2025届高考数学一轮复习专练11 指数与指数函数（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)化简2c3a481a5b216c4(a>0,c<0)的结果为( )
A.±4ab2B.-4ab2
C.-ab2D.ab2
【解析】选B.原式=2c3a(81a5b216c4) 14=2c3a(34a5b224c4) 14=2c3a·3a(ab2)14-2c=-4ab2.
2.(5分)下列函数中,值域是(0,+∞)的为( )
A.y=3x-1B.y=(13)x
C.y=1-(13) xD.y=31x
【解析】选B.函数y=3x-1的值域为[0,+∞);
函数y=(13)x的值域为(0,+∞);
函数y=1-(13) x的值域为[0,1);
函数y=31x的值域为(0,1)∪(1,+∞).
3.(5分)设a=30.7,b=2-0.4,c=90.4,则( )
A.bC.a【解析】选D.b=2-0.4<20=1,c=90.4=30.8>30.7=a>30=1,所以b4.(5分)函数y=ax-1a(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
【解析】选D.当a>1时,0<1a<1,函数y=ax的图象为过点(0,1)的上升的曲线,函数y=ax-1a的图象由函数y=ax的图象向下平移1a个单位长度可得,故A,B错误;
当01,函数y=ax的图象为过点(0,1)的下降的曲线,函数y=ax-1a的图象由函数y=ax的图象向下平移1a个单位长度可得,故D正确,C错误.
5.(5分)(多选题)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)=|2x-1|,实数a,b满足f(a)=f(b)(aA.2a+2b>2
B.∃a,b∈R,使得0C.2a+2b=2
D.a+b<0
【解析】选CD.画出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图所示.
由图知1-2a=2b-1,则2a+2b=2,故A错,C对.由基本不等式可得2=2a+2b>22a·2b=22a+b,所以2a+b<1,则a+b<0,故B错,D对.
6.(5分)若关于x的方程(14)|x|+a-2=0有解,则a的取值范围是( )
A.[0,1)B.[1,2)
C.[1,+∞)D.(2,+∞)
【解析】选B.(14)|x|+a-2=0有解等价于2-a=(14)|x|有解.因为函数y=(14)|x|的值域为(0,1],所以0<2-a≤1,解得1≤a<2.
7.(5分)写出一个值域为(-∞,1),在区间(-∞,+∞)上单调递增的函数f(x)=________.
【解析】f(x)=1-12x,理由如下:因为y=12x为R上的减函数,且12x>0,所以f(x)=1-12x为R上的增函数,且f(x)=1-12x<1,所以f(x)=1-12x∈(-∞,1).
答案:1-12x(答案不唯一)
8.(5分)已知函数f(x)=3x+1-4x-5,则不等式f(x)<0的解集是________.
【解析】因为函数f(x)=3x+1-4x-5,
所以不等式f(x)<0即为3x+1<4x+5,
在同一平面直角坐标系中作出y=3x+1,y=4x+5的图象,如图所示,
因为y=3x+1,y=4x+5的图象都经过A(1,9),B(-1,1),所以f(x)<0,即y=3x+1的图象在y=4x+5图象的下方,所以由图象知,不等式f(x)<0的解集是(-1,1).
答案:(-1,1)
9.(10分)已知函数f(x)=2x的定义域是[0,3],设g(x)=f(2x)-f(x+2).
(1)求g(x)的解析式及定义域;
(2)求函数g(x)的最大值和最小值.
【解析】(1)因为f(x)=2x,
所以g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2.
因为f(x)的定义域是[0,3],
所以0≤2x≤3,0≤x+2≤3,解得0≤x≤1.
即g(x)的定义域为[0,1].
(2)设g(x)=(2x)2-4×2x=(2x-2)2-4.
因为x∈[0,1],所以2x∈[1,2],
所以当2x=2即x=1时,g(x)取得最小值-4,
当2x=1即x=0时,g(x)取得最大值-3.
【能力提升练】
10.(5分)已知函数f(x)=x-4+9x+1,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为( )
【解析】选A.因为x∈(0,4),所以x+1>1,
所以f(x)=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5≥29x+1·(x+1)-5=1,当且仅当x=2时取等号,此时函数有最小值1,所以a=2,b=1,此时g(x)=2|x+1|=2x+1,x≥-1,12x+1,x<-1,
由函数y=2x,x≥0,12x,x<0的图象向左平移1个单位可得到g(x)的图象,结合指数函数的图象及选项可知A正确.
11.(5分)(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1,函数y=(a-1)x-1+1的图象必过定点A(m,n),f(x)=(nm)x的定义域为[0,2],g(x)=f(2x)+f(x),则g(x)的值域为( )
A.(0,6]B.(0,20]
C.[2,6]D.[2,20]
【解析】选C.令x-1=0得x=1,y=2,
即函数图象必过定点(1,2),所以m=1,n=2,
f(x)=(nm)x=2x,由0≤x≤2,0≤2x≤2,
解得x∈[0,1],
g(x)=f(2x)+f(x)=22x+2x,令t=2x,
则y=t2+t,t∈[1,2],
所以g(x)的值域为[2,6].
12.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=a·(12)|x|+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是( )
A.a+b=0
B.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0
C.若xD.f(x)的值域为[0,2)
【解析】选ABD.因为函数f(x)=a·(12)|x|+b的图象过原点,
所以a+b=0,即b=-a,f(x)=a·(12)|x|-a,
且f(x)的图象无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,
所以b=2,a=-2,f(x)=-2·(12)|x|+2,故A正确;
由于f(x)为偶函数,故若f(x)=f(y),且x≠y,
则x=-y,即x+y=0,故B正确;
由于在(-∞,0)上,f(x)=2-2·2x单调递减,
故若xf(y),故C错误;
因为(12)|x|∈(0,1],
所以f(x)=-2·(12)|x|+2∈[0,2),故D正确.
13.(5分)已知函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,则m的取值范围为__________.
【解析】设t=3x,则y=9x+m·3x-3=t2+mt-3.
因为x∈[-2,2],所以t∈[19,9].
又函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,
即y=t2+mt-3在区间[19,9]上单调递减,故有-m2≥9,解得m≤-18.所以m的取值范围为(-∞,-18].
答案:(-∞,-18]
14.(10分)(2023·武汉模拟)函数f(x)=a2x+ax+1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值为13,求实数a的值.
【解析】由f(x)=a2x+ax+1,令ax=t,则t>0,则y=f(x)=t2+t+1=(t+12)2+34,
其对称轴为t=-12.
该二次函数在[-12,+∞)上单调递增.
①若a>1,由x∈[-1,1],得t=ax∈[1a,a],
故当t=a,即x=1时,
ymax=a2+a+1=13,解得a=3或a=-4(舍去).
②若0综上可得,a=3或13.
15.(10分)已知函数f(x)=8x+a·2xa·4x(a为常数,且a≠0,a∈R),且f(x)是奇函数.
(1)求a的值;
(2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)-mf(x)≥0成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)f(x)=1a×2x+12x,因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以1a×12x+2x=-(1a×2x+12x),
所以(1a+1) (2x+12x)=0,
即1a+1=0,解得a=-1.
(2)因为f(x)=12x-2x,x∈[1,2],
所以122x-22x≥m (12x-2x),
所以m≥12x+2x,x∈[1,2],令t=2x,t∈[2,4],
由于y=t+1t在[2,4]上单调递增,
所以m≥4+14=174,
所以m的取值范围为[174,+∞).
【素养创新练】
16.(5分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R,m≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是________.
【解析】因为f(x)=3x+m-1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,所以存在x0∈[-1,1]满足f(-x0)=-f(x0),
所以3-x0+m-1=-3x0-m+1,
所以2m=-3-x0-3x0+2,
构造函数y=-3-x0-3x0+2,x0∈[-1,1],
令t=3x0,t∈[13,3],
则y=-1t-t+2=2-(t+1t)在[13,1]上单调递增,在(1,3]上单调递减,
所以当t=1时,函数取得最大值0,
当t=13或t=3时,函数取得最小值-43,
所以y∈[-43,0],
又因为m≠0,所以-43≤2m<0,所以-23≤m<0.
答案: [-23,0)