人教版高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第3节第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式学案理含解析

第三节　简单的三角恒等变换

‖知识梳理‖

1．两角和的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β．

(2)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β．

(3)tan(α＋β)＝

2．两角差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)．

(2)cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．

(3)＝tan(α－β)．

3．二倍角公式

(1)sin 2α＝2sin_αcos_α．

(2)cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α．

(3)tan 2α＝．

4．常用公式的变化形式

(1)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，

其中cos φ＝，sin φ＝

或asin x＋bcos x＝cos(x－θ)，

其中cos θ＝，sin θ＝．

(2)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．

(3)＝tan.

(4)＝tan.

►常用结论

用tan α表示sin 2α与cos 2α

sin 2α＝2sin αcos α＝＝；cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝.

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)

(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)

(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)

(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)

(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、走进教材

2．(必修4P127T2改编)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)

A．－ B．

C．－ D．

答案：C

3．(必修4P146A4(2)改编)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________．

答案：

三、易错自纠

4．(2019届唐山市高三摸底考试)cos 105°－cos 15°＝(　　)

A． B．－

C． D．－

解析：选D　解法一：cos 105°－cos 15°＝cos(60°＋45°)－cos(60°－45°)＝－2sin 60°sin 45°＝－2××＝－，故选D．

解法二：由题意，可知cos 105°－cos 15°＝－sin 15°－cos 15°＝－(sin 15°＋cos 15°)＝－sin(45°＋15°)＝－sin 60°＝－，故选D．

5．已知cos＝－，则sin的值为(　　)

A． B．

C．± D．±

解析：选C　因为cos＝cos＝，所以sin2＝＝1－＝，从而求得sin的值为±，故选C．

6．已知cos θ＝－，<θ<3π，那么sin ＝(　　)

A． B．－

C． D．－

解析：选D　∵<θ<3π，∴<<.

∴sin ＝－＝－＝－.故选D．

第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

|题组突破|

1．(2019年全国卷Ⅰ)tan 255°＝(　　)

A．－2－ B．－2＋

C．2－ D．2＋

解析：选D　由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝＝2＋，故选D．

2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)

A．－ B．

C． D．－

解析：选A　因为sin α＝，α∈，

所以cos α＝－＝－，

所以tan α＝＝－.

因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，

则tan(α－β)＝＝－.故选A．

3．已知sin α＝且α为第二象限角，则tan＝(　　)

A．－ B．－

C．－ D．－

解析：选D　由题意得，cos α＝－，

则sin 2α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝.

∴tan 2α＝－，∴tan＝＝＝－.故选D．

4．(2019届太原模拟)若cos＝－，则cos＋cos α＝(　　)

A．－ B．±

C．－1 D．±1

解析：选C　cos＋cos α＝cos α＋sin α＋cos α＝cos＝－1，故选C．

►名师点津

三角函数公式的应用策略

(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值 .

【例1】　(1)(2019届西安模拟)已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)

A． B．－

C． D．

(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________．

(3)＝________．

[解析]　(1)cos2＝

＝，

∵sin 2α＝，∴cos2＝＝.

(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，

可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1.

又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，

则C＝，cos C＝.

(3)＝

＝＝＝.

[答案]　(1)A　(2)　(3)

►名师点津

两角和、差及倍角公式的逆用和变形的应用技巧

(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．

(2)和差角公式变形：

sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，

cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．

(3)倍角公式变形：降幂公式．

[提醒]　tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．

|跟踪训练|

1．若＝－，则cos α＋sin α的值为(　　)

A．－ B．－

C． D．

解析：选C　因为＝

＝－(sin α＋cos α)＝－，

所以cos α＋sin α＝.故选C．

2．(2018年全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．

解析：因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，① cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，② ①②两式相加，得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin α·cos β＋cos αsin β)＝1，所以sin(α＋β)＝－.

答案：－

【例2】　(1)已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)

A．－2 B．－1

C．－ D．

(2)(2019年江苏卷)已知＝－，则sin的值是________．

[解析]　(1)因为sin 2α＝，2α∈，

所以cos 2α＝－，

所以tan 2α＝－，

tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.

(2)解法一：＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，

sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝.

解法二：＝＝－，则sin αcos＝－cos αsin，又＝sinα＋－α＝sincos α－cossin α＝sinα＋cos α，则sincos α＝，则sin＝sin＝sincos α＋cossin α＝sincos α＝×＝.

[答案]　(1)A　(2)

►名师点津

角的变换技巧

(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

(3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．

|跟踪训练|

3．(2019届深圳调研)若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则cos β＝(　　)

A． B．

C．或－ D．或

解析：选A　∵α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，∴sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，故选A．

4．(2020届广州四校联考)若α∈，sin＝，则cos 2α＝________．

解析：由sin＝可得sin α－cos α＝，故sin α－cos α＝，两边平方得1－2sin αcos α＝，所以sin 2α＝.因为α∈，所以2α∈.又sin 2α>0，所以2α∈，故cos 2α＝＝.

答案：

【例】　(2019届保定一模)2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin－cos等于(　　)

A． B．

C． D．

[解析]　设直角三角形中较小的直角边长为a，

则a2＋(a＋2)2＝102，

所以a＝6，所以sin θ＝＝，cos θ＝＝，

所以sin－cos＝cos θ－cos θ＋sin θ＝cos θ＋sin θ＝×＋×＝.

故选A．

[答案]　A

►名师点津

利用题目中条件信息确定sin θ，cos θ，再利用两角和差公式求值．

|跟踪训练|

(2019届金华模拟)△ABC的三个内角为A，B，C，若＝tan，则tan A＝________．

解析：∵＝tan⇒＝tan⇒tan＝tan ，

∴A＋＝kπ＋，k∈Z.

又∵A＋∈，

∴A＝，

∴tan A＝1.

答案：1