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- 2.1.1 有理数的加法 第1课时 有理数的加法（教学设计） --2024--2025学年人教版（2024）七年级数学上册 教案 3 次下载
- 2.1.1 有理数的加法 第2课时 有理数的加法运算律（教学设计） --2024--2025学年人教版（2024）七年级数学上册 教案 3 次下载
- 2.1.2 有理数的减法 第2课时 有理数的加减混合运算（教学设计） --2024--2025学年人教版（2024）七年级数学上册 教案 2 次下载
- 2.2.1 有理数的乘法 第1课时 有理数的乘法（教学设计） --2024--2025学年人教版（2024）七年级数学上册 教案 3 次下载
- 2.2.1 有理数的乘法 第2课时 有理数的乘法运算律（教学设计） --2024--2025学年人教版（2024）七年级数学上册 教案 3 次下载
人教版（2024）七年级上册（2024）2.1 有理数的加法与减法第1课时教学设计
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这是一份人教版（2024）七年级上册（2024）2.1 有理数的加法与减法第1课时教学设计，共6页。教案主要包含了回顾导入，教学建议，对应训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。
解题大招 利用有理数减法法则进行计算
例 计算：
（1）12－21－9； （2）（3－9）－（21－3）； （3）0－4－（－5）－（－6）；
（4）|（－1 eq \f(1,4) ）－（－2 eq \f(1,3) ）|－（－1 eq \f(1,2) ）； （5）（－32）－（－12）－5－（－15）；
（6）（－3 eq \f(2,3) ）－（－1 eq \f(2,3) ）－（－1.75）－（－2 eq \f(3,4) ）.
解：（1）原式 ＝12＋（－21）＋（－9）
＝12＋［（－21）＋（－9）］
＝12＋（－30）
＝－18；
（2）原式 ＝（－6）－18
＝（－6）＋（－18）
＝－24；
（3）原式 ＝（－4）＋5＋6
＝（－4）＋11
＝7；
（4）原式 ＝|（－1 eq \f(1,4) ）＋2 eq \f(1,3) |＋1 eq \f(1,2)
＝（－1 eq \f(1,4) ）＋2 eq \f(1,3) ＋1 eq \f(1,2)
＝［（－1 eq \f(1,4) ）＋1 eq \f(1,2) ］＋2 eq \f(1,3)
＝ eq \f(1,4) ＋2 eq \f(1,3)
＝2 eq \f(7,12) ；
（5）原式 ＝（－32）＋12＋（－5）＋15
＝［（－32）＋（－5）］＋（12＋15）
＝（－37）＋27
＝－10；
（6）原式 ＝（－3 eq \f(2,3) ）－（－1 eq \f(2,3) ）－（－1 eq \f(3,4) ）－（－2 eq \f(3,4) ）
＝（－3 eq \f(2,3) ）＋1 eq \f(2,3) ＋1 eq \f(3,4) ＋2 eq \f(3,4)
＝［（－3 eq \f(2,3) ）＋1 eq \f(2,3) ］＋（1 eq \f(3,4) ＋2 eq \f(3,4) ）
＝（－2）＋4 eq \f(1,2)
＝2 eq \f(1,2) .
培优点 利用分类讨论思想计算有理数的减法
例 已知有理数x，y满足|x|＝5，|y|＝6.
（1）若x＞0，y＜0，则x－y的值为 11 ；
（2）若|x＋y|＝x＋y，则x－y的值为 －1或－11 .
解析：因为|x|＝5，所以x＝5或－5.因为|y|＝6，所以y＝6或－6.
（1）当x＞0，y＜0时，x＝5，y＝－6，所以x－y＝5－（－6）＝11.
（2）因为|x＋y|＝x＋y，所以x＋y是正数或0.
只有当x＝5或－5，y＝6时x＋y才是正数或0，所以分两种情况讨论：
①当x＝5，y＝6时，x－y＝5－6＝－1；
②当x＝－5，y＝6时，x－y＝（－5）－6＝－11.
综上，x－y的值为－1或－11.
教学目标
课题
2.1.2 第1课时 有理数的减法
授课人
素养目标
经历用转化的数学思想探究有理数减法法则的过程，体会有理数减法与加法的关系，强化推理能力.
理解并掌握有理数减法法则，增强运算能力.
能利用有理数减法法则解决简单问题，增强应用意识
教学重点
体会有理数减法与加法的关系，理解并掌握有理数减法法则.
教学难点
理解并掌握有理数减法法则.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：知识回顾，导入新课
【回顾导入】
有理数加法法则是什么？
我们小学学过正数的加、减法，如2＋3＝ 5 ，5－3＝ 2 ，5－2＝ 3 ，现在我们学习了有理数加法法则，引入了负数，知道（－2）＋3＝ 1 ，联想加法与减法之间的关系，1－3＝ －2 ，1－（－2）＝ 3 .那么3－（－3）又该怎么计算呢？
接下来我们就来学习有理数的减法.
【教学建议】
学生口答，带学生回顾有理数加法法则与小学学过的加、减法，让学生明确减法是加法的逆运算，最后留下疑问.
设计意图
带学生回顾旧知识，为学习有理数的减法做铺垫，并留下疑问，引发学生思考，激发学习兴趣.
活动二：问题引入，合作探究
探究点 有理数减法法则
问题 北京某一天的气温是－3～3 ℃，这一天的温差（最高气温减最低气温）是多少？应该怎么列式呢？
这一天的温差列式为 3－（－3）.
思考：
1.要如何计算3－（－3）呢？
减法是加法的逆运算，计算3－（－3），就是要求出一个数，使得它与－3相加得 3 .
因为 6 与－3相加得3，所以这个数应该是6，即 3－（－3）＝6 .①
另一方面，我们知道3＋（＋3）＝ 6 .②
由①②，得3－（－3）＝ 3＋（＋3） .③
2.从③式能看出减－3相当于加哪个数吗？把3分别换成0，－1，－5，用上面的方法再试试看.
从③式能看出减－3相当于加 3 .
（1）因为0－（－3）＝ 3 ，0＋（＋3）＝ 3 ，
所以0－（－3）＝0＋（＋3）.
因为（－1）－（－3）＝ 2 ，
（－1）＋（＋3）＝ 2 ，
所以（－1）－（－3）＝（－1）＋（＋3）.
（3）因为（－5）－（－3）＝ －2 ，
（－5）＋（＋3）＝ －2 ，
所以（－5）－（－3）＝（－5）＋（＋3）.
由此，我们得到：减去一个负数，等于加这个负数的相反数 .
3.计算下面几对式子看看.
（1）因为9－8＝ 1 ，9＋（－8）＝ 1 ；
所以9－8＝9＋（－8）.
（2）因为15－7＝ 8 ，15＋（－7）＝ 8 ，
所以15－7＝15＋（－7）.
从中有什么发现？
减去一个正数，等于加这个正数的相反数.
4.再计算下面几对式子看看.
（1）因为4－0＝ 4 ，4＋0＝ 4 ；
所以4－0＝4＋ 0 .
（2）因为（－2）－0＝－2 ，（－2）＋0＝－2 ，
所以（－2）－0＝（－2）＋ 0 .
从中又有什么发现？
减去0等于加 0 .
由以上探究可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行.
归纳总结：
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
也可以表示成 a－b＝a＋（－b）
注意：减法在转化为加法运算时有2个要素要发生变化：
（1）减号变为加号；
（2）减数变为它的相反数.
显然，两个有理数相减，差是一个有理数.
例1 （教材P31例4）计算：
（1）（－3）－（－5）；（2）0－7；（3）2－5；
（4）7.2－（－4.8）；（5）（－3 eq \f(1,2)）－5 eq \f(1,4).
解：（1）（－3）－（－5）＝（－3）＋5＝2；
（2）0－7＝0＋（－7）＝－7；
（3）2－5＝2＋（－5）＝－3；
（4）7.2－（－4.8）＝7.2＋4.8＝12；
（5）（－3 eq \f(1,2)）－5 eq \f(1,4)＝（－3 eq \f(1,2)）＋（－5 eq \f(1,4)）＝－8 eq \f(3,4).
思考：在小学，只有当a大于或等于b时（其中a，b是0或正数），我们才能计算a－b（如2－1，1－1）.现在，当a小于b时，你能计算a－b（如1－2，（－1）－1）吗？一般地，在有理数范围内，较小的数减去较大的数，所得差的符号是什么？
结合数轴和一些算式实例可以发现：较小的数减去较大的数，所得差的符号是负号.
归纳总结：
【对应训练】
教材P32练习第1题.
【教学建议】
结合温度计，通过数格子的方式，可以直观地得到3 ℃比－3 ℃高6 ℃.对于（－5）－（－3），也可以结合温度计，由－5 ℃在－3 ℃下方两个格子处，得到（－5）－（－3）＝－2.
【教学建议】
带学生分情况探究有理数的减法，引导学生一步步归纳出不同情况下与加法的关系，最后总结出有理数减法法则.
【教学建议】
指定学生代表上台解答，其他同学在纸上作答，教师巡堂，酌情指出问题.让学生注意归纳有理数减法的运算规律，不要只简单机械地将减法化成加法，可引导学生总结：（1）0减去一个数，等于这个数的相反数；（2）小数减大数，等于大数减小数的差的相反数.
若用竖向的数轴理解减法，就是将减数看作运动起点，被减数看作运动终点，运动的方向和距离就是差的结果，借此可让学生理解小数减大数所得的差是负数，因为在数轴上，大数在小数上方，所以大数必须往下运动才能到达小数，也就是差一定是负数.
设计意图
通过实例（温差的计算）引出有理数的减法，再从减法是加法的逆运算出发，通过一些具体算式，以类比和分类的方式探究两个有理数的差，最后归纳出有理数减法法则，提高学生的推理、概括、运算能力.
活动三：知识升华，巩固提升
例2 全班学生分为五个组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分.游戏结束时，各组的分数如下：
（1）第一名超出第四名多少分？
（2）第五名比第四名少多少分？
解：由上表可以看出，第一名得了350分，第四名得了－100分，第五名得了－400分.
（1）350－（－100）＝450.
答：第一名超出第四名450分.
（2）（－100）－（－400）＝300.
答：第五名比第四名少300分.
【对应训练】
1.教材P32练习第2题.
2.矿井下A，B，C三处的高度分别是－32.4 m，－139.8 m，－91.3 m，那么A处比B处高多少米？C处比B处高多少米？A处比C处高多少米？
解：A处比B处高（－32.4）－（－139.8）＝107.4（m）；
C处比B处高（－91.3）－（－139.8）＝48.5（m）；
A处比C处高（－32.4）－（－91.3）＝58.9（m）.
【教学建议】
提醒学生：在实际问题中，要注意“超出”“高、低”“多、少”等关键词，这往往表示需要用到减法.例2中先带学生回顾有理数比较大小的方法，将分数从大到小排序，得到对应的排名与分数，然后利用有理数减法法则进行计算得到结果.
设计意图
将新知识应用到实际问题中，学以致用，加深学生对有理数减法意义的体会，提高运算能力与应用意识.
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.有理数减法法则是什么？
2.大数减小数得到的差是正数还是负数？小数减大数呢？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P34习题2.1第3，4，6，10，11题.
板书设计
2.1.2 有理数的减法
第1课时 有理数的减法
1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即a－b＝a＋（－b）
2.两数大小与差的符号之间的关系：若a＞b，则a－b＞0；若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0
3.有理数减法的实际应用
教学反思
先带学生回顾有理数加法，并铺垫加法与减法的关系，再通过对现实生活中温差的计算引出本节课的目标和重点.探究过程中通过计算各种算式，分类归纳后发现规律，得出减法向加法转化的方法，然后总结出有理数减法法则，有效提高了学生的推理能力、运算能力.后续进一步将新知识应用到实际问题中，加深学生对减法的理解，增强应用意识.
有理数减法的运算步骤
①把减号变为加号；②把减数变为它的相反数；③按照有理数加法法则及运算律进行运算
一般性结论
（1）大数减小数，差为正数；（2）小数减大数，差为负数；（3）0减去一个数等于这个数的相反数
注意
减法没有交换律，被减数与减数的位置不能交换.若交换被减数和减数的位置，则所得的差与原来的差互为相反数
解题大招 利用有理数减法法则进行计算
例 计算：
（1）12－21－9； （2）（3－9）－（21－3）； （3）0－4－（－5）－（－6）；
（4）|（－1 eq \f(1,4) ）－（－2 eq \f(1,3) ）|－（－1 eq \f(1,2) ）； （5）（－32）－（－12）－5－（－15）；
（6）（－3 eq \f(2,3) ）－（－1 eq \f(2,3) ）－（－1.75）－（－2 eq \f(3,4) ）.
解：（1）原式 ＝12＋（－21）＋（－9）
＝12＋［（－21）＋（－9）］
＝12＋（－30）
＝－18；
（2）原式 ＝（－6）－18
＝（－6）＋（－18）
＝－24；
（3）原式 ＝（－4）＋5＋6
＝（－4）＋11
＝7；
（4）原式 ＝|（－1 eq \f(1,4) ）＋2 eq \f(1,3) |＋1 eq \f(1,2)
＝（－1 eq \f(1,4) ）＋2 eq \f(1,3) ＋1 eq \f(1,2)
＝［（－1 eq \f(1,4) ）＋1 eq \f(1,2) ］＋2 eq \f(1,3)
＝ eq \f(1,4) ＋2 eq \f(1,3)
＝2 eq \f(7,12) ；
（5）原式 ＝（－32）＋12＋（－5）＋15
＝［（－32）＋（－5）］＋（12＋15）
＝（－37）＋27
＝－10；
（6）原式 ＝（－3 eq \f(2,3) ）－（－1 eq \f(2,3) ）－（－1 eq \f(3,4) ）－（－2 eq \f(3,4) ）
＝（－3 eq \f(2,3) ）＋1 eq \f(2,3) ＋1 eq \f(3,4) ＋2 eq \f(3,4)
＝［（－3 eq \f(2,3) ）＋1 eq \f(2,3) ］＋（1 eq \f(3,4) ＋2 eq \f(3,4) ）
＝（－2）＋4 eq \f(1,2)
＝2 eq \f(1,2) .
培优点 利用分类讨论思想计算有理数的减法
例 已知有理数x，y满足|x|＝5，|y|＝6.
（1）若x＞0，y＜0，则x－y的值为 11 ；
（2）若|x＋y|＝x＋y，则x－y的值为 －1或－11 .
解析：因为|x|＝5，所以x＝5或－5.因为|y|＝6，所以y＝6或－6.
（1）当x＞0，y＜0时，x＝5，y＝－6，所以x－y＝5－（－6）＝11.
（2）因为|x＋y|＝x＋y，所以x＋y是正数或0.
只有当x＝5或－5，y＝6时x＋y才是正数或0，所以分两种情况讨论：
①当x＝5，y＝6时，x－y＝5－6＝－1；
②当x＝－5，y＝6时，x－y＝（－5）－6＝－11.
综上，x－y的值为－1或－11.
教学目标
课题
2.1.2 第1课时 有理数的减法
授课人
素养目标
经历用转化的数学思想探究有理数减法法则的过程，体会有理数减法与加法的关系，强化推理能力.
理解并掌握有理数减法法则，增强运算能力.
能利用有理数减法法则解决简单问题，增强应用意识
教学重点
体会有理数减法与加法的关系，理解并掌握有理数减法法则.
教学难点
理解并掌握有理数减法法则.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：知识回顾，导入新课
【回顾导入】
有理数加法法则是什么？
我们小学学过正数的加、减法，如2＋3＝ 5 ，5－3＝ 2 ，5－2＝ 3 ，现在我们学习了有理数加法法则，引入了负数，知道（－2）＋3＝ 1 ，联想加法与减法之间的关系，1－3＝ －2 ，1－（－2）＝ 3 .那么3－（－3）又该怎么计算呢？
接下来我们就来学习有理数的减法.
【教学建议】
学生口答，带学生回顾有理数加法法则与小学学过的加、减法，让学生明确减法是加法的逆运算，最后留下疑问.
设计意图
带学生回顾旧知识，为学习有理数的减法做铺垫，并留下疑问，引发学生思考，激发学习兴趣.
活动二：问题引入，合作探究
探究点 有理数减法法则
问题 北京某一天的气温是－3～3 ℃，这一天的温差（最高气温减最低气温）是多少？应该怎么列式呢？
这一天的温差列式为 3－（－3）.
思考：
1.要如何计算3－（－3）呢？
减法是加法的逆运算，计算3－（－3），就是要求出一个数，使得它与－3相加得 3 .
因为 6 与－3相加得3，所以这个数应该是6，即 3－（－3）＝6 .①
另一方面，我们知道3＋（＋3）＝ 6 .②
由①②，得3－（－3）＝ 3＋（＋3） .③
2.从③式能看出减－3相当于加哪个数吗？把3分别换成0，－1，－5，用上面的方法再试试看.
从③式能看出减－3相当于加 3 .
（1）因为0－（－3）＝ 3 ，0＋（＋3）＝ 3 ，
所以0－（－3）＝0＋（＋3）.
因为（－1）－（－3）＝ 2 ，
（－1）＋（＋3）＝ 2 ，
所以（－1）－（－3）＝（－1）＋（＋3）.
（3）因为（－5）－（－3）＝ －2 ，
（－5）＋（＋3）＝ －2 ，
所以（－5）－（－3）＝（－5）＋（＋3）.
由此，我们得到：减去一个负数，等于加这个负数的相反数 .
3.计算下面几对式子看看.
（1）因为9－8＝ 1 ，9＋（－8）＝ 1 ；
所以9－8＝9＋（－8）.
（2）因为15－7＝ 8 ，15＋（－7）＝ 8 ，
所以15－7＝15＋（－7）.
从中有什么发现？
减去一个正数，等于加这个正数的相反数.
4.再计算下面几对式子看看.
（1）因为4－0＝ 4 ，4＋0＝ 4 ；
所以4－0＝4＋ 0 .
（2）因为（－2）－0＝－2 ，（－2）＋0＝－2 ，
所以（－2）－0＝（－2）＋ 0 .
从中又有什么发现？
减去0等于加 0 .
由以上探究可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行.
归纳总结：
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
也可以表示成 a－b＝a＋（－b）
注意：减法在转化为加法运算时有2个要素要发生变化：
（1）减号变为加号；
（2）减数变为它的相反数.
显然，两个有理数相减，差是一个有理数.
例1 （教材P31例4）计算：
（1）（－3）－（－5）；（2）0－7；（3）2－5；
（4）7.2－（－4.8）；（5）（－3 eq \f(1,2)）－5 eq \f(1,4).
解：（1）（－3）－（－5）＝（－3）＋5＝2；
（2）0－7＝0＋（－7）＝－7；
（3）2－5＝2＋（－5）＝－3；
（4）7.2－（－4.8）＝7.2＋4.8＝12；
（5）（－3 eq \f(1,2)）－5 eq \f(1,4)＝（－3 eq \f(1,2)）＋（－5 eq \f(1,4)）＝－8 eq \f(3,4).
思考：在小学，只有当a大于或等于b时（其中a，b是0或正数），我们才能计算a－b（如2－1，1－1）.现在，当a小于b时，你能计算a－b（如1－2，（－1）－1）吗？一般地，在有理数范围内，较小的数减去较大的数，所得差的符号是什么？
结合数轴和一些算式实例可以发现：较小的数减去较大的数，所得差的符号是负号.
归纳总结：
【对应训练】
教材P32练习第1题.
【教学建议】
结合温度计，通过数格子的方式，可以直观地得到3 ℃比－3 ℃高6 ℃.对于（－5）－（－3），也可以结合温度计，由－5 ℃在－3 ℃下方两个格子处，得到（－5）－（－3）＝－2.
【教学建议】
带学生分情况探究有理数的减法，引导学生一步步归纳出不同情况下与加法的关系，最后总结出有理数减法法则.
【教学建议】
指定学生代表上台解答，其他同学在纸上作答，教师巡堂，酌情指出问题.让学生注意归纳有理数减法的运算规律，不要只简单机械地将减法化成加法，可引导学生总结：（1）0减去一个数，等于这个数的相反数；（2）小数减大数，等于大数减小数的差的相反数.
若用竖向的数轴理解减法，就是将减数看作运动起点，被减数看作运动终点，运动的方向和距离就是差的结果，借此可让学生理解小数减大数所得的差是负数，因为在数轴上，大数在小数上方，所以大数必须往下运动才能到达小数，也就是差一定是负数.
设计意图
通过实例（温差的计算）引出有理数的减法，再从减法是加法的逆运算出发，通过一些具体算式，以类比和分类的方式探究两个有理数的差，最后归纳出有理数减法法则，提高学生的推理、概括、运算能力.
活动三：知识升华，巩固提升
例2 全班学生分为五个组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分.游戏结束时，各组的分数如下：
（1）第一名超出第四名多少分？
（2）第五名比第四名少多少分？
解：由上表可以看出，第一名得了350分，第四名得了－100分，第五名得了－400分.
（1）350－（－100）＝450.
答：第一名超出第四名450分.
（2）（－100）－（－400）＝300.
答：第五名比第四名少300分.
【对应训练】
1.教材P32练习第2题.
2.矿井下A，B，C三处的高度分别是－32.4 m，－139.8 m，－91.3 m，那么A处比B处高多少米？C处比B处高多少米？A处比C处高多少米？
解：A处比B处高（－32.4）－（－139.8）＝107.4（m）；
C处比B处高（－91.3）－（－139.8）＝48.5（m）；
A处比C处高（－32.4）－（－91.3）＝58.9（m）.
【教学建议】
提醒学生：在实际问题中，要注意“超出”“高、低”“多、少”等关键词，这往往表示需要用到减法.例2中先带学生回顾有理数比较大小的方法，将分数从大到小排序，得到对应的排名与分数，然后利用有理数减法法则进行计算得到结果.
设计意图
将新知识应用到实际问题中，学以致用，加深学生对有理数减法意义的体会，提高运算能力与应用意识.
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.有理数减法法则是什么？
2.大数减小数得到的差是正数还是负数？小数减大数呢？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P34习题2.1第3，4，6，10，11题.
板书设计
2.1.2 有理数的减法
第1课时 有理数的减法
1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即a－b＝a＋（－b）
2.两数大小与差的符号之间的关系：若a＞b，则a－b＞0；若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0
3.有理数减法的实际应用
教学反思
先带学生回顾有理数加法，并铺垫加法与减法的关系，再通过对现实生活中温差的计算引出本节课的目标和重点.探究过程中通过计算各种算式，分类归纳后发现规律，得出减法向加法转化的方法，然后总结出有理数减法法则，有效提高了学生的推理能力、运算能力.后续进一步将新知识应用到实际问题中，加深学生对减法的理解，增强应用意识.
有理数减法的运算步骤
①把减号变为加号；②把减数变为它的相反数；③按照有理数加法法则及运算律进行运算
一般性结论
（1）大数减小数，差为正数；（2）小数减大数，差为负数；（3）0减去一个数等于这个数的相反数
注意
减法没有交换律，被减数与减数的位置不能交换.若交换被减数和减数的位置，则所得的差与原来的差互为相反数
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