初中数学人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程测试题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程测试题，共40页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31502" 【题型1 分式方程的定义】 PAGEREF _Tc31502 \h 1
\l "_Tc8884" 【题型2 分式方程的一般方法】 PAGEREF _Tc8884 \h 2
\l "_Tc22711" 【题型3 换元法解分式方程】 PAGEREF _Tc22711 \h 3
\l "_Tc9341" 【题型4 裂项法解分式方程】 PAGEREF _Tc9341 \h 3
\l "_Tc22956" 【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】 PAGEREF _Tc22956 \h 4
\l "_Tc2763" 【题型6 由分式方程有增根求字母的值】 PAGEREF _Tc2763 \h 4
\l "_Tc30423" 【题型7 由分式方程有整数解求字母的值】 PAGEREF _Tc30423 \h 4
\l "_Tc8238" 【题型8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】 PAGEREF _Tc8238 \h 5
\l "_Tc22697" 【题型9 分式方程的规律问题】 PAGEREF _Tc22697 \h 5
\l "_Tc23270" 【题型10 分式方程的新定义问题】 PAGEREF _Tc23270 \h 6
【知识点1 分式方程】
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【题型1 分式方程的定义】
【例1】（2023·山东聊城·八年级期末）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）
①ax+b2=5；②14(x+b)+2=x+53；③m+xa+2=m−xa；④2x2x−1=2x；⑤1+1x=2−3x；⑥a+bx=a+ba；⑦1a−1x=1b−bx；⑧x−ba=2+x+ba；⑨x−nx+m+x+mx−n=2．
【变式1-1】（2023下·河南郑州·八年级校考期末）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x=1时没有意义 ．
【变式1-2】（2023·广西贵港·八年级期中）下列关于x的方程是分式方程的是( )
A．x+25−3=3+x6;B．x−17+a=3−x;C．xa−ab=ba−xb;D．(x−1)2x−1=1
【变式1-3】（2023上·八年级课时练习）有下列方程：
①23x2=1；②2π−x2=1；③23x=x；④1x−2+3=x−1x−2；⑤1x=2；⑥2x−3y=0；⑦x+12−3=2x7；⑧x+1x−2+3；⑨3x−2=5x，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号）
【知识点1 解分式方程】
分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
【题型2 分式方程的一般方法】
【例2】（2023上·北京·八年级校考期末）解分式方程：
①xx−3+x+8x(x−3)=1
②1x−2=1−x2−x−4
【变式2-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：
(1)2x−3=3x；
(2)xx−1−1=3x−1x+2．
【变式2-2】（2023下·宁夏银川·八年级银川一中校考期中）阅读下列解题过程，回答所提出的问题：
题目：解分式方程：3x−2−2x+2=8x2−4
解：方程两边同时乘以(x+2)(x−2)⋯⋯A
得：3（x+2)−2(x−2)=8⋯⋯B
去括号得：3x+6−2x+4=8⋯⋯C
解得：x=−2⋯⋯D
所以原分式方程的解是：x=−2⋯⋯E
(1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号： ；
(2)错误的原因是 ；
(3)订正错误．
【变式2-3】（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：a※b=a+b÷b．
(1)计算：1m−1※−2m+1；
(2)若1m−1※−2m+1+1=16，求m的值．(要求写出解方程过程)
【题型3 换元法解分式方程】
【例3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为y−4y=0，方程两边同时乘y，得y2−4=0，
解得y=±2．经检验：y=±2都是方程y−4y=0的解．
当y=2时，x−1x=2，解得x=−1；当y=−2时，x−1x=−2，解得x=13．
经检验：x=−1和x=13都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x=−1或x=13．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
用换元法解：x+12x−1−2x−1x+1=0．
【变式3-1】（2023下·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）解分式方程x2−13x+5=6x+10x2−1+1，用y=x2−13x+5换元整理后得到的关于y的整式方程是 ．
【答案】y2-y-2=0
【变式3-2】（2023上·河南三门峡·八年级统考期末）换元法解方程：x−1x+2－3x−1－1＝0.
【变式3-3】（2023下·山西晋城·八年级统考阶段练习）换元法解方程：x−1x+2−27x−1−9=0．
【题型4 裂项法解分式方程】
【例4】（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）观察下列各式：
11×2=1−12；12×3=12−13 13×4=13−14；…．
请利用你所得的结论，解答下列问题：
(1)计算：11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+1nn+1．
(2)解方程1x+10+1x+1x+2+1x+2x+3+⋅⋅⋅+1x+9x+10=2．
(3)若11×4+14×7+17×10+⋅⋅⋅+13n+13n+4=619，求n的值．
【变式4-1】解方程：3(x−1)(x−4)=1x-1
【变式4-2】（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）解方程：
1(x−10)(x−9)+1(x−9)(x−8)+1(x−7)(x−6)+⋯+1x(x+1)=1x+1
【变式4-3】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）解方程：13x+115x+135x+163x=1x+1．
【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】
【例5】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）若关于x的方程m(x+1)−52x+1=m−3无解，则m的值为（ ）
A．3B．6或10C．10D．6
【变式5-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）关于x的分式方程3x+6x−1−x+kxx−1=0有解，则k满足 ．
【变式5-2】（2023上·湖南邵阳·八年级统考期末）已知分式方程2x−1+x1−x=■有解，其中“■”表示一个数．
(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或0，试确定“■”表示的数．
【变式5-3】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）对于实数x，y定义一种新运算“※”：x※y=yx2−y，例如：1※2=212−2=−2，则分式方程−1※x=mxx−1−1无解时，m的值是 ．
【题型6 由分式方程有增根求字母的值】
【例6】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的方程ax+bx−1=b，其中a，b均为整数且a≠0．
(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？
(2)若x=a是方程的解，求b的值．
【变式6-1】（2023下·山东枣庄·八年级统考阶段练习）若关于x的方程ax+1x−1−1=0有增根，则a的值为 ．
【变式6-2】（2023上·湖北武汉·八年级校考期末）若分式方程1x−2+3=b−xa+x有增根，则a的值是（ ）
A．1B．0C．−1D．−2
【变式6-3】（2023上·山东淄博·八年级山东省淄博第四中学校考期末）分式方程x+kx−1−1=4x2−1若有增根，则k的值是 ．
【题型7 由分式方程有整数解求字母的值】
【例7】（2023下·山东济南·八年级统考期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．18B．16C．12D．6
【变式7-1】（2023上·北京·八年级清华附中校考期末）若关于x的分式方程1−axx−2+3=12−x有正整数解，则整数a= ．
【变式7-2】（2023下·江苏常州·八年级统考期末）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数m的值是 ．
【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆一中校考期中）已知关于x的不等式组x−66+2x+13≤724(x+a)+1<3(2x+1)无解，关于y的分式方程ay−2y−2=82y−y2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．6B．9C．10D．13
【题型8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】
【例8】（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程m−2x+1=1的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3D．m＜3且m≠2
【变式8-1】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）已知关于x的分式方程m+32x−1=1的解不大于2，则m的取值范围是 ．
【变式8-2】（2023下·山西晋城·八年级校考期中）已知关于x的分式方程1x−1+2=k−11−x．
(1)若分式方程的解为x=2，求k的值．
(2)若分式方程有正数解，求k的取值范围．
【变式8-3】（2023上·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期末）若关于x的分式方程2x−3=1−m3−x的解为非负数，则m的取值范围是 ．
【题型9 分式方程的规律问题】
【例9】（2023下·江苏常州·八年级校考期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+1x=2+12的解为x1=2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1=3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14；
…
(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的两个解是 ．
(2)解方程：y+2y+5y+2=174，可以变形转化为x+1x=a+1a的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解．
(3)方程2x−3x+1+x+12x−3=376的解为 ．
【变式9-1】（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料：
方程1x+1−1x=1x−2−1x−3的解为x＝1；
方程1x−1x−1=1x−3−1x−4的解为x＝2；
方程1x−1−1x−2=1x−4−1x−5的解为x＝3；
…
(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜出这个方程的解；
(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为－5的分式方程．
【变式9-2】（2023上·山东淄博·八年级统考期末）已知：
①x+2x=3可转化为x+1×2x=1+2，解得x1=1,x2=2，
②x+6x=5可转化为x+2×3x=2+3，解得x1=2,x2=3，
③x+12x=7可转化为x+3×4x=3+4，解得x1=3,x2=4，
⋯⋯
根据以上规律，关于x的方程x+m2+4m−12x+5=2m−1(m为常数)的解为 ．
【变式9-3】（2023·陕西·八年级统考期末）解方程：
①1x+1=2x+1−1的解x= ．
②2x+1=4x+1−1的解x= ．
③3x+1=6x+1−1的解x= ．
④4x+1=8x+1−1的解x= ．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
【题型10 分式方程的新定义问题】
【例10】（2023上·北京延庆·八年级统考期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程ax+1=b的解是x=1a+b成立，那么我们就把实数a，b称为关于x的分式方程ax+1=b的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：a=2，b=−5就是关于x的分式方程ax+1=b的一个“方程数对”，记为[2，−5]．
(1)判断数对①[3，−5]，②[−2，4]中是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”的是 ；（只填序号）
(2)若数对[n，3−n]是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，求n的值；
(3)若数对[m−k，k]（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
【变式10-1】（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a,a（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；
（2）若F(m,2)−F(2,m)=1，求出m的值．
【变式10-2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
【变式10-3】（2023下·山西晋城·八年级统考阶段练习）综合与实践：对x，y定义一种新运算T，规定Tx,y=ax2+by2x+y（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T3,1=a×32+b×123+1=9a+b3+1，Tm,−2=am2+4bm−2．
(1)填空：T4,−1=_________．（用含a，b的代数式表示）
(2)若T−2,0=−2，且T5,−1=132．
①求a，b的值；
②若Tm+1,2m−2=T2m+2,m−3，求m的值．
专题15.3 分式方程【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31502" 【题型1 分式方程的定义】 PAGEREF _Tc31502 \h 1
\l "_Tc8884" 【题型2 分式方程的一般方法】 PAGEREF _Tc8884 \h 3
\l "_Tc22711" 【题型3 换元法解分式方程】 PAGEREF _Tc22711 \h 6
\l "_Tc9341" 【题型4 裂项法解分式方程】 PAGEREF _Tc9341 \h 9
\l "_Tc22956" 【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】 PAGEREF _Tc22956 \h 12
\l "_Tc2763" 【题型6 由分式方程有增根求字母的值】 PAGEREF _Tc2763 \h 14
\l "_Tc30423" 【题型7 由分式方程有整数解求字母的值】 PAGEREF _Tc30423 \h 17
\l "_Tc8238" 【题型8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】 PAGEREF _Tc8238 \h 20
\l "_Tc22697" 【题型9 分式方程的规律问题】 PAGEREF _Tc22697 \h 22
\l "_Tc23270" 【题型10 分式方程的新定义问题】 PAGEREF _Tc23270 \h 26
【知识点1 分式方程】
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【题型1 分式方程的定义】
【例1】（2023·山东聊城·八年级期末）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）
①ax+b2=5；②14(x+b)+2=x+53；③m+xa+2=m−xa；④2x2x−1=2x；⑤1+1x=2−3x；⑥a+bx=a+ba；⑦1a−1x=1b−bx；⑧x−ba=2+x+ba；⑨x−nx+m+x+mx−n=2．
【答案】④⑤⑥⑦⑨
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】①ax+b2=5是整式方程，故①不符合题意；
②14(x+b)+2=x+53是整式方程，故②不符合题意；
③m+xa+2=m−xa是整式方程，故③不符合题意；
④2x2x−1=2x是分式方程，故④符合题意；
⑤1+1x=2−3x是分式方程，故⑤符合题意；
⑥a+bx=a+ba是分式方程，故⑥符合题意；
⑦1a−1x=1b−bx是分式方程，故⑦符合题意；
⑧x−ba=2+x+ba是整式方程，故⑧不符合题意；
⑨x−nx+m+x+mx−n=2是分式方程，故⑨符合题意；
故答案为：④⑤⑥⑦⑨．
【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．
【变式1-1】（2023下·河南郑州·八年级校考期末）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x=1时没有意义 ．
【答案】1x−1=6(答案不唯一)
【分析】根据x=1时没有意义可知，当x=1时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可．
【详解】解：一个未知数是x且当x=1时没有意义的分式方程为1x−1=6(答案不唯一)．
故答案为：1x−1=6．
【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键．
【变式1-2】（2023·广西贵港·八年级期中）下列关于x的方程是分式方程的是( )
A．x+25−3=3+x6;B．x−17+a=3−x;C．xa−ab=ba−xb;D．(x−1)2x−1=1
【答案】D
【详解】根据分式方程的定义——分母中含有未知数的方程.故选D.
【变式1-3】（2023上·八年级课时练习）有下列方程：
①23x2=1；②2π−x2=1；③23x=x；④1x−2+3=x−1x−2；⑤1x=2；⑥2x−3y=0；⑦x+12−3=2x7；⑧x+1x−2+3；⑨3x−2=5x，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号）
【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨
【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：∵①23x2=1为整式方程；②2π−x2=1为整式方程；③23x=x为分式方程；④1x−2+3=x−1x−2为分式方程；⑤1x=2为分式方程；⑥2x−3y=0为整式方程；⑦x+12−3=2x7为整式方程；⑧x+1x−2+3为不是方程；⑨3x−2=5x为分式方程．
∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨．
故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨．
【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程．
【知识点1 解分式方程】
分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
【题型2 分式方程的一般方法】
【例2】（2023上·北京·八年级校考期末）解分式方程：
①xx−3+x+8x(x−3)=1
②1x−2=1−x2−x−4
【答案】①x=−2，②x=2是原方程的增根，原方程无解
【分析】①观察可得最简公分母是x(x−3)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．
②观察可得最简公分母是(x−2)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．
【详解】解：①方程两边同乘x(x−3)，得
x2+x+8=xx−3，
解得x=−2
检验x=−2时，x(x−3)≠0
∴x=−2是原方程的解．
②整理得1x−2+1−xx−2=−4
方程两边同乘(x−2)，得
1+1−x=−4(x−2)，
−x+4x=8−2，
解得x=2
检验：x=2时x−2=0，
∴x=2是原方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根，（3）分式中有常数项的注意不要漏乘常数项．
【变式2-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：
(1)2x−3=3x；
(2)xx−1−1=3x−1x+2．
【答案】(1)x=9
(2)原方程无解
【分析】（1）先去分母，解方程，再进行检验即可解答；
（2）先去分母，解方程，再进行检验即可解答．
【详解】（1）解：原方程得：2x=3x−9，
解得x=9，
经检验x=9是原方程的解；
（2）解：由原方程得：xx+2−x−1x+2=3，
整理得x2+2x−x2−x+2=3，
解得x=1，
经检验，当x=1时，x−1x+2=0，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，记得检验计算的结果对分式是否有意义是解题的关键．
【变式2-2】（2023下·宁夏银川·八年级银川一中校考期中）阅读下列解题过程，回答所提出的问题：
题目：解分式方程：3x−2−2x+2=8x2−4
解：方程两边同时乘以(x+2)(x−2)⋯⋯A
得：3（x+2)−2(x−2)=8⋯⋯B
去括号得：3x+6−2x+4=8⋯⋯C
解得：x=−2⋯⋯D
所以原分式方程的解是：x=−2⋯⋯E
(1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号： ；
(2)错误的原因是 ；
(3)订正错误．
【答案】(1)E
(2)没有验根
(3)订正错误：经检验x=−2使原分式方程分母等于0，所以x=−2是增根，原分式方程无解
【分析】根据分式方程的解法步骤，即可判断哪一步是错误的，再写出正确解题步骤即可．
【详解】（1）解：根据分式方程的解法步骤，判断出步骤E是错误的，
故答案为：E；
（2）解：根据分式方程的解法步骤，得步骤E错误的原因是没有验根，
故答案为：没有验根；
（3）解：订正错误：经检验x=−2使原分式方程分母等于0，所以x=−2是增根，
∴原分式方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是注意解出x的值后需要检验，防止出现增根．
【变式2-3】（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：a※b=a+b÷b．
(1)计算：1m−1※−2m+1；
(2)若1m−1※−2m+1+1=16，求m的值．(要求写出解方程过程)
【答案】(1)m−32m−1
(2)74
【分析】本题考查分式的化简和分式方程的解法，掌握相关的运算法则是解题的关键．
（1）利用所给算式运算即可，
（2）利用（1）的结果，将原方程化为分式方程，再求解即可．
【详解】（1）解：1m−1※−2m+1=1m−1+−2m+1÷−2m+1
=m+1m+1m−1−2m−1m+1m−1⋅−m+12
=m+1−2m+2m+1m−1⋅−m+12
=−m+3m+1m−1⋅−m+12
=m−32m−1．
（2）由（1）可知：1m−1※−2m+1=m−32m−1，
∴m−32m−1+1=16，
方程两边同乘以6m−1，得3m−3+6m−1=m−1，
去括号，得3m−9+6m−6=m−1，
移项、合并同类项，得8m=14，
系数化为1，得m=74，
经检验，m=74是原方程的解，
∴m的值为74．
【题型3 换元法解分式方程】
【例3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为y−4y=0，方程两边同时乘y，得y2−4=0，
解得y=±2．经检验：y=±2都是方程y−4y=0的解．
当y=2时，x−1x=2，解得x=−1；当y=−2时，x−1x=−2，解得x=13．
经检验：x=−1和x=13都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x=−1或x=13．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
用换元法解：x+12x−1−2x−1x+1=0．
【答案】答案见解析．
【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设y=x+12x−1，原方程化为y−1y=0，按照解分式方程的方法，可求得y的值，进而求得x的值．
【详解】解：设y=x+12x−1，则原方程化为y−1y=0．
方程两边同时乘y，得
y2−1=0，
解得y=±1．
经检验：y=±1都是y−1y=0的解．
当y=1时，
x+12x−1=1，
解得x=2．
当y=−1时，
x+12x−1=−1，
解得x=0．
经检验：x=2和x=0都是原分式方程的解．
所以原分式方程的解为x=2和x=0．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键．
【变式3-1】（2023下·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）解分式方程x2−13x+5=6x+10x2−1+1，用y=x2−13x+5换元整理后得到的关于y的整式方程是 ．
【答案】y2-y-2=0
【分析】先将原分式方程变形为x2−13x+5=23x+5x2−1+1，若设y=x2−13x+5，则1y=3x+5x2−1，代入原方程即可得出答案．
【详解】解：∵x2−13x+5=6x+10x2−1+1，
∴x2−13x+5=23x+5x2−1+1，
若设y=x2−13x+5，则1y=3x+5x2−1，
∴y=2y+1，
∴y2-y-2=0，
故答案为：y2-y-2=0．
【点睛】本题考查用换元法解分式方程，设y=x2−13x+5，则1y=3x+5x2−1代入求得y=2y+1是解题的关键．
【变式3-2】（2023上·河南三门峡·八年级统考期末）换元法解方程：x−1x+2－3x−1－1＝0.
【答案】x＝－12.
【分析】利用换元法解分式方程，设y＝x−1x+2，将原方程化为y−1y＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【详解】原方程可化为x−1x+2－x+2x−1＝0，设y＝x−1x+2，则原方程可化为y－1y＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，
经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－1y＝0的解；
当y＝1时，x−1x+2＝1，该方程无解；当y＝－1时，x−1x+2＝－1，解得x＝－12，
经检验，x＝－12是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－12.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
【变式3-3】（2023下·山西晋城·八年级统考阶段练习）换元法解方程：x−1x+2−27x−1−9=0．
【答案】x=−72或x=−54
【分析】先把方程变形为x−1x+2−9(x+2)x−1=0，再用换元法求解即可．
【详解】解：∵x−1x+2−27x−1−9=x−1x+2−(27x−1+9)=x−1x+2−9(x+2)x−1，
∴原方程为x−1x+2−9(x+2)x−1=0。
设y=x−1x+2，原方程可化为y−9y=0，
方程两边同时乘以y，得y2−9=0，
解得，y=±3，
经检验，y=±3都是原方程的解，
当y=3时，有x−1x+2=3，解得：x=−72，
当y=−3时，有x−1x+2=−3，解得：x=−54，
经检验：x=−72或x=−54都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−72或x=−54．
【点睛】本题考查了用换元法解可化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是正确使用换元法．
【题型4 裂项法解分式方程】
【例4】（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）观察下列各式：
11×2=1−12；12×3=12−13 13×4=13−14；…．
请利用你所得的结论，解答下列问题：
(1)计算：11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+1nn+1．
(2)解方程1x+10+1x+1x+2+1x+2x+3+⋅⋅⋅+1x+9x+10=2．
(3)若11×4+14×7+17×10+⋅⋅⋅+13n+13n+4=619，求n的值．
【答案】(1)nn+1
(2)x=−12
(3)n=5
【分析】本题考查规律探索问题及解分式方程．
（1）观察各式可得1nn+1=1n−1n+1，根据此规律将原式变形后计算即可；
（2）根据1nn+1=1n−1n+1将原方程变形后解方程即可；
（3）类比所发现的规律可知13n+13n+4=13×13n+1−13n+4，根据此规律将原式变形后计算即可．
结合已知条件总结出规律：1nn+1=1n−1n+1，是解题的关键．
【详解】（1）解：观察各式可得：1nn+1=1n−1n+1，
原式=1−12+12−13+13−14+⋅⋅⋅+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1；
（2）解：方程整理得：1x+10+1x+1−1x+2+1x+2−1x+3+⋅⋅⋅+1x+9−1x+10=2，
即1x+1=2，
去分母得：2x+2=1，
解得：x=−12，
经检验x=−12是分式方程的解．
（3）类比所发现的规律可知：13n+13n+4=13×13n+1−13n+4，
∵11×4+14×7+17×10+⋅⋅⋅+13n+13n+4=619
∴13×1−14+14−17+17−110+13n+1−13n+4=619
∴13×1−13n+4=619，即1−13n+4=1819，
∴解得：n=5，
∴经检验，n=5是分式方程的解，
故原方程的解为：n=5．
【变式4-1】解方程：3(x−1)(x−4)=1x-1
【答案】x=7
【分析】化简方程，进而求出即可．
【详解】方程整理得：1x−4−1x−1=1x−1 ，即1x−4=2x−1
去分母得：x−1=2x−8，
解得：x=7，
经检验x=7是分式方程的解.
【点睛】本题考查了解分式方程，弄清拆项的方法是解本题的关键．
【变式4-2】（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）解方程：
1(x−10)(x−9)+1(x−9)(x−8)+1(x−7)(x−6)+⋯+1x(x+1)=1x+1
【答案】x=21
【分析】分式方程利用拆项法变形后，求出解即可．
【详解】解：分式方程整理得：1x−10−1x−9+1x−9−1x−8+...+1x−1x+1=1x+1，
即1x−10−1x+1=1x+1
∴1x−10=2x+1
∴x+1=2x−20
∴x=21，
经检验：当x=21时，分母不为0，
∴该方程的解为x=21
【点睛】本题考查了解分式方程，弄清拆项的方法是解本题的关键．
【变式4-3】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）解方程：13x+115x+135x+163x=1x+1．
【答案】x=45
【分析】首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．
【详解】解：13x+115x+135x+163x=1x+1
1x⋅13+115+135+163=1x+1，
1x⋅11×3+13×5+15×7+17×9=1x+1，
12x1−13+13−15+15−17+17−19=1x+1，
12x1−19=1x+1，
12x⋅89=1x+1，
49x=1x+1，
9x=4x+4，
5x=4，
x=45，
检验：x=45是原分式方程的解，
∴原方程的解为x=45．
【点睛】本题考查了解分式方程，解本题的关键在于充分利用运算规律计算．
【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】
【例5】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）若关于x的方程m(x+1)−52x+1=m−3无解，则m的值为（ ）
A．3B．6或10C．10D．6
【答案】B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解的条件求出m的值；由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：分式方程去分母得：mx+1−5=m−32x+1
整理得：mx+m−5=2mx+m−6x−3
移项得：mx−2mx+6x=m−3−m+5
合并同类项得：6−mx=2
当6−m=0，即m=6时，方程无解；
由分式方程无解，可得分式方程的分母2x+1=0，
解得x=−12
把x=−12代入整式方程6−mx=2得：m=10
综上，m的值为6或10．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
【变式5-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）关于x的分式方程3x+6x−1−x+kxx−1=0有解，则k满足 ．
【答案】k≠−3且k≠5
【分析】本题考查了分式方程的含参问题，解题的关键重在结合题干的限定，同时不要忘记分母不能为0，故先去分母得到3x−1+6x−x+k=0，再通过去括号、移项、合并同类项得到8x=k+3，再根据分式方程有意义的条件即可得到答案．
【详解】解：3x+6x−1−x+kxx−1=0，
去分母得：3x−1+6x−x+k=0，
去括号得：3x−3+6x−x−k=0，
移项、合并同类项得：8x=k+3，
解得：x=k+38，
∵该方程有解，
∴x≠0且x≠1，
∴k+3≠0且k+3≠8，
∴k≠−3且k≠5，
故答案为：k≠−3且k≠5．
【变式5-2】（2023上·湖南邵阳·八年级统考期末）已知分式方程2x−1+x1−x=■有解，其中“■”表示一个数．
(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或0，试确定“■”表示的数．
【答案】(1)x=65
(2)0
【分析】（1）根据题意列出分式方程，求出解即可；
（2）把−1和0分别代入方程，求出解判断即可．
【详解】（1）解：根据题意得：2x−1+x1−x=4，
去分母得：2−x=4x−4，
解得：x=65，
检验：把x=65代入得：x−1≠0，
∴分式方程的解为x=65；
（2）解：当“■”是−1时，2x−1+x1−x=−1，解得0x=−1，此时方程无解；
当“■”是0时，2x−1+x1−x=0，解得x=2，经检验：x=2是分式方程的解，符合题意，
∴“■”表示的数是0 ．
【点睛】本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
【变式5-3】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）对于实数x，y定义一种新运算“※”：x※y=yx2−y，例如：1※2=212−2=−2，则分式方程−1※x=mxx−1−1无解时，m的值是 ．
【答案】0或−1
【分析】根据题中运算法则列出分式方程，然后化为整式方程，根据分式方程解的情况分类求解即可．
【详解】解：根据题意，−1※x=mxx−1−1可化为x1−x=mxx−1−1，
化为整式方程为：mx=−1，
当m=0时，整式方程mx=−1无解，即原分式方程无解；
当m≠0时，整式方程mx=−1的解为x=−1m，
∵当x=1时，分式方程无解，
∴−1m=1，则m=−1，
综上，当m=0或m=−1时，原分式方程无解，
故答案为：0或−1．
【点睛】本题考查解分式方程，理解题意新定义，熟练掌握分式方程无解的等价条件是解答的关键．
【题型6 由分式方程有增根求字母的值】
【例6】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的方程ax+bx−1=b，其中a，b均为整数且a≠0．
(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？
(2)若x=a是方程的解，求b的值．
【答案】(1)a+b=0
(2)−1或8或9
【分析】（1）由分式方程有增根，得到x−1=0，求出x的值即为增根；
（2）将x=a代入ax+bx−1=b求得b=a+2+4a−2，根据题意可得a−2=±1或−2或±4，分别带入求得b的值即可．
【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到x−1=0，
解得：x=1，
将分式方程化为整式方程：ax+b=bx−1，
整理得：a−bx+2b=0，
将x=1代入a−bx+2b=0得：a+b=0，
即若方程有增根，则a+b=0．
（2）解：∵x=a是方程的解，
将x=a代入ax+bx−1=b得：a2+ba−1=b，
整理得：a2−ab+2b=0，
∴b=a2a−2，
∴b=a2−4+4a−2=a+2+4a−2，且a≠2
∵a，b均为整数且a≠0，
∴a−2=±1或−2或±4，
当a−2=−1时，即a=1，b=a2a−2=1−1=−1；
当a−2=1时，即a=3，b=a2a−2=321=9；
当a−2=2时，即a=4，b=a2a−2=422=8；
当a−2=−4时，即a=−2，b=a2a−2=−22−4=−1；
当a−2=4时，即a=6，b=a2a−2=624=9；
综上，b的值为−1或8或9．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式6-1】（2023下·山东枣庄·八年级统考阶段练习）若关于x的方程ax+1x−1−1=0有增根，则a的值为 ．
【答案】−1
【分析】增根是将分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程后的方程中算出未知字母的值．
【详解】解：方程两边都乘(x−1)，得
ax+1−(x−1)=0，
(a−1)x=−2，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x−1=0，即增根为x=1，
把x=1代入整式方程，得a=−1；
∴a=−1时，关于x的方程ax+1x−1−1=0有增根
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式6-2】（2023上·湖北武汉·八年级校考期末）若分式方程1x−2+3=b−xa+x有增根，则a的值是（ ）
A．1B．0C．−1D．−2
【答案】D
【分析】首先根据解分式方程的一般方法得出方程的根，然后根据增根的定义将增根代入方程的解求出a的值．
【详解】解：∵分式方程1x−2+3=b−xa+x有增根，
∴x−2a+x=0，
∴x=2或−a，
当x=2时，a=−2，
当x=−a时不合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式增根，解题的关键是分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根求出a的值．
【变式6-3】（2023上·山东淄博·八年级山东省淄博第四中学校考期末）分式方程x+kx−1−1=4x2−1若有增根，则k的值是 ．
【答案】1
【分析】首先根据解分式方程的方法求出方程的解，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行检验即可得解
【详解】解：x+kx−1−1=4x2−1，
x+kx−1−1=4x+1x−1，
公分母为：x+1x−1，
两边同时乘以x+1x−1得：
x+kx+1−x+1x−1=4，
解得：x=−k+3k+1，
分式方程有增根，
∴x+1x−1=0，
∴x=1或x=−1，
当x=1时，−k+3k+1=1，
解得：k=1，此时方程有增根，
当x=−1时，−k+3k+1=−1，
得：3=−1，无解，
综上所述，k=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查对分式方程增根的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解题关键．
【题型7 由分式方程有整数解求字母的值】
【例7】（2023下·山东济南·八年级统考期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．18B．16C．12D．6
【答案】B
【分析】先求出分式方程的解，再利用分式方程的解为非负整数解，以及a满足不等式a+2>1，求出−1＜a≤10，再利用x=10−a4是非负整数可知10−a是4的倍数分析即可．
【详解】解：由题意可知：x+a−2ax−2=5，
x−a=5x−2，
x=10−a4，
∵分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，
∴10−a4≥0a+2＞1，解得：−1＜a≤10．
∵x=10−a4是非负整数，则：
当10−a=0时，a=10，此时x=0，经检验，x=0是分式方程的解；
当10−a=4时，a=6，此时x=1，经检验，x=1是分式方程的解；
当10−a=8时，a=2，此时x=2，经检验，x=2不是分式方程的解；
∴满足条件的整数a的值之和是16．
故选：B
【点睛】本题考查解分式方程，不等式组的应用，解题的关键是求出−1＜a≤10，再利用x=10−a4是非负整数，求出a的值即可．
【变式7-1】（2023上·北京·八年级清华附中校考期末）若关于x的分式方程1−axx−2+3=12−x有正整数解，则整数a= ．
【答案】2或−1
【分析】先去分母解整式方程得x=43−a，根据分式方程有正整数解，得到3−a的值为1或2或4，且43−a≠2，由此求出答案．
【详解】解：去分母得，1−ax+3x−2=−1，
整理得，3−ax=4，
解得x=43−a，
∵分式方程有正整数解，
∴3−a的值为1或2或4，且43−a≠2，
解得a=2或−1，
故答案为：2或−1．
【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键．
【变式7-2】（2023下·江苏常州·八年级统考期末）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数m的值是 ．
【答案】3或4.
【分析】先解分式方程，当m≠2时，可得x=1+2m−2,再根据x为正整数，且x≠1,x≠0, m为整数，逐一分析可得答案.
【详解】解：∵ 2x−1=mx，
∴2x=m(x−1),
∴(2−m)x=−m,
当m≠2时，x=−m2−m=mm−2=m−2+2m−2=1+2m−2,
∵x为正整数，且x≠1,x≠0, m为整数，
∴m−2是2的因数，
∴m−2=±1,m−2=±2,
∴m=3,m=1,m=4,m=0,
当m=3时，x=3,
当m=1时，x=1+(−2)=−1，舍去，
当m=4时，x=2,
当m=0时，x=0，舍去，
所以m的值为：m=3或m=4，
故答案为：3或4.
【点睛】本题考查的是解分式方程，根据分式方程的解为正整数求解字母系数的值，正确分析各个限制性的条件，理解题意是解题的关键.
【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆一中校考期中）已知关于x的不等式组x−66+2x+13≤724(x+a)+1<3(2x+1)无解，关于y的分式方程ay−2y−2=82y−y2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．6B．9C．10D．13
【答案】B
【分析】先根据一元一次不等式组无解可得a≥3，再解分式方程得y＝2−4a−2，且y≠0， y≠2，求得a＝3或a＝6．
【详解】解：x−66+2x+13≤72①4x+a+1<32x+1②，
由①得，x≤5，
由②得，x＞2a﹣1，
∵不等式组无解，
∴2a﹣1≥5，
∴a≥3，
ay−2y−2=82y−y2，
方程的两边同时乘y（y﹣2），
得，a（y﹣2）﹣2y＝﹣8，
整理得，（a﹣2）y＝2a﹣8，
∵方程有整数解，
∴y=2a−8a−2=2−4a−2，
∴a﹣2＝±1，a﹣2＝±2，a﹣2＝±4，
∴a＝3或a＝1或a＝4或a＝0或a＝6或a＝﹣2，
∵a≥3，
∴a＝3或a＝4或a＝6，
∵y≠0，y≠2，
∴a≠4，
∴所有a的和为9，
故选：B．
【点睛】本题主要考查含参数的分式方程以及一元一次不等式组，把分式方程和一元一次不等式组进行化简，是解题的关键．
【题型8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】
【例8】（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程m−2x+1=1的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3D．m＜3且m≠2
【答案】D
【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m的取值范围.
【详解】m−2x+1=1，
解得：x=m﹣3，
∵关于x的分式方程m−2x+1=1的解是负数，
∴m﹣3＜0，
解得：m＜3，
当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，
则m≠2，
故m的取值范围是：m＜3且m≠2，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．
【变式8-1】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）已知关于x的分式方程m+32x−1=1的解不大于2，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤0，且m≠-3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解不大于2且最简公分母不为0，求出m的范围即可．
【详解】解：m+32x−1=1
去分母得：m+3=2x-1，
解得：x=m+42，且2x-1≠0，即x≠12 ，
根据题意得：m+42≤2，且x≠12
解得：m≤0，且m≠-3，
故答案为：m≤0，且m≠-3．
【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
【变式8-2】（2023下·山西晋城·八年级校考期中）已知关于x的分式方程1x−1+2=k−11−x．
(1)若分式方程的解为x=2，求k的值．
(2)若分式方程有正数解，求k的取值范围．
【答案】(1)k=−2
(2)k<2且k≠0
【分析】（1）将x=2代入方程，即可求出k的值；
（2）先解分式方程，得x=−k+22，再根据方程有正数解以及分母不为0，即可求出k的取值范围．
【详解】（1）解：将x=2代入1x−1+2=k−11−x，
得12−1+2=k−11−2，
即1+2=−k−1，
解得k=−2；
（2）解：将1x−1+2=k−11−x去分母，
得1+2x−1=−k−1，
解得x=−k+22，
因为分式方程有正数解，
则x>0，
即−k+22>0，
所以k<2，
又因为分母不为0，
即x≠1，
那么−k+22≠1，
所以k≠0，
故k<2且k≠0．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
【变式8-3】（2023上·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期末）若关于x的分式方程2x−3=1−m3−x的解为非负数，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤5且m≠2
【分析】先解分式方程可得x=5−m，再根据分式方程的解为非负数建立不等式组即可得到答案．
【详解】解：2x−3=1−m3−x，
去分母得：2=x−3+m，
整理得：x=5−m，
∵关于x的分式方程xx−3=2+m3−x的解为非负数，
∴5−m≥05−m≠3，
解得：m≤5且m≠2．
故答案为：m≤5且m≠2．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法，以及分式方程的解的含义”是解本题的关键．
【题型9 分式方程的规律问题】
【例9】（2023下·江苏常州·八年级校考期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+1x=2+12的解为x1=2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1=3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14；
…
(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的两个解是 ．
(2)解方程：y+2y+5y+2=174，可以变形转化为x+1x=a+1a的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解．
(3)方程2x−3x+1+x+12x−3=376的解为 ．
【答案】(1)x1=a，x2=1a
(2)y1=2，y2=−74，过程见解析
(3)x1=−94，x2=1911
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）先将原方程进行变形可得：(y+2)+1y+2=4+14，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答；
（3）利用换元法将原方程化为：m+1m=6+16，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的两个解是x1=a，x2=1a，
故答案为：x1=a，x2=1a；
（2）解：y+2y+5y+2=174，
y+2y+4+1y+2=174
y+2(y+2)y+2+1y+2=174，
(y+2)+1y+2=4+14，
∴y+2=4或y+2=14，
∴y1=2，y2=−74，
经检验：y1=2，y2=−74是原方程的根；
（3）解：令2x−3x+1=m，则原方程可化为：m+1m=376，
∴m+1m=6+16，
∴m1=6，m2=16，
∴ 2x−3x+1=6或2x−3x+1=16，
解得：x1=−94，x2=1911，
经检验：x1=−94，x2=1911是原方程的根，
故答案为：x1=−94，x2=1911．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式9-1】（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料：
方程1x+1−1x=1x−2−1x−3的解为x＝1；
方程1x−1x−1=1x−3−1x−4的解为x＝2；
方程1x−1−1x−2=1x−4−1x−5的解为x＝3；
…
(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜出这个方程的解；
(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为－5的分式方程．
【答案】（1）1x−a−1x−(a+1)=1x−(a+3)−1x−(a+4)，它的解是x＝a＋2(a为整数)；（2）1x+7−1x+6=1x+4−1x+3.
【分析】（1）观察发现规律，根据所给式子可得答案；
（2）根据规律，可得方程．
【详解】解：(1)方程可以是1x−a−1x−(a+1)=1x−(a+3)−1x−(a+4)，它的解是x＝a＋2(a为整数)．
(2)1x+7−1x+6=1x+4−1x+3.
【点睛】本题考查了解分式方程，细心观察并总结出一般规律是解题关键.
【变式9-2】（2023上·山东淄博·八年级统考期末）已知：
①x+2x=3可转化为x+1×2x=1+2，解得x1=1,x2=2，
②x+6x=5可转化为x+2×3x=2+3，解得x1=2,x2=3，
③x+12x=7可转化为x+3×4x=3+4，解得x1=3,x2=4，
⋯⋯
根据以上规律，关于x的方程x+m2+4m−12x+5=2m−1(m为常数)的解为 ．
【答案】x1=m+1，x2=m−7
【分析】根据已知数列找出规律进而得出x+m2+4m−12x+5=2m−1的解．
【详解】解：∵①x+2x=3可转化为x+1×2x=1+2，解得x1=1,x2=2，
②x+6x=5可转化为x+2×3x=2+3，解得x1=2,x2=3，
③x+12x=7可转化为x+3×4x=3+4，解得x1=3,x2=4，
⋯⋯
∴规律为：x+mnx=m+n，其解为：x1=m，x2=n，
∴关于x的方程x+m2+4m−12x+5=2m−1(m为常数)，
∴x+5+m2+4m−12x+5=2m−1+5，
(x+5)+(m+6)(m−2)x+5=(m+6)(m−2)，
∴x1+5=m−2，x2+5=m+6，
∴x1=m+1，x2=m−7，
故答案为：x1=m+1，x2=m−7．
【点睛】本题考查了分式方程，利用转化思想是解题的关键
【变式9-3】（2023·陕西·八年级统考期末）解方程：
①1x+1=2x+1−1的解x= ．
②2x+1=4x+1−1的解x= ．
③3x+1=6x+1−1的解x= ．
④4x+1=8x+1−1的解x= ．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
【答案】①x=0②x=1③x=2④x=3（1）x=4，x=5（2）x=n﹣1
【详解】试题分析：（1）等号左边的分母都是x+1，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是x+1，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是x=0，第二个式子的解是x=1，那么第5个式子的解是x=4．第6个式子的解是x=5．．
（2）由（1）得第n个式子的等号左边的分母是x+1，分子是n，等号右边的被减数的分母是x+1，分子是2n，减数是1，结果是x=n−1．
试题解析：①x=0，②x=1，③x=2，④x=3．
（1）第⑤个方程：5x+1=10x+1−1解为x=4．
第⑥个方程：6x+1=12x+1−1解为x=5．
（2）第n个方程：nx+1=2nx+1−1解为x=n−1．
方程两边都乘x+1， 得n=2n−x+1．
解得x=n−1．
【题型10 分式方程的新定义问题】
【例10】（2023上·北京延庆·八年级统考期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程ax+1=b的解是x=1a+b成立，那么我们就把实数a，b称为关于x的分式方程ax+1=b的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：a=2，b=−5就是关于x的分式方程ax+1=b的一个“方程数对”，记为[2，−5]．
(1)判断数对①[3，−5]，②[−2，4]中是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”的是 ；（只填序号）
(2)若数对[n，3−n]是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，求n的值；
(3)若数对[m−k，k]（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
【答案】(1)①
(2)n=12
(3)k=m2+1m+1
【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可；
（2）根据题意，x=13是关于x的分式方程nx+1=3−n的解，将x=13代入方程中求解即可；
（3）根据题意，x=1m是关于x的分式方程m−kx+1=k的解，将x=1m代入分式方程m−kx+1=k中求解即可．
【详解】（1）解：①当a=3，b=−5时，解方程3x+1=−5得x=−12，
经检验，x=−12是该分式方程的解，又x=−12=13+−5，
∴3,−5是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”；
②当a=−2，b=4时，解方程−2x+1=4得x=−23，
经检验，x=−23是该分式方程的解，又x=−23≠1−2+4，
故−2,4不是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，
故答案为：①；
（2）解：∵数对n,3−n是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，
∴x=1n+3−n=13是关于x的分式方程nx+1=3−n的解，
将x=13代入分式方程nx+1=3−n中，得3n+1=3−n，
解得n=12；
（3）解：∵数对m−k,k（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，
∴x=1m−k+k=1m是关于x的分式方程m−kx+1=k的解，
将x=1m代入分式方程m−kx+1=k中，得mm−k+1=k，
则m+1k=m2+1，
∵m≠−1，
∴k=m2+1m+1．
【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键．
【变式10-1】（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a,a（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；
（2）若F(m,2)−F(2,m)=1，求出m的值．
【答案】（1）2；（2）m=0.
【分析】（1）根据题目所给条件代值进去计算即可求出，
（2）根据m与2的大小关系进行分类讨论求解分式方程即可求出m的值．
【详解】解：（1）因为a+1>a，所以F(a+1,a)=2a+1−a=2；
（2）m>2时，
F(m,2)−F(2,m)=2m−2−2mm−2=1，
解得m=43<2，不合题意，舍去．
m<2时，
F(m,2)−F(2,m)=2×22−m−22−m=1，
解得m=0．
综上，m=0．
【点睛】本题主要考查新定义与分式方程的求解，根据题目给定公式代值计算即可，第（2）问注意对m的值进行分类讨论求解，注意求解出来的m的值要根据分类讨论时的取值范围进行取舍．
【变式10-2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
【答案】(1)不是“相似方程”，理由见解析
(2)m=2或3
【分析】（1）求出两方程的解，再根据“相似方程”的定义判断即可．
（2）由“相伴方程”的定义求得方程解的表达式，进而分类讨论求得满足条件的m的值．
【详解】（1）解：不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程3－2(1－x)=4x，解得：x=12
解分式方程2x+12x−1−1=44x2−1，解得：x=12
检验：当x=12时，(2x+1)(2x－1)=0
∴分式方程无解
∴一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”．
（2）解：由题意，两个方程有相同的整数解
∴mx+6=x+4m，
∴(m－1)x=4m－6，
①当m－1=0时，方程无解；
②当m－1≠0， 即m≠1时，x=4m−6m−1 ，即x=4－2m−1
∵x，y均为整数
∴m－1=1，2，－1，－2，
∴m=2，3，0，－1，
又∵m取正整数，
∴m=2或3
综上所述，m=2或3．
【点睛】本题考查一元一次方程、分式方程、二元一次方程；按照定义求解方程是解题的关键．
【变式10-3】（2023下·山西晋城·八年级统考阶段练习）综合与实践：对x，y定义一种新运算T，规定Tx,y=ax2+by2x+y（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T3,1=a×32+b×123+1=9a+b3+1，Tm,−2=am2+4bm−2．
(1)填空：T4,−1=_________．（用含a，b的代数式表示）
(2)若T−2,0=−2，且T5,−1=132．
①求a，b的值；
②若Tm+1,2m−2=T2m+2,m−3，求m的值．
【答案】(1)16a+b3
(2)①a=1b=1；②m=−1
【分析】（1）利用新运算的规定解答即可；
（2）①利用新运算的规定得到关于a,b的方程，解方程即可求得结论；
②利用新定义的规定列出关于m的等式，再将a,b的值代入求解即可．
【详解】（1）解：T(4,−1)=a×42+b×(−1)24−1=16a+b3．
故答案为：16a+b3；
（2）①∵T(−2,0)=−2，
∴a×(−2)2+b×02−2+0=−2，整理，可得a=1①，
∵T(5,−1)=132，
∴a×52+b×(−1)25−1=132，
∴25a+b=26②，
由①、②组成二元一次方程组a=125a+b=26，
解得a=1b=1；
②∵Tm+1,2m−2=T2m+2,m−3，
∴a×m+12+b×2m−22m+1+2m−2=a×2m+22+b×m−322m+2+m−3 ，
∵a=1b=1，
∴m+12+2m−22m+1+2m−2=2m+22+m−322m+2+m−3，
∴m2+2m+1+4m2−8m+4=4m2+8m+4+m2−6m+9，
∴5−6m=2m+13，
∴m=−1，
经检验，m=−1是原方程的根，
∴m=−1．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、解分式方程、二元一次方程组等知识，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．