重庆市南开（融侨）中学2023年八年级数学第一学期期末统考试题【含解析】

这是一份重庆市南开（融侨）中学2023年八年级数学第一学期期末统考试题【含解析】，共18页。试卷主要包含了把分解因式得，一次函数的图象与轴的交点坐标是等内容，欢迎下载使用。

请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．（C．D．
2．如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D．记的面积为，的面积为，则和的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．由A、C两点的位置确定
3．是关于x，y的方程组的解，则(a＋b)(a－b)的值为( )
A．－B．C．16D．－16
4．把分解因式得（ ）
A．B．
C．D．
5．一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DFB．∠A=∠DC．AC=DFD．∠ACB=∠F
7．七年级一班同学根据兴趣分成五个小组，并制成了如图所示的条形统计图，若制成扇形统计图，第1小组对应扇形圆心角的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，矩形的对角线与相交于点，，则等于
（ ）
A．5B．4C．3.5D．3
9．如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是OA的中点，过点C作CD⊥OA于C交一次函数图象于点D，P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4B．C．2D．2+2
10．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P(m，3)．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为_____．
12．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于下列结论：①；②点到各边的距离相等；③；④设，，则；⑤.其中正确的结论是.__________．
13．已知直线与直线相交于x轴上一点，则______．
14．若一组数据2,3,4,5,x的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等,则x= _______________.
15．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．
16．如图，已知△ABC的面积为12，将△ABC沿BC平移到△A'B'C'，使B'和C重合，连接AC'交A'C于D，则△C'DC的面积为_____
17．如图，已知中，，，边AB的中垂线交BC于点D，若BD=4，则CD的长为_______．
18．已知a+＝5，则a2+的值是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，P是AB边上的动点（不与点B重合），点B关于直线CP的对称点是B′，连接B′A，则B′A长度的最小值是________．
20．（6分）如图，两条射线BA∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，分别交AB，CD与点A，D．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若S△ABP为a，S△CDP为b，S△BPC为c，求证：a+b＝c．

21．（6分）为了了解某校学生对于以下四个电视节目：A《最强大脑》、B《中国诗词大会》、C《朗读者》，D《出彩中国人》的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）求本次调查的学生人数；
（2）在扇形统计图中，A部分所占圆心角的度数是 ；
（3）请将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（4）若该校有学生3000人，请根据上述调查结果估计该校喜欢电视节目A的学生人数．
22．（8分）解分式方程
(1)
(2)
23．（8分）先化简，再求值．，从这个数中选取一个合适的数作为的值代入求值．
24．（8分）如图，已知函数 y=x+1 的图象与 y 轴交于点 A，一次函数 y=kx+b 的图象经过点 B（0，﹣1），与x 轴 以及 y=x+1 的图象分别交于点 C、D，且点 D 的坐标为（1，n），
（1）则n= ，k= ，b= ；
（2）函数 y=kx+b 的函数值大于函数 y=x+1 的函数值，则x的取值范围是 ；
（3）求四边形 AOCD 的面积；
（4）在 x轴上是否存在点 P，使得以点 P，C，D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由．
25．（10分）分解因式：
（1）ax2﹣9a；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b1．
26．（10分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【详解】A、x•x2=x3同底数幂的乘法，底数不变指数相加，故本选项错误；
B、（x5）3=x15，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项错误．
C、（ab）3=a3b3，故本选项正确；
D、a6÷a2=a4同底数幂的除法，底数不变指数相减，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘.
2、C
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=k|．
【详解】由题意得：S1=S2=|k|=．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．
3、D
【解析】把代入方程组，得到关于的方程组，即可求解.
【详解】把代入方程组，得：，
解得：

故选：D.
【点睛】
考查二元一次方程的解法，常用的解法有：代入消元法和加减消元法.
4、D
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【详解】解：

．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键．
5、C
【分析】一次函数y＝2x＋2的图象与x轴的交点的纵坐标是0，所以将y＝0代入已知函数解析式，即可求得该交点的横坐标．
【详解】令2x＋2＝0，
解得，x＝−1，
则一次函数y＝2x＋2的图象与x轴的交点坐标是（−1，0）；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数y＝kx＋b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（− ，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx＋b．
6、C
【解析】试题分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出：
∵AB=DE，∠B=∠DEF，
∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；
添加∠A=∠D，根据ASA，可证明△ABC≌△DEF，故B都正确；
添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确．
故选C．
考点：全等三角形的判定．
7、C
【分析】根据扇形圆心角的度数为本组人数与总人数之比，再乘以360°进行计算即可.
【详解】由题意可得，第1小组对应扇形圆心角的度数为
，故选C.
【点睛】
本题考查条形图和扇形图的相关计算，解题的关键是理解扇形圆心角与条形图中人数的关系.
8、B
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD=2AB=8，

故选B.
点睛：平行四边形的对角线互相平分.
9、C
【分析】作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点C是OA的中点可得出点C的坐标，由点C，C′关于y轴对称可得出CC′的值及PC＝PC′，再利用勾股定理即可求出此时C′D（即PC+PD）的值，此题得解．
【详解】解：作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，如图所示．
当y＝0时，﹣1x+4＝0，解得：x＝1，
∴点A的坐标为（1，0）．
∵点C是OA的中点，
∴OC＝1，点C的坐标为（1，0）．
当x＝1时，y＝﹣1x+4＝1，
∴CD＝1．
∵点C，C′关于y轴对称，
∴CC′＝1OC＝1，PC＝PC′，
∴PC+PD＝PC′+PD＝C′D＝.
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及轴对称最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P所在的位置是解题的关键．
10、B
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．
【详解】解：∵3.6＜7.4＜8.1，
∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，
∵95＞92，
∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，
∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x≥1
【分析】将点P的坐标代入直线y＝x+2，解出m的值，即得出点P的坐标，数形结合，将不等式x+2≥ax+c的解集转化为直线y＝x+2与直线y＝ax+c的交点以及直线y＝x+2图像在直线y＝ax+c图像上方部分x的范围即可．
【详解】把P（m，3）代入y＝x+2得：m+2＝3，
解得：m＝1，
∴P（1，3），
∵x≥1时，x+2≥ax+c，
∴关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】
本题主要考查一次函数与不等式的关系，将不等式的解集转化为一次函数的图像问题是解题关键．
12、①②③⑤
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC=90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn，故④错误，根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD，同理可证BM=BN，CD=CN，变形即可得到⑤正确．
【详解】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．
∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA．
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；
∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；
同理可证：BM=BN，CD=CN．
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=（AB+AC﹣BC）故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
13、
【解析】首先求出一次函数与x轴交点，再把此点的坐标代入，即可得到k的值．
【详解】直线与x轴相交，
，
，
与x轴的交点坐标为，
把代入中：，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了两条直线的交点问题，两条直线与x轴的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达的y=1．
14、1或1
【解析】∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，1，7，8，9的方差相等，
∴这组数据可能是2，3，4，5，1或1，2，3，4，5，
∴x=1或1，
故答案是：1或1．
15、5.
【解析】设这个多边形是n边形，由题意得，
(n-2) ×180°=540°,解之得，n=5.
16、1.
【解析】根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可得∠B=∠A′CC′，BC=B′C′，再根据同位角相等，两直线平行可得CD∥AB，然后求出CD=AB，点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比即可求解．
【详解】解：根据题意得，∠B=∠A′CC′，BC=B′C′，
∴CD∥AB，CD=AB（三角形的中位线），
∵点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，
∴△C′DC的面积=△ABC的面积=×12=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了平移变换的性质，平行线的判定与性质，三角形的中位线等于第三边的一半的性质，以及等高三角形的面积的比等于底边的比，是小综合题，但难度不大．
17、
【分析】连接AD，根据中垂线的性质可得AD=4，进而得到，，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：连接AD
∵边AB的中垂线交BC于点D， BD=4
∴AD=4
∵，
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查中垂线的性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理，熟练掌握性质是解题关键．
18、1
【分析】根据完全平分公式，即可解答．
【详解】解：a2+＝．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查完全平方公式的运用,关键在于通过条件运用完全平方公式解决问题.
三、解答题(共66分)
19、2
【分析】根据轴对称的性质得到CB′=CB=6，当AB′有最小值时，即AB′+ B′C的长度最小，根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值.
【详解】解：由轴对称的性质可知：CB′=CB=6（长度保持不变），
当AB′+ B′C的长度最小时，则是AB′的最小值，
根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，
∴AB′=AC- B′C=10-8=2,
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键，再做题的过程中应灵活运用所学知识.
20、（1）90°；（2）证明过程见解析；
【分析】（1）根据角平分线定义和同旁内角互补，可得∠PBC＋∠PCB的值，于是可求∠BPC；
（2）利用角平分线性质作垂直证明全等，通过割法获得面积关系．
【详解】（1）∵BA∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD，
∴∠PBC+∠PCB＝×（∠ABC+∠BCD）＝90°，
∴∠BPC＝90°；
（2）如图，作PQ⊥BC，过P点作A′D′⊥CD，
∵∠A′BP＝∠QBP，∠BA′P＝∠BQP，BP＝BP
∴△A′BP≌△BQP（AAS）
同理△PQC≌△PCD′（AAS）
∴S△BCP＝S△BPQ+S△PQC＝S△ABP+S△PCD
∴a+b＝c．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、三角形中位线定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
21、（1）120人；（2）54°；（3）见解析；（4）450人
【分析】（1）根据选B的人数及所占的百分比进行求解；
（2）将360°乘以A部分所占的百分比即可；
（3）先求出选C部分的人数与A部分所占的百分比，进而可将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（4）将总人数乘以A部分所占的百分比即可．
【详解】解：（1）66÷55%＝120（人），
∴本次调查的学生有120人；
（2）A部分所占圆心角的度数为：，
故答案为：54°；
（3）选C部分的人数为：120×25%＝30（人），
A部分所占的百分比为：1-(55%+25%+5%)＝15%；
（4）3000×15%＝450（人）；
∴该校喜欢电视节目A的学生人数估计有450人．
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．
22、 (1) 无解 (2) x=
【分析】(1) 利用分式方程的解法，解出即可；
(2) 利用分式方程的解法，解出即可.
【详解】(1)
1=x-1-3(x-2)
1=-2x+5
2x=4
x=2
检验：当x=2时，x-2=0 x=2为曾根
所以原方程无解
(2)
x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1)
x2-x=2x+4+x2+x-2
4x=-2
x=
检验：当x=时，x+2≠0 x-1≠0，所以x=是解.
【点睛】
此题主要考查了解分式方程，关键点是要进行验证是否是方程的解.
23、；当时，原式=3
【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后代入一个使原分式有意义的x的值计算即可．
【详解】解：
要使原式有意义且
当时，原式
【点睛】
此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的各个运算法则和分式有意义的条件是解决此题的关键．
24、（1）2，3，-1；（2）；（3）（4）或
【解析】试题分析：（1）对于直线，令求出的值，确定出A的坐标，把B坐标代入中求出b的值，再将D坐标代入求出n的值，进而将D坐标代入求出的值即可；
由两个一次函数解析式，结合图象确定出的范围；
过D作垂直于轴，四边形的面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可；
在轴上存在点P，使得以点P、C、D为顶点的三角形是直角三角形，理由：分两种情况考虑：；‚，分别求出P点坐标即可．
试题解析：（1）对于直线，令得到，即A（0，1），把B（0，-1）代入中，得：，把D（1，n）代入得：，即D（1，2），把D坐标代入中得：，即，故答案为2，3，-1；
一次函数与交于点D（1，2），由图象得：函数的函数值大于函数的函数值时的取值范围是；故答案为；
过D作垂直于轴，如图1所示，则
（4）如图2，在轴上存在点P，使得以点P、C、D为顶点的三角形是直角三角形，理由：分两种情况考虑：当时，可得斜率为3，斜率为，
解析式为令即‚当时，由D横坐标为1，得到P点横坐标为1，在轴上，
考点：一次函数综合题．
25、（1）a（x+1）（x﹣1）；（2）﹣b（2a﹣b）2．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）ax2﹣9a
=a（x2﹣9）
=a（x+1）（x﹣1）；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b1
=﹣b（b2﹣4ab+4a2）
=﹣b（2a﹣b）2．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
26、（1）见详解；（2）60°
【分析】（1）作出点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，即可得到所作图形；
（2）由等边三角形的性质和轴对称的性质，可得AB=AD，∠BAD=100°，结合三角形内角和定理，求出∠ADB的度数，然后由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】（1）补全图形，如图所示：
（2）∵点C关于直线AP的对称点为点D，
∴AC=AD，∠PAD=∠PAC＝20°，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴AB=AD，∠BAD=60°+20°+20°=100°，
∴∠ADB=（180°-100°）÷2=40°，
∴∠AEB=∠ADB+∠PAD=40°+20°=60°．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握上述性质定理，是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
92
95
95
92
方差
3.6
3.6
7.4
8.1