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新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.8 抛物线
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.8 抛物线，共60页。PPT课件主要包含了§88抛物线，落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝ ，y1y2＝－p2；
(3) ；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.( )(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0).( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.( )
1.抛物线y＝2x2的准线方程为
2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于A.9 B.8 C.7 D.6
抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是___________.
由已知可知双曲线的焦点为
TANJIUHEXINTIXING
设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋ ＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋ ＝12，解得p＝6.
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于A.2 B.3 C.6 D.9
抛物线的定义和标准方程
(2)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________.
当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去.综上，p＝42或p＝22.
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
例2 (1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为A.x＝－4 B.x＝－3C.x＝－2 D.x＝－1
直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程为x＝－4.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为A.y2＝8x B.y2＝4xC.y2＝2x D.y2＝x
根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cs 60°＝ |AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
1.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为
由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，所以线段MN的中点到准线的距离为
2.(2022·济南模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限).若直线AB的斜率为 ，点A的纵坐标为 ，则p的值为
由题意得，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点在y轴上，
设直线AB的倾斜角为α，
求抛物线的标准方程的方法(1)定义法；(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练1 (1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP
连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.
(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线，垂足为B，直线AF交准线l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝ ，则抛物线的方程为 A.y2＝2x B.y2＝3xC.y2＝4x D.y2＝6x
设直线l与x轴交于点H，由|AB|＝|AF|＝3，|AC|＝6，可知点F为AC的中点，
所以抛物线的方程为y2＝3x.
例3 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为 ，则p等于A.1 B.2 C.2 D.4
解得p＝2(p＝－6舍去).
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为 且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是A.p＝4 B.C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4
如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为 ，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则 ，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，
1.抛物线y2＝2px(p>0)准线上的点A与抛物线上的点B关于原点O对称，线段AB的垂直平分线OM与抛物线交于点M，若直线MB经过点N(4,0)，则抛物线的焦点坐标是A.(4,0) B.(2,0)C.(1,0) D.
设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，
设直线MB的方程为x＝my＋4，
所以y1y2＝－8p，
因此，抛物线的焦点为(1,0).
2.(多选)(2022·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点 射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则A.y1y2＝－1B.|AB|＝C.PB平分∠ABQD.延长AO交直线x＝－ 于点C，则C，B，Q三点共线
且l1∥x轴，故A(1,1)，
所以C，B，Q三点共线，故D正确；
故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确.
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF|＝ ，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－ .
方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF|＝ ，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝ ×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－ .
(2)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝___， ＝___.
当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，
当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，
例4 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
A(x1，y1)，B(x2，y2).
可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
设直线AP的斜率为k，
所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1).
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
联立直线AP与BQ的方程
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
当k＝0时，|PA|＝1，|PQ|＝1，|PA|·|PQ|＝1，
(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求” “整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式.
跟踪训练3 已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点.(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－8.
由已知可得F(0,1)，
当k＝1时，由①②得|FA|＋|FB|＝10.
(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程.
由∠CFA＝∠CFB，
可得4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，即4＋8k＋8＝0.
所以所求直线l的方程为3x＋2y－4＝0.
KESHIJINGLIAN
抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，
2.若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为A.2 B.3 C.4 D.6
因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以AB的中点到y轴的距离为
如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，
则∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，
4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为
由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，
5.(多选)(2022·广州模拟)已知点O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则A.|AB|＝8B.OA⊥OBC.△AOB的面积为D.线段AB的中点到直线x＝0的距离为2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y2＝4x，则p＝2，焦点为(1,0)，则直线y＝x－1过焦点.
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－4，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8 ，故A正确；
所以OA与OB不垂直，故B错误；
6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝10
由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线方程为y2＝8x，故B错误；
若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
7.(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是____，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝_____.
因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，
8.(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为 的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝_____.
如图，由题意得，抛物线的焦点为F(1,0)，
得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
9.过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；
∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.
∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
又F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
得x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.当k＝0时，l过点M(舍去)，∴k＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋1.
10.(2022·沈阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，且l1与l2交于点M.(1)求p的值；
焦点到准线的距离为2，即p＝2.
(2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值.
由(1)知抛物线的方程为x2＝4y，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即x1x2＝－4.设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，
所以x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1.
当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4.
A.1 B.2 C.3 D.4
根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，
过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.
13.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)，则下列结论正确的是A.点P到抛物线焦点的距离为B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为C.过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0D.过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线 MN的斜率为定值
因为抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)，
所以抛物线方程为y2＝x，
与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k(1－k)＝0，
所以切线方程为x－2y＋1＝0，正确；对于D，依题意斜率存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，
14.已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴，y轴交于M，N两点，点A(2，－4)，且 ，则λ＋μ的最小值为____.
由题意得M(2,0)，N(0，－4)，
得(x－2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0).所以x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.
C.若抛物线上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为 y2＝4xD.若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为
15.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则下列说法中正确的是
则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2.
＝(my1＋p)(my2＋p)＝m2y1y2＋pm(y1＋y2)＋p2＝－m2p2＋2p2m2＋p2＝p2(m2＋1)＝4p2，
对于D，由题意可知p＝2，所以y1＋y2＝4m.
又x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，且y1＋y2＝4m，所以d＝2m2＋1，r＝2m2＋2，
(1)证明：直线AB过定点；
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
＝2(t2＋1).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
因此，四边形ADBE的面积
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝ ，y1y2＝－p2；
(3) ；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.( )(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0).( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.( )
1.抛物线y＝2x2的准线方程为
2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于A.9 B.8 C.7 D.6
抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是___________.
由已知可知双曲线的焦点为
TANJIUHEXINTIXING
设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋ ＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋ ＝12，解得p＝6.
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于A.2 B.3 C.6 D.9
抛物线的定义和标准方程
(2)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________.
当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去.综上，p＝42或p＝22.
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
例2 (1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为A.x＝－4 B.x＝－3C.x＝－2 D.x＝－1
直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程为x＝－4.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为A.y2＝8x B.y2＝4xC.y2＝2x D.y2＝x
根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cs 60°＝ |AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
1.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为
由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，所以线段MN的中点到准线的距离为
2.(2022·济南模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限).若直线AB的斜率为 ，点A的纵坐标为 ，则p的值为
由题意得，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点在y轴上，
设直线AB的倾斜角为α，
求抛物线的标准方程的方法(1)定义法；(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练1 (1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP
连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.
(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线，垂足为B，直线AF交准线l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝ ，则抛物线的方程为 A.y2＝2x B.y2＝3xC.y2＝4x D.y2＝6x
设直线l与x轴交于点H，由|AB|＝|AF|＝3，|AC|＝6，可知点F为AC的中点，
所以抛物线的方程为y2＝3x.
例3 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为 ，则p等于A.1 B.2 C.2 D.4
解得p＝2(p＝－6舍去).
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为 且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是A.p＝4 B.C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4
如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为 ，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则 ，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，
1.抛物线y2＝2px(p>0)准线上的点A与抛物线上的点B关于原点O对称，线段AB的垂直平分线OM与抛物线交于点M，若直线MB经过点N(4,0)，则抛物线的焦点坐标是A.(4,0) B.(2,0)C.(1,0) D.
设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，
设直线MB的方程为x＝my＋4，
所以y1y2＝－8p，
因此，抛物线的焦点为(1,0).
2.(多选)(2022·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点 射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则A.y1y2＝－1B.|AB|＝C.PB平分∠ABQD.延长AO交直线x＝－ 于点C，则C，B，Q三点共线
且l1∥x轴，故A(1,1)，
所以C，B，Q三点共线，故D正确；
故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确.
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF|＝ ，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－ .
方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF|＝ ，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝ ×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－ .
(2)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝___， ＝___.
当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，
当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，
例4 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
A(x1，y1)，B(x2，y2).
可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
设直线AP的斜率为k，
所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1).
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
联立直线AP与BQ的方程
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
当k＝0时，|PA|＝1，|PQ|＝1，|PA|·|PQ|＝1，
(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求” “整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式.
跟踪训练3 已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点.(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－8.
由已知可得F(0,1)，
当k＝1时，由①②得|FA|＋|FB|＝10.
(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程.
由∠CFA＝∠CFB，
可得4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，即4＋8k＋8＝0.
所以所求直线l的方程为3x＋2y－4＝0.
KESHIJINGLIAN
抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，
2.若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为A.2 B.3 C.4 D.6
因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以AB的中点到y轴的距离为
如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，
则∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，
4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为
由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，
5.(多选)(2022·广州模拟)已知点O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则A.|AB|＝8B.OA⊥OBC.△AOB的面积为D.线段AB的中点到直线x＝0的距离为2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y2＝4x，则p＝2，焦点为(1,0)，则直线y＝x－1过焦点.
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－4，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8 ，故A正确；
所以OA与OB不垂直，故B错误；
6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝10
由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线方程为y2＝8x，故B错误；
若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
7.(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是____，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝_____.
因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，
8.(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为 的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝_____.
如图，由题意得，抛物线的焦点为F(1,0)，
得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
9.过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；
∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.
∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
又F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
得x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.当k＝0时，l过点M(舍去)，∴k＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋1.
10.(2022·沈阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，且l1与l2交于点M.(1)求p的值；
焦点到准线的距离为2，即p＝2.
(2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值.
由(1)知抛物线的方程为x2＝4y，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即x1x2＝－4.设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，
所以x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1.
当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4.
A.1 B.2 C.3 D.4
根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，
过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.
13.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)，则下列结论正确的是A.点P到抛物线焦点的距离为B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为C.过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0D.过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线 MN的斜率为定值
因为抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)，
所以抛物线方程为y2＝x，
与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k(1－k)＝0，
所以切线方程为x－2y＋1＝0，正确；对于D，依题意斜率存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，
14.已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴，y轴交于M，N两点，点A(2，－4)，且 ，则λ＋μ的最小值为____.
由题意得M(2,0)，N(0，－4)，
得(x－2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0).所以x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.
C.若抛物线上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为 y2＝4xD.若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为
15.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则下列说法中正确的是
则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2.
＝(my1＋p)(my2＋p)＝m2y1y2＋pm(y1＋y2)＋p2＝－m2p2＋2p2m2＋p2＝p2(m2＋1)＝4p2，
对于D，由题意可知p＝2，所以y1＋y2＝4m.
又x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，且y1＋y2＝4m，所以d＝2m2＋1，r＝2m2＋2，
(1)证明：直线AB过定点；
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
＝2(t2＋1).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
因此，四边形ADBE的面积
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