高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第四课时简单的三角恒等变换学案

这是一份高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第四课时简单的三角恒等变换学案，共18页。

1．降幂公式
(1)sin2α＝1-cs2α2；
(2)cs2α＝1+cs2α2；
(3)tan2α＝1-cs2α1+cs2α.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝2sin2 α2，1＋csα＝2cs2 α2．(升幂公式)
(2)1±sinα＝sinα2±csα22．(升幂公式)
(3)tan α2＝sinα1+csα＝1-csαsinα．
(4)sin 2α＝2tanα1+tan2α．
(5)cs2α＝1-tan2α1+tan2α．
[典例1] 化简1+sin2θ-cs2θ1+sin2θ+cs2θ.
[解] 原式＝2sin2θ+2sinθcsθ2cs2θ+2sinθcsθ＝sin θ(sin θ+cs θ)cs θ(sin θ+cs θ)＝sinθcsθ＝tan θ．
三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点，如本题需将二倍角转化为单角的形式进行化简．
跟进训练1 已知0<θ<π，则
1+sinθ+csθsinθ2-csθ22+2csθ＝________．
－cs θ [原式＝2sinθ2csθ2+2cs2θ2sinθ2-csθ24cs2θ2
＝csθ2·sin2θ2-cs2θ2csθ2＝-csθ2·csθcs θ2．
因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cs θ2>0，
所以原式＝－cs θ．]
考点二 三角函数式的求值
1．角的变换：在化简、求值、证明中，需熟悉倍角与半角的相对性及角的拆并，变换的技巧，如α3是2α3的半角，α2是α4的二倍角，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β等．
2．函数名称的变换：在三角函数中，正弦函数、余弦函数是基础，在变形中，通常化切为弦，变异名为同名．
给角求值
[典例2] 求值：cs40°cs25°1-sin40°的值为( )
A．1 B．3
C．2 D．2
C [原式＝cs220°-sin220°cs25°cs20°-sin20°＝cs20°+sin20°cs25°＝2cs25°cs25°＝2．]
给值求值
[典例3] 已知α，β都是锐角，cs α＝17，cs (α＋β)＝－1114，求cs β的值．
[解] ∵α，β都是锐角，cs α＝17，
∴sin α＝1-cs2α＝437，
又0<α＋β<π，cs(α＋β)＝－1114，
∴sin (α＋β)＝1-cs2α+β＝5314，
故csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝12．
给值求角
[典例4] (易错题)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．
－3π4 [∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tanα-β+tanβ1-tanα-βtan β＝12-171+12×17＝13＞0，
∴0＜α＜π2．
又∵tan 2α＝2tanα1-tan2α＝2×131-132＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan2α-tanβ1+tan2αtanβ＝34+171-34×17＝1．
∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－3π4．]
(1)给角求值问题需先仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，然后结合公式转化为特殊角得解．
(2)给值求值问题关键在于用“已知角”表示“未知角”，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
(3)给值求角问题解题的关键在于“变角”，一般先求角的某一个三角函数值，再求角的范围，最后确定角．
跟进训练2 (1)(2024年1月九省联考)已知θ∈3π4，π，tan 2θ＝－4tanθ+π4，则1+sin2θ2cs2θ+sin2θ＝( )
A．14 B．34
C．1 D．32
(2)(2024·山东威海模拟)cs10°2sin10°－2cs 10°＝( )
A．32B．2
C．3 D．2
(3)已知α，β均为锐角，cs α＝277，sin β＝3314，则cs 2α＝________，2α－β＝________．
(1)A (2)A (3)17 π3 [(1)由题θ∈3π4，π，tan 2θ＝－4tan θ+π4，
得2tanθ1-tan2θ＝-4tanθ+11-tanθ，既-4tanθ+12＝2tan θ，
则2tanθ+1tanθ+2＝0，所以tan θ＝－2或tan θ＝－12，
因为θ∈3π4，π，所以tan θ∈-1，0，所以tan θ＝－12，
所以1+sin2θ2cs2θ+sin2θ＝sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ2cs2θ+2sinθcsθ＝tan2θ+1+2tanθ2+2tanθ＝14+1-12+-1＝14．
故选A．
(2)cs10°2sin10°－2cs 10°＝cs10°-4sin10°cs10°2sin10°
＝cs10°-2sin20°2sin10°＝cs10°-2sin30°-10°2sin10°＝cs10°-cs10°-3sin10°2sin10°＝32．
故选A．
(3)因为cs α＝277，所以cs 2α＝2cs2α－1＝17．
又因为α，β均为锐角，sinβ＝3314，
所以sin α＝217，cs β＝1314，因此sin 2α＝2sin αcs α＝437，所以sin (2α－β)＝sin 2αcs β－cs 2αsin β＝437×1314－17×3314＝32．
因为α为锐角，所以0<2α<π．
又cs 2α>0，所以0<2α<π2，
又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，
又sin (2α－β)＝32，所以2α－β＝π3．]
【教师备用】
(2024·云南曲靖质检)已知向量a＝csx2+sinx2，2sinx2，b＝csx2-sinx2，3csx2，函数f (x)＝a·b．
(1)求函数f (x)的最大值，并指出f (x)取得最大值时x的取值集合；
(2)若α，β为锐角，cs (α＋β)＝1213，f (β)＝65，求f α+π6的值．
[解] (1)f (x)＝cs2 x2－sin2 x2＋23sin x2cs x2＝cs x＋3sin x＝2sin x+π6，
令x＋π6＝π2＋2kπ(k∈Z)，得x＝π3＋2kπ，k∈Z，
∴f (x)的最大值为2，此时x的取值集合为x│x＝π3＋2kπ，k∈Z．
(2)由α，β为锐角，cs (α＋β)＝1213，
得sin (α＋β)＝513，
∵0<β<π2，∴π6<β＋π6<2π3，
又f (β)＝2sin β+π6＝65，
∴sin β+π6＝35∈12，22，
∴π6<β＋π6<π4，
∴cs β+π6＝45，
∴cs α-π6＝cs α+β-β+π6
＝cs (α＋β)cs β+π6＋sin (α＋β)sin β+π6＝6365，
∴f α+π6＝2sin α+π3
＝2sin π2+α-π6＝2cs α-π6＝12665．
课后习题(二十二) 简单的三角恒等变换
1．(多选)(人教A版必修第一册P220练习T4(1)改编)cs α－3sin α化简的结果可以是( )
A．12cs π6-α B．2cs π3+α
C．12sin π3-α D．2sin π6-α
BD [cs α－3sin α＝212csα-32sinα
＝2csαcsπ3-sinαsinπ3＝2cs α+π3
＝2sin π6-α．]
2．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sin α＝55，cs α＝255，则tan α2等于( )
A．2－5 B．2＋5
C．5－2 D．±(5－2)
C [∵sin α＝55，cs α＝255，
∴tan α2＝sinα1+csα＝5－2．]
3．(苏教版必修第二册P72练习T3改编)已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝( )
A．π4 B．π4或5π4
C．－3π4 D．π4或5π4或－3π4
C [因为tan α＝13>0，且α∈(0，π)，所以α∈0，π2，2α∈(0，π)．
又tan 2α＝2tanα1-tan2α＝2×131-132＝34>0，所以2α∈0，π2．
因为tanβ＝－17<0，且β∈(0，π)，所以β∈π2，π，所以2α－β∈(－π，0)，
又tan (2α－β)＝tan2α-tanβ1+tan2αtanβ＝34--171+34×-17＝1，所以2α－β＝－3π4．故选C．]
4．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈5π2，3π且sin θ＝45，则sin θ2＝________；
cs θ2＝________．
－255 －55 [∵θ∈5π2，3π，且sin θ＝45，
∴cs θ＝－35，θ2∈5π4，3π2，
∴sin θ2＝－1+352＝－255，
cs θ2＝－1-352＝－55．]
5．(2024·安庆模拟)已知θ∈0，π2，tan θ＝2，则cs 2θ等于( )
A．－23 B．23
C．－13 D．13
C [cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝cs2θ-sin2θcs2θ+sin2θ
＝1-tan2θ1+tan2θ＝－13．]
6．(2024·山东枣庄模拟)在平面直角坐标系中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点-3，4，则tanα2＝( )
A．－12或2 B．2
C．－13或3 D．3
B [由角α的终边经过点-3，4，可得
sin α＝4-32+42＝45，
cs α＝-3-32+42＝－35，
故tan α2＝sinαcsα+1＝45-35+1＝2．
故选B．]
7．(2024·威海模拟)tan 67.5°－1tan67.5°的值为( )
A．1 B．2
C．2 D．4
C [tan 67.5°－1tan67.5°＝sin67.5°cs67.5°－1sin67.5°cs67.5°
＝sin67.5°cs67.5°－cs67.5°sin67.5°
＝sin267.5°-cs267.5°sin67.5°cs67.5°＝-cs135°12sin135°＝2．]
8．(2024·山东济宁模拟)已知α为锐角，且(3－tan 10°)cs α＝1，则α的值为( )
A．40° B．50°
C．70° D．80°
B [由3-tan10°cs α＝1可得
3cs10°-sin10°cs10°cs α＝1，即2cs40°cs10°cs α＝1，
所以cs α＝cs10°2cs40°＝cs10°sin40°2cs40°sin40°
＝cs10°sin40°sin80°＝sin 40°＝cs 50°，
又α为锐角，故α＝50°，故选B．]
9．(2024·威海模拟)已知α∈π，3π2，若tan α+π3＝－2，则cs α+π12等于( )
A．31010 B．1010
C．－1010 D．－31010
C [因为α∈π，3π2，则α＋π3∈4π3，11π6，
又tan α+π3＝－2<0，
故α＋π3∈3π2，11π6，
则cs α+π3＝55，sin α+π3＝－255，
故cs α+π12＝cs α+π3-π4
＝cs α+π3cs π4＋sin α+π3sin π4
＝55×22＋-255×22
＝－1010．]
10．求值：3-tan12°2cs212°-1sin12°＝________．
8 [原式＝3-sin12°cs12°cs24°sin12°
＝3cs12°-sin12°cs24°sin12°cs12°
＝2sin60°-12°14sin48°
＝2sin48°14sin48°
＝8．]
11．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈-π2，π2，则α＋β＝________．
－3π4 [依题意有tanα+tanβ=-3a，tanα·tanβ=3a+1，
∴tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanα·tanβ＝-3a1-3a+1＝1．
又tanα+tanβ＜0，tanα·tanβ＞0，
∴tan α＜0且tan β＜0，
∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，
即－π＜α＋β＜0，结合tan (α＋β)＝1，
得α＋β＝－3π4．]
12．已知0＜α＜π2＜β＜π，cs β-π4＝13，sin (α＋β)＝45．
(1)求sin 2β的值；
(2)求cs α+π4的值．
[解] (1)∵cs β-π4＝cs π4cs β＋sin π4sin β＝22cs β＋22sin β＝13，
∴cs β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，
∴sin 2β＝－79．
(2)∵0＜α＜π2＜β＜π，
∴π4＜β－π4＜3π4，π2＜α＋β＜3π2，
∴sin β-π4＞0，cs (α＋β)＜0．
∵cs β-π4＝13，sin (α＋β)＝45，
∴sin β-π4＝223，cs (α＋β)＝－35．
∴cs α+π4＝cs α+β-β-π4
＝cs (α＋β)cs β-π4＋sin (α＋β)sin β-π4
＝－35×13＋45×223＝82-315．
阶段提能(六) 三角函数的概念及三角恒等变换
1．(北师大版必修第二册P13习题1－3B组T4)已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形的周长为4R，则该扇形中所含弓形的面积是多少？(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．)
[解] ∵扇形的弧长为l＝4R－2R＝2R，
∴圆心角α＝2RR＝2，
∴S扇形＝12R2α＝R2．
∵AB＝2AD＝2R sin 1，
△AOB的高OD＝R cs ∠AOD
＝R cs 1，
∴S△AOB＝12AB·OD＝R2sin 1cs 1＝12·R2sin 2．
故S弓形＝S扇形－S△AOB＝R2－12R2sin 2．
2．(人教B版必修第三册P26练习B T2)已知tan α＝－4，求下列各式的值．
(1)sin2α；
(2)cs2α－sin2α；
(3)3sinαcs α；
(4)4sinα-2csα5csα+3sinα．
[解] (1)sin2α＝sin2αsin2α+cs2α＝tan2αtan2α+1＝-42-42+1＝1617．
(2)cs2α－sin2α＝cs2α-sin2αcs2α+sin2α＝1-tan2α1+tan2α＝1--421+-42＝－1517．
(3)3sin α cs α＝3sinαcsαsin2α+cs2α＝3tanαtan2α+1＝3×-4-42+1＝－1217．
(4)4sinα-2csα5csα+3sinα＝4tanα-25+3tanα＝4×-4-25+3×-4＝187．
3．(人教A版必修第一册P195习题5.3T9)化简下列各式，其中n∈Z：
(1)sin nπ2+α；
(2)cs nπ2-α．
[解] (1)sin nπ2+α＝sinα，n=4k，csα，n=4k+1，-sinα，n=4k+2，-csα，n=4k+3，k∈Z．
(2)cs nπ2-α＝csα，n=4k，sinα，n=4k+1，-csα，n=4k+2，-sinα，n=4k+3，k∈Z．
4．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8)已知sin π3-x＝13，且0[解] 因为0所以cs π3-x＝223．
所以sin π6+x＝sin π2-π3-x＝cs π3-x＝223；
cs 2π3+x＝cs π-π3-x＝－cs π3-x＝－223．
5．(2021·全国乙卷)cs2π12－cs25π12＝( )
A．12 B．33
C．22 D．32
D [法一(公式法)：因为cs5π12＝sin π2-5π12＝sin π12，
所以cs2π12－cs25π12＝cs2π12－sin2π12
＝cs2×π12＝cs π6＝32．故选D．
法二(构造法)：设cs2π12－cs25π12＝a，sin2π12－sin25π12＝b，
则a＋b＝cs2π12+sin2π12－cs25π12+sin25π12＝1－1＝0，①
a－b＝cs2π12-sin2π12－cs25π12-sin25π12
＝cs2×π12－cs 2×5π12＝cs π6－cs 5π6
＝2cs π6＝3，②
所以根据①＋②可得2a＝3，即a＝32，
即cs2π12－cs25π12＝32．故选D．
法三(代值法)：因为csπ12＝6+24，
cs 5π12＝6-24，
所以cs2π12－cs25π12＝6+242－6-242＝32．故选D．]
6．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则sinθ1+sin2θsinθ+csθ＝( )
A．－65 B．－25
C．25 D．65
C [法一(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，
所以sinθ=25，csθ=-15或sinθ=-25，csθ=15，
所以sinθ1+sin2θsinθ+csθ＝sinθsinθ+csθ2sinθ+csθ
＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝sin2θ＋sinθcs θ
＝45－25＝25．故选C．
法二(弦化切法)：因为tan θ＝－2，
所以sinθ1+sin2θsinθ+csθ＝sinθsinθ+csθ2sinθ+csθ
＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝sin2θ+sinθcsθsin2θ+cs2θ＝tan2θ+tanθ1+tan2θ4-21+4＝25．故选C．
法三(正弦化余弦法)：因为tanθ＝－2，
所以sin θ＝－2cs θ．
则sinθ1+sin2θsinθ+csθ＝sinθsinθ+csθ2sinθ+csθ
＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝sin2θ+sinθcsθsin2θ+cs2θ＝4cs2θ-2cs2θ4cs2θ+cs2θ＝4-21+4＝25．故选C．]
7．(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan2α＝csα2-sinα，则tan α＝( )
A．1515 B．55
C．53 D．153
A [因为α∈0，π2，所以tan 2α＝sin2αcs2α＝2sinαcsα2cs2α-1＝csα2-sinα⇒2sinα2cs2α-1＝12-sinα⇒2cs2α－1＝4sinα－2sin2α⇒2sin2α＋2cs2α－1＝4sinα⇒sin α＝14⇒tan α＝1515．]
8．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2 2cs α+π4sin β，则( )
A．tan (α＋β)＝1 B．tan (α＋β)＝－1
C．tan (α－β)＝1 D．tan (α－β)＝－1
D [法一：设β＝0，则sin α＋cs α＝0，取α＝3π4，排除A，C；
再取α＝0，则sin β＋cs β＝2sin β，取β＝π4，排除B；故选D．
法二：由sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2sin α+β+π4＝2sin α+π4+β＝2sin α+π4cs β＋2cs α+π4sin β，
故2sin α+π4cs β＝2cs α+π4sin β，
故sin α+π4cs β－cs α+π4sin β＝0，
即sin α+π4-β＝0，
故sin α-β+π4＝22sin (α－β)＋22cs (α－β)＝0，
故sin (α－β)＝－cs (α－β)，
故tan (α－β)＝－1，故选D．]
9．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝13，cs αsin β＝16，则cs (2α＋2β)＝( )
A．79 B．19
C．－19 D．－79
B [依题意，得sinαcsβ-csαsinβ=13，csαsinβ=16，
所以sin αcs β＝12，所以sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝12＋16＝23，所以cs (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×232＝19，故选B．]
10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，csα＝1+54，则sin α2＝( )
A．3-58 B．-1+58
C．3-54 D．-1+54
D [由题意，cs α＝1+54＝1－2sin2α2，
得sin2α2＝3-58＝6-2516＝5-142，
又α为锐角，所以sinα2>0，
所以sin α2＝-1+54，故选D．]
11．(2023·全国乙卷)若θ∈0，π2，tan θ＝12，则sin θ－cs θ＝________．
－55 [由tan⁡θ=sin⁡cs⁡θ=12，sin2θ+cs2θ=1，，且θ∈0，π2，
解得sinθ=55，csθ=255，
故sin θ－cs θ＝－55．]
12．(2021·北京卷)若点A(cs θ，sin θ)关于y轴对称点为Bcsθ+π6，sinθ+π6，写出θ的一个取值________．
5π12满足θ=5π12+kπ，k∈Z即可 [∵A(cs θ，sin θ)与Bcsθ+π6，sinθ+π6关于y轴对称，即θ，θ＋π6关于y轴对称，
θ＋π6＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，
则θ＝kπ＋5π12，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为5π12．
故答案为：5π12满足θ=kπ+5π12，k∈Z即可．]