重庆市长寿区川维片区2023年数学八年级第一学期期末统考试题【含解析】

这是一份重庆市长寿区川维片区2023年数学八年级第一学期期末统考试题【含解析】，共22页。试卷主要包含了若点A在y轴上，则点B位于等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，已知，是边的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
3．如果点在第四象限，那么m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
4．若点A(n，2)在y轴上，则点B(2n－1，3n+1)位于（ ）
A．第四象限．B．第三象限C．第二象限D．第一象限
5．如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（ ）
A．1mB．1.1mC．1.2mD．1.3m
6．已知△ABC为直角坐标系中任意位置的一个三角形，现将△ABC的各顶点横坐标乘以-1，得到△A1B1C1，则它与△ABC的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y=x对称
7．已知当时，分式的值为0，当时，分式无意义，则的值为（ ）
A．4B．－4C．0D．
8．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，△DEF为直角三角形，∠EDF =90°，△ABC的顶点 B，C分别落在Rt△DEF两直角边DE和 DF上，若∠ABD+∠ACD=55°，则∠A的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．55°
10．某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带. 方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲：方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙. 设，下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．－3是－9的平方根B．1的立方根是±1
C．是的算术平方根D．4的负的平方根是－2
12．若数a关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程＝﹣2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．4B．5C．6D．3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知：x2+16x﹣k是完全平方式，则k＝_____．
14．分式化为最简分式的结果是__________________．
15．如图,四边形ABCD沿直线l对折后互相重合,如果AD∥BC,有下列结论:①AB∥CD ②AB=CD ③AB⊥BC ④AO=OC其中正确的结论是_______________. (把你认为正确的结论的序号都填上)
16．如果点（，）关于x轴的对称点在第四象限内，则m的取值范围是________．
17．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E．若BD＋AC＝3a，则AC＝_________．(用含a的式子表示)
18．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是________________
三、解答题（共78分）
19．（8分）在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．
已知，在等腰三角形纸片ABC中，CA=CB=5，∠ACB=120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．
（1）特例感知
当∠BPC＝110°时，α＝ °，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）合作交流
当AP等于多少时，△APD≌△BCP，请说明理由．
（3）思维拓展
在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．
20．（8分）小明随机抽取了某校八年级部分学生，针对他们晚上在家学习时间的情况进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图和扇形统计图；
（2）本次抽取的八年级学生晚上学习时间的众数是 小时，中位数是 小时；
（3）若该校共有 600 名八年级学生，则晚上学习时间超过 1.5 小时的约有多少名学生？
21．（8分）在△ABC和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠CAB= ∠CED=α.
(1)如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点0.
①求证:BE= AD;
②用含α的式子表示∠AOB的度数(直接写出结果);
(2)如图2,当α=45°时，连接BD、AE,作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N.求证:N是BD的中点.
注:第(2)问的解答过程无需注明理由.
22．（10分）解方程组．
（1）． （2）．
23．（10分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中：．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，AD=BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点 E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F．
（1）若BD=DE=，CE=，求BC的长；
（2）若BD=DE，求证：BF=CF．
25．（12分）甲、乙两人分别从丙、丁两地同时出发，匀速相向而行.甲的速度大于乙的速度，甲到达丁地后，乙继续前行．设出发后，两人相距，图中折线表示从两人出发至乙到达丙地的过程中与之间的函数关系.根据图中信息，求：
（1）点的坐标，并说明它的实际意义；
（2）甲、乙两人的速度．
26．如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点，分别从点，点同时出发向右移动，点的运动速度为每秒2个单位，点的运动速度为每秒1个单位，当点运动到点时，两个点同时停止运动．
（1）当运动时间为3秒时，请在网格纸图中画出线段，并求其长度．
（2）在动点，运动的过程中，若是以为腰的等腰三角形，求相应的时刻的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】等腰三角形的两个底角相等，所以∠B＝∠C，又因为等腰三角形底边上的中线、高线以及顶角的平分线三线合一，所以AD⊥BC，∠1＋∠B＝90，所以∠1＋∠C＝90．
【详解】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠1＋∠B＝90，
∴∠1＋∠C＝90
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；等腰三角形底边上的中线、高线以及顶角的平分线三线合一的熟练应用是正确解答本题的关键．
2、A
【分析】先根据多边形的内角和定理及外角和定理，列出方程，再解方程，即可得答案．
【详解】解：设多边形是边形．
由题意得：
解得
∴这个多边形是六边形．
故选：A．
【点睛】
本题考查内角和定理及外角和定理的计算，方程思想是解题关键．
3、D
【分析】横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限．
【详解】解：∵点p（m，1-2m）在第四象限，
∴m＞0，1-2m＜0，解得：m＞，故选D．
【点睛】
坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求m的取值范围．
4、C
【分析】由点在y轴的条件是横坐标为0，得出点A（n，2）的n＝0，再代入求出点B的坐标及象限．
【详解】∵点A（n，2）在y轴上，
∴n＝0，
∴点B的坐标为（﹣1，1）．
则点B（2n﹣1，3n+1）在第二象限．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
5、A
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，
∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，
∴A′B＝
＝
＝1（m）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
6、B
【分析】已知平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（−x，y），从而求解．
【详解】根据轴对称的性质，
∵横坐标都乘以−1，
∴横坐标变成相反数，
根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，
∴△ABC与△A′B′C′关于y轴对称，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，比较简单．
7、B
【分析】根据题意可得，当时，分子，当时，分母，从而可以求得、的值，本题得以解决．
【详解】解：当时，分式的值为0，当时，分式无意义，
，
解得，，
，
故选B．
【点睛】
本题考查分式的值为零的条件、分式有意义的条件，解答本题的关键是明确题意，求出、的值．
8、D
【解析】试题分析：根据平行线的性质，可得∠3=∠1，根据两直线垂直，可得所成的角是∠3+∠2=90°，根据角的和差，可得∠2=90°-∠3=90°-60°=30°．
故选D．
考点：平行线的性质
9、B
【分析】由∠EDF =90°，则∠DBC+∠DCB=90°，则得到∠ABC+∠ACB=145°，根据三角形内角和定理，即可得到∠A的度数.
【详解】解：∵∠EDF =90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∵∠ABD+∠ACD=55°，
∴∠ABC+∠ACB=90°+55°=145°，
∴∠A=；
故选：B.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理进行解题.
10、D
【分析】由题意可求S甲=2ab-b2，S乙=2ab，代入可求k的取值范围．
【详解】∵S甲=2ab-b2，S乙=2ab．
∴
∵a＞b＞0
∴＜k＜1
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，能用代数式正确表示阴影部分面积是本题的关键．
11、D
【解析】各式利用平方根，立方根定义判断即可．
【详解】A．﹣3是9的平方根，不符合题意；
B．1的立方根是1，不符合题意；
C．当a＞0时，是的算术平方根，不符合题意；
D．4的负的平方根是－2，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解答本题的关键．
12、B
【分析】解不等式组得，根据其有两个整数解得出，解之求得的范围；解分式方程求出，由解为正数且分式方程有解得出，解之求得的范围；综合以上的范围得出的整数值，从而得出答案．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组恰有两个整数解，
，
解得，
解分式方程得，
经检验，y=2a-1是原分式方程的解，
由题意知，
解得且，
则满足，且且的所有整数有2、3，
所以所有满足条件的整数的值之和是，
故选：．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握根据不等式组整数解的个数得出的范围，根据分式方程解的情况得出的另一个范围．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、﹣1
【解析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【详解】解：∵x2+16x﹣k是完全平方式，
∴﹣k＝1，
∴k＝﹣1．
故答案为﹣1
【点睛】
本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题关键．
14、
【分析】根据被开方数不含分母；被开方数不含能开的尽方的因数或因式的二次根式为最简二次根式，进行化简即可。
【详解】因为有意义，所以，所以
【点睛】
本题考查的是根式有意义的条件和最简二次根式的意义，能够判断出是解题的关键。
15、①②④
【分析】四边形ABCD沿直线l对折后互相重合，即△ABC与△ADC关于L对称，又有AD∥BC，则有四边形ABCD为平行四边形．根据轴对称的性质可知．
【详解】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC；
∴△AOD≌△BOC；
∴AD=BC=CD，OC=AO，且四边形ABCD为平行四边形．故②④正确；
又∵AD四边形ABCD是平行四边形；
∴AB∥CD．故①正确．
16、
【分析】利用关于轴对称点的性质可知点P在第一象限，由此根据第一象限点的坐标的特征列不等式组即可解答．
【详解】∵点P（，）关于轴的对称点在第四象限内，
∴点P（，）在第一象限，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了关于轴对称点的性质以及象限内点的坐标特点，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
17、a
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD，然后根据三角形的外角的性质求得∠ADC=30°，最后由直角三角形中的30°角所对的直角边是斜边的一半可求出AC的长度．
【详解】解：连接AD．
∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=15°．
∴∠ADC=30°，
又∠C=90°，
∴AC=AD=BD=(3a-AC)，
∴AC=a．
故答案为：a．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
18、
【解析】由图形可得：
三、解答题（共78分）
19、（1）40°，小；（2）当AP＝5时，△APD≌△BCP，理由详见解析；（3）当α＝45°或90°时，△PCD是等腰三角形．
【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再一次运用三角形内角和定理即可求出 的度数；根据三角形内角和定理即可判断点P从B向A运动时，∠ADP的变化情况；
(2)先根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角和得到∠APC＝∠B+α＝30°+∠PCB，再证明∠APD＝∠BCP，根据全等三角形的判定定理，即可得到当AP＝5时，△APD≌△BCP．
(3)根据等腰三角形的判定，分三种情况讨论即可得到；
【详解】解：（1）∵CA=CB=5，∠ACB=120°，
∴∠B=∠A= =30°，
∴ ，
∵三角尺的直角边PM始终经过点C，
∴再移动的过程中，∠APN不断变大，∠A的度数没有变化，
∴根据三角形的内角和定理，得到∠ADP逐渐变小；
故答案为：40°，小．
（2）当AP＝5时，△APD≌△BCP．
理由如下：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝30°．
又∵∠APC是△BPC的一个外角，
∴∠APC＝∠B+α＝30°+∠PCB，
∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，
∴∠APD＝∠BCP，
当AP＝BC＝5时，
在△APD和△BCP中，

∴△APD≌△BCP（ASA）；
（3）△PCD的形状可以是等腰三角形．
根据题意得：∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°，
有以下三种情况：
①当PC＝PD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝＝75°，即120°﹣α＝75°，
∴α＝45°；
②当DP＝DC时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，
∴α＝90°；
③当CP＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP＝∠CPD＝30°，
∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，
即120°﹣α＝120°，
∴α＝0°，
此时点P与点B重合，不符合题意，舍去．
综上所述，当α＝45°或90°时，△PCD是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定（ASA）、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理（三角形的内角和是180°），熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
20、（1）补全条形统计图和扇形统计图见解析；（2）2，2；（3）晚上学习时间超过 1.5 小时的约有450名学生．
【分析】（1）先由1小时的人数及其所占百分比求得总人数，总人数乘以2.5小时对应百分比求得其人数，用2小时人数除以总人数可得其百分比；
（2）根据人数、中位数的定义求解可得；
（3）总人数乘以样本中2小时和2.5小时人数所占百分比之和可得．
【详解】（1）分别由条形统计图和扇形统计图知：1小时的人数为2人、所占百分比为5%，
∴被调查的学生总人数为2÷5%=40人，
∴2.5小时的人数为40×30%=12人，
2小时人数所占百分比为
补全条形统计图和扇形统计图如下：
（2）2小时出现的次数最多，是18次，因此众数是2小时，
把这40个数据从小到大排列后处在第20、21位的数都是2，因此中位数是2小时，
故答案为：2，2；
（3）晚上学习时间超过1.5小时的学生约有（人）
答：晚上学习时间超过 1.5 小时的约有450名学生．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21、（1）①见解析②∠BOA=2α（2）见解析
【解析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB=∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE=α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）如图2，作BP⊥MN的延长线上于点P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC=BP，同理CM=DQ，等量替换得到DQ=BP，根据全等三角形的性质即可得到结论.
【详解】（1）①∵CA=CB,CD=CE,∠CAB=∠CED=α，
∴∠ACB=180°-2α，∠DCE=180°-2α，
∴∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE
∴BE=AD；
②∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD=∠CBE=α+∠BAO，
∵∠ABE=∠BOA+∠BAO
∴∠CBE+α=∠BOA+∠BAO
∴∠BAO+α+α=∠BOA+∠BAO
∴∠BOA=2α
（2）如图2，作BP⊥MN的延长线上于点P，作DQ⊥MN于Q，
∵∠BCP+∠BCA=∠CAM+∠AMC
∴∠BCA=∠AMC
∴∠BCP=∠CAM
在△CBP和△ACM中
∴△CBP≌△ACM（AAS）
∴MC=BP.
同理△CDQ≌△ECM
∴CM=DQ
∴DQ=BP
在△BPN和△DQN中
∴△BPN≌△DQN
∴BN=ND，
∴N是BD中点.
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
22、（1）；（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1），
：，
把代入①：，，
方程组的解为．
（2），
得：③
由②得：④，
得：，，
把代入①，，，
方程组的解为．
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组，熟悉相关解法是解题的关键．
23、（1）；（2）a2−2a+6 ，1
【分析】（1）先化简括号内的式子，再根据同底数幂的除法运算即可；
（2）先化简整式，然后对等式进行变形得出，代入原式运算即可．
【详解】解：（1）原式=
=
=
（2）∵==，
可化为，
∴原式=3+6=1．
【点睛】
本题主要考查了整式混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24、（1）BC=2；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用勾股定理求出BE的长，进而再次利用勾股定理求出BC的长；
（2）连接AF，首先利用ASA证明出△BDF≌△EDC，得到，进而得到∠ADF=∠BDC，再次利用SAS证出△ADF≌△BDC，结合题干条件得到AF⊥BC，利用等腰三角形的性质得到结论．
试题解析：(1)∵BD⊥AD，点E在AD的延长线上，
∴
∵
∴
∵BC⊥CE，
∴
∴
(2)连接AF，
∵CD⊥BD，DF⊥CD，
∴
∴∠BDF=∠CDE，
∵CE⊥BC，
∴
∴∠DBC=∠CED，
在△BDF和△EDC中，
∵
∴△BDF≌△EDC(ASA)，
∴DF=CD，
∴
∵∠ADB=∠CDF，
∴∠ADB+∠BDF=∠CDF+∠BDF，
∴∠ADF=∠BDC，
在△ADF和△BDC中，
∵
∴△ADF≌△BDC(SAS)，
∴∠AFD=∠BCD，
∴
∴
∴AF⊥BC，
∴AB=AC，
∴BF=CF.
25、（1）B（1，0），点B的实际意义是甲、乙两人经过1小时相遇；（2）6km/h，4km/h.
【分析】(1)两人相向而行，当相遇时y=0本题可解；
(2)分析图象，可知两人从出发到相遇用1小时，甲由相遇点到丁地只用小时，乙走这段路程要用1小时，依此可列方程．
【详解】(1)设AB解析式为
把已知点P(0，10)，(，)，
代入得，
解得：
∴，
当时，，
∴点B的坐标为(1，0)，
点B的意义是：
甲、乙两人分别从丙、丁两地同时出发后，经过1个小时两人相遇．
(2)设甲的速度为，乙的速度为，
由已知第小时时，甲到丁地，则乙走1小时路程，甲只需要小时，
∴，
∴，
∴甲、乙的速度分别为、．
【点睛】
本题考查一次函数图象性质，解答问题时要注意函数意义．同时，要分析出各个阶段的路程关系，并列出方程．
26、（1）图见解析，；（2）或
【分析】（1）因为已知，的速度，根据时间即可求出各自运动路程，从而画出；
（2）①当时，，；②当时，，；分别列出方程求出后根据取舍即可得．
【详解】解：（1）∵点的运动速度为每秒1个单位和运动时间为3秒，
∴由图中可知的位置如图1，
则由已知条件可得，，，，
∴.
（2）作于点，由题意知、，
则、，
∵，
∴，则，
即，
∵，，
∴当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得：；
综上，当或时，能成为以为腰的等腰三角形.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，作图平移变换及等腰三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理及等腰三角形的判定．