高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第二课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案

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1．平方关系：sin2α＋cs2α＝1．
2．商数关系：tanα＝sinαcsαα≠π2+kπ，k∈Z．
3．同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α；
cs2α＝1－sin2α．
(2)(sinα±cs α)2＝1±2sin αcs α．
(3)sin α＝tan αcs αα≠kπ+π2，k∈Z．
“知一求二”问题
[典例1] 已知tan α＝2，π＜α＜3π2，则sin α＋cs α＝( )
A．－355 B．－55
C．－5D．55
A [由tan α＝sinαcsα＝2，得sin α＝2cs α．
代入sin2α＋cs2α＝1得cs2α＝15．
又π＜α＜3π2，所以csα＝－55，sin α＝－255，
所以sin α＋cs α＝－355，
故选A．]
关于sin α，cs α齐次式的求值问题
[典例2] 已知tan α＝12，则sinα-3csαsinα+csα＝______；sin2α＋sinαcs α＋2＝________．
－53 135 [已知tan α＝12，所以sinα-3csαsinα+csα
＝tanα-3tanα+1＝－53．
sin2α＋sinαcs α＋2＝sin2α+sinαcsαsin2α+cs2α＋2＝tan2α+tanαtan2α+1＋2＝122+12122+1＋2＝135．]
sinα±cs α与sin αcs α关系的应用
[典例3] 已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝15，则sin x－cs x＝________．
－75 [由sin x＋cs x＝15，
平方得sin2x＋2sinx cs x＋cs2x＝125，
整理得2sinx cs x＝－2425．
∴(sin x－cs x)2＝1－2sin x cs x＝4925．
由x∈(－π，0)，知sin x＜0，
又sin x＋cs x＞0，
∴cs x＞0，则sin x－cs x＜0，
故sin x－cs x＝－75．]
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α．
跟进训练1 (1)已知α是三角形的内角，且tanα＝－13，则sin α＋cs α的值为________； sinα-3csαsinα+csα＝________．
(2)已知sin θ＋cs θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝______．
(1)－105 －5 (2)－125 [(1)由tan α＝－13，得sin α＝－13cs α，将其代入sin2α＋cs2α＝1，得109cs2α＝1，
所以cs2α＝910，易知csα<0，
所以cs α＝－31010，sin α＝1010，
故sin α＋cs α＝－105．
sinα-3csαsinα+csα＝tanα-3tanα+1＝－5．
(2)由sin θ＋cs θ＝713，得sin θcs θ＝－60169，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cs θ<0，
所以sin θ－cs θ＝1-2sinθcsθ＝1713，
联立sinθ+csθ=713，sinθ-csθ=1713，解得sinθ=1213，csθ=-513，
所以tan θ＝－125．]
考点二 诱导公式的应用
三角函数的诱导公式
[典例4] (1)已知sin α-π4＝13，则cs π4+α的值为( )
A．223 B．－223
C．13 D．－13
(2)tanπ-αcs2π-αsin-α+3π2cs-α-πsin-π-α的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(1)D (2)B [(1)cs π4+α＝cs π2+α-π4＝－sin α-π4＝－13．
(2)原式＝-tanα·csα·-csαcsπ+α·-sinπ+α＝tanα·cs2α-csα·sinα＝sinαcsα·csαsinα＝－1．]
常见的互余和互补的角
解题时可以利用互余两角的正弦值与余弦值相等，互补两角的正弦值相等，互补两角的余弦值与正切值互为相反数快速地解决问题．
跟进训练2 (1)(2024·广东茂名模拟)已知sin θ-π6＝12，则cs θ+π3＝( )
A．－32 B．－12
C．12D．32
(2)已知f (α)＝csπ2+αsin3π2-αcs-π-αtanπ-α，则f -25π3的值为________．
(1)B (2)12 [(1)cs θ+π3＝cs θ-π6+π2＝－sin θ-π6＝－12．
故选B．
(2)因为f (α)＝csπ2+αsin3π2-αcs-π-αtanπ-α＝－-sinα-csα-csα-sinαcsα＝cs α，
所以f -25π3＝cs -25π3＝cs π3＝12．]
考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
[典例5] 已知f (α)＝sinα-3πcs2π-αsin-α+3π2cs-π-αsin-π-α．
(1)化简f (α)；
(2)若α＝－31π3，求f (α)的值；
(3)若cs -α-π2＝15，α∈π，3π2，求f (α)的值．
[解] (1)f (α)＝sinα-3πcs2π-αsin-α+3π2cs-π-αsin-π-α
＝-sinα·csα·-csα-csα·sinα
＝－cs α．
(2)若α＝－31π3，则f (α)＝－cs -31π3
＝－cs π3＝－12．
(3)由cs -α-π2＝15，可得sin α＝－15，
因为α∈π，3π2，所以cs α＝－265，
所以f (α)＝－cs α＝265．
(1)本题第(3)问中注意角的范围α∈π，3π2对cs α的值的影响，防止出错；
(2)利用诱导公式求值或化简时，要特别注意三角函数值在各个象限内的符号．
跟进训练3 (2024·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cs π2+β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A．355B．377
C．31010D．13
C [由已知得3sinβ-2tanα+5=0，tanα-6sinβ-1=0．消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cs α，代入sin2α＋cs2α＝1，
化简得sin2α＝910，又α为锐角，则sinα＝31010．]
【教师备用】
是否存在α∈-π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin (3π－α)＝2cs π2-β，3cs (－α)＝－2·cs (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得
sinα=2sinβ， ①3csα=2csβ， ②
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2．
∴sin2α＝12，∴sinα＝±22．
∵α∈-π2，π2，∴α＝±π4．
当α＝π4时，由②式知cs β＝32，
又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；
当α＝－π4时，由②式知cs β＝32，
又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．
课后习题(二十) 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1．(人教A版必修第一册P183例6改编)已知sin α＝55，π2≤α≤π，则tan α＝( )
A．－2 B．2 C．12 D．－12
D [因为π2≤α≤π，所以cs α＝－1-sin2α＝－1-552＝－255，所以tanα＝sinαcsα＝－12．]
2．(人教B版必修第三册P26练习B T2改编)如果tan α＝2，那么2sinα+csα4sinα-3csα＝________，sin2α－cs2α＝________，sin4α－cs4α＝________．
1 35 35 [由tanα＝2，得2sinα+csα4sinα-3csα＝2tanα+14tanα-3＝2×2+14×2-3＝1，
sin2α－cs2α＝sin2α-cs2αsin2α+cs2α＝tan2α-1tan2α+1＝4-14+1＝35，sin4α－cs4α＝(sin2α－cs2α)(sin2α＋cs2α)＝35．]
3．(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)化简csα-π2sin52π+α·sin (α－π)·cs (2π－α)的结果为________．
－sin2α [原式＝sinαcsα·(-sin α)·cs α＝－sin2α．]
4．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8改编)已知sinπ3-α＝12，则cs π6+α＝____________； sin 23π+α＝____________．
12 12 [因为π3-α＋π6+α＝π2，所以csπ6+α＝cs π2-π3-α＝sin π3-α＝12．
sin 23π+α＝sin π-23π+α
＝sin π3-α＝12．]
5．cs -19π3等于( )
A．－32B．－12
C．12D．32
C [cs -19π3＝cs 19π3＝cs 6π+π3＝cs π3＝12．]
6．已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )
A．1517 B．－1517
C．817 D．－817
D [因为tan α＝－815，
所以sinαcsα＝－815，所以cs α＝－158sin α，
代入sin2α＋cs2α＝1，得sin2α＝64289，
又α是第四象限角，所以sinα＝－817．]
7．已知cs π12-θ＝13，则sin 5π12+θ＝( )
A．13B．223
C．－13D．－223
A [sin 5π12+θ＝sin π2-π12-θ＝cs π12-θ＝13．]
8．(2024·广东韶关模拟)已知曲线f (x)＝23x3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin2α-cs2α2sinαcsα+cs2α＝( )
A．12 B．2
C．35 D．－38
C [由f ′(x)＝2x2，得tanα＝f ′(1)＝2，
故sin2α-cs2α2sinαcsα+cs2αtan2α-12tanα+135．故选C．]
9．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝15，则( )
A．π2<α<π
B．sin αcs α＝－1225
C．cs α－sin α＝75
D．cs α－sin α＝－75
ABD [∵sin α＋cs α＝15，等式两边平方得(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝125，
解得sin αcs α＝－1225，故B正确；
∵α∈(0，π)，sin αcs α＝－1225<0，∴α∈π2，π，故A正确；
cs α－sin α<0，且(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝1－2×-1225＝4925，
解得cs α－sin α＝－75，故D正确．故选ABD．]
10．(2024·上海长宁区质检)已知sin α＝45，则cs α+π2＝________．
－45 [由诱导公式知cs α+π2＝－sin α＝－45，故填－45．]
11．已知函数f (x)＝a sin (πx＋α)＋b cs (πx＋β)，且f (3)＝3，则f (2 024)的值为________．
－3 [因为f (x)＝a sin (πx＋α)＋b cs (πx＋β)，
所以f (3)＝a sin (3π＋α)＋b cs (3π＋β)
＝－a sin α－b cs β＝3，
所以f (2 024)＝a sin (2 024π＋α)＋b cs (2 024π＋β)＝a sin α＋b cs β＝－3．]
12．(1)已知cs α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，
求sin-α+3π2cs3π2+αtan2π-αcsπ2+αsinπ2-α的值；
(2)已知sin x＋cs x＝－713(0[解] (1)因为方程3x2－x－2＝0的根为x1＝1，x2＝－23，
又α是第三象限角，所以cs α＝－23，
所以sin α＝－53，tan α＝52．
所以原式＝-csαsinαtan2α-sinαcsα＝tan2α＝54．
(2)∵sinx＋cs x＝－713(0∴cs x<0，sin x>0，即sin x－cs x>0，
把sin x＋cs x＝－713，
两边平方得1＋2sin x cs x＝49169，
即2sin x cs x＝－120169，
∴(sin x－cs x)2＝1－2sin x cs x＝289169，
即sin x－cs x＝1713，
联立sinx+csx=-713，sinx-csx=1713，
解得sin x＝513，cs x＝－1213，
∴cs x－2sin x＝－2213．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
互余的角
π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α
互补
的角
π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ