专题2.9 有理数的混合运算（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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专题2.9 有理数的混合运算（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】有理数的混合运算一、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序：①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行（或应用分配律、结合律）；二、应用四个原则：1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算．(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。三、掌握运算技巧（1）归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。（2）凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。（3）分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。（4）约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。（5）倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。（6）正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。（7）绝对值和偶次幂的非负性。四、理解转化的思想方法有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。把所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：一是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式．若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了．五、会用三个概念的性质如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a= -b；如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数的四则混合运算【例1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题：(1) (2)(3) (4)【答案】(1)17 (2) (3) (4)【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键．（1）先计算乘除，再计算减法即可；（2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可；（3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解；（4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可； （1）解：原式；（2）解：原式 ；（3）解：原式；（4）解：原式；【变式1】（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．解：A、，故A不正确，不符合题意；B、，故B不正确，不符合题意；C、，故C正确，符合题意；D、，故D不正确，不符合题意．故选：C．【变式2】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算，规定，则 ．【答案】【分析】此题考查了新定义下的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可求出值．解：，，故答案为：．【题型2】含乘方的有理数混合运算【例2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算题：(1)； (2)．【答案】(1)17 (2)【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键：（1）先去括号，计算乘方，再算乘法，最后进行加减运算；（2）先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算． （1）解：原式；（2）解：原式．【变式1】（23-24七年级下·湖南永州·期末）计算：（    ）A．1 B．2 C．0 D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．先算乘方，然后计算加减即可．解：，故选：C．【变式2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）计算： ．【答案】【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照先乘方，再乘除，最后算加减的顺序计算即可．解：故答案为：．【题型3】用简便方法进行有理数的混合运算【例3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用简便方法计算：(1) (2)【答案】(1) (2)【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，以及乘法分配律在有理数范围依旧适用．（1）根据乘法分配律进行计算即可；（2）根据乘法分配律的逆用进行计算即可． （1）解：．（2）解：．【变式1】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据有理数简便计算的要求变形即可．解： =，故选A．【点拨】本题考查了有理数的简便计算，正确进行变形是解题的关键．【变式2】式子“1＋2＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和，为了简便将其表示为，这里“∑”是求和符号，如，通过以上材料，计算= ．【答案】【分析】根据题目内的计算，分析运算方式，可知：中，n=1表示第一个数字为1，4表示4个数字，n2表示每一个数字都要进行的运算，再结合，列出算式，逐步计算即可解答.解：根据题目可知：中，n=1表示第一个数字为1，4表示4个数字，n2表示每一个数字都要进行的运算，则 故答案为【题型4】有理数混合运算与程序流程图和算24点【例4】（23-24七年级上·吉林松原·期中）请你参加计算游戏：(1)“算24点”游戏：有四个数，可以按下面方式计算：，．利用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号），每个数必须用一次且只能用一次，最终计算结果为24．下面有四个数：，请列出一个符合要求的算式，并写出计算全过程；(2)请在内填上中的一个，使计算更加简便，然后计算．计算：．【分析】（1）通过四个数的组合运算，列出结果为24的算式即可．（2）根据乘法分配律计算即可．解：（1）解：答案不唯一，例如方法一：；方法二：；（2）内的符号应是；．【点拨】本题考查了有理数的混合运算，利用了“24”点游戏为背景，蕴含了对混合运算的法则和顺序的考查，是一道开放性试题．【变式1】小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用运算符号将四个数字连接，使其结果为24或-24，即可得出答案.解：A：(5-2)×8×(-1)=-24，故A错误；B：(8-3)×5+(-1)=24，故B错误；C：(8-4)×[5-(-1)]=24，故C错误；D：无法组成24点，故D正确；故答案选择：D.【点拨】本题考查的是有理数的混合运算，需要熟练掌握有理数的运算法则.【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）按照以下程序图输入的值为，则输出的值为 ．【答案】【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中图形给出的计算程序．由于将开始代入计算是6，不是负数，返回继续计算，要平方后再代入，这是本题易出错的地方．解：，，故答案为：．【题型5】有理数混合运算的实际应用【例5】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）初夏逢盛会，冰城万象新．2024年第三十三届哈尔滨国际经济贸易洽谈会，吸引了众多采购商和消费者的目光，让海内外宾朋收获颇丰，也给哈尔滨市的旅游行业带来了新的生机，某出租车驾驶员在一条东西向的道路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）．(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？(2)若出租车每千米耗油升，那么在连续接送5批客人的过程中共耗油多少升？(3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分每千米加元收费，在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费多少元？【答案】(1)在公司东面，距离公司6千米 (2)共耗油6升 (3)一共收到车费56.4元【分析】本题考查正负数的意义以及有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练运用正负数的意义．（1）根据有理数加法即可求出答案．（2）（3）根据题意列出算式即可求出答案． （1）解：由行驶路程记录得：，答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东面，距离公司6千米；（2）解：由行驶路程记录得：（升），答：在连续接送5批客人的过程中共耗油6升；（3）解：由行驶路程记录得：（元），答：在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费元．【变式1】（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ）A．1234 B．310 C．60 D．10【答案】B【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果．解：根据题意得：（只），答：他所放牧的羊的只数是310只．故选：B．【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在2024年“五·一”黄金周期间，哈市凤凰山旅游景区在三天假期中，每天旅游的人数变化如下表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：若4月30日的游客人数为1.5万人，且每张入山门票为100元，那么三天内游客管理中心一共收取门票费 万元【答案】400【分析】本题考查了正数和负数及有理数的混合远算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．解：4月29日游客为（万人），5月1日游客为（万人），则（万元），即三天内游客管理中心一共收取门票费400万元，故答案为：400．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．【答案】8【分析】根据定义，得，解得即可．本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．解：根据定义，得，故答案为：8．【例2】（2021·山东日照·中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值．解：如果实施5次运算结果为1，则变换中的第6项一定是1，则变换中的第5项一定是2，则变换中的第4项一定是4，则变换中的第3项可能是1，也可能是8．则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8.则变换中第2项是16．则的所有可能取值为32或5，一共2个，故选：D．【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键．2、拓展延伸【例1】（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．计算：(1)； (2)；(3)． (4)【答案】(1) (2) (3) (4)【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键；（1）逆用分配律把原式化为，再计算即可；（2）逆用分配律把原式化为，再计算即可；（3）逆用乘法分配律计算即可；（4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可．解：（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：===．【例2】．（22-23七年级上·广东广州·期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，则经过 秒时线段的长为6厘米． 【答案】2、10、或【分析】此题考查了两点间的距离有理数混合运算的应用，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．首先根据厘米，厘米，求出的长度是多少；然后分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可．解：∵厘米，厘米，∴（厘米）；（1）点P、Q都向右运动时，（秒）（2）点P、Q都向左运动时，（秒）（3）点P向左运动，点Q向右运动时，（秒）（4）点P向右运动，点Q向左运动时，（秒）∴经过2、10、或秒时线段的长为6厘米．故答案为：2、10、或．第一批第二批第三批第四批第五批日期4月29日4月30日5月1日人数变化单位：万人－0.1＋0.3－0.2逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多