2023届高考一轮复习讲义(文科)第四章 三角函数、解三角形 第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案
展开一、知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)=sin αcs β±cs αsin β;
cs(α∓β)=cs αcs β±sin αsin β;
tan(α±β)=eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±β,α,β均不为kπ+\f(π,2),k∈Z)).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=2sin αcs α;
cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α,2α均不为kπ+\f(π,2),k∈Z)).
3.三角函数公式的关系
常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式:cs2α=eq \f(1+cs 2α,2),sin2α=eq \f(1-cs 2α,2).
(2)升幂公式:1+cs 2α=2cs2α,1-cs 2α=2sin2α.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1±tan αtan β),
1+sin 2α=(sin α+cs α)2,
1-sin 2α=(sin α-cs α)2,
sin α±cs α=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
(4)辅助角公式
asin x+bcs x=eq \r(a2+b2)sin (x+φ),其中tan φ=eq \f(b,a).
二、习题改编
1.(必修4P137A组T5改编)已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,3)))=eq \f(15,17),α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(5,6)π)),则sin α的值为( )
A.eq \f(8,17) B.eq \f(15\r(3)+8,34)
C.eq \f(15-8\r(3),34) D.eq \f(15+8\r(3),34)
解析:选D.因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(5,6)π)),所以α-eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,2))),cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,3)))>0,cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,3)))=eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,17)))\s\up12(2))=eq \f(8,17),所以sin α=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,3)))+\f(π,3)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,3)))cs eq \f(π,3)+cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,3)))sin eq \f(π,3)=eq \f(15,17)×eq \f(1,2)+eq \f(8,17)×eq \f(\r(3),2)=eq \f(15+8\r(3),34).故选D.
2.(必修4P131练习T5改编)计算:sin 108°cs 42°-cs 72°·sin 42°= .
解析:原式=sin(180°-72°)cs 42°-cs 72°sin 42°=sin 72°cs 42°-cs 72°sin 42°=sin(72°-42°)=sin 30°=eq \f(1,2).
答案:eq \f(1,2)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.( )
(2)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.( )
(3)cs 80°cs 20°-sin 80°sin 20°=cs(80°-20°)=cs 60°=eq \f(1,2).( )
(4)公式tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β)可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( )
(5)存在实数α,使tan 2α=2tan α.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)不会用公式找不到思路;
(2)不会合理配角出错.
1.若cs α=-eq \f(4,5),α是第三象限的角,则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=( )
A.-eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10)
C.-eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)
解析:选C.因为cs α=-eq \f(4,5),α是第三象限的角,所以sin α=-eq \r(1-cs2α)=-eq \f(3,5),所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=sin α·cseq \f(π,4)+cs αsineq \f(π,4)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)=-eq \f(7\r(2),10).
2.sin 15°+sin 75°的值是 .
解析:sin 15°+sin 75°=sin 15°+cs 15°=eq \r(2)sin(15°+45°)=eq \r(2)sin 60°=eq \f(\r(6),2).
答案:eq \f(\r(6),2)
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角函数公式的直接应用(师生共研)
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),2sin 2α=cs 2α+1,则sin α=( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α-eq \f(5π,4))=eq \f(1,5),则tan α= .
【解析】 (1)依题意得4sin αcs α=2cs2α,由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),知cs α>0,所以2sin α=cs α.又sin2α+cs2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即sin2α=eq \f(1,5).又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),所以sin α=eq \f(\r(5),5),选B.
(2)法一:因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(5π,4)))=eq \f(1,5),所以eq \f(tan α-tan \f(5π,4),1+tan αtan\f(5π,4))=eq \f(1,5),即eq \f(tan α-1,1+tan α)=eq \f(1,5),解得tan α=eq \f(3,2).
法二:因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(5π,4)))=eq \f(1,5),所以tan α=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(5π,4)))+\f(5π,4)))=eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(5π,4)))+tan\f(5π,4),1-tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(5π,4)))tan\f(5π,4))=eq \f(\f(1,5)+1,1-\f(1,5)×1)=eq \f(3,2).
【答案】 (1)B (2)eq \f(3,2)
eq \a\vs4\al()
利用三角函数公式时应注意的问题
(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.
(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
1.(2020·石家庄市模拟(一))已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+α))=2cs(π-α),则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))=( )
A.-3 B.3
C.-eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
解析:选A.因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+α))=2cs(π-α),所以-sin α=-2cs α,所以tan α=2,所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))=eq \f(1+tan α,1-tan α)=-3,故选A.
2.已知sin α=eq \f(1,3)+cs α,且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),则eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4))))的值为( )
A.-eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(2),3)
C.-eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
解析:选A.因为sin α=eq \f(1,3)+cs α,即sin α-cs α=eq \f(1,3),所以eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4))))=eq \f(cs2α-sin2α,sin αcs\f(π,4)+cs αsin\f(π,4))=eq \f((cs α-sin α)(cs α+sin α),\f(\r(2),2)(sin α+cs α))=eq \f(-\f(1,3),\f(\r(2),2))=-eq \f(\r(2),3),故选A.
3.(2020·长春市质量监测(二))直线y=2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l,若l的倾斜角为α,则cs 2α的值为( )
A.eq \f(8+\r(10),10) B.eq \f(8-\r(10),10)
C.-eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
解析:选D.设直线y=2x的倾斜角为β,则tan β=2,α=β-45°,
所以tan α=tan(β-45°)=eq \f(tan β-tan 45°,1+tan 45°·tan β)=eq \f(1,3),
cs 2α=cs2α-sin2α=eq \f(1-tan2α,1+tan2α)=eq \f(4,5),故选D.
三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)
(1)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cs C的值为( )
A.-eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D.-eq \f(1,2)
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α+cs β=1,cs α+sin β=0,则sin(α+β)= .
【解析】 (1)由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得eq \f(tan A+tan B,1-tan Atan B)=-1,
即tan(A+B)=-1,又(A+B)∈(0,π),
所以A+B=eq \f(3π,4),则C=eq \f(π,4),cs C=eq \f(\r(2),2).
(2)因为sin α+cs β=1,cs α+sin β=0,
所以sin2α+cs2β+2sin αcs β=1 ①,
cs2α+sin2β+2cs αsin β=0 ②,
①②两式相加可得sin2α+cs2α+sin2β+cs2β+2(sin αcs β+cs αsin β)=1,
所以sin(α+β)=-eq \f(1,2).
【答案】 (1)B (2)-eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式;
②tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系;
②注意特殊角的应用,当式子中出现eq \f(1,2),1,eq \f(\r(3),2),eq \r(3)等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”以便构造适合公式的形式.
1.(1-tan215°)cs215°的值等于( )
A.eq \f(1-\r(3),2) B.1
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,2)
解析:选C.(1-tan215°)cs215°=cs215°-sin215°=cs 30°=eq \f(\r(3),2).
2.已知sin 2α=eq \f(1,3),则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,4)))=( )
A.-eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.-eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)
解析:选D.cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,4)))=eq \f(1+cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α-\f(π,2))),2)=eq \f(1,2)+eq \f(1,2)sin 2α=eq \f(1,2)+eq \f(1,2)×eq \f(1,3)=eq \f(2,3).
3.(1+tan 20°)(1+tan 25°)= .
解析:(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+tan(20°+25°)(1-tan 20°tan 25°)+tan 20°tan 25°=2.
答案:2
两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究)
角度一 三角函数公式中变“角”
(2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α,β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),π)),sin(α+β)=-eq \f(3,5),sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=eq \f(24,25),则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))= .
【解析】 由题意知,α+β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),2π)),sin(α+β)=-eq \f(3,5)<0,所以cs(α+β)=eq \f(4,5),因为β-eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(3π,4))),所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=-eq \f(7,25),cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((α+β)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))))=cs(α+β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))+sin(α+β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=-eq \f(4,5).
【答案】 -eq \f(4,5)
角度二 三角函数公式中变“名”
求值:eq \f(1+cs 20°,2sin 20°)-sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)-tan 5°)).
【解】 原式=eq \f(2cs210°,2×2sin 10°cs 10°)-sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 5°,sin 5°)-\f(sin 5°,cs 5°)))
=eq \f(cs 10°,2sin 10°)-sin 10°·eq \f(cs25°-sin25°,sin 5°cs 5°)
=eq \f(cs 10°,2sin 10°)-sin 10°·eq \f(cs 10°,\f(1,2)sin 10°)
=eq \f(cs 10°,2sin 10°)-2cs 10°=eq \f(cs 10°-2sin 20°,2sin 10°)
=eq \f(cs 10°-2sin(30°-10°),2sin 10°)
=eq \f(cs 10°-2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°-\f(\r(3),2)sin 10°)),2sin 10°)=eq \f(\r(3)sin 10°,2sin 10°)=eq \f(\r(3),2).
eq \a\vs4\al()
三角函数公式应用的解题思路
(1)角的转换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的变换技巧,及半角与倍角的相互转化,如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,40°=60°-20°,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))=eq \f(π,2),eq \f(α,2)=2×eq \f(α,4)等.
(2)名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.
[提醒] 转化思想是实施三角恒等变换的主导思想,恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异,寻求联系,实现转化.
1.(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α+2β)=2,tan β=-3,则tan(α+β)= ,tan α= .
解析:因为tan(α+2β)=2,tan β=-3,
所以tan(α+β)=tan(α+2β-β)=eq \f(tan(α+2β)-tan β,1+tan(α+2β)tan β)=eq \f(2-(-3),1+2×(-3))=-1.
tan α=tan(α+β-β)=eq \f(-1-(-3),1+(-1)×(-3))=eq \f(1,2).
答案:-1 eq \f(1,2)
2.求4sin 20°+tan 20°的值.
解:原式=4sin 20°+eq \f(sin 20°,cs 20°)
=eq \f(2sin 40°+sin 20°,cs 20°)=eq \f(2sin (60°-20°)+sin 20°,cs 20°)
=eq \f(\r(3)cs 20°-sin 20°+sin 20°,cs 20°)=eq \r(3).
[基础题组练]
1.计算-sin 133°cs 197°-cs 47°cs 73°的结果为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
解析:选A.-sin 133°cs 197°-cs 47°cs 73°
=-sin 47°(-cs 17°)-cs 47°sin 17°
=sin(47°-17°)=sin 30°=eq \f(1,2).
2.(2020·福建五校第二次联考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))=eq \f(4,5),则sin 2α=( )
A.eq \f(1,5) B.-eq \f(1,5)
C.eq \f(7,25) D.-eq \f(7,25)
解析:选C.法一:因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))=eq \f(4,5),所以sin 2α=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))))=cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))=2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))-1=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)-1=eq \f(7,25).故选C.
法二:因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))=eq \f(4,5),所以eq \f(\r(2),2)(cs α+sin α)=eq \f(4,5),所以cs α+sin α=eq \f(4\r(2),5),平方得1+sin 2α=eq \f(32,25),得sin 2α=eq \f(7,25).故选C.
3.(2020·陕西榆林模拟)已知eq \f(cs θ,sin θ)=3cs(2π+θ),|θ|
C.eq \f(4\r(2),9) D.eq \f(2\r(2),9)
解析:选C.因为eq \f(cs θ,sin θ)=3cs(2π+θ),
所以eq \f(cs θ,sin θ)=3cs θ.
又|θ|
故选C.
4.(2020·武汉模拟)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,6)))=eq \f(1,4),则cs x+cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3)))=( )
A.eq \f(\r(3),4) B.-eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(1,4) D.±eq \f(\r(3),4)
解析:选A.因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,6)))=eq \f(1,4),
所以cs x+cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3)))=cs x+eq \f(1,2)cs x+eq \f(\r(3),2)sin x
=eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x+\f(1,2)sin x))=eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,6)))=eq \r(3)×eq \f(1,4)=eq \f(\r(3),4).
故选A.
5.(2020·湘东五校联考)已知sin(α+β)=eq \f(1,2),sin(α-β)=eq \f(1,3),则lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan α,tan β)))eq \s\up12(2)等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:选C.因为sin(α+β)=eq \f(1,2),sin(α-β)=eq \f(1,3),所以sin αcs β+cs αsin β=eq \f(1,2),sin αcs β-cs αsin β=eq \f(1,3),所以sin αcs β=eq \f(5,12),cs αsin β=eq \f(1,12),所以eq \f(tan α,tan β)=5,所以lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan α,tan β)))eq \s\up12(2)=lgeq \r(5)52=4.故选C.
6.(2020·洛阳统考)已知sin α+cs α=eq \f(\r(5),2),则cs 4α= .
解析:由sin α+cs α=eq \f(\r(5),2),得sin2α+cs2α+2sin αcs α=1+sin 2α=eq \f(5,4),所以sin 2α=eq \f(1,4),从而cs 4α=1-2sin22α=1-2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)=eq \f(7,8).
答案:eq \f(7,8)
7.(2020·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P(-x,-6),且cs θ=-eq \f(5,13),则sin θ= ,taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,4)))= .
解析:由题知角θ的终边经过点P(-x,-6),所以cs θ=eq \f(-x,\r(x2+36))=-eq \f(5,13),解得x=eq \f(5,2),所以sin θ=eq \f(-6,\f(13,2))=-eq \f(12,13),tan θ=eq \f(-6,-\f(5,2))=eq \f(12,5),所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,4)))=eq \f(tan θ+tan\f(π,4),1-tan θtan\f(π,4))=-eq \f(17,7).
答案:-eq \f(12,13) -eq \f(17,7)
8.已知sin(α-β)cs α-cs(β-α)sin α=eq \f(3,5),β是第三象限角,则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β+\f(5π,4)))= .
解析:依题意可将已知条件变形为
sin[(α-β)-α]=-sin β=eq \f(3,5),所以sin β=-eq \f(3,5).
又β是第三象限角,因此有cs β=-eq \f(4,5),
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β+\f(5π,4)))=-sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β+\f(π,4)))
=-sin βcs eq \f(π,4)-cs βsin eq \f(π,4)=eq \f(7\r(2),10).
答案:eq \f(7\r(2),10)
9.已知tan α=2.
(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))的值;
(2)求eq \f(sin 2α,sin2α+sin αcs α-cs 2α-1)的值.
解:(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=eq \f(tan α+tan \f(π,4),1-tan αtan \f(π,4))=eq \f(2+1,1-2×1)=-3.
(2)eq \f(sin 2α,sin2α+sin αcs α-cs 2α-1)=
eq \f(2sin αcs α,sin2α+sin αcs α-2cs2α)=eq \f(2tan α,tan2α+tan α-2)=eq \f(2×2,4+2-2)=1.
10.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,5),-\f(4,5))).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+π))的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=eq \f(5,13),求cs β的值.
解:(1)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,5),-\f(4,5))),得sin α=-eq \f(4,5),所以sin(α+π)=-sin α=eq \f(4,5).
(2)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,5),-\f(4,5))),得cs α=-eq \f(3,5),
由sin(α+β)=eq \f(5,13),得cs(α+β)=±eq \f(12,13).
由β=(α+β)-α得
cs β=cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α,
所以cs β=-eq \f(56,65)或cs β=eq \f(16,65).
[综合题组练]
1.若α,β都是锐角,且cs α=eq \f(\r(5),5),sin(α-β)=eq \f(\r(10),10),
则cs β=( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),10)
C.eq \f(\r(2),2)或-eq \f(\r(2),10) D.eq \f(\r(2),2)或eq \f(\r(2),10)
解析:选A.因为α,β都是锐角,且cs α=eq \f(\r(5),5),sin(α-β)=eq \f(\r(10),10),所以sin α=eq \f(2\r(5),5),cs(α-β)=eq \f(3\r(10),10),从而cs β=cs[α-(α-β)]=cs αcs(α-β)+sin αsin(α-β)=eq \f(\r(2),2),故选A.
2.(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角,且tan α+tan eq \f(π,12)=2tan αtan eq \f(π,12)-2,则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(5π,6)))等于( )
A.-eq \f(\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10)
C.-eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(3\r(10),10)
解析:选C.tan α+tan eq \f(π,12)=2tan αtan eq \f(π,12)-2⇒eq \f(tan α+tan \f(π,12),1-tan αtan \f(π,12))=-2⇒taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,12)))=-2,因为α为第二象限角,所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,12)))=eq \f(2\r(5),5),cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,12)))=-eq \f(\r(5),5),则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(5π,6)))=-sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,6)))=-sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,12)))-\f(π,4)))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,12)))sin eq \f(π,4)-sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,12)))cs eq \f(π,4)=-eq \f(3\r(10),10).
3.已知函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,12))),x∈R.
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,4)))的值;
(2)若cs θ=eq \f(4,5),θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ-\f(π,3)))的值.
解:(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,4)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,4)+\f(π,12)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,6)))=-eq \f(1,2).
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ-\f(π,3)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ-\f(π,3)+\f(π,12)))
=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ-\f(π,4)))=eq \f(\r(2),2)(sin 2θ-cs 2θ).
因为cs θ=eq \f(4,5),θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),所以sin θ=eq \f(3,5),
所以sin 2θ=2sin θcs θ=eq \f(24,25),
cs 2θ=cs2θ-sin2θ=eq \f(7,25),
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ-\f(π,3)))=eq \f(\r(2),2)(sin 2θ-cs 2θ)
=eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,25)-\f(7,25)))=eq \f(17\r(2),50).
4.已知sin α+cs α=eq \f(3\r(5),5),α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4))),sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=eq \f(3,5),β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))).
(1)求sin 2α和tan 2α的值;
(2)求cs(α+2β)的值.
解:(1)由题意得(sin α+cs α)2=eq \f(9,5),
即1+sin 2α=eq \f(9,5),所以sin 2α=eq \f(4,5).
又2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),所以cs 2α=eq \r(1-sin22α)=eq \f(3,5),
所以tan 2α=eq \f(sin 2α,cs 2α)=eq \f(4,3).
(2)因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))),所以β-eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4))),
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=eq \f(3,5),所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=eq \f(4,5),
于是sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=eq \f(24,25).
又sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=-cs 2β,所以cs 2β=-eq \f(24,25),
又2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),所以sin 2β=eq \f(7,25),
又cs2α=eq \f(1+cs 2α,2)=eq \f(4,5),α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4))),
所以cs α=eq \f(2\r(5),5),sin α=eq \f(\r(5),5).
所以cs(α+2β)=cs αcs 2β-sin αsin 2β
=eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(24,25)))-eq \f(\r(5),5)×eq \f(7,25)
=-eq \f(11\r(5),25).
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