2025届高考数学一轮复习专练10 二次函数与幂函数（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)已知常数α∈Q,如图为幂函数y=xα的图象,则α的值可以为( )
A.23B.32C.-23D.-32
【解析】选C.由幂函数y=xα的图象关于y轴对称知,函数y=xα是偶函数,排除B,D选项;再根据幂函数y=xα的图象在第一象限内从左到右下降,可得α<0,排除A选项.
2.(5分)(2023·德州模拟)幂函数f(x)=(m2+m-5)xm2+2m-5在区间(0,+∞)上单调递增,则f(3)等于( )
A.27B.9C.19D.127
【解析】选A.由题意,得m2+m-5=1,
即m2+m-6=0,解得m=2或m=-3,
当m=2时,可得函数f(x)=x3,
此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,符合题意;
当m=-3时,可得f(x)=x-2,
此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,即幂函数f(x)=x3,则f(3)=27.
3.(5分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
【解析】选C.若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;对于B,看直线可知a>0,b>0,从而-b2a<0,而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧,故应排除B.
4.(5分)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-254,-4],则m的取值范围
是( )
A.[0,4]B.[32,4]
C.[32,+∞)D.[32,3]
【解析】选D.二次函数图象的对称轴为直线x=32,且f(32)=-254,f(3)=f(0)=-4,结合函数图象(如图所示),可得m∈[32,3].
5.(5分)(多选题)幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm2-6在(0,+∞)上单调递增,则以下说法正确的是( )
A.m=3
B.函数f(x)在(-∞,0)上单调递增
C.函数f(x)是偶函数
D.函数f(x)的图象关于原点对称
【解析】选ABD.因为幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm2-6在(0,+∞)上单调递增,
所以m2-5m+7=1,m2-6>0,解得m=3,
所以f(x)=x3,
所以f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),
故f(x)=x3为奇函数,函数图象关于原点对称,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增.
【加练备选】
(多选题)已知幂函数f(x)= (m+95)xm,则下列结论正确的有( )
A.f(-32)=116
B.f(x)的定义域是R
C.f(x)是偶函数
D.不等式f(x-1)≥f(2)的解集是[-1,1)∪(1,3]
【解析】选ACD.幂函数f(x)= (m+95)xm,所以m+95=1,所以m=-45,所以f(x)=x-45,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),B错误;因为f(-32)=(-32)-45=116,
A正确;f(x)=x-45=15x4,定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又f(-x)=15(-x)4=15x4=f(x),所以f(x)是偶函数,C正确;因为f(x)=x-45,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,又f(x)是偶函数,所以不等式f(x-1)≥f(2)等价于f(|x-1|)≥f(2),所以x-1≠0,|x-1|≤2,
解得-1≤x<1或16.(5分)(多选题)已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的值可以为( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】选BC.函数y=x2-4x+1是开口向上,对称轴为直线x=2的抛物线,
因为函数的定义域为[1,t],
所以当x=1时,y=-2,当x=2时,y=-3,
因为在[1,t]内函数的最大值与最小值之和为-5,所以当y=-2时,x=1或x=3,所以2≤t≤3.
7.(5分)已知幂函数f(x)的部分对应值如表:
则不等式f(|x|)≤2的解集是__________.
【解析】设幂函数为f(x)=xα,则(12)α=22,所以α=12,所以f(x)=x12.不等式f(|x|)≤2等价于|x|12≤2,所以|x|≤4,所以-4≤x≤4.所以不等式f(|x|)≤2的解集是[-4,4].
答案:[-4,4]
8.(5分)(2023·南通模拟)已知①f(0)=0;②f(4-x)=f(x);③在区间(2,3)上单调递减,则同时满足条件①②③的一个函数f(x)=________.
【解析】由题意可知,f(x)的图象关于直线x=2对称,且在(2,3)上单调递减,且f(0)=0,可取f(x)=-x2+4x满足条件.
答案:-x2+4x(答案不唯一)
9.(10分)已知二次函数f(x)的最小值为3,且f(1)=f(3)=5.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方,求实数m的取值范围.
【解析】(1)根据题意得二次函数f(x)的顶点坐标为(2,3),
设f(x)=a(x-2)2+3,然后把点(3,5)代入得a=2,所以f(x)=2(x-2)2+3=2x2-8x+11.
(2)y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方⇔f(x)-(2x+2m+1)>0恒成立,
令g(x)=2x2-8x+11-(2x+2m+1)=2x2-10x+10-2m,
若g(x)=2x2-10x+10-2m>0恒成立,
则Δ=(-10)2-4×2×(10-2m)<0,解得m<-54,
即实数m的取值范围为(-∞,-54).
【能力提升练】
10.(5分)若幂函数f(x)的图象过点(2,2),则函数y=f(x)+1-x的最大值为( )
A.1B.54C.2D.73
【解析】选B.设f(x)=xα,
因为f(x)的图象过点(2,2),
所以f(2)=2α=2,则α=12,
所以f(x)=x,所以y=x+1-x=-(x-12)2+54,所以所求最大值为54.
11.(5分)(多选题)若二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6,则a的可取值为( )
A.-13 B.13 C.-5 D.5
【解析】选BC.显然a≠0,有f(x)=a(x+1)2-a+1,
当a>0时,f(x)在[-2,3]上的最大值为f(3)=15a+1,
由15a+1=6,解得a=13,符合题意;
当a<0时,f(x)在[-2,3]上的最大值为f(-1)=1-a,
由1-a=6,解得a=-5,符合题意,
所以a的值为13或-5.
12.(5分)当x≤1时,函数y=x2+4x+6的值域为D,且当x∈D时,不等式x2+kx+6≥4x恒成立,则实数k的取值范围为( )
A.[4-26,+∞)B.(-∞,-1]
C.(-∞,4-26]D. (-∞,-335)
【解析】选A.函数y=x2+4x+6的图象开口向上,对称轴为直线x=-2,所以当x≤1时,y=(x+2)2+2≥2,所以D=[2,+∞).当x∈[2,+∞)时,不等式x2+kx+6≥4x恒成立,即k≥-(x+6x)+4.当x∈[2,+∞)时,x+6x≥2x·6x=26,当且仅当x=6时有最小值,所以-(x+6x)+4≤4-26,故k∈[4-26,+∞).
13.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则1a+4c的最小值为__________.
【解析】因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则a>0,
所以f(x)min=4ac-44a=ac-1a=1,
即ac-1=a,可得a=1c-1>0,则c>1,
所以1a+4c=c+4c-1≥2c·4c-1=3,
当且仅当c=2时,等号成立,
因此1a+4c的最小值为3.
答案:3
14.(10分)已知二次函数f(x)的最小值为1,函数y=f(x+1)是偶函数,且f(0)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[2a,a+1]上单调,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为函数y=f(x+1)是偶函数,
所以f(x)的图象关于直线x=1对称.
又因为f(x)的最小值为1,
所以可设f(x)=m(x-1)2+1,
又f(0)=3,所以m=2,
所以f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.
(2)要使f(x)在区间[2a,a+1]上单调,
则2a解得12≤a<1或a≤0,
所以实数a的取值范围为(-∞,0]∪[12,1).
15.(10分)现有三个条件:①对任意的x∈R都有f(x+1)-f(x)=2x-2;②不等式f(x)<0的解集为{x|1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足__________.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(x)-mx,若函数g(x)在区间[1,2]上的最小值为3,求实数m的值.
【解析】(1)条件①:因为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
所以f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b=2x-2,
即2(a-1)x+a+b+2=0对任意的x恒成立,
所以a-1=0,a+b+2=0,解得a=1,b=-3.
条件②:因为不等式f(x)<0的解集为{x|1所以1+2=-ba,1×2=ca,解得b=-3a,c=2a,且a>0.
条件③:函数y=f(x)的图象过点(3,2),
所以9a+3b+c=2.
若选择条件①②:则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2.
若选择条件①③:则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2.
若选择条件②③:则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2.
(2)由(1)知g(x)=x2-(m+3)x+2,其图象的对称轴为直线x=m+32,
(ⅰ)当m+32≤1,即m≤-1时,g(x)min=g(1)=3-(m+3)=-m=3,解得m=-3,
(ⅱ)当m+32≥2,即m≥1时,g(x)min=g(2)=6-(2m+6)=-2m=3,解得m=-32(舍去),
(ⅲ)当1g(x)min=g(m+32)=-(m+3)24+2=3,无解.
综上所述,实数m的值为-3.
【素养创新练】
16.(5分)已知幂函数y=xa与y=xb的部分图象如图所示,直线x=m2,x=m(0A.12B.1C.2D.2
【解析】选B.由题意,|AB|=|(m2)a-(m2)b|,
|CD|=|ma-mb|,
根据图象可知b>1>a>0,
当0(m2)b,ma>mb,
因为|AB|=|CD|,所以m2a-m2b=(ma+mb)(ma-mb)=ma-mb,
因为ma-mb>0,所以ma+mb=1.
17.(5分)已知函数f(x)=2ax2-2 022x-2 023,对任意t∈R,在区间[t-1,t+1]上存在两个实数x1,x2,使|f(x1)-f(x2)|≥1成立,则a的取值范围是( )
A. [-12,12]
B.[-1,1]
C.(-∞,-1]∪{0}∪[1,+∞)
D. (-∞,-12]∪{0}∪[12,+∞)
【解析】选D.存在两个实数x1,x2,使|f(x1)-f(x2)|≥1⇔f(x)max-f(x)min≥1,
当a=0时,f(x)=-2 022x-2 023,f(t-1)-f(t+1)=2×2 022>1,显然符合;
当a≠0时,f(x)=2ax2-2 022x-2 023与y=2ax2的图象完全“全等”,
即可以通过平移完全重合.
因为t-1≤x≤t+1且t∈R,
即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象,
使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1,因此取纵坐标之差最小的状态为f(x)=2ax2(-1≤x≤1),
当a>0时,此时f(x)max-f(x)min=2a-0≥1,故a≥12;
当a<0时,此时f(x)max-f(x)min=0-2a≥1,
故a≤-12,
综上,a的取值范围是(-∞,-12]∪{0}∪[12,+∞).
x
1
12
f(x)
1
22