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    2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式学案理含解析北师大版

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    这是一份2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式学案理含解析北师大版,共8页。

    第三节 三角恒等变形

    命题分析预测

    学科核心素养

    本节在近五年均有考查,重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用,主要体现在:(1)三角函数的化简;(2)三角函数的求值;(3)通过恒等变形研究函数的性质等,既有选择题又有填空题,难度中等.掌握三角函数的和差公式、二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键.

    本节通过三角恒等变形考查考生的数学运算核心素养.

    授课提示:对应学生用书第66

    知识点 三角恒等变形公式

    1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

    1cosαβ)=cos αcos βsin αsin β

    2cosαβ)=cos αcos βsin αsin β

    3sinαβ)=sin αcos βcos αsin β

    4sinαβ)=sin αcos βcos αsin β

    5tanαβ)=

    6tanαβ)=

    2.二倍角公式

    1sin 2α2sin αcos α

    2cos 2αcos2αsin2α2cos2α112sin2α

    3tan 2α

    温馨提醒

    1.四个必备结论

    1)降幂公式:cos2αsin2α

    2)升幂公式:1cos 2α2cos2α1cos 2α2sin2α

    3)公式变形:tan α±tan βtanα±β)(1tan αtan β);

    4)辅助角公式:asin xbcos xsinxφ).

    2.半角公式

    1sin ±

    2cos±

    3tan±

    以上称之为半角公式,符号由所在象限决定.

    1.若sin α,则cos 2α=(  )

    A        B

    C.-  D.-

    解析:cos 2α12sin2α12×

    答案:B

    2sin 347°cos 148°sin 77°·cos 58°_________

    解析sin 347°cos 148°sin 77°cos 58°

    sin270°77°cos90°58°)+sin 77°cos 58°

    =(-cos 77°·(-sin 58°)+sin 77°cos 58°

    sin 58°cos 77°cos 58°sin 77°

    sin58°77°)=sin 135°

    答案:

    3.化简:_________

    解析:原式=

    答案

    42021·杭州质检)tan α3tanαβ)=2,则tan β_________

    解析:tan βtan[α-(αβ]

    答案:

    第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

    授课提示:对应学生用书第67

    题型一 三角函数公式的基本应用  

    1.已知sin ααtanπβ)=,则tanαβ)的值为(  )

    A.-        B

    C  D.-

    解析:因为sin αα所以cos α=-=-,所以tan α=-.因为tanπβ)==-tan β,所以tan β=-,则tanαβ)==-

    答案:A

    22020·高考全国卷已知α0π),且3cos 2α8cos α5,则sin α=(  )

    A  B

    C  D

    解析:3cos 2α8cos α5,得32cos2α1)-8cos α5

    3cos2α4cos α40

    解得cos α=-cos α2(舍去).

    又因为α0π),所以sin α0

    所以sin α

    答案:A

    3.(2020·高考江苏卷)已知sin2, 则sin 2α的值是_________

    解析sin2

    1sin 2α),

    sin 2α

    答案:

    4.计算的值为_________

    解析:

    答案:

    三角函数公式的应用策略

    1)使用两角和与差的三角函数公式时,首先要记住公式的结构特征.

    2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.

    题型二 三角变形求值  

    考法(一) 变角问题

    [1] (1)已知αβ均为锐角,且sin αtanαβ)=-,求cos β的值;

    2)已知cos,求sin的值.

    [解析] (1αβ

    从而-<αβ<.又tanαβ)=-<0

    <αβ<0sinαβ)=-

    cosαβ)=

    α为锐角,且sin αcos α

    cos βcos[α-(αβ]

    cos αcosαβ)+sin αsinαβ

    ××

    2sinsin

    coscos

    2cos212×1=-

    角的拆分与组合技巧

    1)已知角表示未知角

    例如,2α=(αβ)+(αβ),2β=(αβ)-(αβ),

    α=(αβ)-β=(αβ)+β

    α

    2)互余与互补关系

    例如,π

    3)非特殊角转化为特殊角的和或差

    例如,15°45°30°75°45°30°

    考法(二) 变名问题

    [2] 求值:sin 10°

    [解析] 原式=sin 10°·

    sin 10°·

    sin 10°·

    2cos 10°

    明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.

    [提醒] 转化思想是实施三角变形的主导思想,恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异,寻求联系,实现转化

    [题组突破]

    1.设αβ都是锐角,且cos αsinαβ)=,则cos β_________

    解析:由已知得sin α

    因为sinαβ)=<sin ααβ>α

    所以αβ,所以cosαβ)=-

    于是cos βcos[αβ)-α]

    cosαβcos αsinαβsin α

    =-××

    答案:

    2.已知cos75°α)=,则cos30°2α)的值为_________

    解析:cos75°α)=sin15°α)=

    所以cos30°2α)=12sin215°α)=1

    答案:

    3_________.(用数字作答)

    解析:

    答案:

     三角恒等变形中的核心素养

    创新应用——三角变形与数学文化的创新问题

    [] 公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法,发现了黄金分割,其比值约为0618,这一数值也可以表示为m2sin 18°,若m2n4,则=(  )

    A8        B4

    C2  D1

    [解析] 由题设n4m244sin218°41sin218°)=4cos218°2

    [答案] C

    理解数学文化内容,结合题目条件进行三角变形求值是关键.

    [对点训练]

    2021·武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图,如图所示,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为αβ,且小正方形与大正方形面积之比为49,则cosαβ)的值为(  )

    A  B

    C  D0

    解析:设大正方形的边长为1,由小正方形与大正方形面积之比为49,可得小正方形的边长为,由题图可得cos αsin α

    sin βcos β

    cos αsin βsin αcos β

    ×可得cos αsin βsin αcos βcos αcos βsin αsin βsin2βcos2βcosαβ)=1cosαβ),

    解得cosαβ)=

    答案:A

     

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