高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题7不等式与基本不等式单元测试(A)(原卷版+解析)

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第一章，等式性质与不等式性质，基本不等式
高考真题：
1．（广东·高考真题（文））设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（上海·高考真题（理））已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A．B．C．D．
3．（浙江·高考真题（文））某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·四川宜宾·高一期末）若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一专题练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a + b + c ≤MB．a +b +c >MC．a + b + c ≥MD．a + b+ c 3．（2021·四川成都·高一期末（文））若a，b为实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．（2022·四川乐山·高一期末）已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．（2022·四川甘孜·高一期末）的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（2022·全国·高一专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．且D．
7．（2021·陕西·榆林市第十中学高一期末）若，且，则的最大值为（ ）
A．4B．2C．D．
8．（河南省驻马店市2021-2022学年高二下学期期末数学（文科）试题）若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·广西梧州·高一期中）如果aA．B．C．D．
10．（2022·全国·高一专题练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
11．（2022·安徽阜阳·高一期中）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
12．（2021·河北·石家庄市第六中学高一期中）若a，b∈R，且a>0，b>0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a2+b2≥2abB．a+b≥2C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高一专题练习）已知，，则的取值范围是_________
14．（2021·全国·高一课时练习）某商品包装上标有重量克，若用x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________．
15．（2022·四川·成都七中高一期末）已知点在直线上，当时，的最小值为______．
16．（2022·全国·高一专题练习）已知，，如果，那么的最小值为________；如果，那么的最大值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高一专题练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，则；
(3)若，则；
(4)若，，则．
18．（2021·全国·高一课时练习）若a是实数，试比较与的大小.
19．（2022·湖南·高一课时练习）求解下列问题：
(1)已知，比较与的大小；
(2)比较和的大小．
20．（2021·全国·高一单元测试）已知三个不等式：，，（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，请写出可组成正确命题的两个命题．
21．（2021·全国·高一课时练习）已知，且，若，求p的最小值．
22．（2021·安徽·高一期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.
(1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值.
第二章 专题7 不等式与基本不等式(A）
命题范围：
第一章，等式性质与不等式性质，基本不等式
高考真题：
1．（广东·高考真题（文））设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
解析】利用赋值法:令排除A,B,C,选D.
2．（上海·高考真题（理））已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
若ab2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C.
3．（浙江·高考真题（文））某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______
【答案】20
【解析】
【详解】
把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.
七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.
所以一月份至十月份的销售总额为:
3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,
所以xmin=20.
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·四川宜宾·高一期末）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
当时，直接排除A、B、C选项，再由不等式的性质得D正确即可.
【详解】
对于选项A：当时，不等式，故A不正确；对于选项B：当时，，故B不正确；
对于选项C：当时，，故C不正确；对于选项D：因为，所以，故D正确．
故选：D．
2．（2022·全国·高一专题练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a + b + c ≤MB．a +b +c >MC．a + b + c ≥MD．a + b+ c 【答案】A
【解析】
【分析】
根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式.
【详解】
长、宽、高之和不超过Mcm，
.
故选：A.
3．（2021·四川成都·高一期末（文））若a，b为实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
据特值可说明ABC不正确；根据不等式的性质可得D正确.
【详解】
对于A，当时，满足，不满足，故A不正确；
对于B，当时，满足，不满足，故B不正确；
对于C，当时，满足，不满足，故C 不正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D.
4．（2022·四川乐山·高一期末）已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
举反例否定选项A,B,C；利用不等式的性质证明选项D正确.
【详解】
对于A，当时不成立；
对于B，当时，显然不成立；
对于C，当时不成立；
对于D，因为，所以有，即成立.
故选：D．
5．（2022·四川甘孜·高一期末）的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
利用均值不等式求解即可.
【详解】
因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以当时，函数有最小值4.
故选：C.
6．（2022·全国·高一专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．且D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质逐一判断即可
【详解】
对于选项A，∵，∴，又， 成立，故A正确；
对于选项B，当，时，结论明显错误，故B错误
对于选项C，当时，，所以结论错误，故C错误
对于选项D，当时，，所以结论错误，故D错误
故选：A
7．（2021·陕西·榆林市第十中学高一期末）若，且，则的最大值为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为，且，所以，当且仅当时取等号；
故选：A
8．（河南省驻马店市2021-2022学年高二下学期期末数学（文科）试题）若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对于ABD，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断即可
【详解】
对于A，若，则满足，此时，所以A错误，
对于B，若，则满足，而当时，则，所以B错误，
对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确，
对于D，若，则满足，而当时，则，所以D错误，
故选：C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·广西梧州·高一期中）如果aA．B．C．D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
用不等式的性质推导和取值验证相结合可解.
【详解】
取，则，，故AC不正确；
因为，所以，故B正确；
因为，所以，故D正确.
故选：BD
10．（2022·全国·高一专题练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中为0的情况.
【详解】
选项A：，在不等式两边同除以得，A正确；
选项B：当时，，B错误；
选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；
选项D：，，两边同除以得，，D正确.
故选：ACD.
11．（2022·安徽阜阳·高一期中）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
直接使用基本不等式可判断ACD；根据，使用基本不等式可判断B.
【详解】
A中，因为，由基本不等式可知成立；
B中，因为，所以，所以，所以成立；
C中，因为，由基本不等式可知成立；
D中，因为，由基本不等式可得成立.
故选：ABCD
12．（2021·河北·石家庄市第六中学高一期中）若a，b∈R，且a>0，b>0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a2+b2≥2abB．a+b≥2C．D．
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
根据基本不等式的概念和使用方法即可判断.
【详解】
∵(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，故A正确；
∵a＞0，b＞0时，，∴，当a＝b时取等号，故B正确；
∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a＝b时取等号，故C正确；
∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a＝b时取等号，故D正确.
故选：ABCD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高一专题练习）已知，，则的取值范围是_________
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可求解．
【详解】
解：因为，，
所以，，
所以，
故答案为：
14．（2021·全国·高一课时练习）某商品包装上标有重量克，若用x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件可得出不等式.
【详解】
因为某商品包装上标有重量克，
若用表示商品的重量，则，故有.
故答案为：.
15．（2022·四川·成都七中高一期末）已知点在直线上，当时，的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用均值不等式求解即可.
【详解】
因为点在上，所以.
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
16．（2022·全国·高一专题练习）已知，，如果，那么的最小值为________；如果，那么的最大值为________．
【答案】 ##0.25
【解析】
【分析】
根据均值不等式求解即可.
【详解】
因为，，所以，
所以，
故当时，取最小值，此时；
又当时，，所以，
故当时，的最大值为，此时.
故答案为：2；
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高一专题练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，则；
(3)若，则；
(4)若，，则．
【答案】(1)成立，理由见解析；
(2)成立，理由见解析；
(3)不成立，理由见解析；
(4)不成立，理由见解析；
【解析】
【分析】
由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.
(1)
，
，
，
故成立.
(2)
，,
,
即.
(3)
取时，满足，但是不成立.
(4)
取，满足，，但是不成立.
18．（2021·全国·高一课时练习）若a是实数，试比较与的大小.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用差比较法来比较两者的大小关系.
【详解】
.
当时，；
当时，；
当时，.
19．（2022·湖南·高一课时练习）求解下列问题：
(1)已知，比较与的大小；
(2)比较和的大小．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用差比较法比较大小.
（2）利用差比较法比较大小.
(1)
.
(2)
.
20．（2021·全国·高一单元测试）已知三个不等式：，，（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，请写出可组成正确命题的两个命题．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
先任意选择两个不等式，看能否推出剩下的不等式，再判断得解.
【详解】
解：若，成立，不等式两边同除以ab可得，
即命题1：，．
若，成立，不等式两边同乘ab，可得，
即命题2：，．
若，成立，则．
又，则，
即命题3：，．
（以上三个命题中可以任意选择两个命题都可以）
21．（2021·全国·高一课时练习）已知，且，若，求p的最小值．
【答案】5
【解析】
【分析】
利用“1”的妙用，代入， 然后利用基本不等式求解即可.
【详解】
由，且得，当且仅当时，等号成立，所以p的最小值为5．
22．（2021·安徽·高一期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.
(1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值.
【答案】(1)菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
(1)
由题意得，，所用篱笆总长为.
因为，
当且仅当时，即，时等号成立.
所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小.
(2)
由题意得，，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.