2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案，共16页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cs(α－β)＝cs_αcs__β＋sin_αsin__β．
C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs_αcs__β－sin_αsin__β．
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcs__β＋cs_αsin__β．
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs__β－cs_αsin__β．
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，β，α＋β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，β，α－β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sin_αcs__α．
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
常用结论
记准四个必备结论
(1)降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
(2)升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(a±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)))．
二、习题改编
1．(必修4P127练习T2改编)若cs α＝－eq \f(4,5).α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________．
解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
答案：－eq \f(7\r(2),10)
2．(必修4P131练习T5改编)sin 347°cs 148°＋sin 77°·cs 58°＝________．
解析：sin 347°cs 148°＋sin 77°cs 58°
＝sin(270°＋77°)cs(90°＋58°)＋sin 77°cs 58°
＝(－cs 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cs 58°
＝sin 58°cs 77°＋cs 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
3．(必修4P146A组T4改编)tan 20°＋tan 40°＋eq \r(3)tan 20°·tan 40°＝________．
解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝eq \f(tan 20°＋tan 40°,1－tan 20°tan 40°)，
所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 20°tan 40°，
所以原式＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 20°tan40°＋eq \r(3)tan 20°tan 40°＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)对任意角α都有1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))eq \s\up12(2).( )
(3)y＝3sin x＋4cs x的最大值是7.( )
(4)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． ( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)不会逆用公式，找不到思路；
(2)不会合理配角出错；
(3)忽视角的范围用错公式．
1．化简：eq \f(sin 50°,sin 65°·\r(1－cs 50°))＝________．
解析：原式＝eq \f(cs 40°,cs 25°\r(1－cs 50°))
＝eq \f(cs 40°,cs 25°·\r(2)sin 25°)＝eq \f(cs 40°,\f(\r(2),2)sin 50°)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]
＝eq \f(tan α－tan（α－β）,1＋tan α·tan（α－β）)
＝eq \f(3－2,1＋3×2)＝eq \f(1,7).
答案：eq \f(1,7)
3．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，则tan 2θ＝________．
解析：法一：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，
得sin θ－cs θ＝eq \f(1,5)，①
θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，①平方得2sin θcs θ＝eq \f(24,25)，
可求得sin θ＋cs θ＝eq \f(7,5)，
所以sin θ＝eq \f(4,5)，cs θ＝eq \f(3,5)，
所以tan θ＝eq \f(4,3)，tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－eq \f(24,7).
法二：因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(1,7)＝eq \f(tan θ－1,1＋tan θ)，
所以tan θ＝eq \f(4,3).
故tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－eq \f(24,7).
答案：－eq \f(24,7)
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
和差公式的直接应用(自主练透)
1．已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B．eq \f(2,11)
C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
解析：选A.因为sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).
因为tan(π－β)＝eq \f(1,2)＝－tan β，所以tan β＝－eq \f(1,2)，
则tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝－eq \f(2,11).
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝( )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(5),5)
解析：选B.由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin αcs α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcs α＝1－sin2α.因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs α＝eq \r(1－sin2 α)，所以2sin αeq \r(1－sin2 α)＝1－sin2 α，解得sin α＝eq \f(\r(5),5)，故选B.
3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))的值．
解：(1)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sin eq \f(π,4)cs α＋cs eq \f(π,4)sin α
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(4,5)，cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))＝cs eq \f(5π,6)cs 2α＋sin eq \f(5π,6)sin 2α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))
＝－eq \f(4＋3\r(3),10).
eq \a\vs4\al()
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
三角函数公式的逆用与变形用(多维探究)
角度一 公式的逆用
(1)化简eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝________．
(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C＝________．
【解析】 (1)eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝eq \f(sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)＝eq \f(2sin 10°cs 10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)))＝eq \f(sin 20°,4sin（30°－10°）)＝eq \f(1,4).
(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝eq \f(3π,4)，则C＝eq \f(π,4)，cs C＝eq \f(\r(2),2).
【答案】 (1)eq \f(1,4) (2)eq \f(\r(2),2)
角度二 公式的变形用
(1)化简eq \f(sin235°－\f(1,2),cs 10°cs 80°)＝________．
(2)化简sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin2α的结果是________．
【解析】 (1)eq \f(sin235°－\f(1,2),cs 10°cs 80°)＝eq \f(\f(1－cs 70°,2)－\f(1,2),cs 10°sin 10°)＝
eq \f(－\f(1,2)cs 70°,\f(1,2)sin 20°)＝－1.
(2)原式＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α
＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))))－sin2α
＝1－cs 2α·cs eq \f(π,3)－sin2α
＝1－eq \f(cs 2α,2)－eq \f(1－cs 2α,2)＝eq \f(1,2).
【答案】 (1)－1 (2)eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
(1)和差角公式的常见变形
①sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
②cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
③tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)．
(2)二倍角正、余弦公式的常见变换方式
①配方变换：1±sin 2α＝sin2α＋cs2α±2sin αcs α＝(sin α±cs α)2；
②因式分解变换：cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α＝cs2 α－sin2α＝(cs α＋sin α)(cs α－sin α)；
③降幂扩角变换：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；
④升幂缩角变换：1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，
1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)；
⑤公式变换：cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α)，sin α＝eq \f(sin 2α,2cs α).
1．(一题多解)eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．1 D．eq \r(2)
解析：选D.法一：eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝eq \r(3)cs 15°－2sin 15°·2sin 15°cs 15°＝eq \r(3)cs 15°－2sin 15°·sin 30°＝eq \r(3)cs 15°－sin 15°＝2cs(15°＋30°)＝2cs 45°＝eq \r(2).故选D.
法二：因为cs 15°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，所以eq \r(3)cs 15°－4sin215°·cs 15°＝eq \r(3)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)－\r(2),4)))eq \s\up12(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)×(eq \r(3)－2＋eq \r(3))＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)×(2eq \r(3)－2)＝eq \r(2).故选D.
2．计算eq \f(sin 110°sin 20°,cs2 155°－sin 2155°)的值为________．
解析：eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)＝eq \f(sin 70°sin 20°,cs 310°)
＝eq \f(cs 20°sin 20°,cs 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
和差公式的灵活运用(多维探究)
角度一 变角问题
(1)设α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则cs β＝________．
(2)已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则cs(30°－2α)的值为________．
【解析】 (1)依题意得sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，
因为sin(α＋β)＝eq \f(3,5)α，
所以α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs(α＋β)＝－eq \f(4,5).
于是cs β＝cs[(α＋β)－α]
＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α
＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3,5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(2\r(5),25).
(2)cs(75°＋α)＝sin(15°－α)＝eq \f(1,3)，
所以cs(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9).
【答案】 (1)eq \f(2\r(5),25) (2)eq \f(7,9)
角度二 变名问题
求值：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)－tan 5°)).
【解】 原式＝eq \f(2cs210°,2×2sin 10°cs 10°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 5°,sin 5°)－\f(sin 5°,cs 5°)))
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs25°－sin25°,sin 5°cs 5°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs 10°,\f(1,2)sin 10°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－2cs 10°＝eq \f(cs 10°－2sin 20°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2sin（30°－10°）,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),2sin 10°)
＝eq \f(\r(3)sin 10°,2sin 10°)＝eq \f(\r(3),2).
eq \a\vs4\al()
三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[提醒] 转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
1．已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝________．
解析：cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)sin 2α＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
2.eq \f(cs 10°－\r(3)cs（－100°）,\r(1－sin 10°))＝________．(用数字作答)
解析：eq \f(cs 10°－\r(3)cs（－100°）,\r(1－sin 10°))＝eq \f(cs 10°＋\r(3)cs 80°,\r(1－cs 80°))＝eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,\r(2)·sin 40°)＝eq \f(2sin（10°＋30°）,\r(2)·sin 40°)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
[基础题组练]
1．(2020·广东揭阳一模)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝eq \f(3,5)，则sin4α－cs4α的值为( )
A.eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C．－eq \f(4,5) D．－eq \f(3,5)
解析：选D.因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝eq \f(3,5)，所以cs 2α＝eq \f(3,5)，因此sin4α－cs4α＝(sin2α＋cs2α)(sin2α－cs2α)＝1－2cs2α＝－cs 2α＝－eq \f(3,5)，选D.
2．(2020·湖南长沙长郡中学一模)已知sin(α＋2β)＝eq \f(3,4)，cs β＝eq \f(1,3)，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为( )
A.eq \f(3\r(7)－2\r(2),12) B．eq \f(3－2\r(14),12)
C.eq \f(3\r(7)＋2\r(2),12) D．eq \f(3＋2\r(14),12)
解析：选D.因为cs β＝eq \f(1,3)，0<β所以eq \f(π,2)<2β<π.
因为sin(α＋2β)＝eq \f(3,4)，α为锐角，所以eq \f(π,2)<α＋2β<π，
所以cs(α＋2β)＝－eq \f(\r(7),4)，
所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]
＝sin(α＋2β)cs β－cs(α＋2β)sin β
＝eq \f(3,4)×eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),4)))×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(3＋2\r(14),12).故选D.
3．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)，且－eq \f(π,2)<α<0，则eq \f(2sin2α＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝( )
A．－eq \f(2\r(5),5) B．－eq \f(3\r(5),10)
C．－eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(2\r(5),5)
解析：选A.因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝eq \f(1,2)，所以tan α＝－eq \f(1,3)，因为tan α＝eq \f(sin α,cs α)，sin2α＋cs2α＝1，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以sin α＝－eq \f(\r(10),10).
所以eq \f(2sin2α＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝eq \f(2sin α（sin α＋cs α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝
eq \f(4sin α（sin α＋cs α）,\r(2)（sin α＋cs α）)＝2eq \r(2)sin α＝2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝－eq \f(2\r(5),5).故选A.
4．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,4)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )
A.eq \f(\r(3),4) B．－eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(1,4) D．±eq \f(\r(3),4)
解析：选A.因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,4)，
所以cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \r(3)×eq \f(1,4)＝eq \f(\r(3),4).
故选A.
5.eq \f(2cs 10°－sin 20°,sin 70°)的值是( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2)
C.eq \r(3) D．eq \r(2)
解析：选C.原式＝eq \f(2cs（30°－20°）－sin 20°,sin 70°)
＝eq \f(2（cs 30°·cs 20°＋sin 30°·sin 20°）－sin 20°,sin 70°)
＝eq \f(\r(3)cs 20°,cs 20°)＝eq \r(3).
6．sin 10°sin 50°sin 70°＝________．
解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cs 40°cs 20°
＝eq \f(sin 10°cs 10°cs 20°cs 40°,cs 10°)＝eq \f(\f(1,8)sin 80°,cs 10°)＝eq \f(1,8).
答案：eq \f(1,8)
7．(2020·益阳模拟)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝________．
解析：由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
可得eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,2)sin α＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
即eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(4\r(3),5)，
所以eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4\r(3),5)，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(4,5).
答案：－eq \f(4,5)
8．已知tan α＝eq \f(m,3)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(2,m)，则m＝________．
解析：由题意，tan α＝eq \f(m,3)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝eq \f(2,m)，则eq \f(\f(m,3)＋1,1－\f(m,3))＝eq \f(2,m)，所以m＝－6或1.
答案：－6或1
9．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋π))的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，求cs β的值．
解：(1)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))得sin α＝－eq \f(4,5)，
所以sin(α＋π)＝－sin α＝eq \f(4,5).
(2)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))得cs α＝－eq \f(3,5)，
由sin(α＋β)＝eq \f(5,13)得cs(α＋β)＝±eq \f(12,13).
由β＝(α＋β)－α得
cs β＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α，
所以cs β＝－eq \f(56,65)或cs β＝eq \f(16,65).
10．已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解：(1)因为tan α＝eq \f(4,3)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，
所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2 α＋cs2 α＝1，
所以cs2 α＝eq \f(9,25)，
因此cs 2α＝2cs2 α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \f(2\r(5),5)，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝－eq \f(24,7)，
所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tan（α＋β）,1＋tan 2αtan（α＋β）)＝－eq \f(2,11).
[综合题组练]
1．(2020·河南九师联盟2月质量检测)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且cs 2α＝eq \f(\r(2),5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，则tan α＝( )
A.eq \f(3,4) B．eq \f(3,5)
C.eq \f(4,3) D．eq \f(5,3)
解析：选A.因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin α＋cs α>0.
因为cs 2α＝eq \f(\r(2),5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
所以(cs α＋sin α)(cs α－sin α)＝eq \f(1,5)(sin α＋cs α)，
所以cs α－sin α＝eq \f(1,5).
将cs α－sin α＝eq \f(1,5)两边平方可得1－2sin αcs α＝eq \f(1,25)，
所以sin αcs α＝eq \f(12,25).所以eq \f(sin αcs α,sin2 α＋cs2 α)＝eq \f(12,25).
分子、分母同除以cs2 α可得eq \f(tan α,tan2 α＋1)＝eq \f(12,25)，
解得tan α＝eq \f(3,4)或eq \f(4,3)(舍)，即tan α＝eq \f(3,4).
2．(创新型)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则eq \f(m\r(n),2cs227°－1)＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析：选C.因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cs218°.
所以eq \f(m\r(n),2cs227°－1)＝eq \f(2sin 18°\r(4cs218°),2cs227°－1)＝eq \f(4sin 18°cs 18°,2cs227°－1)＝eq \f(2sin 36°,cs 54°)＝eq \f(2sin 36°,sin 36°)＝2.故选C.
3．已知0<α解析：因为0<α所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,4)，
则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,4)))＝tan(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝7.
eq \f(sin2 α＋sin 2α,cs2α＋cs 2α)＝eq \f(sin2α＋2sin αcs α,2cs2α－sin2α)＝eq \f(tan2α＋2tan α,2－tan2α)＝eq \f(\f(9,16)＋\f(6,4),2－\f(9,16))＝eq \f(33,23).
答案：7 eq \f(33,23)
4．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcs β－cs αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
解析：由sin αcs β－cs αsin β＝1，
得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，所以α－β＝eq \f(π,2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2)≤π，))即eq \f(π,2)≤α≤π，
所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－α＋\f(π,2)))＋sin(α－2α＋π)
＝cs α＋sin α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))).
因为eq \f(π,2)≤α≤π，
所以eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
所以－1≤eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))≤1，
即取值范围为[－1，1]．
答案：[－1，1]
5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))).
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－eq \f(1,tan α)的值．
解：(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,4)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，
所以2α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(4π,3)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，
所以sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))cs eq \f(π,3)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))sin eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2).
(2)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))，
又由(1)知sin 2α＝eq \f(1,2)，所以cs 2α＝－eq \f(\r(3),2).
所以tan α－eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)－eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin2α－cs2α,sin αcs α)
＝eq \f(－2cs 2α,sin 2α)＝－2×eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq \r(3).
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)由题意，OA＝OM＝1，
因为S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，α为锐角，
所以sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5).
又点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10).
所以sin β＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝－eq \f(7\r(2),10)，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)因为cs 2α＝2cs2α－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(3,5)，
sin 2α＝2sin α·cs α＝2×eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(4,5)，
所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
因为sin(2α－β)＝sin 2α·cs β－cs 2α·sin β＝－eq \f(\r(2),2)，
所以2α－β＝－eq \f(π,4).