高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第三课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

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1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβ；
(6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ．
2．辅助角公式
a sin α＋b cs α＝a2+b2sin (α＋φ)，其中sin φ＝ba2+b2，cs φ＝aa2+b2．
[典例1] (1)(2024·苏州模拟)cs 24°cs 36°－sin 24°cs 54°等于( )
A．cs 12°B．－cs 12°
C．－12D．12
(2)(2024·合肥模拟)已知sin α＋cs α＝23，则sin α-3π4等于( )
A．±13B．13
C．－13D．－223
(3)已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，则tan β的值为________．
(1)D (2)C (3)3 [(1)原式＝cs 24°cs 36°－sin 24°sin 36°＝cs (24°＋36°)＝cs 60°＝12．
(2)∵sin α＋cs α＝23，
∴2sin α+π4＝23，
∴sin α+π4＝13，
∴sin α-3π4＝－sin 3π4-α＝－sin α+π4
＝－13．
(3)tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tanα+β-tanα1+tanα+βtanα＝17+21-27＝3．故填3．]
(1)在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．(2)求角的值或三角函数值尽量用特殊角或已知角表示．
跟进训练1 (1)(2024·杭州二中模拟)已知sin α＝35，α∈π2，π，tan (π－β)＝12，则tan (α－β)的值为( )
A．－211B．211
C．112 D．－112
(2)化简：sin x＋3cs x＝________．
(1)A (2)2sin x+π3 [(1)∵α∈π2，π，
∴cs α＝－45，tan α＝－34，
又tan (π－β)＝12，∴tan β＝－12，
∴tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanα·tanβ
＝-34+121+-34×-12
＝－211．
(2)sin x＋3cs x＝212sinx+32csx
＝2sin x+π3．]
考点二 二倍角的三角公式
1．sin 2α＝2sin αcs α；
2．cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
3．tan2α＝2tanα1-tan2α．
[典例2] (1)已知sinα－cs α＝43，则sin 2α＝( )
A．－79 B．－29
C．29 D．79
(2)(2024·江西南昌市高三开学考试)已知α∈-π2，π2，且3cs 2α＋10sin α＝－1，则cs α的值为( )
A．－13 B．13
C．223 D．23
(1)A (2)C [(1)sin α－cs α＝43，平方得1－2sin αcs α＝169，1－sin 2α＝169，sin 2α＝－79．
(2)由3cs 2α＋10sin α＝－1，可得3(1－2sin2α)＋10sinα＝－1，
解得sin α＝－13或sin α＝2(舍去)．
因为α∈-π2，π2，sin α＝－13，
所以cs α＝1-sin2α＝1--132＝223．故选C．]
【教师备用】
(2024·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cs (α＋β)＝－55．
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan (α－β)的值．
[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sinαcsα，
所以sin α＝43cs α．
因为sin2α＋cs2α＝1，
所以cs2α＝925，
因此，cs2α＝2cs2α－1＝－725．
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β)＝－55，
所以sin (α＋β)＝1-cs2α+β＝255，
因此tan(α＋β)＝－2．
因为tan α＝43，
所以tan 2α＝2tanα1-tan2α＝－247，
因此，tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]
＝tan2α-tanα+β1+tan2αtanα+β＝－211．
二倍角公式与其他公式应用时注意“化异为同”，即“化异次为同次，化异角为同角”．
跟进训练2 (1)已知α为锐角，且tan α＝34，则sin 2α＝( )
A．35 B．45
C．1225 D．2425
(2)已知α∈0，π2，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝( )
A．15 B．55
C．33 D．255
(1)D (2)B [(1)法一：sin 2α＝2sinαcsαsin2α+cs2α＝2tanαtan2α+1＝2×34916+1＝2425，故选D．
法二：由α为锐角，且tanα＝34，得sin α＝35，cs α＝45，
所以sin 2α＝2sin αcs α＝2×35×45＝2425，故选D．
(2)由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin αcs α＝2cs2α．
又α∈0，π2，所以2sinα＝cs α，
又sin2α＋cs2α＝1，
所以sin2α＝15，
所以sinα＝55．]
考点三 公式的灵活应用
1．两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cs (α＋β)＝cs αcs β．
(2)cs αsin β＋sin (α－β)＝sin αcs β．
(3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)．
2．二倍角公式变形
(1)升降幂公式：cs2α＝1+cs2α2；sin2α＝1-cs2α2；sin αcs α＝12sin 2α．
(2)配方变形公式：1＋cs 2α＝2cs2α；1－cs2α＝2sin2α；1±2sinαcs α＝(sin α±cs α)2．
公式的逆用
[典例3] (多选)下列式子化简正确的是( )
A．cs 82°sin 52°－sin 82°cs 52°＝12
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝18
C．tan48°+tan72°1-tan48°tan72°＝3
D．cs215°－sin215°＝32
BD [选项A中，cs82°sin 52°－sin 82°cs 52°＝sin (52°－82°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－12，故A错误；选项B中，sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°cs 15°＝14sin 30°＝18，故B正确；选项C中，tan48°+tan72°1-tan48°tan72°＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－3，故C错误；选项D中，cs215°－sin215°＝cs30°＝32，故D正确．]
公式的变形
[典例4] (1)若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________．
(2)化简：2+2cs8＋21-sin8＝________．
(1)2 (2)－2sin 4 [(1)tan -3π4＝tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．
(2)原式＝4cs24＋2sin4-cs42＝2|cs 4|＋2|sin 4－cs 4|，
因为54π<4<32π，所以cs 4<0，且sin 4所以原式＝－2cs 4－2(sin 4－cs 4)＝－2sin 4．]
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)当条件或式子中出现正切的和、差式及乘积式的情况，应注意利用正切和差公式的变形．
跟进训练3 (1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C的值为( )
A．－22 B．22
C．12 D．－12
(2)设a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°，b＝22(sin 56°－cs 56°)，c＝1-tan239°1+tan239°，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
(1)B (2)D [(1)由tanA tan B＝tan A＋tan B＋1，可得tanA+tanB1-tanAtanB＝－1，
即tan (A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cs C＝22．
(2)a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°
＝cs 50°cs 127°＋sin 50°sin 127°
＝cs (50°－127°)＝cs (－77°)＝cs 77°＝sin 13°，
b＝22(sin 56°－cs 56°)＝22sin 56°－22cs 56°
＝sin (56°－45°)＝sin 11°，
c＝1-tan239°1+tan239°＝1-sin239°cs239°1+sin239°cs239°＝cs239°－sin239°
＝cs78°＝sin 12°．
因为当0°≤x≤90°时，函数y＝sin x单调递增，
所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a>c>b．]
课后习题(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．(多选)(苏教版必修第二册P67习题10.1(3)T1改编)下列计算正确的是( )
A．sin 72°sin 78°－cs 72°sin 12°＝32
B．tan22.5°1-tan222.5°＝1
C．cs4 π8－sin4 π8＝22
D．cs275°＋cs215°＋cs15°sin 15°＝54
ACD [sin 72°sin 78°－cs 72°sin 12°＝sin 72°cs 12°－cs 72°sin 12°＝sin (72°－12°)＝32，故A正确；tan22.5°1-tan222.5°＝12×2tan22.5°1-tan222.5°12tan45°＝12，故B错误；cs4π8－sin4π8＝cs2π8+sin2π8cs2π8-sin2π8＝cs2π8－sin2π8＝csπ4＝22，故C正确；cs275°＋cs215°＋cs15°sin 15°＝sin215°＋cs215°＋12sin30°＝1＋14＝54，故D正确．故选ACD．]
2．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝( )
A．－32 B．32
C．－12 D．12
D [sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝12．故选D．]
3．(人教A版必修第一册P219例4(3)改编)计算：1-tan15°1+tan15°＝________．
33 [1-tan15°1+tan15°＝tan45°-tan15°1+tan45°tan15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33．]
4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(2)改编)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝______．
3 [∵tan 60°＝tan (10°＋50°)＝tan10°+tan50°1-tan10°tan50°，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝3-3tan 10°tan 50°，∴原式＝3-3tan 10°·tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝3．]
5．sin 45°cs 15°＋cs 225°sin 165°＝( )
A．1 B．12
C．32 D．－12
B [原式＝sin 45°cs 15°＋cs (180°＋45°)sin (180°－15°)＝sin 45°cs 15°－cs 45°sin 15°
＝sin (45°－15°)＝sin 30°＝12．故选B．]
6．(2024·黑龙江大庆四中月考)已知角θ的终边在直线y＝－3x上，则sin2θ1+cs2θ＝( )
A．－611 B．－311
C．311 D．611
A [依题意，tanθ＝－3，
所以原式＝2sinθcsθsin2θ+2cs2θ＝2tanθtan2θ+2＝－611．
故选A．]
7．(2024·辽宁沈阳模拟)已知csα＋cs β＝12，sin α－sin β＝13，则cs (α＋β)的值为( )
A．－1372 B．1372
C．－5972 D．5972
C [(cs α＋cs β)2＝cs2α＋2csαcs β＋cs2β＝14，
(sinα－sin β)2＝sin2α－2sinαsin β＋sin2β＝19，
两式相加得2＋2(csαcs β－sin αsin β)
＝2＋2cs (α＋β)＝14＋19＝1336，
∴cs (α＋β)＝－5972．故选C．]
8．(2024·日照实验中学模拟)设a＝12cs 2°－32sin 2°，b＝2tan14°1-tan214°，c＝1-cs50°2，则有( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
D [由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，∴c＜a＜b．]
9．(多选)已知cs α＝13，cs (α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则( )
A．cs β＝79 B．sin β＝23
C．cs (α－β)＝2327 D．sin (α－β)＝－427
AC [因为α∈0，π2，cs α＝13，所以sin α＝223，又α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)＝1-cs2α+β＝223，所以csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α＝－19＋89＝79，A正确．sin β＝429，B错误．cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝2327，C正确．sin (α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝10227，D错误．]
10．已知sin (α＋β)＝12，sin (α－β)＝13，则tanαtanβ＝________．
5 [因为sin (α＋β)＝12，sin (α－β)＝13，所以sin αcs β＋cs αsin β＝12，sin αcs β－cs αsin β＝13，所以sin αcs β＝512，cs αsin β＝112，所以tanαtanβ＝sinαcsβcsαsinβ＝5．]
11．若cs α-π3＝13，则sin 2α-π6的值是________．
－79 [sin 2α-π6＝sin 2α-π3+π2
＝cs 2α-π3＝2cs2α-π3－1＝2×19－1＝－79．]
12．已知sinα＝55，sin (α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝________．
π4 [因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2．
又sin (α－β)＝－1010，
所以cs (α－β)＝31010．
又sin α＝55，所以cs α＝255，
所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcs (α－β)－cs αsin (α－β)
＝55×31010－255×-1010＝22．
所以β＝π4．]