初中数学人教版（2024）九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课堂教学ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课堂教学ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了复习引入，情景引入，x1·x2，新知探究，特别注意，x1+x22，x1x2-1，x1+x2，x1+x23，x1+x20等内容，欢迎下载使用。

一元二次方程的求根公式是什么？
如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
方程的两根 x1 和 x2 与系数 a，b，c 有什么关系？
解下列方程并完成填空：
x1 + x2 = ？
一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么
满足上述关系的前提条件
△=b2 - 4ac≥0.
韦达（1540－1603）
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进. 他生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）. 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”.
1、 x2 - 2x - 1=0
2、 2x2 - 3x + =0
3、 2x2 - 6x =0
4、 3x2 = 4
练习：不解方程，求两根之和与两根之积.
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.
设方程的另一个根为x1.
把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2
由根与系数关系，得x1● 2＝3k
即 2 x1 ＝－6
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
（1）x1+x2= , (2) x1·x2= , (3) , (4) .
设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
解：根据题意得 α+β=3，αβ=-4， 所以原式 = α(α+β)-3α =3α-3α =0．
设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4， 求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△＞0，∴k的值为9或-3.
∴（ ）2-4× =1
当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.
已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以 则：
设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解: 根据根与系数的关系得：（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=（2）
已知 有两个不相等的实根；
①求k的取值范围.②是否存在k，使两根的倒数和等于0？
一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么
1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ 　） A．﹣2 B．1 C．2 D．0
3.关于 x 的一元二次方程 x2-(a2-2a)x+a-1=0 的两个实数根互为相反数，则 a 的值为( )
A.2B.0C.1D.2或0
4.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.
5.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .
6.不解方程，求方程两根的和与两根的积： ①x2+3x-1=0 ② 2x2-4x+1=0
7.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 =