高考数学一轮复习第4章第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

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1．会推导两角差的余弦公式.
2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβ；
(6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan2α＝2tanα1-tan2α．
[常用结论]
两角和与差的公式的常用变形
(1)sinαsin β＋cs (α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin (α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cs A cs B大小不确定．( )
(3)公式tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(4)3sin α＋cs α＝2sin α+π3．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P218例3改编)若cs α＝－45，α是第三象限角，则sin α+π4等于( )
A．－210 B．210
C．－7210 D．7210
C [∵α是第三象限角，
∴sin α＝－1-cs2α＝－35，
∴sinα+π4＝sin αcs π4＋cs αsin π4＝－35×22+-45×22＝－7210.]
2．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝( )
A．－32 B．32
C．－12 D．12
D [sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝12.故选D.]
3．(人教A版必修第一册P219例4(3)改编)计算：1-tan15°1+tan15°＝________．
33 [1-tan15°1+tan15°＝tan45°-tan15°1+tan45°tan15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33.]
4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5 T12(2)改编)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝______．
3 [∵tan 60°＝tan (10°＋50°)
＝tan10°+tan50°1-tan10°tan50°，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝3-3tan 10°tan 50°，∴原式＝3-3tan 10°·tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝3.]
考点一 公式的直接应用
[典例1] 已知α∈π2，π，sin α＝55.
(1)求sin π4+α的值；
(2)求cs 5π6-2α的值．
[解] (1)因为α∈π2，π，sin α＝55，
所以cs α＝－1-sin2α＝－255，
故sinπ4+α＝sin π4cs α＋cs π4sin α
＝22×-255+22×55＝－1010.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcs α＝2×55×-255＝－45，cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以cs5π6 -2α＝cs 5π6cs 2α＋sin 5π6sin 2α＝-32×35+12×-45＝－4+3310.
应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[跟进训练]
1．(1)(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan 2α＝csα2-sinα，则tan α＝( )
A．1515 B．55
C．53 D．153
(2)已知cs α+π6＝3cs α，tan β＝33，则tan (α＋β)＝________．
(1)A (2)－33 [(1)法一：因为tan 2α＝sin2αcs2α＝2sinαcsα1-2sin2α，且tan2α＝csα2-sinα，所以2sinαcsα1-2sin2α＝csα2-sinαsin α＝14.因为α∈0，π2，所以cs α＝154，tan α＝sinαcsα＝1515.故选A.
法二：因为tan 2α＝2tanα1-tan2α＝2sinαcsα1-sin2αcs2α＝2sin αcs αcs2α-sin2α＝2sinαcsα1-2sin2αan2α＝csα2-sinα，所以2sinαcsα1-2sin2α＝csα2-sinαsin α＝14.因为α∈0，π2，所以cs α＝154，tan α＝sinαcsα＝1515.故选A.
(2)因为cs α+π6＝32cs α－12sin α＝3cs α，所以－sin α＝3cs α，故tan α＝－3，所以tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝-3+331+3×33＝-2332＝－33.]
考点二 公式的逆用与变形
公式的逆用
[典例2] (多选)下列式子化简正确的是( )
A．cs 82°sin 52°－sin 82°cs 52°＝12
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝18
C．tan48°+tan72°1-tan48°tan72°＝3
D．cs215°－sin215°＝32
BD [选项A中，cs82°sin 52°－sin 82°cs 52°＝sin (52°－82°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－12，故A错误；选项B中，sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°cs 15°＝14sin 30°＝18，故B正确；选项C中，tan48°+tan72°1-tan48°tan72°＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－3，故C错误；选项D中，cs215°－sin215°＝cs30°＝32，故D正确．]
公式的变形
[典例3] (1)(链接常用结论)若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________．
(2)(多选)已知α，β，γ∈0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则下列说法正确的是( )
A．cs (β－α)＝12 B．cs (β－α)＝13
C．β－α＝－π3 D．β－α＝π3
(1)2 (2)AD [(1)tan -3π4＝tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2．
(2)由题意知，sin γ＝sin β－sin α，
cs γ＝cs α－cs β，
将两式分别平方后相加，
得1＝(sin β－sin α)2＋(cs α－cs β)2
＝2－2(sin βsin α＋cs βcs α)，
∴cs (β－α)＝12，即选项A正确，B错误；
∵γ∈0，π2，
∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈0，π2，
∴0<β－α<π2，∴β－α＝π3，即选项D正确，C错误．]
三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
[跟进训练]
2．(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C的值为( )
A．－22 B．22
C．12 D．－12
(2)设a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°，b＝22(sin 56°－cs 56°)，c＝1-tan239°1+tan239°，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
(1)B (2)D [(1)由tanA tan B＝tan A＋tan B＋1，可得tanA+tanB1-tanAtanB＝－1，
即tan (A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cs C＝22.
(2)a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°
＝cs 50°cs 127°＋sin 50°sin 127°
＝cs (50°－127°)＝cs (－77°)＝cs 77°＝sin 13°，
b＝22(sin 56°－cs 56°)＝22sin 56°－22cs 56°
＝sin (56°－45°)＝sin 11°，
c＝1-tan239°1+tan239°＝1-sin239°cs239°1+sin239°cs239°＝cs239°－sin239°
＝cs78°＝sin 12°.
因为当0°≤x≤90°时，函数y＝sin x单调递增，
所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a>c>b.]
考点三 角的变换问题
[典例4] (1)已知sin α＝255，sin (β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( )
A．5π12 B．π3
C．π4 D．π6
(2)已知α，β为锐角，tan α+π6＝13，tan π12-β＝12，则tan α+2β＝( )
A．－913 B．－139
C．139 D．913
(1)C (2)A [(1)因为sin α＝255，sin (β－α)＝－1010，且α，β均为锐角，所以－π2＜β－α＜π2.
又sin (β－α)＜0，所以－π2＜β－α＜0，所以cs (β－α)＞0．
所以cs α＝55，cs (β－α)＝31010，
所以sin β＝sin [α＋(β－α)]＝sin α·cs (β－α)＋cs α·sin(β－α)＝255×31010+55×-1010＝25250＝22，所以β＝π4.故选C.
(2)因为tan π6-2β＝tan 2π12-β＝2tanπ12-β1-tan2π12 -β＝11-14＝43，
所以tanα+2β＝tan α+π6-π6-2β
＝tanα+π6-tanπ6-2β1+tanα+π6tanπ6-2β＝13-431+13×43＝－913.]
三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[跟进训练]
3．(1)已知π2<β<α<3π4，cs (α－β)＝1213，sin (α＋β)＝－35，则sin 2α等于( )
A．5665 B．－5665
C．1665 D．－1665
(2)(易错题)已知α，β∈-π2，π2，若tan α，tan β是方程x2－43x＋5＝0的两根，则α＋β＝( )
A．－π3或2π3 B．－π3
C．2π3 D．5π6
(1)B (2)C [(1)因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，由cs (α－β)＝1213，得sin (α－β)＝513，由sin (α＋β)＝－35，得cs (α＋β)＝－45，则sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]＝sin (α－β)cs (α＋β)＋cs (α－β)sin (α＋β)＝513×-45+1213×-35＝－5665.故选B.
(2)由tan α，tan β是方程x2－43x＋5＝0的两根可得 tan α＋tan β＝43，tan α·tan β＝5．
所以tan α，tan β均为正数，
又α，β∈-π2，π2，故α，β∈0，π2，
所以tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanα·tanβ＝431-5＝－3.
又α＋β∈(0，π)．
故α＋β＝2π3.故选C.]
课时分层作业(二十三) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、选择题
1．sin 45°cs 15°＋cs 225°sin 165°＝( )
A．1 B．12
C．32 D．－12
B [原式＝sin 45°cs 15°＋cs (180°＋45°)sin (180°－15°)＝sin 45°cs 15°－cs 45°sin 15°
＝sin (45°－15°)＝sin 30°＝12.故选B.]
2．(2021·全国乙卷)cs2π12－cs25π12＝( )
A．12 B．33
C．22 D．32
D [因为cs5π12＝sin π2-5π12＝sin π12，
所以cs2π12－cs25π12＝cs2π12－sin2π12
＝cs2×π12＝cs π6＝32.故选D.]
3．(2022·广州三模)已知cs θ＋cs θ+π3＝1，则cs 2θ+π3＝( )
A．－13 B．12
C．23 D．33
A [∵cs θ＋cs θ+π3＝cs θ＋cs θcs π3－sin θsin π3＝32cs θ－32sin θ＝3cs θ+π6＝1，
∴cs θ+π6＝33，
∴cs 2θ+π3＝2cs2θ+π6－1＝23－1＝－13.故选A.]
4．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cs (α＋β)＝2 2cs α+π4sin β，则( )
A．tan (α＋β)＝1 B．tan (α＋β)＝－1
C．tan (α－β)＝1 D．tan (α－β)＝－1
D [法一：设β＝0则sin α＋cs α＝0，取α＝3π4，排除A，C；
再取α＝0则sin β＋cs β＝2sin β，取β＝π4，排除B；故选D.
法二：由sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2sin α+β+π4＝2sin α+π4+β＝2sin α+π4cs β＋2cs α+π4sin β，
故2sin α+π4cs β＝2cs α+π4sin β，
故sin α+π4cs β－cs α+π4sin β＝0，即sin α+π4-β＝0，故sin α-β+π4＝22sin (α－β)＋22cs (α－β)＝0，故sin (α－β)＝－cs (α－β)，故tan (α－β)＝－1，故选D.]
5．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cs (－15°)＝6-24
B．cs 15°cs 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C．cs (α－35°)cs (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)＝12
D．sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝12
BCD [对于A，原式＝cs (30°－45°)＝cs 30°·cs 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22+12×22＝6+24，A错误；对于B，原式＝cs (15°－105°)＝cs (－90°)＝cs 90°＝0，B正确；对于C，原式＝cs [(α－35°)－(25°＋α)]＝cs (－60°)＝cs 60°＝12，C正确；对于D，原式＝cs 76°cs 16°＋sin 76°·sin 16°＝cs (76°－16°)＝cs 60°＝12，D正确．]
6．(多选)已知cs α＝13，cs (α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则( )
A．cs β＝79 B．sin β＝23
C．cs (α－β)＝2327 D．sin (α－β)＝－427
AC [因为α∈0，π2，cs α＝13，所以sin α＝223，又α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)＝1-cs2α+β＝223，所以csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α＝－19+89＝79，A正确．sin β＝429，B错误．cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝2327，C正确．sin (α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝10227，D错误．]
二、填空题
7．tan 42°＋tan 18°＋3tan 42°tan 18°的值是________．
3 [由tan 60°＝tan 18°+42°＝tan18°+tan42°1-tan18°·tan42°＝3，
∴tan 18°＋tan 42°＝31-tan18°·tan42°，
∴原式＝3-3tan 18°·tan 42°＋3tan 18°·tan 42°＝3.]
8．已知sin (α＋β)＝12，sin (α－β)＝13，则tanαtanβ＝________．
5 [因为sin (α＋β)＝12，sin (α－β)＝13，所以sin αcs β＋cs αsin β＝12，sin αcs β－cs αsin β＝13，所以sin αcs β＝512，cs αsin β＝112，所以tanαtanβ＝sinαcsβcsαsinβ＝5．]
9．定义运算a bc d＝ad－bc.若cs α＝17，sinα sinβcsα csβ＝3314，0＜β＜α＜π2，则β＝________．
π3 [由题意有sin αcs β－cs αsin β＝sin (α－β)＝3314.又0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.故cs (α－β)＝1-sin2α-β＝1314.因为csα＝17，所以sin α＝437.所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcs (α－β)－cs α·sin (α－β)＝437×1314-17×3314＝32.又0＜β＜π2，故β＝π3.]
三、解答题
10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上．
(1)求cs 2α的值；
(2)已知α∈0，π2，sin β+π4＝1010，－π2<β<0，求sin (α－2β)的值．
[解] (1)由题意得，tan α＝2，
∴cs 2α＝cs2α-sin2αcs2α+sin2α＝1-tan2α1+tan2α＝1-41+4＝－35.
(2)由sin αcs α＝2，sin2α+cs2α=1，且α∈0，π2，
解得sin α＝255，cs α＝55.
又sin β+π4＝1010，β＋π4∈-π4，π4，
∴cs β+π4＝31010.
∴cs β＝cs β+π4-π4
＝cs β+π4cs π4＋sin β+π4sin π4
＝31010×22+1010×22＝255，
则cs 2β＝2cs2β－1＝2×45－1＝35，
sin2β＝－1-cs22β＝－45.
∴sin(α－2β)＝sin αcs 2β－cs αsin 2β
＝255×35-55×-45＝255.
11．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan (α－β)＝－13.
(1)求sin (α－β)的值；
(2)求cs β的值．
[解] (1)∵α，β∈0，π2，∴－π2＜α－β＜π2.
又∵tan (α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0．
利用同角三角函数的基本关系可得
sin2(α－β)＋cs2(α－β)＝1，且sinα-βcsα-β＝－13，
∴sin (α－β)＝－1010.
(2)由(1)可得，cs (α－β)＝31010.
∵α为锐角，且sin α＝35，∴cs α＝45.
∴cs β＝cs [α－(α－β)]
＝cs αcs (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝45×31010+35×-1010＝91050.
12．如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x轴的正半轴的交点是C，点B的坐标为45，-35，∠AOC＝α.若|AB|＝1，则sin α＝( )
A．3+4310 B．-3+4310
C．4+3310 D．-4+3310
B [∵A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x轴正半轴的交点是C，点B的坐标为45，-35，由452＋-352＝1知圆O的半径为1，
∵∠AOC＝α，|AB|＝1，故△AOB为等边三角形，∠BOC＝60°－α，cs ∠BOC＝cs (60°－α)＝45，sin∠BOC＝sin (60°－α)＝35.则sin α＝sin [60°－(60°－α)]＝sin 60°cs (60°－α)－cs 60°sin (60°－α)＝32×45-12×35＝43-310，故选B.]
13．(2023·广雅中学模拟)在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形)长BC大约为40 m，宽AB大约为20 m，球门长PQ大约为4 m．在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门(假设球贴地直线运行)，为使得张角∠PMQ最大，则BM大约为(精确到1 m)( )
A．8 m B．9 m
C．10 m D．11 m
C [由题意知，PB＝8，QB＝12，设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x，则tan α＝8x，tan β＝12x，所以tan ∠PMQ＝tan β-α＝12x-8x1+12x·8x＝4xx2+96＝4x+96x≤42x·96x＝612，当且仅当x＝96x，即x＝96时取等号，又因为96≈10，所以BM大约为10 m．故选C.]
14．已知α，β为锐角，tan α2＝12，cs (α＋β)＝－55.
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
[解] (1)∵tan α2＝12，
∴tan α＝2tanα21-tan2α2＝2×121-14＝43.
又α为锐角，且sin2α＋cs2α＝1，tanα＝sinαcsα，
∴sin α＝45，cs α＝35，
∴cs 2α＝cs2α－sin2α＝－725.
(2)由(1)得，sin2α＝2sin αcs α＝2425，
则tan 2α＝sin2αcs2α＝－247.
∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)．
又cs (α＋β)＝－55，
∴sin (α＋β)＝1-cs2α+β＝255，
则tan(α＋β)＝sinα+βcsα+β＝－2，
∴tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝tan2α-tanα+β1+tan2αtanα+β
＝－211.