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第八章 §8.3 圆的方程-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）
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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆.( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则 ＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )
2.(选择性必修第一册P85T1改编)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－2)2＝8D.x2＋y2＝
3.(选择性必修第一册P102T7改编)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为A.(－2,0)B.(－∞，－2)∪(0，＋∞)C.[－2,0]D.(－∞，－2]∪[0，＋∞)
由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.
4.(选择性必修第一册P85T2改编)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是A.(0,2) B.(3,3) C.(－2,2) D.(4,1)
由(0－1)2＋(2＋2)2＝17<25知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＝29>25知(3,3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上；由(4－1)2＋(1＋2)2＝18<25知(4,1)在圆内.
例1 (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为____________________.
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
方法一 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三 设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，
∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
跟踪训练1 (1)(2024·郑州模拟)已知点A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)，M(a,2)四点共圆，则a＝________.
设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
所以过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0.又因为点M在此圆上，所以a2＋4－8－1＝0，解得a2＝5，
(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为____________________.
命题点1 直接法例2 已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是____________________.
题型二 与圆有关的轨迹问题
因为|MA|＝2|MB|，
整理可得，3x2＋3y2－20x＋12＝0，
命题点2 定义法例3 (2023·茂名模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是A.y2＝4xB.x2＋y2－2x－2y－3＝0C.x2＋y2－2y－3＝0D.y2＝－4x
因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1,1)，半径r＝1，因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，又AM与圆相切，且|AM|＝2，
设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
命题点3 相关点法例4 已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
设P(x，y)，N(x0，y0)，∵四边形MONP为平行四边形，
即(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)，
又N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
跟踪训练2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
命题点1 利用几何性质求最值例5 (2024·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
题型三 与圆有关的最值问题
则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.
(2)y－x的最小值；
设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，
(3)x2＋y2的最大值和最小值.
x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，
圆的参数方程圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为 其中θ为参数.典例 利用圆的参数方程解决例5(2)(3).
x2＋y2－4x＋1＝0可化为(x－2)2＋y2＝3，
∵cs θ∈[－1,1]，
命题点2 利用函数求最值例6 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0).则 的最大值为______.
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝ ，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
跟踪训练3 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是A.6 B.25 C.26 D.36
(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，求x＋y的取值范围为________.
令x＋y＝t，即x＋y－t＝0，由题可知，直线和圆有公共点，
即|t＋1|≤1，解得－2≤t≤0，即x＋y的取值范围为[－2,0].
2.(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为
∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，
3.点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于
因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，
4.已知圆C过点A(－2,0)，B(2,4)，当圆心C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为A.(x－1)2＋y2＝10B.x2＋(y＋1)2＝10C.(x－1)2＋(y－1)2＝10D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝10
由A(－2,0)，B(2,4)可得线段AB中点坐标为(0,2)，
所以AB垂直平分线的方程为y＝－x＋2，所以圆心C在线段AB垂直平分线上，当圆心C到原点O的距离最小时，则OC∥AB，所以直线OC的方程为y＝x，
又半径r2＝AC2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝10.
5.若点M(x，y)是圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9上的一点，则x2＋2x＋y2＋4y的最小值为A.8 B.3 C.－1 D.－3
x2＋2x＋y2＋4y＝(x＋1)2＋(y＋2)2－5，只需求圆C上的点到定点(－1，－2)的最小距离即可，
故原式的最小值为(d－r)2－5＝22－5＝－1.
6.自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为A.8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0
由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示.设P(x，y)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0.
二、多项选择题7.圆M与y轴相切，且经过A(1,0)，B(2,1)两点，则圆M可能是A.(x－1)2＋(y－2)2＝4B.(x－5)2＋(y＋3)2＝25C.(x－1)2＋(y－1)2＝1D.(x－3)2＋(y＋1)2＝9
设圆M的圆心为M(a，b)，则半径r＝|a|.又点A(1,0)，B(2,1)在圆上，所以有|MA|＝|MB|，
整理可得b2－2a＋1＝0.
所以圆心坐标为(1,1)或(5，－3).当圆心坐标为(1,1)时，r＝1，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；当圆心坐标为(5，－3)时，r＝5，圆M的方程为(x－5)2＋(y＋3)2＝25.综上所述，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25.
8.(2024·宿迁模拟)已知圆C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，则下列结论中正确的有A.圆C过定点B.点(0,0)在圆C外C.直线4x－3y－3＝0平分圆周D.存在实数k，使圆与x轴相切
对于选项A，由(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，得到x2－6kx＋9k2＋y2－2(4k－1)y＋16k2－8k＋1＝1＋25k2，整理得x2＋y2＋2y－k(6x＋8y＋8)＝0，
又因为k∈R，当k>0时，d
(x－2)2＋(y－2)2＝8(答案
10.已知圆M过曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点，则圆M的标准方程为_________________.
曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点分别为A(－2,0)，B(2,0)，C(0,4)，设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－3y－4＝0，
11.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为_________________________________.
x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))
设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1,1)和(－1，－1).所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1)).
12.(2023·酒泉统考)若直线 －y－3＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，动点P在圆x2＋(y－1)2＝1上，则△ABP面积的取值范围是___________.
圆x2＋(y－1)2＝1的圆心C(0,1)，半径为r＝1，
四、解答题13.(2024·盐城模拟)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3)，B(3,3)两点.(1)求圆C的方程；
由题意可知，AB的中点为(2,3)，kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝2，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
设P(x0，y0)，Q(x，y)，
所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，
14.已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上.(1)求圆C1的方程；
即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标.
注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示.
当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线时等号成立，
此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，
过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
由题意可知△ABC是边长为1的正三角形，
当且仅当点C在线段OM上时等号成立，
16.(2023·清华附中模拟)在平面直角坐标系内，A(1,0)，B(2,0)，动点C在直线y＝x上，若圆M过A，B，C三点，则圆M面积的最小值为
当圆M与直线y＝x相切即圆心到y＝x的距离等于圆心到A点距离时，圆M的面积最小，
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆.( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则 ＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )
2.(选择性必修第一册P85T1改编)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－2)2＝8D.x2＋y2＝
3.(选择性必修第一册P102T7改编)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为A.(－2,0)B.(－∞，－2)∪(0，＋∞)C.[－2,0]D.(－∞，－2]∪[0，＋∞)
由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.
4.(选择性必修第一册P85T2改编)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是A.(0,2) B.(3,3) C.(－2,2) D.(4,1)
由(0－1)2＋(2＋2)2＝17<25知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＝29>25知(3,3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上；由(4－1)2＋(1＋2)2＝18<25知(4,1)在圆内.
例1 (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为____________________.
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
方法一 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三 设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，
∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
跟踪训练1 (1)(2024·郑州模拟)已知点A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)，M(a,2)四点共圆，则a＝________.
设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
所以过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0.又因为点M在此圆上，所以a2＋4－8－1＝0，解得a2＝5，
(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为____________________.
命题点1 直接法例2 已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是____________________.
题型二 与圆有关的轨迹问题
因为|MA|＝2|MB|，
整理可得，3x2＋3y2－20x＋12＝0，
命题点2 定义法例3 (2023·茂名模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是A.y2＝4xB.x2＋y2－2x－2y－3＝0C.x2＋y2－2y－3＝0D.y2＝－4x
因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1,1)，半径r＝1，因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，又AM与圆相切，且|AM|＝2，
设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
命题点3 相关点法例4 已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
设P(x，y)，N(x0，y0)，∵四边形MONP为平行四边形，
即(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)，
又N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
跟踪训练2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
命题点1 利用几何性质求最值例5 (2024·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
题型三 与圆有关的最值问题
则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.
(2)y－x的最小值；
设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，
(3)x2＋y2的最大值和最小值.
x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，
圆的参数方程圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为 其中θ为参数.典例 利用圆的参数方程解决例5(2)(3).
x2＋y2－4x＋1＝0可化为(x－2)2＋y2＝3，
∵cs θ∈[－1,1]，
命题点2 利用函数求最值例6 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0).则 的最大值为______.
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝ ，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
跟踪训练3 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是A.6 B.25 C.26 D.36
(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，求x＋y的取值范围为________.
令x＋y＝t，即x＋y－t＝0，由题可知，直线和圆有公共点，
即|t＋1|≤1，解得－2≤t≤0，即x＋y的取值范围为[－2,0].
2.(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为
∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，
3.点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于
因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，
4.已知圆C过点A(－2,0)，B(2,4)，当圆心C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为A.(x－1)2＋y2＝10B.x2＋(y＋1)2＝10C.(x－1)2＋(y－1)2＝10D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝10
由A(－2,0)，B(2,4)可得线段AB中点坐标为(0,2)，
所以AB垂直平分线的方程为y＝－x＋2，所以圆心C在线段AB垂直平分线上，当圆心C到原点O的距离最小时，则OC∥AB，所以直线OC的方程为y＝x，
又半径r2＝AC2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝10.
5.若点M(x，y)是圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9上的一点，则x2＋2x＋y2＋4y的最小值为A.8 B.3 C.－1 D.－3
x2＋2x＋y2＋4y＝(x＋1)2＋(y＋2)2－5，只需求圆C上的点到定点(－1，－2)的最小距离即可，
故原式的最小值为(d－r)2－5＝22－5＝－1.
6.自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为A.8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0
由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示.设P(x，y)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0.
二、多项选择题7.圆M与y轴相切，且经过A(1,0)，B(2,1)两点，则圆M可能是A.(x－1)2＋(y－2)2＝4B.(x－5)2＋(y＋3)2＝25C.(x－1)2＋(y－1)2＝1D.(x－3)2＋(y＋1)2＝9
设圆M的圆心为M(a，b)，则半径r＝|a|.又点A(1,0)，B(2,1)在圆上，所以有|MA|＝|MB|，
整理可得b2－2a＋1＝0.
所以圆心坐标为(1,1)或(5，－3).当圆心坐标为(1,1)时，r＝1，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；当圆心坐标为(5，－3)时，r＝5，圆M的方程为(x－5)2＋(y＋3)2＝25.综上所述，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25.
8.(2024·宿迁模拟)已知圆C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，则下列结论中正确的有A.圆C过定点B.点(0,0)在圆C外C.直线4x－3y－3＝0平分圆周D.存在实数k，使圆与x轴相切
对于选项A，由(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，得到x2－6kx＋9k2＋y2－2(4k－1)y＋16k2－8k＋1＝1＋25k2，整理得x2＋y2＋2y－k(6x＋8y＋8)＝0，
又因为k∈R，当k>0时，d
(x－2)2＋(y－2)2＝8(答案
10.已知圆M过曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点，则圆M的标准方程为_________________.
曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点分别为A(－2,0)，B(2,0)，C(0,4)，设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－3y－4＝0，
11.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为_________________________________.
x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))
设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1,1)和(－1，－1).所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1)).
12.(2023·酒泉统考)若直线 －y－3＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，动点P在圆x2＋(y－1)2＝1上，则△ABP面积的取值范围是___________.
圆x2＋(y－1)2＝1的圆心C(0,1)，半径为r＝1，
四、解答题13.(2024·盐城模拟)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3)，B(3,3)两点.(1)求圆C的方程；
由题意可知，AB的中点为(2,3)，kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝2，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
设P(x0，y0)，Q(x，y)，
所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，
14.已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上.(1)求圆C1的方程；
即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标.
注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示.
当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线时等号成立，
此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，
过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
由题意可知△ABC是边长为1的正三角形，
当且仅当点C在线段OM上时等号成立，
16.(2023·清华附中模拟)在平面直角坐标系内，A(1,0)，B(2,0)，动点C在直线y＝x上，若圆M过A，B，C三点，则圆M面积的最小值为
当圆M与直线y＝x相切即圆心到y＝x的距离等于圆心到A点距离时，圆M的面积最小，
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