2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式学案理含解析北师大版

第三节　三角恒等变形

授课提示：对应学生用书第66页

知识点　三角恒等变形公式

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β；

（2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β；

（3）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β；

（4）sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β；

（5）tan（α＋β）＝；

（6）tan（α－β）＝．

2．二倍角公式

（1）sin 2α＝2sin αcos α；

（2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

（3）tan 2α＝．

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1．四个必备结论

（1）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝；

（2）升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α；

（3）公式变形：tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）；

（4）辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin（x＋φ）．

2．半角公式

（1）sin ＝± ；

（2）cos＝± ；

（3）tan＝± ＝＝．

以上称之为半角公式，符号由所在象限决定．

1．若sin α＝，则cos 2α＝（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．－  D．－

解析：cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝．

答案：B

2．sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝_________．

解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°

＝sin（270°＋77°）cos（90°＋58°）＋sin 77°cos 58°

＝（－cos 77°）·（－sin 58°）＋sin 77°cos 58°

＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°

＝sin（58°＋77°）＝sin 135°＝．

答案：

3．化简：＝_________．

解析：原式＝

＝＝＝．

答案：

4．（2021·杭州质检）若tan α＝3，tan（α－β）＝2，则tan β＝_________．

解析：tan β＝tan[α－（α－β）]

＝

＝＝．

答案：

第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

授课提示：对应学生用书第67页

题型一　三角函数公式的基本应用　　

1．已知sin α＝，α∈，tan（π－β）＝，则tan（α－β）的值为（　　）

A．－　　　　　　　 B．

C．  D．－

解析：因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－．因为tan（π－β）＝＝－tan β，所以tan β＝－，则tan（α－β）＝＝－．

答案：A

2．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得3（2cos2α－1）－8cos α＝5，

即3cos2α－4cos α－4＝0，

解得cos α＝－或cos α＝2（舍去）．

又因为α∈（0，π），所以sin α＞0，

所以sin α＝＝ ＝．

答案：A

3．（2020·高考江苏卷）已知sin2＝， 则sin 2α的值是_________．

解析：∵sin2＝

＝（1＋sin 2α），

∴＝，

∴sin 2α＝．

答案：

4．计算的值为_________．

解析：＝＝＝＝．

答案：

三角函数公式的应用策略

（1）使用两角和与差的三角函数公式时，首先要记住公式的结构特征．

（2）使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

题型二　三角变形求值　　

考法（一）　变角问题

[例1]　（1）已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan（α－β）＝－，求cos β的值；

（2）已知cos＝，求sin的值．

[解析]　（1）∵α，β∈，

从而－<α－β<．又∵tan（α－β）＝－<0，

∴－<α－β<0．∴sin（α－β）＝－．

cos（α－β）＝．

∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝．

∴cos β＝cos[α－（α－β）]

＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）

＝×＋×＝．

（2）sin＝sin

＝cos＝cos

＝2cos2－1＝2×－1＝－．

角的拆分与组合技巧

（1）已知角表示未知角

例如，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β），

α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β，

α＝－＝＋．

（2）互余与互补关系

例如，＋＝π，＋＝．

（3）非特殊角转化为特殊角的和或差

例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°．

考法（二）　变名问题

[例2]　求值：－sin 10°．

[解析]　原式＝－sin 10°·

＝－sin 10°·

＝－sin 10°·

＝－2cos 10°＝

＝

＝

＝＝．

明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．

[提醒]　转化思想是实施三角变形的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．

[题组突破]

1．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin（α＋β）＝，则cos β＝_________．

解析：由已知得sin α＝＝，

因为sin（α＋β）＝<sin α且α＋β>α，

所以α＋β∈，所以cos（α＋β）＝－．

于是cos β＝cos[（α＋β）－α]

＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α

＝－×＋×＝．

答案：

2．已知cos（75°＋α）＝，则cos（30°－2α）的值为_________．

解析：cos（75°＋α）＝sin（15°－α）＝，

所以cos（30°－2α）＝1－2sin2（15°－α）＝1－＝．

答案：

3．＝_________．（用数字作答）

解析：＝＝＝＝．

答案：

　三角恒等变形中的核心素养

创新应用——三角变形与数学文化的创新问题

[例]　公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0．618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝（　　）

A．8　　　　　　　 B．4

C．2  D．1

[解析]　由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4（1－sin218°）＝4cos218°，＝＝＝＝2．

[答案]　C

理解数学文化内容，结合题目条件进行三角变形求值是关键．

[对点训练]

（2021·武汉模拟）《周髀算经》中给出了弦图，如图所示，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为4∶9，则cos（α－β）的值为（　　）

A．  B．

C．  D．0

解析：设大正方形的边长为1，由小正方形与大正方形面积之比为4∶9，可得小正方形的边长为，由题图可得cos α－sin α＝，①

sin β－cos β＝，②

cos α＝sin β，sin α＝cos β，

①×②可得＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin2β＋cos2β－cos（α－β）＝1－cos（α－β），

解得cos（α－β）＝．

答案：A