初中人教版（2024）2.2 有理数的乘法与除法第2课时教案设计

这是一份初中人教版（2024）2.2 有理数的乘法与除法第2课时教案设计，共6页。教案主要包含了回顾导入，教学建议，对应训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。


解题大招 运用乘法运算律进行简便运算
例 计算：
（1）29×（－ eq \f(2,17) ）×（－4）×（－ eq \f(7,6) ）×1.3×0×61；
（2）（－ eq \f(11,12) ）×（－3）×（－4）×（－1 eq \f(1,11) ）×（－25）×5；
（3）（－3 eq \f(1,7) ）×（3 eq \f(1,7) －7 eq \f(1,3) ）× eq \f(7,22) ×（－ eq \f(21,22) ）；
（4）0.7×19 eq \f(5,9) ＋2 eq \f(3,4) ×（－14）＋ eq \f(7,10) × eq \f(4,9) －3.25×14.
解：（1）29×（－ eq \f(2,17) ）×（－4）×（－ eq \f(7,6) ）×1.3×0×61＝0；
（2）（－ eq \f(11,12) ）×（－3）×（－4）×（－1 eq \f(1,11) ）×（－25）×5＝－（ eq \f(11,12) ×3×4× eq \f(12,11) ×25×5）＝－［（ eq \f(11,12) × eq \f(12,11) ）×（4×25）×3×5］＝－（1×100×3×5）＝－1 500；
（3）（－3 eq \f(1,7) ）×（3 eq \f(1,7) －7 eq \f(1,3) ）× eq \f(7,22) ×（－ eq \f(21,22) ）＝（－ eq \f(22,7) ）×（ eq \f(22,7) － eq \f(22,3) ）× eq \f(7,22) ×（－ eq \f(21,22) ）＝ eq \f(22,7) × eq \f(7,22) ×（ eq \f(22,7) － eq \f(22,3) ）× eq \f(21,22) ＝ eq \f(22,7) × eq \f(21,22) － eq \f(22,3) × eq \f(21,22) ＝3－7＝－4；
（4）0.7×19 eq \f(5,9) ＋2 eq \f(3,4) ×（－14）＋ eq \f(7,10) × eq \f(4,9) －3.25×14＝0.7×（19 eq \f(5,9) ＋ eq \f(4,9) ）－14×（2 eq \f(3,4) ＋3.25）＝0.7×20－14×6＝14－84＝－70.
培优点 利用恒等变形进行简便运算
教学目标
课题
2.2.1 第2课时 有理数的乘法运算律
授课人
素养目标
经历探索有理数的乘法运算律的过程，理解运算律并了解运算律的字母表示，培养抽象能力.
体会用实例类比、归纳出多个有理数相乘时积的符号的确定方法的过程，提高推理能力.
熟悉有理数的乘法运算并能用乘法运算律简化运算，提高运算能力.
教学重点
经历多个有理数相乘时积的符号的确定方法的探究过程，会利用有理数的乘法运算律简化运算.
教学难点
逆向利用分配律简化运算.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：知识回顾，导入新课
【回顾导入】
问题1 计算4×17×0.25× eq \f(13,17) .
4×17×0.25× eq \f(13,17) ＝（4×0.25）×（17× eq \f(13,17) ）＝1×13＝13.
问题2 你是怎样做的？过程中运用了乘法运算律吗？如果运用了，运用了哪些运算律？
将4与0.25，17与 eq \f(13,17) 分别相乘，再把它们的积相乘，其中运用了乘法交换律与乘法结合律.
问题3 小学学习了乘法的哪些运算律？
小学学习了乘法交换律、乘法结合律、分配律.
引入负数后，这些运算律还成立吗？这节课我们就来学习有理数乘法的运算律.
【教学建议】
问题1指定两名学生代表上台板书过程，其余学生在练习本上完成.问题2由两名学生口答完成.对于问题3，要求学生能说出乘法交换律、乘法结合律和分配律.
设计意图
由小学学过的知识入手，回顾学过的乘法运算律，由旧知过渡到新知，引出本节课要学习的有理数乘法运算律.
活动二：问题引入，合作探究
探究点1 有理数的乘法运算律
1.乘法交换律
问题1 计算5×（－6）与（－6）×5.
5×（－6）＝－30，（－6）×5＝－30.
问题2 任意选择两个有理数，分别对应填入下列□和○内，并比较两个运算结果：□×○和○×□，你有什么发现？
两个运算的结果相同.
在有理数乘法中， 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变.
即 乘法交换律：ab＝ba.
补充说明： a×b也可以写为a·b或ab.当字母表示乘数时，“×”可以写为“· ”或省略.
2.乘法结合律
问题1 计算［3×（－4）］×（－5）与3×［（－4）×（－5）］.
［3×（－4）］×（－5）＝（－12）×（－5）＝60，3×［（－4）×（－5）］＝3×20＝60.
问题2 任意选择三个有理数，分别对应填入下列□，○和◇内，并比较两个运算结果：（□×○）×◇和□×（○×◇），你又有什么发现？
两个运算的结果相同.
在有理数乘法中， 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.
即 乘法结合律：（ab）c＝a（bc）.
3.分配律
问题1 计算5×[3+（－7）]与5×3+5×（－7）.
5×[3+（－7）]＝5×（－4）＝－20，5×3+5×（－7）＝15－35＝－20.
问题2 任意选择三个有理数，分别对应填入下列□，○和◇内，并比较两个运算结果：□×（○+◇）和□×○+□×◇，你又有什么发现？
两个运算的结果相同.
在有理数乘法中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.
即 分配律：a（b+c）＝ ab+ac..
思考：回顾活动一中提出的问题，引入负数后，小学学过的乘法运算律在有理数乘法中还成立吗？
小学学过的乘法交换律、乘法结合律、分配律在有理数乘法中仍然成立.
例1 （教材P41例3）（1）计算2×3×0.5×（－7）；
（2）用两种方法计算（ eq \f(1,4) + eq \f(1,6) － eq \f(1,2) ）×12.
解：（1）2×3×0.5×（－7）＝（2×0.5）×［3×（－7）］＝1×（－21）＝－21.
（2）解法1：（ eq \f(1,4) + eq \f(1,6) － eq \f(1,2) ）×12＝（ eq \f(3,12) + eq \f(2,12) － eq \f(6,12) ）×12＝－ eq \f(1,12) ×12＝－1.
解法2：（ eq \f(1,4) + eq \f(1,6) － eq \f(1,2) ）×12＝ eq \f(1,4) ×12+ eq \f(1,6) ×12－ eq \f(1,2) ×12×12＝3+2－6＝－1.
思考：比较例1（2）的两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法更简便？
答：解法1先做加法运算，再做乘法运算.解法2先做乘法运算，再做加法运算.解法2用了分配律.解法2更简便，因为解法1先要计算三个分数的和.
【对应训练】
教材P43练习第1题.
【教学建议】
提醒学生：乘法运算律的字母表示中，字母可以取任意的有理数，可以表示正数，也可以表示负数或0.
告诉学生：乘法的运算律与加法运算律类似，可以推广到多个有理数相乘的情况：（1）三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，或者先把其中的几个乘数相乘，例如，abcd＝d（ac）b；（2）一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加，例如，a（b＋c＋d）＝ab＋ac＋ad.
【教学建议】
提醒学 生：在有理数乘法中，分配律既可以正用，也可以逆用，关键是注意观察算式的特点，看怎么用能简化运算，使用分配律时一定要注意数前面的符号，不要出现遗漏或者错误.
告诉学生：运算律在运算中有重要作用，它是解决许多数学问题的基础.
设计意图
类比加法运算律的学习过程，让学生通过一些包含负数的简单例子，说明这些运算律在有理数乘法中仍然适用，使学生理解乘法运算律并能利用它们简化运算.
设计意图
探究点2 多个有理数相乘的符号法则
1.几个不为0的数相乘
问题 改变例1（1）的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子.观察这些式子，它们的积是正的还是负的？填表：
思考：几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？
几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数.
2.几个数相乘（其中有乘数为0）
问题 你能看出下列式子的结果吗？如果能，请说明理由.
7.8×（－8.1）×0×（－19.6）.
结果为0.理由：任何数与0相乘，都得0.
思考：（1）你能总结出多个有理数相乘时，积的符号情况吗？
归纳总结：
几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0.
（2）总结出结论以后，该怎么计算多个有理数相乘的积？
遇到多个不为0的数相乘，可以先用前面的结论确定积的符号，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值；遇到有乘数为0的情况，可直接得积为0.
例2 （教材P42） 计算：
（－3）× eq \f(5,6) ×（－ eq \f(9,5) ）×（－ eq \f(1,4) ）；
（－5）×6×（－ eq \f(4,5) ）× eq \f(1,4) .
解：（1）（－3）× eq \f(5,6) ×（－ eq \f(9,5) ）×（－ eq \f(1,4) ）＝－（3× eq \f(5,6) × eq \f(9,5) × eq \f(1,4) ）＝－ eq \f(9,8) ；
（2）（－5）×6×（－ eq \f(4,5) ）× eq \f(1,4) ＝5×6× eq \f(4,5) × eq \f(1,4) ＝6.
【对应训练】
教材P43练习第2题.
【教学建议】
指定学生代表回答问题，检查对有理数乘法法则的掌握情况.
【教学建议】
告诉学生：多个有理数相乘，不管多复杂，只要其中有乘数0，积都是0，是不必具体计算的.计算之前注意观察其中是否有乘数0，若有可直接得积为0，若没有再按法则计算.
通过例子让学生自己归纳出多个有理数相乘的符号法则，提高推理能力与归纳能力.
活动三：知识延伸，巩固升华
解：（1）（－0.2）×（－ eq \f(3,16) ）×（－5）×1 eq \f(1,3) ＝－（0.2× eq \f(3,16) ×5× eq \f(4,3) ）＝－［（0.2×5）×（ eq \f(3,16) × eq \f(4,3) ）］＝－（1× eq \f(1,4) ）＝－ eq \f(1,4) ；
（2）（－ eq \f(3,4) ＋1 eq \f(5,6) － eq \f(7,8) ）×（－24）＝－ eq \f(3,4) ×（－24）＋ eq \f(11,6) ×（－24）－ eq \f(7,8) ×（－24）＝18－44＋21＝－5；
（3）（－5.25）×（－4.73）－4.73×（－19.75）－25×（－5.27）＝（－4.73）×（－5.25－19.75）－25×（－5.27）＝（－4.73）×（－25）－25×（－5.27）＝（－25）×（－4.73－5.27）＝（－25）×（－10）＝250.
【对应训练】
计算：
（1）（－4）×8×（－2.5）×（－0.125）；
（2）（1 eq \f(3,4) － eq \f(7,8) － eq \f(1,2) ）×1 eq \f(1,7) ；
（3）81.8×2.14＋（－3.14）×35.2＋3.14×（－46.6）.
解：（1）（－4）×8×（－2.5）×（－0.125）＝－（4×8×2.5×0.125）＝－［（4×2.5）×（8×0.125）］＝－（10×1）＝－10；
（2）（1 eq \f(3,4) － eq \f(7,8) － eq \f(1,2) ）×1 eq \f(1,7) ＝ eq \f(7,4) × eq \f(8,7) － eq \f(7,8) × eq \f(8,7) － eq \f(1,2) × eq \f(8,7) ＝2－1－ eq \f(4,7) ＝ eq \f(3,7) ；
（3）81.8×2.14＋（－3.14）×35.2＋3.14×（－46.6）＝81.8×2.14＋3.14×（－35.2－46.6）＝81.8×2.14＋3.14×（－81.8）＝81.8×（2.14－3.14）＝81.8×（－1）＝－81.8
【教学建议】
告诉学生：告诉学生：在做运算之前一定要先观察算式的特点，尤其是较复杂的运算，一般都需要用运算律来简化，提醒学生重点关注两个方面：（1）是否有积能凑整的乘数，若有，则可以用乘法交换律和乘法结合律优先相乘；（2）是否有相同的乘数，若有，则可以逆向运用分配律简化运算，有时候分配律在一个算式中会用到多次.
设计意图
通过例题和练习让学生更深刻地体会乘法运算律对于简化运算的作用，提高运算能力.
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.有理数乘法的运算律有哪些？
2.多个有理数相乘时怎么确定积的符号？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P48习题2.2第4，5，15题.
板书设计
第2课时 有理数的乘法运算律
1.乘法运算律
①乘法交换律 ②乘法结合律 ③分配律
2.多个有理数相乘的符号法则
①几个不为0的数相乘 ②几个数相乘（其中有乘数为0）
教学反思
本节课通过一个小学算式引出新课的学习，接着通过问题引导、结果验证，让学生感受到乘法运算律在有理数范围内仍然适用，同时用符号语言表示运算律有助于提高学生的抽象能力.再通过例题与练习，用计算与对比的方式，让学生直观体会乘法运算律的简便性，并掌握用运算律来简化运算，提高运算能力.接着引导学生自己去探索与发现多个有理数相乘的符号确定方法，进一步培养学生的推理能力和表达交流能力.
选择有理数的乘法运算律的三个原则
注意
1.有互为倒数或积为整数的两个乘数时，运用乘法交换律和乘法结合律使它们先相乘；
2.括号外的乘数是括号内所有分母的公倍数时，利用分配律计算；
3.算式中有相同的乘数时（有时需要变形为相同形式才能发现），考虑逆向运用分配律计算
（1）在交换乘数的位置时，要连同该数的符号一起交换；
（2）利用分配律时，不要漏乘，不要弄错符号