2025届高考数学一轮复习专练9 函数性质的综合应用（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练9 函数性质的综合应用（Word版附解析），共10页。

【基础落实练】
1.(5分)已知偶函数f(x)满足f(x)=x2+2-x(x≤0),则f(x)在(0,+∞)上( )
A.单调递增B.单调递减
C.先递增后递减D.先递减后递增
【解析】选A.f(x)=x2+(12)x,由y=x2与y=(12)x在(-∞,0]上单调递减,得f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
2.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,若f(-2)=1,则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是( )
A.[-1,1]
B.[-2,2]
C.(-∞,-1]∪[1,+∞)
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
【解析】选A.根据奇函数的性质,得f(x)在R上单调递减,且f(2)=-1;由|f(2x)|≤1,得-1≤f(2x)≤1,即f(2)≤f(2x)≤f(-2),所以-2≤2x≤2,解得-1≤x≤1.
3.(5分)(2023·广州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+1)=f(x-1),则
f(2 021)+f(2 022)=( )
A.1B.0C.-2 021 D.-1
【解析】选B.由题知f(x+1)=f(x-1),
所以f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,
所以f(2 021)+f(2 022)=f(1)+f(0).
因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0,
又f(-1)=-f(1),且f(-1)=f(1),
所以f(1)=0,
所以f(2 021)+f(2 022)=0.
4.(5分)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称,则b等于( )
A.-3B.-1C.1D.3
【解析】选C.因为f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)+f(2-x)=0,
又f(2-x)=(2-x)3+a(2-x)2+(2-x)+b=-x3+(a+6)x2-(4a+13)x+10+4a+b,所以f(x)+f(2-x)= (2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0,
所以2a+6=0,4a+12=0,10+4a+2b=0,解得a=-3,b=1.
5.(5分)定义在R上的奇函数f(x),其图象关于点(-2,0)对称,且f(x)在[0,2)上单调递增,则( )
A.f(11)B.f(21)C.f(11)D.f(21)【解析】选A.函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,
所以f(x-4)=-f(-x),
又f(x)为定义在R上的奇函数,
所以-f(-x)=f(x),
所以f(x-4)=f(x),
即函数f(x)的周期是4,
则f(11)=f(-1),f(12)=f(0),f(21)=f(1),
因为f(x)为奇函数,且在[0,2)上单调递增,
则f(x)在(-2,2)上单调递增,
所以f(-1)即f(11)6.(5分)(多选题)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=f(x-2),则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)的图象关于直线x=32对称
B.y=f(x)的图象关于点(32,0)对称
C.y=f(x)在[0,6]内至少有5个零点
D.若y=f(x)在[0,1]上单调递增,则它在[2 021,2 022]上也单调递增
【解析】选BCD.因为f(x+1)=f(x-2)且y=f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x+3)=f(x),
故函数f(x)是周期为3的周期函数,且f(x+3)=f(x)=-f(-x),
所以f(3+x)+f(-x)=0,故函数y=f(x)的图象关于点(32,0)对称,A错误,B正确;
由题意可知,f(6)=f(3)=f(0)=0,
因为f(x)=f(x+3)=-f(-x),令x=-32,可得f(-32)=f(32),
即f(32)=-f(32),
所以f(32)=0,从而f(92)=f(32)=0,
故函数y=f(x)在[0,6]内至少有5个零点,C正确;
因为f(2 021)=f(3×674-1)=f(-1),f(2 022)=f(3×674)=f(0),
且函数f(x)在[0,1]上单调递增,
则函数f(x)在[-1,0]上也单调递增,
故函数f(x)在[2 021,2 022]上也单调递增,D正确.
7.(5分)(2023·南昌模拟)已知f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,则满足不等式f(2a)【解析】因为f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,
所以f(x)在[0,1]上单调递增,所以-1≤2a≤1,-1≤4a-1≤1,|2a|<|4a-1|,所以0≤a<16.
答案:[0,16)
8.(5分)(2023·松江模拟)已知函数y=f(x)为R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,当-1【解析】因为f(x)+f(2-x)=0,y=f(x)为R上的奇函数,
所以f(2+x)=-f(-x)=f(x),所以f(x)为周期为2的周期函数.
因为当-1令x=-1,得,f(1)=f(-1),
又因为f(x)为奇函数,则f(1)=-f(-1),
所以f(-1)=-f(-1),
则2f(-1)=0,则f(-1)=0,
所以f(2 023)=f(2×1 012-1)=f(-1)=0,
所以f(2 023)+f(2 0232)=22.
答案:22
9.(10分)已知g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,且满足g(x)-h(x)=2x,若存在x∈[-1,1],使得不等式m·g(x)+h(x)≤0有解,求实数m的最大值.
【解析】因为g(x)-h(x)=2x,①
所以g(-x)-h(-x)=2-x.
又g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,
所以g(x)+h(x)=2-x,②
联立①②,得g(x)=2x+2-x2,h(x)=2-x-2x2.
由m·g(x)+h(x)≤0,得m≤2x-2-x2x+2-x=4x-14x+1=1-24x+1.
因为y=1-24x+1为增函数,所以当x∈[-1,1]时, (1-24x+1)max=1-24+1=35,所以m≤35,即实数m的最大值为35.
【能力提升练】
10.(5分)(2023·焦作模拟)已知函数f(x)=lg(2x+1+a)是奇函数,则使得0A. (-∞,-911)B. (0,911)
C. (-911,0)D. (-911,0)∪(911,1)
【解析】选C.令f(0)=lg(2+a)=0,得a=-1,
所以f(x)=lg(2x+1-1)=lg 1-x1+x,定义域为(-1,1),
f(-x)=lg 1+x1-x=-lg 1-x1+x=-f(x),满足f(x)为奇函数.
因为y=1-x1+x=21+x-1在(-1,1)上单调递减,
所以f(x)在(-1,1)上单调递减.
又f(0)=0,f(-911)=1,所以使得011.(5分)(多选题)(2023·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)=|x|+|x|12-cs x,则下列说法正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在(0,+∞)上单调递减
C.f(x)是周期函数
D.f(x)≥-1恒成立
【解析】选AD.对于A,f(x)的定义域为R,
f(-x)=|-x|+|-x|12-cs(-x)=|x|+|x|12-cs x=f(x),则f(x)为偶函数,故A正确;
对于B,C,当x>0时,f(x)=x+x-cs x,
f'(x)=1+x2x+sin x>0恒成立,
则f(x)在(0,+∞)上单调递增,故B错误,C错误;
对于D,因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,
又f(0)=0+0-cs 0=-1,
所以f(x)的最小值为-1,故D正确.
12.(5分)(2023·杭州调研)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R,恒有f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,且a=f(32),b=f(0.5-3),c=f(0.76),则a,b,c的大小关系为__________.
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数,且恒有f(x+1)=f(x-1),
所以f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x),
所以f(x)的最小正周期为2.
又a=f(32)=f(-12)=f(12),b=f(0.5-3)=f(8)=f(0),0.76=0.493<0.53<0.5,则0<0.76<12,
因为f(x)=2x-1在[0,1]上单调递增,
所以b答案:b13.(5分)(2023·兰州模拟)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax3+bx.若f(3)+f(4)=6,则f(2 0232)=________.
【解析】因为f(x+1)为奇函数,
则f(x+1)=-f(-x+1),
令x=0,则f(1)=-f(1),
故f(1)=0,则a+b=0.
令x=-1,则f(0)=-f(2)=-8a-2b.
又因为f(x+2)为偶函数,
则f(x+2)=f(-x+2),
令x=1,则f(3)=f(1)=0,
令x=2,则f(4)=f(0),
因为f(3)+f(4)=6,即f(0)+f(3)=f(0)=6,所以-8a-2b=6,
联立-8a-2b=6a+b=0,解得a=-1b=1,
所以当x∈[1,2]时,f(x)=-x3+x.
又因为f(x+2)=f(-x+2)=f(-(x-1)+1)=-f((x-1)+1)=-f(x),
即f(x+2)=-f(x),
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以函数f(x)是以4为周期的函数,
故f(2 0232)=f(253×4-12)=f(-12)=-f(32)=-[-323+32]=158.
答案:158
14.(10分)(2023·西城区模拟)设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T,A(T>0,A>0),使得对任意x∈R,f(x+T)=Af(x)都成立,则称函数f(x)具有性质P.
(1)判断函数y=x和y=cs x是否具有性质P.(结论不要求证明)
(2)若函数f(x)具有性质P,且其对应的T=π,A=2.当x∈(0,π]时,f(x)=sin x,求函数f(x)在区间[-π,0]上的最大值.
【解析】(1)因为函数y=x是增函数,
所以函数y=x不具有性质P.
当A=1,T=2π时,
函数y=cs x对于任意x∈R,
f(x+T)=Af(x)都成立,
所以y=cs x具有性质P.
(2)设x∈(-π,0],则x+π∈(0,π],
由题意得f(x+π)=2f(x)=sin(x+π),
所以f(x)=-12sin x,x∈(-π,0].
由f(-π+π)=2f(-π),
f(0+π)=2f(0),
得f(-π)=14f(π)=0,
所以当x∈[-π,0]时,f(x)=-12sin x,
所以当x=-π2时,f(x)在[-π,0]上有最大值12.
15.(10分)对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足:①f(x)在[m,n]内是单调函数;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]是该函数的“优美区间”.
(1)求证:[0,2]是函数f(x)=12x2的一个“优美区间”;
(2)求证:函数g(x)=4+6x不存在“优美区间”;
(3)已知函数y=h(x)=(a2+a)x-1a2x(a∈R,a≠0)有“优美区间”[m,n],当a变化时,求出n-m的最大值.
【解析】(1)f(x)=12x2在区间[0,2]上单调递增,又f(0)=0,f(2)=2,
所以f(x)=12x2的值域为[0,2],所以[0,2]是f(x)=12x2的一个“优美区间”.
(2)设[m,n]是已知函数g(x)的定义域的子集.
由x≠0,可得[m,n]⊆(-∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞),所以函数g(x)=4+6x在[m,n]上单调递减.
假设[m,n]是已知函数的“优美区间”,
则4+6m=n,4+6n=m,
两式相减得,6m-6n=n-m,则6(n-m)mn=n-m,
因为n>m,所以mn=6,所以n=6m,
则4+6m=6m,显然等式不成立,
所以函数g(x)=4+6x不存在“优美区间”.
(3)由题知[m,n]是已知函数定义域的子集.
由x≠0,则[m,n]⊆(-∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞),
而函数y=h(x)=(a2+a)x-1a2x=a+1a-1a2x在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“优美区间”,
则h(m)=m,h(n)=n,
所以m,n是方程a+1a-1a2x=x,即a2x2-(a2+a)x+1=0的两个同号且不相等的实数根,所以m+n=a2+aa2,
因为mn=1a2>0,
所以m,n同号,只需Δ=(a2+a)2-4a2=a2(a+3)(a-1)>0,解得a>1或a<-3,
因为n-m=(n+m)2-4mn=(a2+aa2) 2-4a2=-3(1a-13) 2+43,
所以当a=3时,n-m取得最大值233.
【素养创新练】
16.(5分)已知符号函数sgn(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则下列结论正确的是( )
A.sgn(f(x))>0
B.f(4 0412)=1
C.sgn(f(2k))=0(k∈Z)
D.sgn(f(k))=|sgn(k)|(k∈Z)
【解析】选C.根据题意得函数f(x)是周期为2的函数,作出函数f(x)的大致图象,如图所示.
数形结合易知f(x)∈[0,1],则sgn(f(x))=0或sgn(f(x))=1,故A错误;
f(4 0412)=f(2 02012)=12,故B错误;
f(2k)=0(k∈Z),则sgn(f(2k))=0(k∈Z),故C正确;
sgn (k)=1,k>00,k=0-1,k<0(k∈Z),
所以|sgn (k)|=1,k≠00,k=0(k∈Z),
所以sgn(f(k))≠|sgn (k)|(k∈Z),故D错误.