新高考数学一轮复习教师用书：第四章　3 第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

这是一份新高考数学一轮复习教师用书：第四章　3 第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案，共16页。

第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式


1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos____β±cos__αsin____β；
cos(α∓β)＝cos__αcos____β±sin__αsin____β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos____α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
[三角函数公式的变形]
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.
3．三角函数公式关系


[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
[教材衍化]
1．(必修4P127练习T2改编)若cos α＝－.α是第三象限的角，则sin＝________．
解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－.
答案：－
2．(必修4P131练习T5改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．
解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
答案：
3．(必修4P146A组T4改编)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________．
解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝－tan 20°tan 40°，
所以原式＝－tan 20°tan40°＋tan 20°tan 40°＝.答案：
[易错纠偏]
(1)不会逆用公式，找不到思路；
(2)不会合理配角出错；
(3)忽视角的范围用错公式．
1．化简：＝________．
解析：原式＝
＝＝＝.
答案：
2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]
＝
＝＝.
答案：
3．已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________．
解析：法一：sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
已知θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，
可求得sin θ＋cos θ＝，所以sin θ＝，cos θ＝，
所以tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
法二：因为θ∈且sin＝，
所以cos＝，
所以tan＝＝，所以tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.
答案：－


　　　　　　三角函数公式的直接应用
(1)已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　)
A．－　　 　B.　　　 C.　　　 D．－
(2)(2020·杭州中学高三月考)已知α∈，且sin＝，则sin α＝______，cos＝______．
【解析】　(1)因为α∈，所以cos α＝－，
所以tan α＝－，
所以tan＝＝＝.
(2)因为α∈，所以0<α－<，
所以cos＝＝，
所以sin α＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝，
cos＝cos＝－sin＝－.
【答案】　(1)C　(2)　－

利用三角函数公式应注意的问题
(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　
　(2020·温州七校联考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选B.因为α为锐角，cos＝>0，所以α＋为锐角，sin＝＝，所以sin＝2sincos＝，故选B.

　　　　　　三角函数公式的活用(高频考点)
三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．主要命题角度有：
(1)两角和与差公式的逆用及变形应用；
(2)二倍角公式的活用．
角度一　两角和与差公式的逆用及变形应用
(1)已知sin α＋cos α＝，则sin2(－α)＝(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
【解析】　(1)由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，
所以sin2(－α)＝
＝＝＝.
(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，
则C＝，cos C＝.
【答案】　(1)B　(2)B
角度二　二倍角公式的活用
＝________．
【解析】　法一：原式＝
＝＝tan 30°＝.
法二：原式＝
＝＝＝.
法三：因为＝＝.
又＞0，所以＝.
【答案】　

三角函数公式的应用技巧
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．　

1．化简·sin 2α－2cos2α＝(　　)
A．cos2α B．sin2α
C．cos 2α D．－cos 2α
解析：选D.原式＝·sin αcos α－2cos2α＝(sin2α＋cos2α)－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos 2α.
2．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．
解析：－1＝tan＝tan(α＋β)＝，
所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β.
所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，
即(1－tan α)(1－tan β)＝2.
答案：2

　　　　　　角的变换
(1)(2020·金华十校联考)已知sin 2α＝(＜2α＜π)，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)
A．－2 B．－1
C．－ D.
(2)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
①求sin(α＋π)的值；
②若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
【解】　(1)选A.因为sin 2α＝，2α∈，
所以cos 2α＝－，tan 2α＝－，
tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝
＝－2.
(2)①由角α的终边过点P得
sin α＝－，
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
②由角α的终边过点P得
cos α＝－，
由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.

角的变换技巧
(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．　

1．已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan 的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.tan＝tan＝＝＝.
2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：选A.因为α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，故2α∈，α∈，所以cos 2α＝－.又β∈，故β－α∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，且α＋β∈，故α＋β＝.
[基础题组练]
1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°
＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°
＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.
2．已知sin＝cos，则tan α＝(　　)
A．－1 B．0
C. D．1
解析：选A.因为sin＝cos，
所以cos α－sin α＝cos α－sin α，
所以sin α＝cos α，
所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1.
3．若α∈，tan＝，则sin α等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选A.因为tan＝＝，
所以tan α＝－＝，所以cos α＝－sin α.
又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝.
又因为α∈，所以sin α＝.
4．(2020·宁波效实中学高三质检)sin 2α＝，0<α<，则cos的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D.cos＝＝sin α＋cos α，
又因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，0<α<，
所以sin α＋cos α＝，故选D.
5．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C. D．－
解析：选A.因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
6．(2020·温州市十校联合体期初)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D.3cos 2α＝sin，
可得3cos 2α＝(cos α－sin α)，
3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，
因为α∈，所以cos α－sin α≠0，
上式化为sin α＋cos α＝，
两边平方可得1＋sin 2α＝.
所以sin 2α＝－.
7．(2020·金华市东阳二中高三调研)设sin＝，则sin 2θ＝________．
解析：因为sin＝，即sin θ＋cos θ＝，平方可得＋sin 2θ＝，解得sin 2θ＝－.
答案：－
8．已知sin(α－45°)＝－，0°＜α＜90°，则cos α＝________．
解析：因为0°＜α＜90°，所以－45°＜α－45°＜45°，
所以cos(α－45°)＝＝，
所以cos α＝cos[(α－45°)＋45°]
＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°
＝.
答案：
9．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝________．
解析：由sin α－sin β＝1－，得(sin α－sin β)2＝，即sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝－，①
由cos α－cos β＝，得cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝，②
①＋②得，2sin αsin β＋2cos αcos β＝，即cos(α－β)＝.
答案：
10．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝，则sin 2x＝________，＝________．
解析：sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sin x－cos x＝，即sin x＋cos x＝－，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
即1＋sin 2x＝，则sin 2x＝－，
由＝
＝＝＝＝－，
答案：－　－
11．已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝＝
＝＝1.
12．已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
解：(1)coscos
＝cossin＝sin＝－，
即sin＝－.
因为α∈，所以2α＋∈，
所以cos＝－，
所以sin 2α＝sin
＝sincos －cossin ＝.
(2)因为α∈，
所以2α∈，
又由(1)知sin 2α＝，
所以cos 2α＝－.
所以tan α－＝－＝
＝＝－2×＝2.
[综合题组练]
1．(2020·浙江五校联考)已知3tan ＋tan2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝(　　)
A. B．－
C．－ D．－3
解析：选B.因为sin β＝3sin(2α＋β)，
所以sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，
所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α＋3cos(α＋β)sin α，所以2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α，
所以tan(α＋β)＝＝－＝－2tan α，
又因为3tan＋tan2＝1，
所以3tan＝1－tan2，
所以tan α＝＝，
所以tan(α＋β)＝－2tan α＝－.
2．(2020·浙江省名校协作体高三联考)对于集合{a1，a2，…，an}和常数a0，定义：ω＝
为集合{a1，a2，…，an}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为(　　)
A. B.
C. D．与a0有关的一个值
解析：选A.集合相对a0的“正弦方差”
ω＝
＝
＝
＝
＝
＝.
3．若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________．
解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝.
由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，
因为α∈，所以tan α＞0，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝两边平方得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.
答案：
4．(2020·杭州模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α、β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则sin β＝________，cos α＝________．
解析：依题设及三角函数的定义得
cos β＝－，sin(α＋β)＝.又因为0<β<π，
所以<β<π，<α＋β<π，
sin β＝，cos(α＋β)＝－.
所以cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－×＋×＝.
答案：　
5．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.
又2α∈，所以cos 2α＝＝，
所以tan 2α＝＝.
(2)因为β∈，β－∈，sin＝，所以cos＝，
于是sin 2＝2sincos＝.
又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，
又2β∈，所以sin 2β＝，
又cos2α＝＝，α∈，
所以cos α＝，sin α＝.
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×＝－.
6．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f＝－，α∈，求sin的值．
解：(1)因为y＝a＋2cos2x是偶函数，所以g(x)＝cos(2x＋θ)为奇函数，而θ∈(0，π)，故θ＝，所以f(x)＝－(a＋2cos2x)sin 2x，代入得a＝－1.
所以a＝－1，θ＝.
(2)f(x)＝－(－1＋2cos2x)sin 2x＝－cos 2xsin 2x＝－sin 4x，因为f＝－，
所以f＝－sin α＝－，故sin α＝，又α∈，所以cos α＝－，sin＝×＋×＝.