2025届高考数学一轮复习专练14 函数的零点与方程的解、二分法（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练14 函数的零点与方程的解、二分法（Word版附解析），共9页。

【基础落实练】
1.(5分)已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+lg2x,x>1,则函数f(x)的零点为( )
A.12,0B.-2,0
C.12D.0
【解析】选D.当x≤1时,令f(x)=2x-1=0,解得x=0;
当x>1时,令f(x)=1+lg2x=0,
解得x=12,又因为x>1,所以此时方程无解.
综上,函数f(x)的零点只有0.
2.(5分)函数f(x)=x3-(12)x-2的零点所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
【解析】选B.由题意知,f(x)=x3-(12)x-2,
f(0)=-4,f(1)=-1,f(2)=7,
因为f(x)在R上连续且在R上单调递增,
且f(1)·f(2)<0,
所以f(x)在(1,2)内有唯一零点.
3.(5分)用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A.(0,0.5),f(0.125)
B.(0,0.5),f(0.375)
C.(0.5,1),f(0.75)
D.(0,0.5),f(0.25)
【解析】选D.因为f(0)f(0.5)<0,
由函数零点存在定理知,零点x0∈(0,0.5),
根据二分法,第二次应计算f(0+0.52),
即f(0.25).
4.(5分)函数f(x)=x2-2x-3,x≤0,lg2x-3x+4,x>0的零点个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】选C.当x≤0时,令f(x)=x2-2x-3=0,
得x=-1(x=3舍去),
当x>0时,令f(x)=0,得lg2x=3x-4,
作出y=lg2x与y=3x-4的图象,如图所示,
由图可知,y=lg2x与y=3x-4有2个交点,所以当x>0时,f(x)=0有2个零点,
综上,f(x)有3个零点.
5.(5分)已知函数f(x)=2-x,x<0,1+|x-1|,x≥0,若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是( )
A.(1,2]B.(1,2)
C.(0,1)D.[1,+∞)
【解析】选A.因为函数g(x)=f(x)-m有三个零点,
所以函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,作出函数f(x)的图象,如图所示,
由图可知,16.(5分)(多选题)(2023·郴州质检)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是( )
A.1C.x1+x2<2D.x1<1
【解析】选AC.函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|的图象与直线y=-b有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x1>x2),在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象,如图所示,可知122x1·2x2= 22x1+x2,所以2x1+x2<4,所以x1+x2<2.
7.(5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c是奇函数,且有三个不同的零点,写出一个符合条件的函数:f(x)=________.
【解析】f(x)=x3+ax2+bx+c为奇函数,
故a=c=0,f(x)=x3+bx=x(x2+b)有三个不同零点,所以b<0,所以f(x)=x3-x满足题意.
答案:x3-x(答案不唯一)
8.(5分)已知函数f(x)=2lg x+x-4的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=________.
【解析】函数f(x)=2lg x+x-4在(0,+∞)上为增函数,又因为f(3)=2lg 3+3-4=2lg 3-1=lg 9-1<0,f(4)=2lg 4+4-4=2lg 4>0,即f(3)·f(4)<0,则函数f(x)=2lg x+x-4的零点在区间(3,4)内,即k=3.
答案:3
9.(10分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-a2,3a>2c>2b.求证:
(1)a>0且-3(2)函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
【证明】(1)因为f(1)=a+b+c=-a2,
所以c=-32a-b.因为3a>2c=-3a-2b,
所以3a>-b.因为2c>2b,所以-3a>4b.
若a>0,则-3若a=0,则0>-b,0>b,不成立;
若a<0,则ba<-3,ba>-34,不成立.
综上,a>0且-3(2)f(0)=c,f(2)=4a+2b+c,f(1)=-a2.
当c>0时,f(0)>0,f(1)<0,
所以f(x)在(0,1)内至少有一个零点;
当c=0时,f(0)=0,f(1)<0,f(2)=4a+2b=a>0,
所以f(x)在(0,2)内至少有一个零点;
当c<0时,f(0)<0,f(1)<0,b=-32a-c,
f(2)=4a-3a-2c+c=a-c>0,
所以f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
综上,函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
【能力提升练】
10.(5分)(2023·葫芦岛模拟)已知a是函数f(x)=ln x+x2-2的零点,则ea-1+a-5的值
为( )
A.正数B.0
C.负数D.无法判断
【解析】选C.因为f(x)=ln x+x2-2在(0,+∞)上单调递增,
且f(1)<0,f(2)>0,所以a∈(1,2).
又因为g(x)=ex-1+x-5在(1,2)上单调递增,且g(2)=e+2-5<0,
故ea-1+a-5<0.
11.(5分)(2023·福州模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-lg3|x|的零点有( )
A.多于4个B.4个
C.3个D.2个
【解析】选B.分别作出y=f(x)与y=lg3|x|的图象如图所示,
由图可知y=f(x)与y=lg3|x|有4个交点,
故函数y=f(x)-lg3|x|有4个零点.
12.(5分)(多选题)(2023·长沙质检)已知m为常数,函数f(x)=x+2x+1,x≤0,|lnx|,x>0,g(x)=mx+2,若函数y=f(x)-g(x)恰有四个零点,则实数m的值可以是( )
A.-2B.-1C.1e3D.1e2
【解析】选AC.由题意,函数f(x)=x+2x+1,x≤0,|lnx|,x>0,g(x)=mx+2.
当x=0时,可得f(0)=2,g(0)=2,
故x=0是函数y=f(x)-g(x)的一个零点;
当x≠0时,将f(x)-g(x)=0转化为m=h(x),
其中h(x)=-1x+1,x<0,-lnx+2x,01,
要使得函数y=f(x)-g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有三个零点,只需y=m和y=h(x)的图象有三个不同的交点.
作出函数y=h(x)的大致图象,如图所示.
结合图象,可得-e结合选项,实数m的值可以是-2和1e3.
13.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,x≤1,(x-2)2,x>1,函数y=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1【解析】y=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,即方程f(x)=a有四个不同的解,即y=f(x)的图象与直线y=a有四个交点.
在同一平面直角坐标系中分别作出y=f(x)与y=a的图象,如图所示,
由二次函数的对称性可得,x3+x4=4.
因为1-2x1=2x2-1,
所以2x1+2x2=2,故2x1+2x2x3+x4=12.
答案:12
14.(10分)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=2x+1-2,x∈[0,1),1-|x-3|,x∈[1,+∞),求函数F(x)=f(x)-1π的所有零点之和.
【解析】由题意知,当x<0时,
f(x)=2x-1+2,x∈(-1,0),|x+3|-1,x∈(-∞,-1],
作出函数f(x)的图象如图所示,
设函数y=f(x)的图象与直线y=1π的交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4,x5,由图象的对称性可知,x1+x2=-6,x4+x5=6,x1+x2+x4+x5=0,令2x-1+2=1π,解得x3=11-2π,所以函数F(x)=f(x)-1π的所有零点之和为11-2π.
15.(10分)函数f(x)的定义域为实数集R,且f(x)=(12) x-1,-1≤x<0,lg2(x+1),0≤x<3,对任意的x∈R都有f(x+2)=f(x-2).若在区间[-5,3]上函数g(x)=f(x)-mx+m恰好有三个不同的零点,求实数m的取值范围.
【解析】因为对任意的x∈R都有f(x+2)=f(x-2),
所以函数f(x)的周期为4.
由在区间[-5,3]上函数g(x)=f(x)-mx+m有三个不同的零点,
知函数f(x)与函数h(x)=mx-m的图象在[-5,3]上有三个不同的交点.
在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[-5,3]上的图象,如图所示.
由图可知1-0-1-1≤m<1-0-5-1,
即-12≤m<-16.
所以实数m的取值范围为[-12,-16).
【素养创新练】
16.(5分)已知函数f(x)=|lg3x|,0【解析】作出函数f(x)=|lg3x|,0因为f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),x1所以由图可知,-lg3x1=lg3x2,x3+x42=9,
且3所以(x3-3)(x4-3)=x3x4-3(x3+x4)+9=x3(18-x3)-45=-x32+18x3-45,
因为y=-x32+18x3-45在(3,6)上单调递增,
所以0即(x3-3)(x4-3)的取值范围是(0,27).
答案:1 (0,27)