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《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.8数列的求和(B)（原卷版+解析）
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这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.8数列的求和(B)（原卷版+解析），共23页。试卷主要包含了8数列的求和等内容，欢迎下载使用。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
2．（2022·全国·高二课时练习（文））埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国．古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫作埃及分数，或者叫单分子分数．下列埃及分数求和不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·模拟预测（文））在数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）．
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递减数列D．的前n项和
5．（2022·河南河南·一模（文））已知数列的通项公式为， 若该数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·辽宁·高二期末）已知数列，定义数列为数列的“2倍差数列”.若的“2倍差数列”的通项公式，且，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：．若正项数列的前项和为，且满足，数列的通项公式为，则根据三角垛公式，可得数列的前20项和（ ）
A．2620B．2660C．2870D．2980
8．（2022·河南焦作·高三期中（文））已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前n项和
10.（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，若，，，数列的前项和为，则（ ）
A．数列的公差为1B．
C．D．
11．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）数列的前项和为，且，，则下列选项正确的有（ ）
A．B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为D．数列的前项和为
12．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）将个数排成行列的一个数阵.如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）等差数列的前n项和为，，，则___________
14．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知数列 满足:， 则数列的前项和为_______
15．（2022·安徽·六安一中高二期末）已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________．
16．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则下列结论中正确的是______．（填序号）
①为等差数列；②为严格增数列；③的前n项和；④的前n项和．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖北·十堰东风高级中学高二期中）己知数列，，，，数列的前n项和为，.
(1)求的值和数列的通项公式；
(2)令，求.
18．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）数列，满足：，且，
(1)求
(2)求数列的前n项和
19．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）数列的前n项和，.
(1)求；
(2)令，求数列的前n项和.
20．（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前项和．
21．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列的公差为，正项等比数列中
(1)求与
(2)令，证明：数列的前n项和
22．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）在与中间插入个数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记为，数列满足，记和分别为数列，的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
专题4.8数列的求和(B)
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【答案】B
【分析】由为奇函数，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得结果.
【详解】由于函数为奇函数，则，
即，所以，
所以，
所以
因此数列的前2022项和为．
故选：B.
2．（2022·全国·高二课时练习（文））埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国．古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫作埃及分数，或者叫单分子分数．下列埃及分数求和不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由等比数列的前项和公式可判断A；由，再由裂项相消法求和可判断B；由，再由裂项相消法求和可判断C；由，再由裂项相消法求和可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，
所以
，故D正确．
故选：B．
3．（2022·全国·模拟预测（文））在数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.
【详解】因为，则，
当时，
，显然满足上式，即有，
所以．
故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）．
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递减数列D．的前n项和
【答案】D
【分析】由两边取倒数求得的通项公式，对各选项进行分析判断，即可得答案.
【详解】由两边取倒数：，即，又，
所以首项为4，公比为2的等比数列，A正确.
，即，B正确.
由通项公式知：为递减数列，C正确.
因为，所以 ，D错误.
故选：D
5．（2022·河南河南·一模（文））已知数列的通项公式为， 若该数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简通项公式，利用裂项相消法即可求解.
【详解】因为数列的通项公式为，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
，
故选：B.
6．（2022·辽宁·高二期末）已知数列，定义数列为数列的“2倍差数列”.若的“2倍差数列”的通项公式，且，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得，从而得数列表示首项为，公差的等差数列，求得，再根据错位相减法即可得.
【详解】根据题意得，
，
数列表示首项为，公差的等差数列，
，
，
，
，
，
.
故选：A.
7．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：．若正项数列的前项和为，且满足，数列的通项公式为，则根据三角垛公式，可得数列的前20项和（ ）
A．2620B．2660C．2870D．2980
【答案】C
【分析】根据与的关系可以求得的通项公式，利用，观察三角垛公式公式的通项结合的结构，即为所求.
【详解】由，得，两式相减，得
，整理，得，
即．因为各项为正，所以，
所以数列是公差为1的等差数列．
又当时，，即，
所以或（舍去），所以，
所以，所以．
因为，所以，
即．
又，所以，
故．
故选：C．
8．（2022·河南焦作·高三期中（文））已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】先利用得到结合题意可得到，然后用错位相减法得到，根据是单调递增的，即可求解
【详解】由可得，
所以，
当时，满足故
所以是所有的正偶数，
因为数列中，除了第一项以外，其余的数都为正的偶数，
所以，
所以，
所以，
，
两式相减得：，
所以，
易得是单调递增的，且，，所以的正整数的最大值为6，
故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前n项和
【答案】AD
【详解】因为，所以，
又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
即，所以，所以，
所以为递减数列，
的前n项和．
故选：AD．
10.（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，若，，，数列的前项和为，则（ ）
A．数列的公差为1B．
C．D．
【答案】BD
【分析】设等差数列的公差为，则由结合等差数的求和公式可求出公差，则可求出，从而可判断AB，再由可求出，则可判断C，由于，所以利用裂项相消法可判断D.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，所以，解得，A错误；，B正确；
，，C错误；
当时，，当时，，
所以，可知，D正确．
故选：BD．
11．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）数列的前项和为，且，，则下列选项正确的有（ ）
A．B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为D．数列的前项和为
【答案】AB
【分析】由和作差得，整理得，即可判断数列为等比，再求出，通过构造得到数列为等差，求出的通项，进而求出的通项，所以，再利用错位相减求和即可.
【详解】当时，，即，因为，所以，当时，
，即，解得，故A正确；
当时，因为，所以，两式作差得：，
所以，所以数列是首项为，
公比为的等比数列，故B正确；
所以，即，所以数列是首项为，
公差为的等差数列，所以，即，故C错误；
根据题意得：，设的前项和为，
所以，
所以，
两式相减得：，
即，所以，即，故D错误.
故选：AB.
12．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）将个数排成行列的一个数阵.如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据，，及等差数列、等比数列通项公式求出，即可判断A、C，再利用错位相减法计算B，根据等比数列和等差数列求和公式计算判断D.
【详解】解：，
，解得或（舍负），即选项A正确；
，即选项C错误；
令，则①
②，
①②得，
，
，
当时，，即选项B正确；
，即选项D正确.
故选：ABD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）等差数列的前n项和为，，，则___________
【答案】.
【分析】根据已知，利用等差数列的通项、求和公式、裂项相消法求解.
【详解】由题知，因为，，
所以，
解得，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
14．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知数列 满足:， 则数列的前项和为_______
【答案】
【分析】类比与的关系，分类讨论与两种情况，证得，再代入，从而利用分组求和法即可求得.
【详解】因为，
所以当时，， 故；
当时，，则，
两式相减得:，故，
经检验:满足，
所以当时，，
所以，
故.
故答案为：.
15．（2022·安徽·六安一中高二期末）已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________．
【答案】##9.5
【分析】根据给定条件计算当时，的值，再结合等比数列性质计算作答.
【详解】函数，当时，，
因数列是正项等比数列，且，则，
，同理，
令，
又，
则有，，
所以.
故答案为：
16．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则下列结论中正确的是______．（填序号）
①为等差数列；②为严格增数列；③的前n项和；④的前n项和．
【答案】②④
【分析】对于①，利用递推式得到，即是等比数列，故①错误；
对于②，求得，即可判断为严格增数列, 故②正确
对于③，利用错位相减法可求得，故③错误；
对于④，易得，故，故④正确．
【详解】由，两边都除以，可得，即，又，故，所以是首项为4公比为2的等比数列，故①错误；
所以，解得，所以为严格递增数列，故②正确；
的前n项和，
，
两式相减得，
所以，故③错误；
由可得，所以的前n项和，故④正确．
故答案为：②④.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖北·十堰东风高级中学高二期中）己知数列，，，，数列的前n项和为，.
(1)求的值和数列的通项公式；
(2)令，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)根据数列的前项和与的关系求解;(2)利用裂项相消求和求解.
【详解】（1）因为,当时, ,
以上两式相减得,
即,
因为,所以,\
所以，所以，
令，则有，即，
解得或（舍），
所以是以2为首项，2为公差的等差数列,
所以，所以.则.
（2）由（1）得，所以，
故.
18．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）数列，满足：，且，
(1)求
(2)求数列的前n项和
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，，然后利用等差数列及等比数列的通项公式即得；
（2）利用分组求和法即得.
【详解】（1）因为，，
所以，
即，又，
所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以，
因为，，
所以，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，又
所以；
（2）因为，
所以.
19．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）数列的前n项和，.
(1)求；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）根据已知，利用数列前n项和与通项的关系以及等比数列求解.
（2）根据第（1）问的结论以及对数的运算性质，再利用裂项相消法进行求解.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，
即，所以 ，即，
所以数列为等比数列，且首项为2，公比为4，
所以，.
（2）由（1）有：，所以，
即，所以，
所以，令，
所以
.
20．（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式.
（2）利用错位相减法整理化简即可求得前项和．
【详解】（1）等差数列的前项和为，，，设公差为
所以，解得
所以
正项等比数列中，，，设公比为
所以，所以
解得，或（舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以
两式相减得：
21．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列的公差为，正项等比数列中
(1)求与
(2)令，证明：数列的前n项和
【答案】(1)，；
(2)证明见解析．
【分析】（1）由等差数列的基本量运算和等比数列的基本量运算求得通项公式；
（2）由错位相减法求得和可得证．
【详解】（1）由题意，，所以，
，，所以，
，，所以；
（2）由（1），
，
，
相减得，所以．
22．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）在与中间插入个数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记为，数列满足，记和分别为数列，的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等比数列的公比为,利用等比数列的性质求得，即可求得答案;
（2）利用等比数列前n项和公式求得，利用错位相减法求得,采用作差法即可比较的大小，证明结论.
【详解】（1）设等比数列的公比为,
则 ，．则 ，
所以,
即.
（2）由，可得，
由可得，
故，则，
两式相减得：，
故，则，
则，
即.
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
2．（2022·全国·高二课时练习（文））埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国．古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫作埃及分数，或者叫单分子分数．下列埃及分数求和不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·模拟预测（文））在数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）．
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递减数列D．的前n项和
5．（2022·河南河南·一模（文））已知数列的通项公式为， 若该数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·辽宁·高二期末）已知数列，定义数列为数列的“2倍差数列”.若的“2倍差数列”的通项公式，且，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：．若正项数列的前项和为，且满足，数列的通项公式为，则根据三角垛公式，可得数列的前20项和（ ）
A．2620B．2660C．2870D．2980
8．（2022·河南焦作·高三期中（文））已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前n项和
10.（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，若，，，数列的前项和为，则（ ）
A．数列的公差为1B．
C．D．
11．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）数列的前项和为，且，，则下列选项正确的有（ ）
A．B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为D．数列的前项和为
12．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）将个数排成行列的一个数阵.如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）等差数列的前n项和为，，，则___________
14．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知数列 满足:， 则数列的前项和为_______
15．（2022·安徽·六安一中高二期末）已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________．
16．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则下列结论中正确的是______．（填序号）
①为等差数列；②为严格增数列；③的前n项和；④的前n项和．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖北·十堰东风高级中学高二期中）己知数列，，，，数列的前n项和为，.
(1)求的值和数列的通项公式；
(2)令，求.
18．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）数列，满足：，且，
(1)求
(2)求数列的前n项和
19．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）数列的前n项和，.
(1)求；
(2)令，求数列的前n项和.
20．（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前项和．
21．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列的公差为，正项等比数列中
(1)求与
(2)令，证明：数列的前n项和
22．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）在与中间插入个数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记为，数列满足，记和分别为数列，的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
专题4.8数列的求和(B)
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【答案】B
【分析】由为奇函数，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得结果.
【详解】由于函数为奇函数，则，
即，所以，
所以，
所以
因此数列的前2022项和为．
故选：B.
2．（2022·全国·高二课时练习（文））埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国．古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫作埃及分数，或者叫单分子分数．下列埃及分数求和不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由等比数列的前项和公式可判断A；由，再由裂项相消法求和可判断B；由，再由裂项相消法求和可判断C；由，再由裂项相消法求和可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，
所以
，故D正确．
故选：B．
3．（2022·全国·模拟预测（文））在数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.
【详解】因为，则，
当时，
，显然满足上式，即有，
所以．
故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）．
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递减数列D．的前n项和
【答案】D
【分析】由两边取倒数求得的通项公式，对各选项进行分析判断，即可得答案.
【详解】由两边取倒数：，即，又，
所以首项为4，公比为2的等比数列，A正确.
，即，B正确.
由通项公式知：为递减数列，C正确.
因为，所以 ，D错误.
故选：D
5．（2022·河南河南·一模（文））已知数列的通项公式为， 若该数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简通项公式，利用裂项相消法即可求解.
【详解】因为数列的通项公式为，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
，
故选：B.
6．（2022·辽宁·高二期末）已知数列，定义数列为数列的“2倍差数列”.若的“2倍差数列”的通项公式，且，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得，从而得数列表示首项为，公差的等差数列，求得，再根据错位相减法即可得.
【详解】根据题意得，
，
数列表示首项为，公差的等差数列，
，
，
，
，
，
.
故选：A.
7．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：．若正项数列的前项和为，且满足，数列的通项公式为，则根据三角垛公式，可得数列的前20项和（ ）
A．2620B．2660C．2870D．2980
【答案】C
【分析】根据与的关系可以求得的通项公式，利用，观察三角垛公式公式的通项结合的结构，即为所求.
【详解】由，得，两式相减，得
，整理，得，
即．因为各项为正，所以，
所以数列是公差为1的等差数列．
又当时，，即，
所以或（舍去），所以，
所以，所以．
因为，所以，
即．
又，所以，
故．
故选：C．
8．（2022·河南焦作·高三期中（文））已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】先利用得到结合题意可得到，然后用错位相减法得到，根据是单调递增的，即可求解
【详解】由可得，
所以，
当时，满足故
所以是所有的正偶数，
因为数列中，除了第一项以外，其余的数都为正的偶数，
所以，
所以，
所以，
，
两式相减得：，
所以，
易得是单调递增的，且，，所以的正整数的最大值为6，
故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前n项和
【答案】AD
【详解】因为，所以，
又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
即，所以，所以，
所以为递减数列，
的前n项和．
故选：AD．
10.（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，若，，，数列的前项和为，则（ ）
A．数列的公差为1B．
C．D．
【答案】BD
【分析】设等差数列的公差为，则由结合等差数的求和公式可求出公差，则可求出，从而可判断AB，再由可求出，则可判断C，由于，所以利用裂项相消法可判断D.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，所以，解得，A错误；，B正确；
，，C错误；
当时，，当时，，
所以，可知，D正确．
故选：BD．
11．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）数列的前项和为，且，，则下列选项正确的有（ ）
A．B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为D．数列的前项和为
【答案】AB
【分析】由和作差得，整理得，即可判断数列为等比，再求出，通过构造得到数列为等差，求出的通项，进而求出的通项，所以，再利用错位相减求和即可.
【详解】当时，，即，因为，所以，当时，
，即，解得，故A正确；
当时，因为，所以，两式作差得：，
所以，所以数列是首项为，
公比为的等比数列，故B正确；
所以，即，所以数列是首项为，
公差为的等差数列，所以，即，故C错误；
根据题意得：，设的前项和为，
所以，
所以，
两式相减得：，
即，所以，即，故D错误.
故选：AB.
12．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）将个数排成行列的一个数阵.如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据，，及等差数列、等比数列通项公式求出，即可判断A、C，再利用错位相减法计算B，根据等比数列和等差数列求和公式计算判断D.
【详解】解：，
，解得或（舍负），即选项A正确；
，即选项C错误；
令，则①
②，
①②得，
，
，
当时，，即选项B正确；
，即选项D正确.
故选：ABD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）等差数列的前n项和为，，，则___________
【答案】.
【分析】根据已知，利用等差数列的通项、求和公式、裂项相消法求解.
【详解】由题知，因为，，
所以，
解得，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
14．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知数列 满足:， 则数列的前项和为_______
【答案】
【分析】类比与的关系，分类讨论与两种情况，证得，再代入，从而利用分组求和法即可求得.
【详解】因为，
所以当时，， 故；
当时，，则，
两式相减得:，故，
经检验:满足，
所以当时，，
所以，
故.
故答案为：.
15．（2022·安徽·六安一中高二期末）已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________．
【答案】##9.5
【分析】根据给定条件计算当时，的值，再结合等比数列性质计算作答.
【详解】函数，当时，，
因数列是正项等比数列，且，则，
，同理，
令，
又，
则有，，
所以.
故答案为：
16．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则下列结论中正确的是______．（填序号）
①为等差数列；②为严格增数列；③的前n项和；④的前n项和．
【答案】②④
【分析】对于①，利用递推式得到，即是等比数列，故①错误；
对于②，求得，即可判断为严格增数列, 故②正确
对于③，利用错位相减法可求得，故③错误；
对于④，易得，故，故④正确．
【详解】由，两边都除以，可得，即，又，故，所以是首项为4公比为2的等比数列，故①错误；
所以，解得，所以为严格递增数列，故②正确；
的前n项和，
，
两式相减得，
所以，故③错误；
由可得，所以的前n项和，故④正确．
故答案为：②④.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖北·十堰东风高级中学高二期中）己知数列，，，，数列的前n项和为，.
(1)求的值和数列的通项公式；
(2)令，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)根据数列的前项和与的关系求解;(2)利用裂项相消求和求解.
【详解】（1）因为,当时, ,
以上两式相减得,
即,
因为,所以,\
所以，所以，
令，则有，即，
解得或（舍），
所以是以2为首项，2为公差的等差数列,
所以，所以.则.
（2）由（1）得，所以，
故.
18．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）数列，满足：，且，
(1)求
(2)求数列的前n项和
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，，然后利用等差数列及等比数列的通项公式即得；
（2）利用分组求和法即得.
【详解】（1）因为，，
所以，
即，又，
所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以，
因为，，
所以，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，又
所以；
（2）因为，
所以.
19．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）数列的前n项和，.
(1)求；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）根据已知，利用数列前n项和与通项的关系以及等比数列求解.
（2）根据第（1）问的结论以及对数的运算性质，再利用裂项相消法进行求解.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，
即，所以 ，即，
所以数列为等比数列，且首项为2，公比为4，
所以，.
（2）由（1）有：，所以，
即，所以，
所以，令，
所以
.
20．（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式.
（2）利用错位相减法整理化简即可求得前项和．
【详解】（1）等差数列的前项和为，，，设公差为
所以，解得
所以
正项等比数列中，，，设公比为
所以，所以
解得，或（舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以
两式相减得：
21．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列的公差为，正项等比数列中
(1)求与
(2)令，证明：数列的前n项和
【答案】(1)，；
(2)证明见解析．
【分析】（1）由等差数列的基本量运算和等比数列的基本量运算求得通项公式；
（2）由错位相减法求得和可得证．
【详解】（1）由题意，，所以，
，，所以，
，，所以；
（2）由（1），
，
，
相减得，所以．
22．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）在与中间插入个数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记为，数列满足，记和分别为数列，的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等比数列的公比为,利用等比数列的性质求得，即可求得答案;
（2）利用等比数列前n项和公式求得，利用错位相减法求得,采用作差法即可比较的大小，证明结论.
【详解】（1）设等比数列的公比为,
则 ，．则 ，
所以,
即.
（2）由，可得，
由可得，
故，则，
两式相减得：，
故，则，
则，
即.
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