．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）（1）已知a+1a=3，求a2+1a2的值；
（2）已知a−b2=9，ab=18，求a2+b2的值．
【答案】（1）7；（2）45
【分析】（1）根据完全平方和公式恒等变形后，代值求解即可得到答案；
（2）根据完全平方差公式，代值求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ a2+1a2=a+1a2−2，a+1a=3，
∴原式=32−2
=9−2
=7；
（2）∵a−b2=a2−2ab+b2，a−b2=9，ab=18，
∴ 9=a2−2×18+b2，解得a2+b2=9+2×18=45．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方和与完全平方差公式是解决问题的关键．
【变式4-3】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）已知m满足3m−20152+2014−3m2=5．
(1)求2015−3m2014−3m的值．
(2)求6m−4029的值．
【答案】(1)−2
(2)±3
【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，计算即可确定出原式的值；
（2）原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，
可得a+b=−1，a2+b2=5，
∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴1=5+2ab，即ab=−2，
则2015−3m2014−3m=3m−20152014−3m=−ab=2；
（2）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，可得6m−4029=3m−2015−2014−3m=a−b，
∵a−b2=a2+b2−2ab，
∴6m−40292=a−b2=a2+b2−2ab=5+4=9，
则6m−4029=±3．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
【题型5 利用面积法验证乘法公式】
【例5】（2023春·八年级课时练习）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①B．②C．①②D．①②都不能
【答案】C
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式，即可得到答案．
【详解】解：在图①中，
左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，
右边图形中的阴影部分的面积为：a+ba−b，
故可得：a2−b2=a+ba−b，可验证平方差公式，符合题意；
在图②中，
左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，
右边图形中的阴影部分的面积为：a+ba−b，
故可得：a2−b2=a+ba−b，可验证平方差公式，符合题意；
故能够验证平方差公式的是：①②，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证a+b2=a−b2+4ab的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等．
【详解】A、不能验证公式，该选项不符合题意；
B、可以验证a+b2=a2+2ab+b2，该选项不符合题意；
C、可以验证a+b2=a−b2+4ab，该选项符合题意；
D、可以验证a2=a−b2+2ab−b2，即a−b2=a2−2ab+b2，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何验证，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式5-2】（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）
A．a+b2=a2+2ab+b2
B．a+bb+c=ab+ac+b2+bc
C．a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
D．a+ba−b=a2−b2
【答案】D
【分析】利用图形面积直接得出等式，从而可选择．
【详解】解：等式a+b2=a2+2ab+b2是由边长为a+b的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意；
等式a+bb+c=ab+ac+b2+bc是由长为b+c，宽为a+b的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意；
等式a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc是由边长为a+b+c的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意；
等式a+ba−b=a2−b2，图中找不到有关于a−b的面积，故D不可验证，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查多项式的乘法与图形面积．利用数形结合的思想是解题关键．
【变式5-3】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______；
（2）应用公式计算：
①已知x+y=5，xy=−1，求x2+y2的值；
②求20222−2021×2023的值．
【答案】（1）a+b2=a2+b2+2ab，a2−b2=a+ba−b；（2）①27；②1
【分析】（1）根据图1中大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和得到完全平方公式，根据图2中左右两边阴影部分的面积相等得到平方差公式；
（2）①利用x2+y2=x+y2−2xy进行计算即可；②利用平方差公式将2021×2023=2022−12022+1=20222−1化简即可．
【详解】解：（1）图1中，
边长为a的正方形的面积为a2，
边长为b的正方形的面积为b2，
长为a宽为b的长方形的面积为ab，
大正方形的边长为a+b，面积为a+b2，
∵大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和，
∴a+b2=a2+b2+2ab
图2中，
左边阴影部分的面积为：a2−b2，
右边阴影部分的面积为：a+ba−b，
∵左右两边的阴影部分面积相等，
∴a2−b2=a+ba−b，
故答案为：a+b2=a2+b2+2ab，a2−b2=a+ba−b；
（2）① ∵ x+y=5，xy=−1，
∴x2+y2=x+y2−2xy=52−2×−1=27；
② 20222−2021×2023
=20222−2022−12022+1
=20222−20222−1
=1．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握a+b2=a2+b2+2ab，a2−b2=a+ba−b是解题的关键．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为30平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为14米，则m-n的值为（ ）
A．4米B．7米C．5米D．3.5米
【答案】B
【分析】根据长方形的周长及面积计算公式，可找出关于m，n的方程组，变形后可得出(m−n)2=49，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：依题意得：2(m−3)+2(n−3)=14①mn=30②，
由①可得：m+n=13，
∵(m−n)2=(m+n)2−4mn，
∴(m−n)2=49，
∴m−n=7或m−n=−7(不合题意，舍去)．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，牢记(a±b)2=a2±2ab+b2是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）我们知道，将完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：
(1)若m+n=9，mn=10，求m2+n2的值；
(2)如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积．
【答案】(1)61
(2)800m2
【分析】(1)利用完全平方公式代入计算即可；
(2)设CD=xm，AD=ym,由周长可得x+y=60, 由两块正方形的面积和为2000平方米，x²+y²=2000, 求xy即可.
【详解】（1）∵(m+n)²=m²+n²+2mn,m+n=9，mn=10,
∴m²+n²=(m+n)²−2mn=92−2×10=61,
（2）设CD=xm，AD=ym,
∵长方形ABCD的周长是120米,
∴2(x+y)=120,
即x+y=60,
又∵两块正方形的面积和为2000平方米，
∴x²+y²=2000,
∴xy=x+y2−x2+y22=602−20002=800，
答: 长方形ABCD的面积为800平方米.
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，适当的等式变形是解决问题的的关键.
【变式6-2】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是八年级四个班的清洁区，其中分给八年级（1）班的清洁区是一块边长为a−2bm的正方形．(0<2b
(1)分别求出八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积．
(2)八年级（4）班的清洁区的面积比八年级（1）班的清洁区的面积多多少？
【答案】(1)八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积均为a+2ba−2b=a2−4b2m2
(2)多8ab m2
【分析】（1）根据图形可知：八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区为长方形，通过2a−a−2b=a+2bm，可求出对应的长，a+2ba−2b=a2−4b2m2，即可解答此题．
（2）由正方形的面积公式可得到：a+2b2−a−2b2=a2+4ab+4b2−a2−4ab+4b2=8abm2，从而解答此题．
【详解】（1）解：（1）因为2a−a−2b=a+2bm，
所以八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积均为a+2ba−2b=a2−4b2m2．
（2）因为a+2b2−a−2b2=a2+4ab+4b2−a2−4ab+4b2=8abm2，
所以八年级（4）班的清洁区的面积比八年级（1）班的清洁区的面积多8ab m2．
【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．
【变式6-3】（2023春·浙江温州·八年级期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地ABCD上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；
(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长b的值．
【答案】(1)2a2+4ab
(2)16
【分析】（1）根据题意，分别表示出正方形空地ABCD的面积和“红五月”三个正方形平台的面积，相减即为阴影部分的面积；
（2）根据阴影部分的面积求出a2+2ab=144，再根据a+b=20，得到a2+2ab+b2=400，进而求得b2=256，即可求出正方形边长b的值．
【详解】（1）解：由题意可知，正方形空地ABCD的边长为2a+b，
∴正方形空地ABCD的面积为2a+b2，
∵“红五月”三个正方形平台的面积为a2+b2+a2=2a2+b2，
∴阴影部分的面积为2a+b2−2a2+b2=4a2+4ab+b2−2a2−b2=2a2+4ab；
（2）解：阴影部分的面积为288平方米，
∴2a2+4ab=288，
∴a2+2ab=144，
∵a+b=20，
∴a+b2=a2+2ab+b2=400，
∴b2=400−144=256，
∵b>0,
∴b=16．
【点睛】本题考查了正方形的面积公式，列代数式，完全平方公式，平方根知识，根据题意正确得出阴影部分的面积是解题关键．
【题型7 平方差公式的几何背景】
【例7】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形(如图2)，解答下列问题：
(1)设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1= ______ ，S2= ______ ；(不必化简)
(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______ ；
(3)利用（2）中得到的公式，计算：20232−2022×2024．
【答案】(1)a2−b2，a+ba−b
(2)a+ba−b=a2−b2
(3)1
【分析】（1）根据图形的和差关系表示出S1，根据长方形的面积公式表示出S2；
（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是a+ba−b=a2−b2；
（3）由（2）中所得公式，可得2022×2024=2023+12023−1=20232−1，从而简便计算出该题结果．
【详解】（1）解：由题意得，S1=a2−b2，
S2=a+ba−b．
故答案为：a2−b2，a+ba−b；
（2）解：由（1）中的结果可验证的乘法公式为a+ba−b=a2−b2．
故答案为：a+ba−b=a2−b2；
（3）解：由（2）中所得乘法公式a+ba−b=a2−b2可得，
20232−2021×2023
=20232−2023+1×2023−1
=20232−20232−1
=20232−20232+1
=1．
【点睛】本题考查了平方差公式几何背景的应用能力，掌握图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题是关键．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 ；
A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
(3)请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝ ；
②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．
【答案】(1)（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；
(2)B
(3)①3，②264，6
【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式即可求解即可；
（2）根据两个阴影部分的面积相等由（1）的结果即可解答.
（3）①利用（2）得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一个（2﹣1），这样可以和（2+1）凑成平方差公式，以此逐步解答即可．
【详解】（1）解：图2中长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），
图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2．
故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2．
（2）解：由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故选B．
（3）解：①因为4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，
又因为2m+n＝4，
所以2m﹣n＝12÷4＝3．
故答案为：3；
②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝……
＝264﹣1+1
＝264，
而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其个位数字2，4，8，6，重复出现，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”经过16次循环，
因此264的个位数字为6．
答：其结果的个位数字为6．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用和数字类规律，灵活应用平方差公式成为解答本题的关键．
【变式7-2】（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）【知识生成】
（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；
【知识应用】
（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=a+2ma−2m，Q=a+ma−m，比较P、Q大小；
【知识迁移】
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．
【答案】（1）−3m2；（2）P【分析】（1）分别用代数式表示图1，图2的面积即可；
（2）利用（1）中得到的等式计算P−Q的值即可；
（3）分别用代数式表示图3中左图和右图的体积即可．
【详解】解：（1）图1中剩余部分的面积为a2−b2，
图2的面积为a+ba−b，
所以代数恒等式为a+ba−b=a2−b2；
（2）∵P=a+2ma−2m，Q=a+ma−m，
∴P−Q=a+2ma−2m−a+ma−m =a2−4m2−a2−m2 =−3m2
因为m是不为0的有理数，
所以−3m2<0，即P−Q<0，所以P（3）图3中左图的体积为x⋅x⋅x−1×1×x=x3−x，
图3中右图是长为x+1，宽为x，高为x−1的长方体，
因此体积为x+1⋅x⋅x−1，所以有xx+1x−1=x3−x．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键．
【变式7-3】（2023春·山西大同·八年级统考期中）【实践操作】
（1）如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把图①中L形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③，请求出图③中大长方形的面积；
（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为： ．
【应用探究】
（3）利用（2）中验证的公式简便计算：499×501+1；
（4）计算：1−122×1−132×1−142×…×1−120212×1−120222．
【知识迁移】
（5）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为a的正方体中去掉一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：a3−b3= ．（结果不需要化简）
【答案】(1)a2−b2；(2)(a−b)(a+b)=a2−b2；(3)250000；(4)20234044；(5)(a−b)a2+(a−b)b2+(a−b)ab或(a−b)(a2+b2+ab)
【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘以宽即可．
（2）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，分别计算即可得出：(a−b)(a+b)=a2−b2
（3）观察（2）的的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将499拆成500−1，将501拆成500+1即可．
（4）利用a2−b2=a+ba−b将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为0，故答案为第一个因式乘以最后一个因式．
（5）将立体图形分割成三部分，分别为：a2a−b、b2a−b、aba−b，其和为a2a−b+b2a−b+aba−b，恰等于a3−b3．
【详解】解：（1）长方形的面积为：
2(a−b)(a−b2+b)
=(a−b)(a−b+2b)
=(a−b)(a+b)
=a2−b2；
（2）图③整个大长方形的面积等于图①阴影部分的面积：
∴(a−b)(a+b)=a2−b2；
（3）原式=(500−1)×(500+1)+1
=5002-12+1
=250000；
（4）原式=1−121+121−131+131−141+14⋯1−120211+120211−120221+12022
=12×32×23×43×34×45×⋯×20202021×20222021×20212022×20232022
=12×20232022
=20234044；
（5）将立体图形分割成三部分，分别为：a2(a−b)、b2(a−b)、ab(a−b)，其和为a2(a−b)+b2(a−b)+ab(a−b)=a3−b3．
故答案为：a2(a−b)+b2(a−b)+ab(a−b)．
【点睛】本题考查了“数形结合”中的乘法公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律．
【题型8 完全平方公式的几何背景】
【例8】（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2，三个代数式m+n2，(m−n)2，mn之间的等量关系是 ；
(3)若x+y=−6，xy=114，则x−y= ；（直接写出答案）
【答案】(1)(m−n)2
(2)(m+n)2−4mn=(m−n)2
(3)±5
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【分析】（1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边矩形的面积进而得出答案；
（2）由（1）中计算过程可得答案；
（3）根据（2）中的等式可得答案．
【详解】（1）解：图2中的阴影部分为正方形，边长为m−n，则面积为m−n2．
故答案为：(m−n)2；
（2）解：左边图形的面积=2m×2n=4mn，
右边的大正方形面积=(m+n)2，
则阴影部分的面积=(m+n)2−4mn，
因此三个代数式m+n2，(m−n)2，mn之间的等量关系为：
(m+n)2−4mn=(m−n)2；
故答案为：(m+n)2−4mn=(m−n)2；
（3）解：由（2）得(x+y)2−4xy=(x−y)2，
∴(x−y)2=−62−4×114=25，
∴x−y=±25=±5，
故答案为：±5．
【点睛】本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，用不同的形式表示图形的面积．
【变式8-1】（2023春·八年级课时练习）完全平方公式：a±b2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，所以a+b2=9，即：a2+2ab+b2=9，
又因ab=1，所以a2+b2=7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy的值为______；
(2)拓展：若4−xx=3，则4−x2+x2=______．
(3)应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)12
(2)10
(3)384
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设4−x=a，x=b，则a+b=4，ab=3，然后完全平方公式进行计算，即可解答；
（3）根据题意可得FC=20−x，CE=12−x，然后设FC=20−x=a，CE=12−x=b，则a−b=8，ab=160，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解： ∵x+y=8，x2+y2=40，
∴2xy=(x+y)2−(x2+y2)
=82−40
=64−40
【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式变形的计算是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·江苏·八年级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形a>b．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是 ；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ；
【知识迁移】
（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ．
【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1）
【分析】（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积；
（2）由阴影部分面积相等可得结果；
（3）直接根据（2）的结论代入求值即可；
（4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可．
【详解】解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2，
方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab；
（2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
（3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得：102-4×5=（a-b）2，
∴（a-b）2=80；
（4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1），
∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为ba>b的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到(a−b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式：________﹔
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知x+y=6,xy=114，求(x−y)2的值；
（2）已知a+b=6,ab=7，求a3+b3的值．
【答案】[知识生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]（1）25；（2）90
【分析】[知识生成]利用面积相等推导公式（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]利用体积相等推导(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2；
（1）应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
（2）应用知识生成的公式，进行变形，由知识迁移的等式可得结论．
【详解】[知识生成]
方法一：已知边长直接求面积为（a-b）2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为（a+b）2-4ab，
∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
故答案为：（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]
（1）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得（x-y）2=（x+y）2-4xy，
∵x+y=6，xy=114，
∴（x-y）2=62-4×114，
∴（x-y）2=25，
（2）∵a+b=6，ab=7，
∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）=216-3×7×6=90．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
【题型9 乘法公式中的新定义问题】
【例9】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）新定义：如果a，b都是非零整数，且a=4b，那么就称a是“4倍数”．
验证：嘉嘉说：232−212是“4倍数”，琪琪说：122−6×12+9也是“4倍数”，判断 说得对（填“嘉嘉”、“琪琪”或“嘉嘉、琪琪”）．
【答案】嘉嘉
【分析】利用平方差公式可将232−212变形为4×22，利用完全平方公式将122−6×12+9变形为92，再根据“4倍数”的定义判断即可．
【详解】解：232−212=23+21×23−21=44×2=4×22，
因此232−212是“4倍数”，
122−6×12+9=122−2×3×12+32=12−32=92，
可知122−6×12+9不能写成4的倍数，
因此122−6×12+9不是“4倍数”，
故嘉嘉说得对，琪琪说得不对．
故答案为：嘉嘉．
【点睛】本题考查平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式，理解“4倍数”的定义．
【变式9-1】（2023春·浙江金华·八年级统考期末）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”，例如：22+32+2×2×3=25，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．14个B．15个C．26个D．60个
【答案】A
【分析】根据“完全数”的概念求解即可．
【详解】设两个自然数分别为a，b
由题意可得，a2+b2+2ab=a+b2
∴小于200且不重复的“完全数”有：1=0+12，4=1+12，9=1+22，16=2+22，25=2+32，36=3+32，49=3+42，64=3+52，81=3+62，100=3+72，121=3+82，144=3+92，169=3+102，196=3+112
综上所述，任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有14个．
故选：A．
【点睛】此题考查了新定义，完全平方公式，理解“完全数”的定义是解题关键．
【变式9-2】（2023春·广东揭阳·八年级校联考期中）现定义一种运算“⊕”，对任意有理数m，n规定：m⊕n=mnm−n，如：1⊕2=1×21−2=−2，则a+b⊕a−b的值是 ．
【答案】2a2b−2b3/2ba2−2b3
【分析】先根据新运算进行变形，再根据整式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：a+b⊕a−b
=a+ba−b[a+b−a−b]
=a+ba−ba+b−a+b
=a2−b2⋅2b
=2a2b−2b3．
故答案为：2a2b−2b3．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，新定义的运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式9-3】（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：acbd=a2+b2−cd．
(1)12−13=______；
(2)对于有理数x、y，若xkyxy是一个完全平方式，则k______；
(3)对于有理数x、y，若x+y=10，xy=22．
①求2x−y 3x−yy x−y的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD=x，AB=nx，FG=y，EF=ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值．
【答案】(1)−4
(2)2或−2
(3)①56；②2
【分析】（1）直接根据acbd=a2+b2−cd计算即可；
（2）根据新定义得出x2+y2−kxy，再根据结果是一个完全平方式，利用完全平方式的概念即可求出k；
（3）①先根据化简，再利用完全平方公式变形求解即可；
②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n．
【详解】（1）解：原式=12+−12−2×3=−4．
故答案为：−4；
（2）原式=x2+y2−kxy，
∵是完全平方公式，
∴k=2或−2．
故答案为：2或−2；
（3）①原式=2x−y2+y2−3x−yx−y
=4x2−4xy+y2+y2−3x2−3xy−xy+y2
=x2+y2，
∵x+y=10，xy=22，
∴x+y2=100，2xy=44，
∴x2+y2=x+y2−2xy
=100−44 =56；
②由图知：S阴影=S△DBC+S长方形ECGF−S△BGF，
∴45=12x⋅nx+ny⋅y−12y(x+ny)，
化简得nx2+ny2−xy=90，
∴nx2+y2−xy=90，
由①得，x2+y2=56，xy=22，
∴56n−22=90，
∴n=2
【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键．
【题型10 乘法公式的规律探究】
【例10】（2023·上海·八年级假期作业）杨辉是我国南宋时著名的数学家，他发现了著名的三角系数表，它的其中一个作用是指导按规律写出形如(a+b)n（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a+b)4展开式中所缺的系数．
=a3+3a2−b+3a−b2+−b3
a+b1=a+b a−b1=a−b
a+b2=a2+2ab+b2 a−b2=a2+2a−b+−b2=a2−2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 a−b3=a3+3a2−b+3a−b2+−b3
(1)仔细观察上边的图和下边的式子，写出a−b3=___________；
(2)直接在横线上填数字：a+b4=a4+___________a3b+___________a2b2+___________ab3+___________b4；
(3)请根据你找到的规律写出下列式子的结果：
x−y5=___________；
2x−y5=___________．
【答案】(1)a3−3a2b+3ab2−b3
(2)4、6、4、1
(3)x5−5x4y+10x3y2−10x2y3+5xy4−y5；32x5−80x4y+80x3y2−40x2y3+10xy4−y5
【分析】观察本题规律，下一行的各项系数是上一行相邻两个数的和，根据规律解答各小题即可．
【详解】（1）a−b3
=a3+3a2−b+3a−b2+−b3
=a3−3a2b+3ab2−b3
故答案为：a3−3a2b+3ab2−b3；
（2）a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
故答案为：4、6、4、1
（3）x−y5
=x5+5x4−y+10x3−y2+10x2−y3+5x−y4−y4
=x5−5x4y+10x3y2−10x2y3+5xy4−y5；
2x−y5
=25x5−5⋅24x4y+10⋅23x3y2−10⋅22x2y3+5⋅2xy4−y5
=32x5−80x4y+80x3y2−40x2y3+10xy4−y5；
故答案为：x5−5x4y+10x3y2−10x2y3+5xy4−y5；32x5−80x4y+80x3y2−40x2y3+10xy4−y5
【点睛】本题考查了完全平方公式，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
【变式10-1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）观察下列等式：第1个等式：1×2+1=22−1；第2个等式：2×3+2=32−1；第3个等式：3×4+3=42−1；第4个等式：4×5+4=52−1；…按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，n≥1，且n为整数），并加以证明．
【答案】(1)5×6+5=62−1
(2)nn+1+n=n+12−1，证明见解析
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式，再进行总结，并对等式左边的式子和右边的式子进行整理即可证明．
【详解】（1）解：由题意得：
第5个等式为：5×6+5=62−1，
故答案为：5×6+5=62−1；
（2）解：∵第1个等式：1×2+1=22−1；
第2个等式：2×3+2=32−1；
第3个等式：3×4+3=42−1；
第4个等式：4×5+4=52−1；
…
∴猜想：第n个等式：nn+1+n=n+12−1，
证明：等式左边=n2+n+n=n2+2n，
等式右边=n2+2n+1−1=n2+2n，
∴等式左边=等式右边，
∴ nn+1+n=n+12−1成立．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，根据题中所给的式子得出第n个等式：nn+1+n=n+12−1是解题的关键．
【变式10-2】（2023春·安徽合肥·八年级中国科技大学附属中学校考期中）观察下列等式：
①32−124=1+1；②42−224=1+2；③52−324=1+3；④62−424=1+4；⑤72−524=1+5……
(1)请按以上规律写出第⑥个等式______；
(2)猜想并写出第n个等式______；并证明猜想的正确性
【答案】(1)82−624=1+6
(2)(n+2)2−n24=1+n
【分析】（1）根据题干规律直接写出答案即可；
（2）找出分子两个数之间关系直接写出答案，利用完全平方公式展开合并推到证明即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
第⑥个等式为：82−624=1+6；
（2）解：由题干规律可得第n个等式为：(n+2)2−n24=1+n，
证明：∵左边=(n+2)2−n24=n2+4n+4−n24=4+4n4=1+n，
∴左边=右边，
∴(n+2)2−n24=1+n．
【点睛】本题主要考查根据规律运算及完全平方公式应用，解题的关键是根据题干得到式子之间存在的规律．
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）仔细观察下列等式：
第1个：52﹣12=8×3
第2个：92﹣52=8×7
第3个：132﹣92=8×11
第4个：172﹣132=8×15
…
（1）请你写出第6个等式： ；
（2）请写出第n个等式，并加以验证；
（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．
【答案】（1）252﹣212=8×23；（2）第n个等式是：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2=8（4n﹣1），验证见解析；（3）164000．
【分析】（1）式子总的特点是两个差为4的数的平方差等于某个数的8倍，其中每个式子中变化的数都是依次递增4，根据这个特点可以写出第6个等式；
（2）观察前面几个算式，把每个等式中变化的部分都表示成用等式序数n表示的代数式，即可得解；
（3）逆向运用前面所得的等式，消去互为相反数的部分，可以得到解答．
【详解】（1）根据式子的特点，可知第6个等式是：
252﹣212=8×23．
故答案为：252﹣212=8×23；
（2）第n个等式是：
（4n+1）2﹣（4n﹣3）2=8（4n﹣1）．
验证：左边=（4n+1）2﹣（4n﹣3）2
=16n2+8n+1﹣16n2+24n﹣9
=32n﹣8
=8（4n﹣1）
=右边；
（3）8×7+8×11+…+8×399+8×403
=92﹣52+132﹣92+…+4012﹣3972+4052﹣4012
=4052﹣52
=（405+5）（405﹣5）
=410×400
=164000．
【点睛】本题考查数字变化的规律及平方差公式的综合运用，通过观察掌握数字变化的规律并应用逆向思维思考是解题关键．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1099" 【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】 PAGEREF _Tc1099 \h 1
\l "_Tc1353" 【题型2 利用完全平方式确定系数】 PAGEREF _Tc1353 \h 2
\l "_Tc31477" 【题型3 乘法公式的计算】 PAGEREF _Tc31477 \h 2
\l "_Tc4396" 【题型4 利用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc4396 \h 2
\l "_Tc1347" 【题型5 利用面积法验证乘法公式】 PAGEREF _Tc1347 \h 3
\l "_Tc28542" 【题型6 乘法公式的应用】 PAGEREF _Tc28542 \h 4
\l "_Tc23871" 【题型7 平方差公式的几何背景】 PAGEREF _Tc23871 \h 6
\l "_Tc20180" 【题型8 完全平方公式的几何背景】 PAGEREF _Tc20180 \h 8
\l "_Tc18681" 【题型9 乘法公式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc18681 \h 10
\l "_Tc12172" 【题型10 乘法公式的规律探究】 PAGEREF _Tc12172 \h 11
【知识点 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】
【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）计算x−y+3x+y−3时，下列变形正确的是（ ）
A．x−y+3x+y−3B．x+3−yx−3+y
C．x−y+3x+y−3D．x−y−3x+y−3
【变式1-2】（2023春·天津滨海新·八年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）
A．(x+y)(x−y)B．(−x+y)(x+y)
C．(−x−y)(−x+y)D．(x−y)(−x+y)
【变式1-3】（2023春·广东茂名·八年级统考期中）下列多项式不是完全平方式的是( )．
A．x2−4x−4B．14+m2+mC．a2+2ab+b2D．t2+4t+4
【题型2 利用完全平方式确定系数】
【例2】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若将多项式4a2−2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是 ．（只要写出符合条件的一个）
【变式2-1】（2023春·四川达州·八年级校考期中）若x2+2(m−3)x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为 ．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）若9x2−k−1xy+25y2是关于x的完全平方式，则k= ．
【变式2-3】（2023春·福建泉州·八年级晋江市季延中学校考期中）已知B是含字母x的单项式，要使x2+B+14是完全平方式，那么B= ．
【题型3 乘法公式的计算】
【例3】（2023春·云南昭通·八年级校考期末）计算：
(1)(2m−n+3p)(2m+3p+n)；
(2)化简求值：(x−3)(x+3)−(x2−2x+1)，其中x=12．
【变式3-1】（2023春·山东东营·六年级统考期末）利用整式乘法公式计算．
(1)1002−98×102；
(2)a+b+3a+b−3；
(3)−2m+3−2m−3；
(4)12x−2y2．
【变式3-2】（2023春·湖南永州·八年级校联考期中）1−1221−1321−−1142= ．
【变式3-3】（2023春·江西抚州·八年级校联考期中）运用乘法公式计算：
(1)2m−3n−2m−3n−(2m−3n)2
(2)1002−992+982−972+…+22−12．
【题型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2023春·山东济南·八年级统考期末）设 a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023．若a2+b2=16，则c2的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【变式4-1】（2023春·广西贵港·八年级校考期末）若x−y−7=0，则代数式x2−y2−14y的值为 ．
【变式4-2】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）（1）已知a+1a=3，求a2+1a2的值；
（2）已知a−b2=9，ab=18，求a2+b2的值．
【变式4-3】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）已知m满足3m−20152+2014−3m2=5．
(1)求2015−3m2014−3m的值．
(2)求6m−4029的值．
【题型5 利用面积法验证乘法公式】
【例5】（2023春·八年级课时练习）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①B．②C．①②D．①②都不能
【变式5-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证a+b2=a−b2+4ab的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）
A．a+b2=a2+2ab+b2
B．a+bb+c=ab+ac+b2+bc
C．a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
D．a+ba−b=a2−b2
【变式5-3】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______；
（2）应用公式计算：
①已知x+y=5，xy=−1，求x2+y2的值；
②求20222−2021×2023的值．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为30平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为14米，则m-n的值为（ ）
A．4米B．7米C．5米D．3.5米
【变式6-1】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）我们知道，将完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：
(1)若m+n=9，mn=10，求m2+n2的值；
(2)如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积．
【变式6-2】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是八年级四个班的清洁区，其中分给八年级（1）班的清洁区是一块边长为a−2bm的正方形．(0<2b
(1)分别求出八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积．
(2)八年级（4）班的清洁区的面积比八年级（1）班的清洁区的面积多多少？
【变式6-3】（2023春·浙江温州·八年级期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地ABCD上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；
(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长b的值．
【题型7 平方差公式的几何背景】
【例7】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形(如图2)，解答下列问题：
(1)设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1= ______ ，S2= ______ ；(不必化简)
(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______ ；
(3)利用（2）中得到的公式，计算：20232−2022×2024．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 ；
A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
(3)请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝ ；
②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．
【变式7-2】（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）【知识生成】
（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；
【知识应用】
（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=a+2ma−2m，Q=a+ma−m，比较P、Q大小；
【知识迁移】
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．
【变式7-3】（2023春·山西大同·八年级统考期中）【实践操作】
（1）如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把图①中L形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③，请求出图③中大长方形的面积；
（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为： ．
【应用探究】
（3）利用（2）中验证的公式简便计算：499×501+1；
（4）计算：1−122×1−132×1−142×…×1−120212×1−120222．
【知识迁移】
（5）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为a的正方体中去掉一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：a3−b3= ．（结果不需要化简）
【题型8 完全平方公式的几何背景】
【例8】（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2，三个代数式m+n2，(m−n)2，mn之间的等量关系是 ；
(3)若x+y=−6，xy=114，则x−y= ；（直接写出答案）
【变式8-1】（2023春·八年级课时练习）完全平方公式：a±b2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，所以a+b2=9，即：a2+2ab+b2=9，
又因ab=1，所以a2+b2=7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy的值为______；
(2)拓展：若4−xx=3，则4−x2+x2=______．
(3)应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【变式8-2】（2023春·江苏·八年级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形a>b．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是 ；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ；
【知识迁移】
（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为ba>b的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到(a−b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式：________﹔
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知x+y=6,xy=114，求(x−y)2的值；
（2）已知a+b=6,ab=7，求a3+b3的值．
【题型9 乘法公式中的新定义问题】
【例9】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）新定义：如果a，b都是非零整数，且a=4b，那么就称a是“4倍数”．
验证：嘉嘉说：232−212是“4倍数”，琪琪说：122−6×12+9也是“4倍数”，判断 说得对（填“嘉嘉”、“琪琪”或“嘉嘉、琪琪”）．
【变式9-1】（2023春·浙江金华·八年级统考期末）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”，例如：22+32+2×2×3=25，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．14个B．15个C．26个D．60个
【变式9-2】（2023春·广东揭阳·八年级校联考期中）现定义一种运算“⊕”，对任意有理数m，n规定：m⊕n=mnm−n，如：1⊕2=1×21−2=−2，则a+b⊕a−b的值是 ．
【变式9-3】（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：acbd=a2+b2−cd．
(1)12−13=______；
(2)对于有理数x、y，若xkyxy是一个完全平方式，则k______；
(3)对于有理数x、y，若x+y=10，xy=22．
①求2x−y 3x−yy x−y的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD=x，AB=nx，FG=y，EF=ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值．
【题型10 乘法公式的规律探究】
【例10】（2023·上海·八年级假期作业）杨辉是我国南宋时著名的数学家，他发现了著名的三角系数表，它的其中一个作用是指导按规律写出形如(a+b)n（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a+b)4展开式中所缺的系数．
=a3+3a2−b+3a−b2+−b3
a+b1=a+b a−b1=a−b
a+b2=a2+2ab+b2 a−b2=a2+2a−b+−b2=a2−2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 a−b3=a3+3a2−b+3a−b2+−b3
(1)仔细观察上边的图和下边的式子，写出a−b3=___________；
(2)直接在横线上填数字：a+b4=a4+___________a3b+___________a2b2+___________ab3+___________b4；
(3)请根据你找到的规律写出下列式子的结果：
x−y5=___________；
2x−y5=___________．
【变式10-1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）观察下列等式：第1个等式：1×2+1=22−1；第2个等式：2×3+2=32−1；第3个等式：3×4+3=42−1；第4个等式：4×5+4=52−1；…按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，n≥1，且n为整数），并加以证明．
【变式10-2】（2023春·安徽合肥·八年级中国科技大学附属中学校考期中）观察下列等式：
①32−124=1+1；②42−224=1+2；③52−324=1+3；④62−424=1+4；⑤72−524=1+5……
(1)请按以上规律写出第⑥个等式______；
(2)猜想并写出第n个等式______；并证明猜想的正确性
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）仔细观察下列等式：
第1个：52﹣12=8×3
第2个：92﹣52=8×7
第3个：132﹣92=8×11
第4个：172﹣132=8×15
…
（1）请你写出第6个等式： ；
（2）请写出第n个等式，并加以验证；
（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．
专题14.3 乘法公式【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1099" 【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】 PAGEREF _Tc1099 \h 1
\l "_Tc1353" 【题型2 利用完全平方式确定系数】 PAGEREF _Tc1353 \h 3
\l "_Tc31477" 【题型3 乘法公式的计算】 PAGEREF _Tc31477 \h 5
\l "_Tc4396" 【题型4 利用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc4396 \h 8
\l "_Tc1347" 【题型5 利用面积法验证乘法公式】 PAGEREF _Tc1347 \h 10
\l "_Tc28542" 【题型6 乘法公式的应用】 PAGEREF _Tc28542 \h 13
\l "_Tc23871" 【题型7 平方差公式的几何背景】 PAGEREF _Tc23871 \h 17
\l "_Tc20180" 【题型8 完全平方公式的几何背景】 PAGEREF _Tc20180 \h 22
\l "_Tc18681" 【题型9 乘法公式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc18681 \h 28
\l "_Tc12172" 【题型10 乘法公式的规律探究】 PAGEREF _Tc12172 \h 31
【知识点 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】
【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）计算x−y+3x+y−3时，下列变形正确的是（ ）
A．x−y+3x+y−3B．x+3−yx−3+y
C．x−y+3x+y−3D．x−y−3x+y−3
【答案】D
【分析】将y−3看做一个整体，则x是相同项，互为相反项的是y−3，对照平方差公式变形即可求解．
【详解】解：x−y+3x+y−3=x−y−3x+y−3，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出相同项和相反项．
【变式1-1】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）下列运算正确的是（ ）
A．x+y−y+x=x2−y2B．−x+y2=−x2+2xy+y2
C．−x−y2=−x2−2xy−y2D．x+yy−x=x2−y2
【答案】A
【分析】根据平方差公式和完全平方公式，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、x+y−y+x=x2−y2，故A正确，符合题意；
B、−x+y2=x2−2xy+y2，故B不正确，不符合题意；
C、−x−y2=x2+2xy+y2，故C不正确，不符合题意；
D、x+yy−x=y2−x2，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查根据平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式a+ba−b=a2−b2和完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2．
【变式1-2】（2023春·天津滨海新·八年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）
A．(x+y)(x−y)B．(−x+y)(x+y)
C．(−x−y)(−x+y)D．(x−y)(−x+y)
【答案】D
【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．
【详解】A、B、C选项都是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式，
D选项变形后为−(x−y)2，不能使用平方差公式；
故选：D．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【变式1-3】（2023春·广东茂名·八年级统考期中）下列多项式不是完全平方式的是( )．
A．x2−4x−4B．14+m2+mC．a2+2ab+b2D．t2+4t+4
【答案】A
【分析】根据a2±2ab+b2的形式判断即可；
【详解】x2−4x−4不是完全平方公式，故A符合题意；
14+m2+m=12+m2，故B不符合题意；
a2+2ab+b2=a+b2，故C不符合题意；
t2+4t+4=t+22，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的判断，准确分析是解题的关键．
【题型2 利用完全平方式确定系数】
【例2】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若将多项式4a2−2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是 ．（只要写出符合条件的一个）
【答案】−2a，6a，−34，−3a2．
【分析】根据完全平方公式的特点分情况讨论：若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以；是(2a−1)2或(2a+1)2；②若把4a2看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2；③若把1看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2．分别算出所需添加的单项式即可．
【详解】①若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以是(2a−1)2或(2a+1)2，
∵(2a−1)2=4a2−4a+1=4a2−2a+1+(−2a)，
∴这个单项式可以是−2a；
∵(2a+1)2=4a2+4a+1=4a2−2a+1+6a，
∴这个单项式可以是6a；
②若把4a2成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2，
∵(2a−12)2=4a2−2a+14=4a2−2a+1+(−34)，
∴这个单项式可以是−34；
③若把1成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2，
∵(a−1)2=a2−2a+1=4a2−2a+1+(−3a2)，
∴这个单项式可以是−3a2．
综上，添加的这个单项式可以是−2a，6a，−34，−3a2．
故答案为：−2a，6a，−34，−3a2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点，进行分类讨论是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·四川达州·八年级校考期中）若x2+2(m−3)x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为 ．
【答案】4或16
【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵x2+2(m−3)x+1是完全平方式，
∴m−3=±1，
∴m=4或m=2，
∵x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，x+nx+2=x2+n+2x+2n，
∴n+2=0，
∴n=−2，
当m=4，n=−2时，nm=−24=16；
当m=2，n=−2时，nm=−22=4，
则nm=4或16，
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）若9x2−k−1xy+25y2是关于x的完全平方式，则k= ．
【答案】31或−29/−29或31
【分析】由9x2−k−1xy+25y2是关于x的完全平方式，得出9x2−k−1xy+25y2=3x±5y2，进而得出−k−1=±30，即可求出k的值．
【详解】解：∵9x2−k−1xy+25y2是关于x的完全平方式，
∴9x2−k−1xy+25y2=3x±5y2，
∴−k−1=±30，
解得：k=31或−29，
故答案为：31或−29
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点，考虑两种情况是解决问题的关键．
【变式2-3】（2023春·福建泉州·八年级晋江市季延中学校考期中）已知B是含字母x的单项式，要使x2+B+14是完全平方式，那么B= ．
【答案】±x或x4．
【分析】分类讨论：①当x2+B+14是完全平方式时和当B+x2+14是完全平方式时，再根据完全平方式的特点即可得出答案．
【详解】解：分类讨论：①当x2+B+14是完全平方式时．
∵x2+B+14=x2+B+122，
∴B=±2×x×12=±x；
②当B+x2+14是完全平方式时．
∵B+x2+14=B+2×x2×12+122，
∴B=x4．
综上可知，B=±x或x4．
故答案为：±x或x4．
【点睛】本题考查完全平方式．掌握完全平方式的结构特征和利用分类讨论的思想是解题关键．
【题型3 乘法公式的计算】
【例3】（2023春·云南昭通·八年级校考期末）计算：
(1)(2m−n+3p)(2m+3p+n)；
(2)化简求值：(x−3)(x+3)−(x2−2x+1)，其中x=12．
【答案】(1)4m2+12mp+9p2−n2
(2)2x−10，−9
【分析】（1）先把原式化为(2m+3p)−n(2m+3p)+n，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
（2）先利用平方差公式和去括号法则展开，再合并同类项，最后求值即可．
【详解】（1）解：原式=(2m+3p)−n(2m+3p)+n
=(2m+3p)2−n2
=4m2+12mp+9p2−n2；
（2）原式=x2−9−x2+2x−1
=2x−10，
当x=12时，
原式=1−10
=−9．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及平方差公式，熟练掌握整式的混合运算法则是解本题的关键．
【变式3-1】（2023春·山东东营·六年级统考期末）利用整式乘法公式计算．
(1)1002−98×102；
(2)a+b+3a+b−3；
(3)−2m+3−2m−3；
(4)12x−2y2．
【答案】(1)4
(2)a2+2ab+b2−9
(3)4m2−9
(4)14x2−2xy+4y2
【分析】（1）首先把98×102转化为100−2×100+2，然后再根据平方差公式计算即可；
（2）利用平方差公式变形，然后再根据完全平方公式计算即可；
（3）根据平方差公式计算即可；
（4）根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：1002−98×102
=1002−100−2×100+2
=1002−1002−22
=1002−1002+22
=4；
（2）解：a+b+3a+b−3
=a+b+3a+b−3
=a+b2−32
=a2+2ab+b2−9；
（3）解：−2m+3−2m−3
=−2m2−32
=4m2−9；
（4）解：12x−2y2
=14x2−2xy+4y2．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握整式的乘法公式进行计算．
【变式3-2】（2023春·湖南永州·八年级校联考期中）1−1221−1321−−1142= ．
【答案】1528
【分析】根据平方差公式得，1−1221−1321−−1142 =1−121+121−131+131−141+−1141+114 =12×32×23×43×34×54...×1314×1514，然后计算求解即可．
【详解】解：1−1221−1321−−1142
=1−121+121−131+131−141+−1141+114
=12×32×23×43×34×54...×1314×1514
=12×1514
=1528，
故答案为：1528．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式3-3】（2023春·江西抚州·八年级校联考期中）运用乘法公式计算：
(1)2m−3n−2m−3n−(2m−3n)2
(2)1002−992+982−972+…+22−12．
【答案】(1)−8m2+12mn
(2)5050
【分析】1原式第一项利用平方差是化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；
2原式结合后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．
【详解】（1）原式=9n2−4m2−4m2+12mn−9n2
=−8m2+12mn；
（2）原式=100+99×100−99+98+97×98−97+…+2+1×2−1
=100+99+98+97+96+……+1
=5050．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【题型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2023春·山东济南·八年级统考期末）设 a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023．若a2+b2=16，则c2的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得出ab=6，a−b=2，进而根据已知条件得出c2=(a−1)(b+1)，进而即可求解．
【详解】∵a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023，
∴a−1=x−2023=c=b+1，a−b=2，
∵ a2+b2=16，
∴ (a−b)2+2ab=16，
∴ ab=6，
∴ c2=(a−1)(b+1)
=ab+a−b−1
=6+2−1
=7，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出c2=(a−1)(b+1)是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·广西贵港·八年级校考期末）若x−y−7=0，则代数式x2−y2−14y的值为 ．
【答案】49
【分析】先计算x−y的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将x−y的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解．
【详解】解：∵x−y−7=0，
∴x−y=7，
∴x2−y2−14y
=x+yx−y−14y
=7x+y−14y
=7x+7y−14y
=7x−y
=49．
故答案为：49．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）（1）已知a+1a=3，求a2+1a2的值；
（2）已知a−b2=9，ab=18，求a2+b2的值．
【答案】（1）7；（2）45
【分析】（1）根据完全平方和公式恒等变形后，代值求解即可得到答案；
（2）根据完全平方差公式，代值求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ a2+1a2=a+1a2−2，a+1a=3，
∴原式=32−2
=9−2
=7；
（2）∵a−b2=a2−2ab+b2，a−b2=9，ab=18，
∴ 9=a2−2×18+b2，解得a2+b2=9+2×18=45．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方和与完全平方差公式是解决问题的关键．
【变式4-3】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）已知m满足3m−20152+2014−3m2=5．
(1)求2015−3m2014−3m的值．
(2)求6m−4029的值．
【答案】(1)−2
(2)±3
【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，计算即可确定出原式的值；
（2）原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，
可得a+b=−1，a2+b2=5，
∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴1=5+2ab，即ab=−2，
则2015−3m2014−3m=3m−20152014−3m=−ab=2；
（2）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，可得6m−4029=3m−2015−2014−3m=a−b，
∵a−b2=a2+b2−2ab，
∴6m−40292=a−b2=a2+b2−2ab=5+4=9，
则6m−4029=±3．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
【题型5 利用面积法验证乘法公式】
【例5】（2023春·八年级课时练习）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①B．②C．①②D．①②都不能
【答案】C
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式，即可得到答案．
【详解】解：在图①中，
左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，
右边图形中的阴影部分的面积为：a+ba−b，
故可得：a2−b2=a+ba−b，可验证平方差公式，符合题意；
在图②中，
左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，
右边图形中的阴影部分的面积为：a+ba−b，
故可得：a2−b2=a+ba−b，可验证平方差公式，符合题意；
故能够验证平方差公式的是：①②，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证a+b2=a−b2+4ab的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等．
【详解】A、不能验证公式，该选项不符合题意；
B、可以验证a+b2=a2+2ab+b2，该选项不符合题意；
C、可以验证a+b2=a−b2+4ab，该选项符合题意；
D、可以验证a2=a−b2+2ab−b2，即a−b2=a2−2ab+b2，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何验证，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式5-2】（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）
A．a+b2=a2+2ab+b2
B．a+bb+c=ab+ac+b2+bc
C．a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
D．a+ba−b=a2−b2
【答案】D
【分析】利用图形面积直接得出等式，从而可选择．
【详解】解：等式a+b2=a2+2ab+b2是由边长为a+b的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意；
等式a+bb+c=ab+ac+b2+bc是由长为b+c，宽为a+b的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意；
等式a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc是由边长为a+b+c的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意；
等式a+ba−b=a2−b2，图中找不到有关于a−b的面积，故D不可验证，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查多项式的乘法与图形面积．利用数形结合的思想是解题关键．
【变式5-3】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______；
（2）应用公式计算：
①已知x+y=5，xy=−1，求x2+y2的值；
②求20222−2021×2023的值．
【答案】（1）a+b2=a2+b2+2ab，a2−b2=a+ba−b；（2）①27；②1
【分析】（1）根据图1中大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和得到完全平方公式，根据图2中左右两边阴影部分的面积相等得到平方差公式；
（2）①利用x2+y2=x+y2−2xy进行计算即可；②利用平方差公式将2021×2023=2022−12022+1=20222−1化简即可．
【详解】解：（1）图1中，
边长为a的正方形的面积为a2，
边长为b的正方形的面积为b2，
长为a宽为b的长方形的面积为ab，
大正方形的边长为a+b，面积为a+b2，
∵大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和，
∴a+b2=a2+b2+2ab
图2中，
左边阴影部分的面积为：a2−b2，
右边阴影部分的面积为：a+ba−b，
∵左右两边的阴影部分面积相等，
∴a2−b2=a+ba−b，
故答案为：a+b2=a2+b2+2ab，a2−b2=a+ba−b；
（2）① ∵ x+y=5，xy=−1，
∴x2+y2=x+y2−2xy=52−2×−1=27；
② 20222−2021×2023
=20222−2022−12022+1
=20222−20222−1
=1．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握a+b2=a2+b2+2ab，a2−b2=a+ba−b是解题的关键．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为30平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为14米，则m-n的值为（ ）
A．4米B．7米C．5米D．3.5米
【答案】B
【分析】根据长方形的周长及面积计算公式，可找出关于m，n的方程组，变形后可得出(m−n)2=49，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：依题意得：2(m−3)+2(n−3)=14①mn=30②，
由①可得：m+n=13，
∵(m−n)2=(m+n)2−4mn，
∴(m−n)2=49，
∴m−n=7或m−n=−7(不合题意，舍去)．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，牢记(a±b)2=a2±2ab+b2是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）我们知道，将完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：
(1)若m+n=9，mn=10，求m2+n2的值；
(2)如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积．
【答案】(1)61
(2)800m2
【分析】(1)利用完全平方公式代入计算即可；
(2)设CD=xm，AD=ym,由周长可得x+y=60, 由两块正方形的面积和为2000平方米，x²+y²=2000, 求xy即可.
【详解】（1）∵(m+n)²=m²+n²+2mn,m+n=9，mn=10,
∴m²+n²=(m+n)²−2mn=92−2×10=61,
（2）设CD=xm，AD=ym,
∵长方形ABCD的周长是120米,
∴2(x+y)=120,
即x+y=60,
又∵两块正方形的面积和为2000平方米，
∴x²+y²=2000,
∴xy=x+y2−x2+y22=602−20002=800，
答: 长方形ABCD的面积为800平方米.
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，适当的等式变形是解决问题的的关键.
【变式6-2】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是八年级四个班的清洁区，其中分给八年级（1）班的清洁区是一块边长为a−2bm的正方形．(0<2b
(1)分别求出八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积．
(2)八年级（4）班的清洁区的面积比八年级（1）班的清洁区的面积多多少？
【答案】(1)八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积均为a+2ba−2b=a2−4b2m2
(2)多8ab m2
【分析】（1）根据图形可知：八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区为长方形，通过2a−a−2b=a+2bm，可求出对应的长，a+2ba−2b=a2−4b2m2，即可解答此题．
（2）由正方形的面积公式可得到：a+2b2−a−2b2=a2+4ab+4b2−a2−4ab+4b2=8abm2，从而解答此题．
【详解】（1）解：（1）因为2a−a−2b=a+2bm，
所以八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积均为a+2ba−2b=a2−4b2m2．
（2）因为a+2b2−a−2b2=a2+4ab+4b2−a2−4ab+4b2=8abm2，
所以八年级（4）班的清洁区的面积比八年级（1）班的清洁区的面积多8ab m2．
【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．
【变式6-3】（2023春·浙江温州·八年级期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地ABCD上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；
(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长b的值．
【答案】(1)2a2+4ab
(2)16
【分析】（1）根据题意，分别表示出正方形空地ABCD的面积和“红五月”三个正方形平台的面积，相减即为阴影部分的面积；
（2）根据阴影部分的面积求出a2+2ab=144，再根据a+b=20，得到a2+2ab+b2=400，进而求得b2=256，即可求出正方形边长b的值．
【详解】（1）解：由题意可知，正方形空地ABCD的边长为2a+b，
∴正方形空地ABCD的面积为2a+b2，
∵“红五月”三个正方形平台的面积为a2+b2+a2=2a2+b2，
∴阴影部分的面积为2a+b2−2a2+b2=4a2+4ab+b2−2a2−b2=2a2+4ab；
（2）解：阴影部分的面积为288平方米，
∴2a2+4ab=288，
∴a2+2ab=144，
∵a+b=20，
∴a+b2=a2+2ab+b2=400，
∴b2=400−144=256，
∵b>0,
∴b=16．
【点睛】本题考查了正方形的面积公式，列代数式，完全平方公式，平方根知识，根据题意正确得出阴影部分的面积是解题关键．
【题型7 平方差公式的几何背景】
【例7】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形(如图2)，解答下列问题：
(1)设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1= ______ ，S2= ______ ；(不必化简)
(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______ ；
(3)利用（2）中得到的公式，计算：20232−2022×2024．
【答案】(1)a2−b2，a+ba−b
(2)a+ba−b=a2−b2
(3)1
【分析】（1）根据图形的和差关系表示出S1，根据长方形的面积公式表示出S2；
（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是a+ba−b=a2−b2；
（3）由（2）中所得公式，可得2022×2024=2023+12023−1=20232−1，从而简便计算出该题结果．
【详解】（1）解：由题意得，S1=a2−b2，
S2=a+ba−b．
故答案为：a2−b2，a+ba−b；
（2）解：由（1）中的结果可验证的乘法公式为a+ba−b=a2−b2．
故答案为：a+ba−b=a2−b2；
（3）解：由（2）中所得乘法公式a+ba−b=a2−b2可得，
20232−2021×2023
=20232−2023+1×2023−1
=20232−20232−1
=20232−20232+1
=1．
【点睛】本题考查了平方差公式几何背景的应用能力，掌握图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题是关键．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 ；
A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
(3)请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝ ；
②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．
【答案】(1)（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；
(2)B
(3)①3，②264，6
【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式即可求解即可；
（2）根据两个阴影部分的面积相等由（1）的结果即可解答.
（3）①利用（2）得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一个（2﹣1），这样可以和（2+1）凑成平方差公式，以此逐步解答即可．
【详解】（1）解：图2中长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），
图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2．
故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2．
（2）解：由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故选B．
（3）解：①因为4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，
又因为2m+n＝4，
所以2m﹣n＝12÷4＝3．
故答案为：3；
②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝……
＝264﹣1+1
＝264，
而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其个位数字2，4，8，6，重复出现，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”经过16次循环，
因此264的个位数字为6．
答：其结果的个位数字为6．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用和数字类规律，灵活应用平方差公式成为解答本题的关键．
【变式7-2】（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）【知识生成】
（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；
【知识应用】
（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=a+2ma−2m，Q=a+ma−m，比较P、Q大小；
【知识迁移】
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．
【答案】（1）−3m2；（2）P
（2）利用（1）中得到的等式计算P−Q的值即可；
（3）分别用代数式表示图3中左图和右图的体积即可．
【详解】解：（1）图1中剩余部分的面积为a2−b2，
图2的面积为a+ba−b，
所以代数恒等式为a+ba−b=a2−b2；
（2）∵P=a+2ma−2m，Q=a+ma−m，
∴P−Q=a+2ma−2m−a+ma−m =a2−4m2−a2−m2 =−3m2
因为m是不为0的有理数，
所以−3m2<0，即P−Q<0，所以P
图3中右图是长为x+1，宽为x，高为x−1的长方体，
因此体积为x+1⋅x⋅x−1，所以有xx+1x−1=x3−x．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键．
【变式7-3】（2023春·山西大同·八年级统考期中）【实践操作】
（1）如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把图①中L形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③，请求出图③中大长方形的面积；
（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为： ．
【应用探究】
（3）利用（2）中验证的公式简便计算：499×501+1；
（4）计算：1−122×1−132×1−142×…×1−120212×1−120222．
【知识迁移】
（5）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为a的正方体中去掉一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：a3−b3= ．（结果不需要化简）
【答案】(1)a2−b2；(2)(a−b)(a+b)=a2−b2；(3)250000；(4)20234044；(5)(a−b)a2+(a−b)b2+(a−b)ab或(a−b)(a2+b2+ab)
【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘以宽即可．
（2）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，分别计算即可得出：(a−b)(a+b)=a2−b2
（3）观察（2）的的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将499拆成500−1，将501拆成500+1即可．
（4）利用a2−b2=a+ba−b将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为0，故答案为第一个因式乘以最后一个因式．
（5）将立体图形分割成三部分，分别为：a2a−b、b2a−b、aba−b，其和为a2a−b+b2a−b+aba−b，恰等于a3−b3．
【详解】解：（1）长方形的面积为：
2(a−b)(a−b2+b)
=(a−b)(a−b+2b)
=(a−b)(a+b)
=a2−b2；
（2）图③整个大长方形的面积等于图①阴影部分的面积：
∴(a−b)(a+b)=a2−b2；
（3）原式=(500−1)×(500+1)+1
=5002-12+1
=250000；
（4）原式=1−121+121−131+131−141+14⋯1−120211+120211−120221+12022
=12×32×23×43×34×45×⋯×20202021×20222021×20212022×20232022
=12×20232022
=20234044；
（5）将立体图形分割成三部分，分别为：a2(a−b)、b2(a−b)、ab(a−b)，其和为a2(a−b)+b2(a−b)+ab(a−b)=a3−b3．
故答案为：a2(a−b)+b2(a−b)+ab(a−b)．
【点睛】本题考查了“数形结合”中的乘法公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律．
【题型8 完全平方公式的几何背景】
【例8】（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2，三个代数式m+n2，(m−n)2，mn之间的等量关系是 ；
(3)若x+y=−6，xy=114，则x−y= ；（直接写出答案）
【答案】(1)(m−n)2
(2)(m+n)2−4mn=(m−n)2
(3)±5
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【分析】（1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边矩形的面积进而得出答案；
（2）由（1）中计算过程可得答案；
（3）根据（2）中的等式可得答案．
【详解】（1）解：图2中的阴影部分为正方形，边长为m−n，则面积为m−n2．
故答案为：(m−n)2；
（2）解：左边图形的面积=2m×2n=4mn，
右边的大正方形面积=(m+n)2，
则阴影部分的面积=(m+n)2−4mn，
因此三个代数式m+n2，(m−n)2，mn之间的等量关系为：
(m+n)2−4mn=(m−n)2；
故答案为：(m+n)2−4mn=(m−n)2；
（3）解：由（2）得(x+y)2−4xy=(x−y)2，
∴(x−y)2=−62−4×114=25，
∴x−y=±25=±5，
故答案为：±5．
【点睛】本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，用不同的形式表示图形的面积．
【变式8-1】（2023春·八年级课时练习）完全平方公式：a±b2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，所以a+b2=9，即：a2+2ab+b2=9，
又因ab=1，所以a2+b2=7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy的值为______；
(2)拓展：若4−xx=3，则4−x2+x2=______．
(3)应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)12
(2)10
(3)384
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设4−x=a，x=b，则a+b=4，ab=3，然后完全平方公式进行计算，即可解答；
（3）根据题意可得FC=20−x，CE=12−x，然后设FC=20−x=a，CE=12−x=b，则a−b=8，ab=160，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解： ∵x+y=8，x2+y2=40，
∴2xy=(x+y)2−(x2+y2)
=82−40
=64−40
【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式变形的计算是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·江苏·八年级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形a>b．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是 ；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ；
【知识迁移】
（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ．
【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1）
【分析】（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积；
（2）由阴影部分面积相等可得结果；
（3）直接根据（2）的结论代入求值即可；
（4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可．
【详解】解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2，
方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab；
（2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
（3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得：102-4×5=（a-b）2，
∴（a-b）2=80；
（4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1），
∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为ba>b的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到(a−b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式：________﹔
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知x+y=6,xy=114，求(x−y)2的值；
（2）已知a+b=6,ab=7，求a3+b3的值．
【答案】[知识生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]（1）25；（2）90
【分析】[知识生成]利用面积相等推导公式（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]利用体积相等推导(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2；
（1）应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
（2）应用知识生成的公式，进行变形，由知识迁移的等式可得结论．
【详解】[知识生成]
方法一：已知边长直接求面积为（a-b）2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为（a+b）2-4ab，
∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
故答案为：（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]
（1）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得（x-y）2=（x+y）2-4xy，
∵x+y=6，xy=114，
∴（x-y）2=62-4×114，
∴（x-y）2=25，
（2）∵a+b=6，ab=7，
∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）=216-3×7×6=90．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
【题型9 乘法公式中的新定义问题】
【例9】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）新定义：如果a，b都是非零整数，且a=4b，那么就称a是“4倍数”．
验证：嘉嘉说：232−212是“4倍数”，琪琪说：122−6×12+9也是“4倍数”，判断 说得对（填“嘉嘉”、“琪琪”或“嘉嘉、琪琪”）．
【答案】嘉嘉
【分析】利用平方差公式可将232−212变形为4×22，利用完全平方公式将122−6×12+9变形为92，再根据“4倍数”的定义判断即可．
【详解】解：232−212=23+21×23−21=44×2=4×22，
因此232−212是“4倍数”，
122−6×12+9=122−2×3×12+32=12−32=92，
可知122−6×12+9不能写成4的倍数，
因此122−6×12+9不是“4倍数”，
故嘉嘉说得对，琪琪说得不对．
故答案为：嘉嘉．
【点睛】本题考查平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式，理解“4倍数”的定义．
【变式9-1】（2023春·浙江金华·八年级统考期末）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”，例如：22+32+2×2×3=25，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．14个B．15个C．26个D．60个
【答案】A
【分析】根据“完全数”的概念求解即可．
【详解】设两个自然数分别为a，b
由题意可得，a2+b2+2ab=a+b2
∴小于200且不重复的“完全数”有：1=0+12，4=1+12，9=1+22，16=2+22，25=2+32，36=3+32，49=3+42，64=3+52，81=3+62，100=3+72，121=3+82，144=3+92，169=3+102，196=3+112
综上所述，任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有14个．
故选：A．
【点睛】此题考查了新定义，完全平方公式，理解“完全数”的定义是解题关键．
【变式9-2】（2023春·广东揭阳·八年级校联考期中）现定义一种运算“⊕”，对任意有理数m，n规定：m⊕n=mnm−n，如：1⊕2=1×21−2=−2，则a+b⊕a−b的值是 ．
【答案】2a2b−2b3/2ba2−2b3
【分析】先根据新运算进行变形，再根据整式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：a+b⊕a−b
=a+ba−b[a+b−a−b]
=a+ba−ba+b−a+b
=a2−b2⋅2b
=2a2b−2b3．
故答案为：2a2b−2b3．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，新定义的运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式9-3】（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：acbd=a2+b2−cd．
(1)12−13=______；
(2)对于有理数x、y，若xkyxy是一个完全平方式，则k______；
(3)对于有理数x、y，若x+y=10，xy=22．
①求2x−y 3x−yy x−y的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD=x，AB=nx，FG=y，EF=ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值．
【答案】(1)−4
(2)2或−2
(3)①56；②2
【分析】（1）直接根据acbd=a2+b2−cd计算即可；
（2）根据新定义得出x2+y2−kxy，再根据结果是一个完全平方式，利用完全平方式的概念即可求出k；
（3）①先根据化简，再利用完全平方公式变形求解即可；
②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n．
【详解】（1）解：原式=12+−12−2×3=−4．
故答案为：−4；
（2）原式=x2+y2−kxy，
∵是完全平方公式，
∴k=2或−2．
故答案为：2或−2；
（3）①原式=2x−y2+y2−3x−yx−y
=4x2−4xy+y2+y2−3x2−3xy−xy+y2
=x2+y2，
∵x+y=10，xy=22，
∴x+y2=100，2xy=44，
∴x2+y2=x+y2−2xy
=100−44 =56；
②由图知：S阴影=S△DBC+S长方形ECGF−S△BGF，
∴45=12x⋅nx+ny⋅y−12y(x+ny)，
化简得nx2+ny2−xy=90，
∴nx2+y2−xy=90，
由①得，x2+y2=56，xy=22，
∴56n−22=90，
∴n=2
【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键．
【题型10 乘法公式的规律探究】
【例10】（2023·上海·八年级假期作业）杨辉是我国南宋时著名的数学家，他发现了著名的三角系数表，它的其中一个作用是指导按规律写出形如(a+b)n（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a+b)4展开式中所缺的系数．
=a3+3a2−b+3a−b2+−b3
a+b1=a+b a−b1=a−b
a+b2=a2+2ab+b2 a−b2=a2+2a−b+−b2=a2−2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 a−b3=a3+3a2−b+3a−b2+−b3
(1)仔细观察上边的图和下边的式子，写出a−b3=___________；
(2)直接在横线上填数字：a+b4=a4+___________a3b+___________a2b2+___________ab3+___________b4；
(3)请根据你找到的规律写出下列式子的结果：
x−y5=___________；
2x−y5=___________．
【答案】(1)a3−3a2b+3ab2−b3
(2)4、6、4、1
(3)x5−5x4y+10x3y2−10x2y3+5xy4−y5；32x5−80x4y+80x3y2−40x2y3+10xy4−y5
【分析】观察本题规律，下一行的各项系数是上一行相邻两个数的和，根据规律解答各小题即可．
【详解】（1）a−b3
=a3+3a2−b+3a−b2+−b3
=a3−3a2b+3ab2−b3
故答案为：a3−3a2b+3ab2−b3；
（2）a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
故答案为：4、6、4、1
（3）x−y5
=x5+5x4−y+10x3−y2+10x2−y3+5x−y4−y4
=x5−5x4y+10x3y2−10x2y3+5xy4−y5；
2x−y5
=25x5−5⋅24x4y+10⋅23x3y2−10⋅22x2y3+5⋅2xy4−y5
=32x5−80x4y+80x3y2−40x2y3+10xy4−y5；
故答案为：x5−5x4y+10x3y2−10x2y3+5xy4−y5；32x5−80x4y+80x3y2−40x2y3+10xy4−y5
【点睛】本题考查了完全平方公式，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
【变式10-1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）观察下列等式：第1个等式：1×2+1=22−1；第2个等式：2×3+2=32−1；第3个等式：3×4+3=42−1；第4个等式：4×5+4=52−1；…按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，n≥1，且n为整数），并加以证明．
【答案】(1)5×6+5=62−1
(2)nn+1+n=n+12−1，证明见解析
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式，再进行总结，并对等式左边的式子和右边的式子进行整理即可证明．
【详解】（1）解：由题意得：
第5个等式为：5×6+5=62−1，
故答案为：5×6+5=62−1；
（2）解：∵第1个等式：1×2+1=22−1；
第2个等式：2×3+2=32−1；
第3个等式：3×4+3=42−1；
第4个等式：4×5+4=52−1；
…
∴猜想：第n个等式：nn+1+n=n+12−1，
证明：等式左边=n2+n+n=n2+2n，
等式右边=n2+2n+1−1=n2+2n，
∴等式左边=等式右边，
∴ nn+1+n=n+12−1成立．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，根据题中所给的式子得出第n个等式：nn+1+n=n+12−1是解题的关键．
【变式10-2】（2023春·安徽合肥·八年级中国科技大学附属中学校考期中）观察下列等式：
①32−124=1+1；②42−224=1+2；③52−324=1+3；④62−424=1+4；⑤72−524=1+5……
(1)请按以上规律写出第⑥个等式______；
(2)猜想并写出第n个等式______；并证明猜想的正确性
【答案】(1)82−624=1+6
(2)(n+2)2−n24=1+n
【分析】（1）根据题干规律直接写出答案即可；
（2）找出分子两个数之间关系直接写出答案，利用完全平方公式展开合并推到证明即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
第⑥个等式为：82−624=1+6；
（2）解：由题干规律可得第n个等式为：(n+2)2−n24=1+n，
证明：∵左边=(n+2)2−n24=n2+4n+4−n24=4+4n4=1+n，
∴左边=右边，
∴(n+2)2−n24=1+n．
【点睛】本题主要考查根据规律运算及完全平方公式应用，解题的关键是根据题干得到式子之间存在的规律．
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）仔细观察下列等式：
第1个：52﹣12=8×3
第2个：92﹣52=8×7
第3个：132﹣92=8×11
第4个：172﹣132=8×15
…
（1）请你写出第6个等式： ；
（2）请写出第n个等式，并加以验证；
（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．
【答案】（1）252﹣212=8×23；（2）第n个等式是：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2=8（4n﹣1），验证见解析；（3）164000．
【分析】（1）式子总的特点是两个差为4的数的平方差等于某个数的8倍，其中每个式子中变化的数都是依次递增4，根据这个特点可以写出第6个等式；
（2）观察前面几个算式，把每个等式中变化的部分都表示成用等式序数n表示的代数式，即可得解；
（3）逆向运用前面所得的等式，消去互为相反数的部分，可以得到解答．
【详解】（1）根据式子的特点，可知第6个等式是：
252﹣212=8×23．
故答案为：252﹣212=8×23；
（2）第n个等式是：
（4n+1）2﹣（4n﹣3）2=8（4n﹣1）．
验证：左边=（4n+1）2﹣（4n﹣3）2
=16n2+8n+1﹣16n2+24n﹣9
=32n﹣8
=8（4n﹣1）
=右边；
（3）8×7+8×11+…+8×399+8×403
=92﹣52+132﹣92+…+4012﹣3972+4052﹣4012
=4052﹣52
=（405+5）（405﹣5）
=410×400
=164000．
【点睛】本题考查数字变化的规律及平方差公式的综合运用，通过观察掌握数字变化的规律并应用逆向思维思考是解题关键．
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