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七年级上册（2024）2.1 有理数的加法与减法教案设计
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这是一份七年级上册（2024）2.1 有理数的加法与减法教案设计，共17页。
第1课时 有理数加法法则
课时目标
1.经历探究有理数加法法则的过程,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的抽象概括能力.
2.理解有理数的加法法则,能运用有理数的加法法则进行简单运算,培养学生的运算能力.
学习重点
有理数的加法法则.
学习难点
利用有理数的加法法则正确地进行有理数的加法运算.
课时活动设计
回顾引入
1.在小学,我们学过正数及0的加法运算,学过的加法类型是正数与正数相加、正数与0相加.引入负数后,加法的类型还有哪几种?
2.正数与正数相加应该怎样计算?引入负数后,在有理数范围内怎样进行加法运算呢?
设计意图:通过回顾小学学过的加法运算,引入有理数的加法运算,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
探究1 同号两数相加
一个物体沿着一条直线做左右方向的运动,我们规定向右为正,向左为负.例如,将向右运动5 m记作5 m,向左运动记作-5 m.
问题1:如果物体沿着一条直线先向右运动5 m,再向右运动3 m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?
解:两次运动后,物体从起点向右运动了8 m.写成算式是5+3=8.
追问:若将物体的运动起点放在原点O,那么这个算式如何用数轴表示?
学生自主完成,教师给出正确的画法,如图1所示.
问题2:如果物体沿着一条直线先向左运动5 m,再向左运动3 m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?
解:两次运动后,物体从起点向左运动了8 m.写成算式是(-5)+(-3)=-8.
追问:若将物体的运动起点放在原点O,那么这个算式如何用数轴表示?
学生自主完成,教师给出正确的画法,如图2所示.
观察算式5+3=8,(-5)+(-3)=-8,尝试总结符号相同的两个数相加的加法法则.
结论:符号相同的两个数相加,和的符号不变,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
探究2 异号两数相加
问题3:如果物体沿着一条直线先向左运动3 m,再向右运动5 m,那么两次运动的最后结果是物体从起点向 右 运动了 2 m,写成算式为 (-3)+5=2 .
问题4:如果物体沿着一条直线先向右运动3 m,再向左运动5 m,那么两次运动的最后结果是物体从起点向 左 运动了 2 m,写成算式为 3+(-5)=-2 .
问题5:如果物体沿着一条直线先向右运动5 m,再向左运动5 m,那么两次运动的最后结果是物体从起点运动了 0 m,写成算式为 5+(-5)=0 .
根据上面得到的3个算式,尝试总结异号两数相加的法则.
结论:绝对值不相等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0.
你能用数轴表示上面的算式吗?学生独立完成,教师给予指导点评.
探究3 一个数与0相加
问题6:如果物体第1 s向右(或左)运动5 m,第2 s原地不动,那么2 s后物体从起点向右(或左)运动了5 m.可以用怎样的算式表示呢?
学生独立完成,请两名同学代表上台板演.
解:5+0=5(或(-5)+0=-5).
根据上面的算式可得出结论:一个数与0相加,结果仍是这个数.
通过上面的探究过程可知,在有理数的加法运算中,既要考虑符号问题,又要考虑绝对值,你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗?
有理数加法法则:
1.同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
2.绝对值不相等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0.
3.一个数与0相加,仍得这个数.
显然,两个有理数相加,和是一个有理数.
设计意图:利用数轴探究有理数的加法法则,有利于学生理解有理数加法法则,让学生经历探究有理数加法法则的过程,提高学生的思维能力.通过归纳、总结、梳理有理数的加法法则,让学生对本节课新知识有系统的认识并加强理解.
典例精讲
例 计算:
(1)(-3)+(-9); (2)(-8)+0; (3)12+(-8);
(4)(-4.7)+3.9;(5)-12++12.
提示:在运算过程中,“先定和的符号,再算和的绝对值”,是一种有效的方法.
解:(1)(-3)+(-9)=-(3+9)=-12.
(2)(-8)+0=-8.
(3)12+(-8)=+(12-8)=4.
(4)(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8.
(5)-12++12=0.
设计意图:加强学生对有理数加法法则的理解,通过对法则的运用,提高学生的应用能力.
巩固训练
1.下列运算中,结果为负数的是( B )
A.3+5B.3+(-5) C.5+(-3)D.(-5)+5
2.下列算式中,计算不正确的是( C )
A.-(-6)+(-4)=2B.(-9)+[-(-4)]=-5
C.--9+4=13D.-(+9)+[+(-4)]=-13
3.收入7元,又支出5元,用算式表示的结果为 7+(-5)=2 .
4.计算:
(1)15+(-22); (2)(-13)+(-8); (3)(-0.9)+1.5.
解:(1)15+(-22)=-7.
(2)(-13)+(-8)=-21.
(3)(-0.9)+1.5=0.6.
设计意图:选题围绕课堂中解决的主要问题,当堂训练,及时反馈学习效果.
课堂小结
有理数加法法则:
1.同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
2.绝对值不相等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.
3.互为相反数的两个数相加得0.
4.一个数与0相加,仍得这个数.
设计意图:复习巩固本节课所学内容,及时进行总结反思,通过数学知识的学习,感悟知识的获取过程,提高对数学思想方法的认识.
课堂8分钟.
1.教材第28页练习第1,2题,第34页习题2.1第1题.
2.七彩作业.
教学反思
第2课时 有理数的加法运算律
课时目标
1.掌握有理数的加法交换律和结合律,并能灵活运用运算律进行运算.
2.能熟练运用运算律解决实际问题.
学习重点
灵活运用运算律进行简便运算.
学习难点
运用运算律解决实际问题.
课时活动设计
回顾引入
1.小学时已学过的加法运算律有哪些?
2.猜一猜:对于有理数的加法,已学过的运算律仍然适用吗?
设计意图:通过从学生已有的知识入手研究,让学生将所学知识系统化,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
探究 有理数的加法运算律
1.计算:(1)5+(-13)= -8 ,(-13)+5= -8 ;
(2)(-4)+(-8)= -12 ,(-8)+(-4)= -12 .
学生先独立完成计算,思考每组算式所得的和相同吗?然后小组讨论并发表见解.
换几组加数计算之后结果仍是这样吗?你能得出什么结论?能不能用符号语言描述你的结论?
师生总结有理数加法交换律:在有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.
符号语言:a+b=b+a.
2.计算:(1)[3+(-8)]+(-4)= -9 ,3+[(-8)+(-4)]= -9 ;
(2)[(-6)+(-12)]+15= -3 ,(-6)+[(-12)+15]= -3 .
学生先独立完成计算,思考每组算式所得的和相同吗?然后小组讨论并发表见解.
换几组加数计算之后结果仍是这样吗?你能得出什么结论?能不能用符号语言描述你的结论?
师生总结有理数加法结合律:在有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
符号语言:(a+b)+c=a+(b+c).
拓展:根据加法交换律和结合律,多个有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可以先把其中的几个数相加.利用加法交换律、结合律,可以使运算简化.
设计意图:通过举例验证,让学生计算有理数的加法运算,体会加法运算律在有理数中仍然适用,最终概括出有理数的加法运算律,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳概括能力,发展学生的数学核心素养.
典例精讲
例1 计算:
(1)8+(-6)+(-8); (2)16+(-25)+24+(-35).
解:(1)8+(-6)+(-8)=[8+(-8)]+(-6)=0+(-6)=-6.
(2)16+(-25)+24+(-35)=(16+24)+[(-25)+(-35)]=40+(-60)=-20.
例2 10袋小麦称后记录(单位:kg)如图所示.10袋小麦一共多少千克?如果每袋小麦以50 kg为质量标准,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?
解法1:先计算10袋小麦一共多少千克:
50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5.
再计算总计超过多少千克:502.5-50×10=2.5.
解法2:把每袋小麦超过50 kg的千克数记作正数,不足的千克数记作负数.10袋小麦对应的数分别为+0.5,+0.5,+0.8,-0.5,+0.6,+0.7,-0.8,-0.6,+0.9,+0.4.
0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8)+(-0.6)+0.9+0.4
=[0.5+(-0.5)]+[0.8+(-0.8)]+[0.6+(-0.6)]+(0.5+0.7+0.9+0.4)
=2.5.
50×10+2.5=502.5.
答:10袋小麦一共502.5 kg,总计超过2.5 kg.
设计意图:通过让学生计算,展评不同的解法,让学生体会计算过程的多样性,感受合理使用运算律可以简化运算,培养学生的运算能力,发展学生的核心素养;让学生运用有理数的加法解决实际问题,培养学生的运算能力与应用意识.
巩固训练
1.计算有理数的加法时,小雷将式子13+(-2)++23变形为13+23+(-2),他运用了( C )
A.加法交换律 B.加法结合律
C.加法交换律和加法结合律 D.无法判断
2.下列变形中,运用加法运算律正确的是( B )
A.3+(-2)=2+3
B.4+(-6)+3=(-6)+4+3
C.[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2
D.16+(-1)++56=16+56+(+1)
3.绝对值不大于2 024的所有整数的和为 0 .
4.计算:
(1)20+(-17)+15+(-10); (2)(-1.8)+(-6.5)+(-4)+6.5;
(3)(-12)+34+(-38)+66;(4)57+-34+-27+47.
解:(1)20+(-17)+15+(-10)=(20+15)+[(-17)+(-10)]=35+(-27)=35-27=8.
(2)(-1.8)+(-6.5)+(-4)+6.5=[(-6.5)+6.5)]+[(-1.8)+(-4)]=0+(-5.8)=-5.8.
(3)(-12)+34+(-38)+66=[(-12)+(-38)]+(34+66)=-50+100=50.
(4)57+-34+-27+47=57+47+-27+-34=1+-34=14.
学生自主完成,教师订正并给予评价.
设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.最后针对练习结果进行统一订正,并对同学们的表现作出及时评价,体现课程评价在课堂中的合理应用.
课堂小结
本节课我们研究了有理数的加法运算律,请同学们带着以下问题进行总结:
1.有理数的加法运算律有哪些?
2.在学习有理数的加法运算律的过程中,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
设计意图:复习巩固本节课所学内容,及时进行总结反思,通过反思,可进一步加深学生对有理数加法运算律的理解,通过反思数学思想与活动的经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考,感悟知识的获取过程,提高对数学思想方法的认识.
课堂8分钟.
1.教材第30页练习第1,2,3题,第34页习题2.1第2题.
2.七彩作业.
第2课时 有理数的加法运算律
加法交换律:a+b=b+a.
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
教学反思
2.1.2 有理数的减法
第1课时 有理数减法法则
课时目标
1.经历探究有理数减法法则的过程,体会转化的数学思想方法,培养学生的抽象概括能力.
2.掌握有理数减法的运算法则,能运用有理数的减法运算解决简单的实际问题,体会数学与现实世界的联系,增强数学的应用意识.
学习重点
有理数的减法法则及其应用.
学习难点
运用有理数的减法法则解决数学问题.
课时活动设计
情境引入
某地某天的气温是-3~3 ℃,这天的温差是多少呢?
温差就是最高气温减去最低气温,应该怎样列式?
解:3-(-3).
问题:在小学,我们学习减法时,知道减法是加法的逆运算,引入负数后,即3-(-3)应该怎样计算呢?
设计意图:创设问题情境,激发学生的认知兴趣,把具体实例抽象成数学问题,从而点明本节课所要学习的内容,并且回顾小学减法运算,为探究本节课所学知识作铺垫.
探究新知
探究 有理数的减法法则
1.由减法是加法的逆运算可知,计算3-(-3),就是要求一个数,使得它与-3相加得3,请同学们说一说哪个数与-3相加得3,并写出3-(-3)的结果.
解:6与-3相加得3,所以3-(-3)=6.
另外我们知道3+(+3)=6,观察它与算式3-(-3)=6,可以得到3-(-3)=3+(+3),即3-(-3)=3+3,所以减去一个负数,等于加上它的相反数.
换几个数试试,把3分别换成0,-1,-5,用上面的方法计算0-(-3),(-1)-(-3),(-5)-(-3).
这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗?
2.我们知道10-3=7,也就是(+10)-(+3)=+7.①
计算10+(-3)的结果.
解:10+(-3)=+7.②
观察算式①②的结果,可以得到10-3=10+(-3),所以减去一个正数,等于加上它的相反数.
通过上面的探究,你有什么发现吗?教师引导归纳总结,并引出有理数减法法则.
有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数,也可以表示为a-b=a+(-b).
显然,两个有理数相减,差是一个有理数.
思考:在小学,只有当a大于或等于b时(其中a,b是0或正数),我们才能计算a-b(如2-1,1-1).现在,当a小于b时,你能计算a-b(如1-2,(-1)-1)吗?
一般地,在有理数范围内,较小的数减去较大的数,所得差的符号是什么?
学生独立思考探究.
设计意图:充分发展学生的思维能力,让学生通过举例验证认识减法可以转化为加法计算.
典例精讲
例 计算:
(1)(-3)-(-5); (2)0-7; (3)2-5;
(4)7.2-(-4.8);(5)-312-514.
解:(1)(-3)-(-5)=(-3)+5=2. (2)0-7=0+(-7)=-7.
(3)2-5=2+(-5)=-3. (4)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12.
(5)-312-514=-312+-514=-834.
设计意图:通过例题练习,获取学生掌握知识的反馈信息,对于存在的问题及时解决.
巩固训练
1.与(-2)-(-9)相等的式子是( B )
A.(+2)-(-9) B.(-2)+9 C.(-2)+(-9) D.(-2)-(+9)
2.比1小2的数是( A )
A.-1 B.-2 C.-3 D.1
3.计算:(1)(-3)-(-7); (2)(-10)-3; (3)33-(-27); (4)0-12.
解:(1)(-3)-(-7)=(-3)+7=4. (2)(-10)-3=(-10)+(-3)=-13.
(3)33-(-27)=33+27=60. (4)0-12=0+(-12)=-12.
设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.
课堂小结
1.在小学里学习的减法,差总是小于或等于被减数,在有理数的减法中仍是这样吗?
2.做有理数的减法一定要化成加法吗?怎样做才能提高计算的速度?
3.有理数的减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.
设计意图:复习巩固本节课所学内容,及时进行总结反思,通过数学知识的学习,感悟知识的获取过程,提高对数学思想方法的认识.
课堂8分钟.
1.教材第32页练习第1,2题,第34页习题2.1第3,4,6题.
2.七彩作业.
教学反思
第2课时 有理数的加减混合运算
课时目标
1.理解有理数的减法转化成加法的意义,能熟练进行有理数的加减混合运算.
2.经历把有理数的减法转化成加法运算的过程,体会转化的数学思想方法,培养学生的运算能力.
学习重点
有理数的加减混合运算.
学习难点
混合运算中省略算式中的括号和加号.
课时活动设计
回顾引入
1.有理数的加法法则是什么?
2.有理数的减法法则是什么?
3.小学学过的混合运算法则在有理数中是否仍然适用?
设计意图:回顾有理数的加、减法法则,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
探究1 有理数的加减混合运算
计算:(-20)+(+3)-(-5)-(+7).
思考:这个算式中既有加法,也有减法,应该如何计算呢?
教师提示:可以先根据有理数的减法法则,把减法转化为加法后再计算.
学生尝试写出转化为加法的式子,教师进行板书.请同学们根据解答过程分析运用了哪些运算律.
归纳:引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算.也可表示为a+b-c=a+b+(-c).
问题:算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7),有没有什么简便的写法呢?
教师提示:其中的括号和加号可省略,学生尝试自己写出式子.
算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是-20,+3,+5,-7这四个数的和.为书写简单,可以省略算式中的括号和加号,把它写为-20+3+5-7.
这个算式可以读作“负20、正3、正5、负7的和”,或读作“负20加3加5减7”.
上面的运算过程也可以简单地写为
(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=-20+3+5-7
=-20-7+3+5
=-27+8
=-19.
探究2 数轴上两点之间的距离
请同学们画一条数轴,在数轴上,点A,B分别表示数a,b,对于下列各组数a,b:
a=2,b=6;a=0,b=6;a=2,b=-6;a=-2,b=-6.
学生动手操作并思考下列问题:
(1)观察点A,B在数轴上的位置,你能得出它们之间的距离吗?
(2)利用有理数的运算,你能用含有a,b的算式表示上述各组点A,B之间的距离吗?
教师带领学生进行分析:
①当a=2,b=6时,如图1所示.
由图1可知,6-2=4,它们之间的距离是4.
②当a=0,b=6时,如图2所示.
由图2可知,6-0=6,或|0-6|=6,它们之间的距离是6.
③当a=2,b=-6时,如图3所示.
由图3可知,2-(-6)=8或|-6-2|=8,它们之间的距离是8.
④当a=-2,b=-6时,如图4所示.
由图4可知,-2-(-6)=4或|-6-(-2)|=4,它们之间的距离是4.
通过观察上述算式,你能发现点A,B之间的距离与数a,b之间的关系吗?
总结:点A,B之间的距离等于a,b两数之差的绝对值,即|a-b|.
设计意图:通过让学生经历探究的过程,更加深刻地理解有理数的混合运算方法和数轴上两点之间距离的计算方法,培养学生的思维能力.
典例精讲
例 计算14-25+12-17.
解:14-25+12-17=14+12-25-17=26-42=-16.
设计意图:通过例题练习,获取学生掌握知识的反馈信息,对于存在的问题及时解决.
巩固训练
1.下列各式与a-b+c相等的是( A )
A.a-(+b)+c B.a-(-b)+(+c)
C.a-(+b)+(-c)D.a+(-b)-(+c)
2.8-+11--20+-19写成省略括号和加号的形式是 8-11+20-19 .
3.若两个数的和是-50,其中一个数比-8小3,则另一个数是 -39 .
4.计算:
(1)-9+5--12+-3;
(2)-1.2+2.6-(-3.1)-(+4.5);
(3)-478--512+-412-318.
解:(1)原式=-9+5+12-3=(-9+12-3)+5=0+5=5.
(2)原式=-1.2+2.6+3.1-4.5=(-1.2-4.5)+(2.6+3.1)=-5.7+5.7=0.
(3)原式=-478+512-412-318=-478-318+512-412=-8+1=-7.
学生自主完成,教师订正并给予评价.
设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.最后针对练习结果进行统一订正,并对同学们的表现作出及时评价,体现课程评价在课堂中的合理应用.
课堂小结
1.有理数加、减混合运算统一成加法,并省略括号和加号.
2.可以通过有理数的减法法则或者相反数的引入,来使加减混合运算统一为加法运算.
3.有理数的加减混合运算的读法.
设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对有理数加减混合运算的理解,通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考,使学生真正深入数学学习过程中,抓住数学思维的内在实质.
课堂8分钟.
1.教材第34页练习第1,2题,第34页习题2.1第5,7,8,9,13题.
2.七彩作业.
教学反思
第1课时 有理数加法法则
课时目标
1.经历探究有理数加法法则的过程,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的抽象概括能力.
2.理解有理数的加法法则,能运用有理数的加法法则进行简单运算,培养学生的运算能力.
学习重点
有理数的加法法则.
学习难点
利用有理数的加法法则正确地进行有理数的加法运算.
课时活动设计
回顾引入
1.在小学,我们学过正数及0的加法运算,学过的加法类型是正数与正数相加、正数与0相加.引入负数后,加法的类型还有哪几种?
2.正数与正数相加应该怎样计算?引入负数后,在有理数范围内怎样进行加法运算呢?
设计意图:通过回顾小学学过的加法运算,引入有理数的加法运算,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
探究1 同号两数相加
一个物体沿着一条直线做左右方向的运动,我们规定向右为正,向左为负.例如,将向右运动5 m记作5 m,向左运动记作-5 m.
问题1:如果物体沿着一条直线先向右运动5 m,再向右运动3 m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?
解:两次运动后,物体从起点向右运动了8 m.写成算式是5+3=8.
追问:若将物体的运动起点放在原点O,那么这个算式如何用数轴表示?
学生自主完成,教师给出正确的画法,如图1所示.
问题2:如果物体沿着一条直线先向左运动5 m,再向左运动3 m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?
解:两次运动后,物体从起点向左运动了8 m.写成算式是(-5)+(-3)=-8.
追问:若将物体的运动起点放在原点O,那么这个算式如何用数轴表示?
学生自主完成,教师给出正确的画法,如图2所示.
观察算式5+3=8,(-5)+(-3)=-8,尝试总结符号相同的两个数相加的加法法则.
结论:符号相同的两个数相加,和的符号不变,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
探究2 异号两数相加
问题3:如果物体沿着一条直线先向左运动3 m,再向右运动5 m,那么两次运动的最后结果是物体从起点向 右 运动了 2 m,写成算式为 (-3)+5=2 .
问题4:如果物体沿着一条直线先向右运动3 m,再向左运动5 m,那么两次运动的最后结果是物体从起点向 左 运动了 2 m,写成算式为 3+(-5)=-2 .
问题5:如果物体沿着一条直线先向右运动5 m,再向左运动5 m,那么两次运动的最后结果是物体从起点运动了 0 m,写成算式为 5+(-5)=0 .
根据上面得到的3个算式,尝试总结异号两数相加的法则.
结论:绝对值不相等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0.
你能用数轴表示上面的算式吗?学生独立完成,教师给予指导点评.
探究3 一个数与0相加
问题6:如果物体第1 s向右(或左)运动5 m,第2 s原地不动,那么2 s后物体从起点向右(或左)运动了5 m.可以用怎样的算式表示呢?
学生独立完成,请两名同学代表上台板演.
解:5+0=5(或(-5)+0=-5).
根据上面的算式可得出结论:一个数与0相加,结果仍是这个数.
通过上面的探究过程可知,在有理数的加法运算中,既要考虑符号问题,又要考虑绝对值,你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗?
有理数加法法则:
1.同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
2.绝对值不相等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0.
3.一个数与0相加,仍得这个数.
显然,两个有理数相加,和是一个有理数.
设计意图:利用数轴探究有理数的加法法则,有利于学生理解有理数加法法则,让学生经历探究有理数加法法则的过程,提高学生的思维能力.通过归纳、总结、梳理有理数的加法法则,让学生对本节课新知识有系统的认识并加强理解.
典例精讲
例 计算:
(1)(-3)+(-9); (2)(-8)+0; (3)12+(-8);
(4)(-4.7)+3.9;(5)-12++12.
提示:在运算过程中,“先定和的符号,再算和的绝对值”,是一种有效的方法.
解:(1)(-3)+(-9)=-(3+9)=-12.
(2)(-8)+0=-8.
(3)12+(-8)=+(12-8)=4.
(4)(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8.
(5)-12++12=0.
设计意图:加强学生对有理数加法法则的理解,通过对法则的运用,提高学生的应用能力.
巩固训练
1.下列运算中,结果为负数的是( B )
A.3+5B.3+(-5) C.5+(-3)D.(-5)+5
2.下列算式中,计算不正确的是( C )
A.-(-6)+(-4)=2B.(-9)+[-(-4)]=-5
C.--9+4=13D.-(+9)+[+(-4)]=-13
3.收入7元,又支出5元,用算式表示的结果为 7+(-5)=2 .
4.计算:
(1)15+(-22); (2)(-13)+(-8); (3)(-0.9)+1.5.
解:(1)15+(-22)=-7.
(2)(-13)+(-8)=-21.
(3)(-0.9)+1.5=0.6.
设计意图:选题围绕课堂中解决的主要问题,当堂训练,及时反馈学习效果.
课堂小结
有理数加法法则:
1.同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
2.绝对值不相等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.
3.互为相反数的两个数相加得0.
4.一个数与0相加,仍得这个数.
设计意图:复习巩固本节课所学内容,及时进行总结反思,通过数学知识的学习,感悟知识的获取过程,提高对数学思想方法的认识.
课堂8分钟.
1.教材第28页练习第1,2题,第34页习题2.1第1题.
2.七彩作业.
教学反思
第2课时 有理数的加法运算律
课时目标
1.掌握有理数的加法交换律和结合律,并能灵活运用运算律进行运算.
2.能熟练运用运算律解决实际问题.
学习重点
灵活运用运算律进行简便运算.
学习难点
运用运算律解决实际问题.
课时活动设计
回顾引入
1.小学时已学过的加法运算律有哪些?
2.猜一猜:对于有理数的加法,已学过的运算律仍然适用吗?
设计意图:通过从学生已有的知识入手研究,让学生将所学知识系统化,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
探究 有理数的加法运算律
1.计算:(1)5+(-13)= -8 ,(-13)+5= -8 ;
(2)(-4)+(-8)= -12 ,(-8)+(-4)= -12 .
学生先独立完成计算,思考每组算式所得的和相同吗?然后小组讨论并发表见解.
换几组加数计算之后结果仍是这样吗?你能得出什么结论?能不能用符号语言描述你的结论?
师生总结有理数加法交换律:在有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.
符号语言:a+b=b+a.
2.计算:(1)[3+(-8)]+(-4)= -9 ,3+[(-8)+(-4)]= -9 ;
(2)[(-6)+(-12)]+15= -3 ,(-6)+[(-12)+15]= -3 .
学生先独立完成计算,思考每组算式所得的和相同吗?然后小组讨论并发表见解.
换几组加数计算之后结果仍是这样吗?你能得出什么结论?能不能用符号语言描述你的结论?
师生总结有理数加法结合律:在有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
符号语言:(a+b)+c=a+(b+c).
拓展:根据加法交换律和结合律,多个有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可以先把其中的几个数相加.利用加法交换律、结合律,可以使运算简化.
设计意图:通过举例验证,让学生计算有理数的加法运算,体会加法运算律在有理数中仍然适用,最终概括出有理数的加法运算律,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳概括能力,发展学生的数学核心素养.
典例精讲
例1 计算:
(1)8+(-6)+(-8); (2)16+(-25)+24+(-35).
解:(1)8+(-6)+(-8)=[8+(-8)]+(-6)=0+(-6)=-6.
(2)16+(-25)+24+(-35)=(16+24)+[(-25)+(-35)]=40+(-60)=-20.
例2 10袋小麦称后记录(单位:kg)如图所示.10袋小麦一共多少千克?如果每袋小麦以50 kg为质量标准,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?
解法1:先计算10袋小麦一共多少千克:
50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5.
再计算总计超过多少千克:502.5-50×10=2.5.
解法2:把每袋小麦超过50 kg的千克数记作正数,不足的千克数记作负数.10袋小麦对应的数分别为+0.5,+0.5,+0.8,-0.5,+0.6,+0.7,-0.8,-0.6,+0.9,+0.4.
0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8)+(-0.6)+0.9+0.4
=[0.5+(-0.5)]+[0.8+(-0.8)]+[0.6+(-0.6)]+(0.5+0.7+0.9+0.4)
=2.5.
50×10+2.5=502.5.
答:10袋小麦一共502.5 kg,总计超过2.5 kg.
设计意图:通过让学生计算,展评不同的解法,让学生体会计算过程的多样性,感受合理使用运算律可以简化运算,培养学生的运算能力,发展学生的核心素养;让学生运用有理数的加法解决实际问题,培养学生的运算能力与应用意识.
巩固训练
1.计算有理数的加法时,小雷将式子13+(-2)++23变形为13+23+(-2),他运用了( C )
A.加法交换律 B.加法结合律
C.加法交换律和加法结合律 D.无法判断
2.下列变形中,运用加法运算律正确的是( B )
A.3+(-2)=2+3
B.4+(-6)+3=(-6)+4+3
C.[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2
D.16+(-1)++56=16+56+(+1)
3.绝对值不大于2 024的所有整数的和为 0 .
4.计算:
(1)20+(-17)+15+(-10); (2)(-1.8)+(-6.5)+(-4)+6.5;
(3)(-12)+34+(-38)+66;(4)57+-34+-27+47.
解:(1)20+(-17)+15+(-10)=(20+15)+[(-17)+(-10)]=35+(-27)=35-27=8.
(2)(-1.8)+(-6.5)+(-4)+6.5=[(-6.5)+6.5)]+[(-1.8)+(-4)]=0+(-5.8)=-5.8.
(3)(-12)+34+(-38)+66=[(-12)+(-38)]+(34+66)=-50+100=50.
(4)57+-34+-27+47=57+47+-27+-34=1+-34=14.
学生自主完成,教师订正并给予评价.
设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.最后针对练习结果进行统一订正,并对同学们的表现作出及时评价,体现课程评价在课堂中的合理应用.
课堂小结
本节课我们研究了有理数的加法运算律,请同学们带着以下问题进行总结:
1.有理数的加法运算律有哪些?
2.在学习有理数的加法运算律的过程中,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
设计意图:复习巩固本节课所学内容,及时进行总结反思,通过反思,可进一步加深学生对有理数加法运算律的理解,通过反思数学思想与活动的经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考,感悟知识的获取过程,提高对数学思想方法的认识.
课堂8分钟.
1.教材第30页练习第1,2,3题,第34页习题2.1第2题.
2.七彩作业.
第2课时 有理数的加法运算律
加法交换律:a+b=b+a.
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
教学反思
2.1.2 有理数的减法
第1课时 有理数减法法则
课时目标
1.经历探究有理数减法法则的过程,体会转化的数学思想方法,培养学生的抽象概括能力.
2.掌握有理数减法的运算法则,能运用有理数的减法运算解决简单的实际问题,体会数学与现实世界的联系,增强数学的应用意识.
学习重点
有理数的减法法则及其应用.
学习难点
运用有理数的减法法则解决数学问题.
课时活动设计
情境引入
某地某天的气温是-3~3 ℃,这天的温差是多少呢?
温差就是最高气温减去最低气温,应该怎样列式?
解:3-(-3).
问题:在小学,我们学习减法时,知道减法是加法的逆运算,引入负数后,即3-(-3)应该怎样计算呢?
设计意图:创设问题情境,激发学生的认知兴趣,把具体实例抽象成数学问题,从而点明本节课所要学习的内容,并且回顾小学减法运算,为探究本节课所学知识作铺垫.
探究新知
探究 有理数的减法法则
1.由减法是加法的逆运算可知,计算3-(-3),就是要求一个数,使得它与-3相加得3,请同学们说一说哪个数与-3相加得3,并写出3-(-3)的结果.
解:6与-3相加得3,所以3-(-3)=6.
另外我们知道3+(+3)=6,观察它与算式3-(-3)=6,可以得到3-(-3)=3+(+3),即3-(-3)=3+3,所以减去一个负数,等于加上它的相反数.
换几个数试试,把3分别换成0,-1,-5,用上面的方法计算0-(-3),(-1)-(-3),(-5)-(-3).
这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗?
2.我们知道10-3=7,也就是(+10)-(+3)=+7.①
计算10+(-3)的结果.
解:10+(-3)=+7.②
观察算式①②的结果,可以得到10-3=10+(-3),所以减去一个正数,等于加上它的相反数.
通过上面的探究,你有什么发现吗?教师引导归纳总结,并引出有理数减法法则.
有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数,也可以表示为a-b=a+(-b).
显然,两个有理数相减,差是一个有理数.
思考:在小学,只有当a大于或等于b时(其中a,b是0或正数),我们才能计算a-b(如2-1,1-1).现在,当a小于b时,你能计算a-b(如1-2,(-1)-1)吗?
一般地,在有理数范围内,较小的数减去较大的数,所得差的符号是什么?
学生独立思考探究.
设计意图:充分发展学生的思维能力,让学生通过举例验证认识减法可以转化为加法计算.
典例精讲
例 计算:
(1)(-3)-(-5); (2)0-7; (3)2-5;
(4)7.2-(-4.8);(5)-312-514.
解:(1)(-3)-(-5)=(-3)+5=2. (2)0-7=0+(-7)=-7.
(3)2-5=2+(-5)=-3. (4)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12.
(5)-312-514=-312+-514=-834.
设计意图:通过例题练习,获取学生掌握知识的反馈信息,对于存在的问题及时解决.
巩固训练
1.与(-2)-(-9)相等的式子是( B )
A.(+2)-(-9) B.(-2)+9 C.(-2)+(-9) D.(-2)-(+9)
2.比1小2的数是( A )
A.-1 B.-2 C.-3 D.1
3.计算:(1)(-3)-(-7); (2)(-10)-3; (3)33-(-27); (4)0-12.
解:(1)(-3)-(-7)=(-3)+7=4. (2)(-10)-3=(-10)+(-3)=-13.
(3)33-(-27)=33+27=60. (4)0-12=0+(-12)=-12.
设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.
课堂小结
1.在小学里学习的减法,差总是小于或等于被减数,在有理数的减法中仍是这样吗?
2.做有理数的减法一定要化成加法吗?怎样做才能提高计算的速度?
3.有理数的减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.
设计意图:复习巩固本节课所学内容,及时进行总结反思,通过数学知识的学习,感悟知识的获取过程,提高对数学思想方法的认识.
课堂8分钟.
1.教材第32页练习第1,2题,第34页习题2.1第3,4,6题.
2.七彩作业.
教学反思
第2课时 有理数的加减混合运算
课时目标
1.理解有理数的减法转化成加法的意义,能熟练进行有理数的加减混合运算.
2.经历把有理数的减法转化成加法运算的过程,体会转化的数学思想方法,培养学生的运算能力.
学习重点
有理数的加减混合运算.
学习难点
混合运算中省略算式中的括号和加号.
课时活动设计
回顾引入
1.有理数的加法法则是什么?
2.有理数的减法法则是什么?
3.小学学过的混合运算法则在有理数中是否仍然适用?
设计意图:回顾有理数的加、减法法则,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
探究1 有理数的加减混合运算
计算:(-20)+(+3)-(-5)-(+7).
思考:这个算式中既有加法,也有减法,应该如何计算呢?
教师提示:可以先根据有理数的减法法则,把减法转化为加法后再计算.
学生尝试写出转化为加法的式子,教师进行板书.请同学们根据解答过程分析运用了哪些运算律.
归纳:引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算.也可表示为a+b-c=a+b+(-c).
问题:算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7),有没有什么简便的写法呢?
教师提示:其中的括号和加号可省略,学生尝试自己写出式子.
算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是-20,+3,+5,-7这四个数的和.为书写简单,可以省略算式中的括号和加号,把它写为-20+3+5-7.
这个算式可以读作“负20、正3、正5、负7的和”,或读作“负20加3加5减7”.
上面的运算过程也可以简单地写为
(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=-20+3+5-7
=-20-7+3+5
=-27+8
=-19.
探究2 数轴上两点之间的距离
请同学们画一条数轴,在数轴上,点A,B分别表示数a,b,对于下列各组数a,b:
a=2,b=6;a=0,b=6;a=2,b=-6;a=-2,b=-6.
学生动手操作并思考下列问题:
(1)观察点A,B在数轴上的位置,你能得出它们之间的距离吗?
(2)利用有理数的运算,你能用含有a,b的算式表示上述各组点A,B之间的距离吗?
教师带领学生进行分析:
①当a=2,b=6时,如图1所示.
由图1可知,6-2=4,它们之间的距离是4.
②当a=0,b=6时,如图2所示.
由图2可知,6-0=6,或|0-6|=6,它们之间的距离是6.
③当a=2,b=-6时,如图3所示.
由图3可知,2-(-6)=8或|-6-2|=8,它们之间的距离是8.
④当a=-2,b=-6时,如图4所示.
由图4可知,-2-(-6)=4或|-6-(-2)|=4,它们之间的距离是4.
通过观察上述算式,你能发现点A,B之间的距离与数a,b之间的关系吗?
总结:点A,B之间的距离等于a,b两数之差的绝对值,即|a-b|.
设计意图:通过让学生经历探究的过程,更加深刻地理解有理数的混合运算方法和数轴上两点之间距离的计算方法,培养学生的思维能力.
典例精讲
例 计算14-25+12-17.
解:14-25+12-17=14+12-25-17=26-42=-16.
设计意图:通过例题练习,获取学生掌握知识的反馈信息,对于存在的问题及时解决.
巩固训练
1.下列各式与a-b+c相等的是( A )
A.a-(+b)+c B.a-(-b)+(+c)
C.a-(+b)+(-c)D.a+(-b)-(+c)
2.8-+11--20+-19写成省略括号和加号的形式是 8-11+20-19 .
3.若两个数的和是-50,其中一个数比-8小3,则另一个数是 -39 .
4.计算:
(1)-9+5--12+-3;
(2)-1.2+2.6-(-3.1)-(+4.5);
(3)-478--512+-412-318.
解:(1)原式=-9+5+12-3=(-9+12-3)+5=0+5=5.
(2)原式=-1.2+2.6+3.1-4.5=(-1.2-4.5)+(2.6+3.1)=-5.7+5.7=0.
(3)原式=-478+512-412-318=-478-318+512-412=-8+1=-7.
学生自主完成,教师订正并给予评价.
设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.最后针对练习结果进行统一订正,并对同学们的表现作出及时评价,体现课程评价在课堂中的合理应用.
课堂小结
1.有理数加、减混合运算统一成加法,并省略括号和加号.
2.可以通过有理数的减法法则或者相反数的引入,来使加减混合运算统一为加法运算.
3.有理数的加减混合运算的读法.
设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对有理数加减混合运算的理解,通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考,使学生真正深入数学学习过程中,抓住数学思维的内在实质.
课堂8分钟.
1.教材第34页练习第1,2题,第34页习题2.1第5,7,8,9,13题.
2.七彩作业.
教学反思
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