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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第2章一元二次函数方程和不等式第4节一元二次方程不等式课件新人教A版
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这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第2章一元二次函数方程和不等式第4节一元二次方程不等式课件新人教A版，共41页。PPT课件主要包含了强基础固本增分，研考点精准突破，目录索引，1+∞，-5+∞，ABC等内容，欢迎下载使用。
1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.能借助二次函数求解一元二次不等式,能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系
设y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac.
当a<0时,可利用不等式性质转化为系数为正的情况
{x|xx2}
{x|x10)的解集为(-a,a).
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则a>0.( )2.不等式 ≥0与不等式(x-a)(x-b)≥0等价.( )3.若不等式ax2+bx+c<0中b2-4ac<0,则其解集为⌀.( )4.函数y=lg(x2+2x+2)的定义域为R.( )
题组二回源教材5.(人教A版必修第一册58页复习参考题2第6题)当k取什么值时,一元二次不等式2kx2+kx- <0对一切实数x都成立.
6.(人教B版必修第一册81页习题2-2B第7题)已知-x2+ax+b≥0的解集是[-2,3],求x2-5ax+b<0的解集.
解 -x2+ax+b≥0化为x2-ax-b≤0,其解集为[-2,3],所以方程x2-ax-b=0的两根是-2,3,因此a=1,b=6,不等式x2-5ax+b<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3).
题组三连线高考7.(2020·全国Ⅰ,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )A.-4B.-2C.2D.4
x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是 .
考点一 一元二次不等式的解法(多考向探究预测)
考向1不含参数的一元二次不等式的解法例1(1)不等式(x-2)(x+3)>x-2的解集为 .
(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析 不等式(x-2)(x+3)>x-2可化为(x-2)(x+2)>0,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).
(2)函数f(x)= 的定义域为 .
(3)不等式0≤2x2+x-3<7的解集为 .
考向2简单的分式不等式的解法例2(1)(2024·陕西渭南检测)不等式 ≥1的解集为 .
(2)(2024·河南郑州检测)函数f(x)= 的定义域为 .
(3)(2024·上海徐汇模拟)不等式 ≥1的解集为 .
解析 由于x2+2x+3>0恒成立,原不等式可化为x+5≥x2+2x+3,即x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1,故解集为[-2,1].
考向3含参数的一元二次不等式的解法例3若a>0,解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4<0.
解 由于ax2-2(a+1)x+4<0⇒(ax-2)(x-2)<0.
变式探究1(变条件)本例中,若“a>0”改为“a∈R”,再解不等式.
解 ax2-2(a+1)x+4<0⇒(ax-2)(x-2)<0.当a=0时,不等式可化为-2(x-2)<0,解不等式得x>2;
变式探究2本例中,若条件不变,且关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4<0的解集中,只有1个整数,求实数a的取值范围.
[对点训练1]解关于x的不等式x2-2mx+m+1>0.
解 不等式对应方程x2-2mx+m+1=0的判别式Δ=(-2m)2-4(m+1)=4(m2-m-1).
考点二“三个二次”之间的关系及其应用
A.-2B.1C.2D.8
[对点训练2](2024·江西南昌模拟)已知关于x的不等式mx2+nx+6m>0的解集为(2,3),则不等式mx ,所以不等式mx
考向1在R上的恒成立问题例5(2024·云南红河检测)不等式ax2-ax+a+1>0对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围为( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)
解析 ①当a=0时,不等式化为1>0,恒成立;②当a≠0时,只需
综上,a≥0,即实数a的取值范围为[0,+∞),故选B.
[对点训练3](多选题)(2024·湖南长沙模拟)“不等式mx2+mx-4≤2x2+2x-1对任意实数x均成立”的一个充分不必要条件是( )A.-102或m<-10
解析 依题意,即不等式(m-2)x2+(m-2)x-3≤0恒成立.当m=2时,不等式可化为-3<0恒成立;当m<2时,由(m-2)2+12(m-2)≤0,解得-10≤m<2.综上,“不等式mx2+mx-4≤2x2+2x-1对任意实数x均成立”的充要条件是-10≤m≤2,因此一个充分不必要条件可以是A,B,C,故选ABC.
考向2在给定区间上的恒成立问题例6(2024·四川雅安模拟)对任意的x∈(1,4),不等式ax2-2x+2>0都成立,则实数a的取值范围是( )
[对点训练4](2024·江苏徐州模拟)已知“∃x∈[1,2],x2+tx+2t-3>0”为假命题,则实数t的取值范围是 .
解析 依题意,该命题的否定“∀x∈[1,2],x2+tx+2t-3≤0”为真命题.
考向3给定参数范围的恒成立问题例7(2024·浙江温州模拟)已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( )A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)
解析 a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,可转化为关于a的函数f(a)=(x-2)a+x2-4x+4>0对任意a∈[-1,1]恒成立,则满足 解得x<1或x>3,即x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).
[对点训练5](2024·重庆万州模拟)若命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为( )
1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.能借助二次函数求解一元二次不等式,能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系
设y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac.
当a<0时,可利用不等式性质转化为系数为正的情况
{x|x
{x|x1
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则a>0.( )2.不等式 ≥0与不等式(x-a)(x-b)≥0等价.( )3.若不等式ax2+bx+c<0中b2-4ac<0,则其解集为⌀.( )4.函数y=lg(x2+2x+2)的定义域为R.( )
题组二回源教材5.(人教A版必修第一册58页复习参考题2第6题)当k取什么值时,一元二次不等式2kx2+kx- <0对一切实数x都成立.
6.(人教B版必修第一册81页习题2-2B第7题)已知-x2+ax+b≥0的解集是[-2,3],求x2-5ax+b<0的解集.
解 -x2+ax+b≥0化为x2-ax-b≤0,其解集为[-2,3],所以方程x2-ax-b=0的两根是-2,3,因此a=1,b=6,不等式x2-5ax+b<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3).
题组三连线高考7.(2020·全国Ⅰ,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )A.-4B.-2C.2D.4
x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是 .
考点一 一元二次不等式的解法(多考向探究预测)
考向1不含参数的一元二次不等式的解法例1(1)不等式(x-2)(x+3)>x-2的解集为 .
(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析 不等式(x-2)(x+3)>x-2可化为(x-2)(x+2)>0,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).
(2)函数f(x)= 的定义域为 .
(3)不等式0≤2x2+x-3<7的解集为 .
考向2简单的分式不等式的解法例2(1)(2024·陕西渭南检测)不等式 ≥1的解集为 .
(2)(2024·河南郑州检测)函数f(x)= 的定义域为 .
(3)(2024·上海徐汇模拟)不等式 ≥1的解集为 .
解析 由于x2+2x+3>0恒成立,原不等式可化为x+5≥x2+2x+3,即x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1,故解集为[-2,1].
考向3含参数的一元二次不等式的解法例3若a>0,解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4<0.
解 由于ax2-2(a+1)x+4<0⇒(ax-2)(x-2)<0.
变式探究1(变条件)本例中,若“a>0”改为“a∈R”,再解不等式.
解 ax2-2(a+1)x+4<0⇒(ax-2)(x-2)<0.当a=0时,不等式可化为-2(x-2)<0,解不等式得x>2;
变式探究2本例中,若条件不变,且关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4<0的解集中,只有1个整数,求实数a的取值范围.
[对点训练1]解关于x的不等式x2-2mx+m+1>0.
解 不等式对应方程x2-2mx+m+1=0的判别式Δ=(-2m)2-4(m+1)=4(m2-m-1).
考点二“三个二次”之间的关系及其应用
A.-2B.1C.2D.8
[对点训练2](2024·江西南昌模拟)已知关于x的不等式mx2+nx+6m>0的解集为(2,3),则不等式mx
考向1在R上的恒成立问题例5(2024·云南红河检测)不等式ax2-ax+a+1>0对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围为( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)
解析 ①当a=0时,不等式化为1>0,恒成立;②当a≠0时,只需
综上,a≥0,即实数a的取值范围为[0,+∞),故选B.
[对点训练3](多选题)(2024·湖南长沙模拟)“不等式mx2+mx-4≤2x2+2x-1对任意实数x均成立”的一个充分不必要条件是( )A.-10
解析 依题意,即不等式(m-2)x2+(m-2)x-3≤0恒成立.当m=2时,不等式可化为-3<0恒成立;当m<2时,由(m-2)2+12(m-2)≤0,解得-10≤m<2.综上,“不等式mx2+mx-4≤2x2+2x-1对任意实数x均成立”的充要条件是-10≤m≤2,因此一个充分不必要条件可以是A,B,C,故选ABC.
考向2在给定区间上的恒成立问题例6(2024·四川雅安模拟)对任意的x∈(1,4),不等式ax2-2x+2>0都成立,则实数a的取值范围是( )
[对点训练4](2024·江苏徐州模拟)已知“∃x∈[1,2],x2+tx+2t-3>0”为假命题,则实数t的取值范围是 .
解析 依题意,该命题的否定“∀x∈[1,2],x2+tx+2t-3≤0”为真命题.
考向3给定参数范围的恒成立问题例7(2024·浙江温州模拟)已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( )A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)
解析 a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,可转化为关于a的函数f(a)=(x-2)a+x2-4x+4>0对任意a∈[-1,1]恒成立,则满足 解得x<1或x>3,即x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).
[对点训练5](2024·重庆万州模拟)若命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为( )
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