2025届高考数学一轮复习专练35 复数（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练35 复数（Word版附解析），共8页。
【基础落实练】
1.(5分)已知复数1+i(2-a-ai)为纯虚数,则实数a的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选A.因为1+i(2-a-ai)=(1+a)+(2-a)i为纯虚数,所以1+a=02-a≠0,解得a=-1.
2.(5分)(2022·浙江高考)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则( )
A.a=1,b=-3B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3
【解析】选B.a+3i=(b+i)i=-1+bi,所以a=-1,b=3.
3.(5分)(2023·嘉兴模拟)已知(1+i)z=2+4i,则|z|=( )
A.10 B.2 C.10 D.4
【解析】选C.z=2+4i1+i=(2+4i)(1-i)(1+i)(1-i)=2+4+2i2=3+i,则|z|=10.
4.(5分)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【解析】选A.(1+3i)(3-i)=6+8i,故对应的点在第一象限.
5.(5分)若复数z满足z(1+i)=2+3i,则z的虚部是( )
A.12 B.12i C.1 D.-i
【解析】选A.z=2+3i1+i=(2+3i)(1-i)(1+i)(1-i)=52+12i,故z的虚部是12.
6.(5分)(多选题)(2023·荆州模拟)下面关于复数结论正确的是( )
A.若z(2-i)=i23,则z的实部为15
B.若复数z满足1z∈R,则z∈R
C.对任意复数z恒有z·z=|z|2成立
D.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2
【解析】选ABC.对于A,若z(2-i)=i23,z=i232-i=-i(2+i)(2-i)(2+i)=1-2i5=15-25i,
则z的实部为15,故A正确;
对于B,设z=a+bi(a,b∈R),若复数z满足
1z=a-bi(a+bi)(a-bi)=aa2+b2-ba2+b2i∈R,
则-ba2+b2=0,可得b=0,则z∈R,故B正确;
对于C,设z=a+bi(a,b∈R),则z·z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z|2=a2+b2,
所以对任意复数z恒有z·z=|z|2成立,故C正确;
对于D,设z1=-1+i,z2=2+2i,
若z1z2=(-1+i)(2+2i)=-4∈R,但z1≠z2,故D错误.
【加练备选】
1.(2023·信阳模拟)已知a∈R,复数z=a+2i,z2-2z是实数,则|z|=( )
A.5 B.10 C.5 D.10
【解析】选C.z2-2z=(a+2i)2-2(a+2i)=a2-4+4ai-2(a+2i)=a2-2a-4+(4a-4)i∈R,故4a-4=0,解得a=1,故|z|=5.
2.若复数z满足2(2+z)=i(1-z),则z在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.设z=a+bi(a,b∈R),由2(2+z)=i(1-z),得(2a+4)-2bi=b+(1-a)i,
由实部和虚部分别相等知2a+4=b,-2b=1-a,
解得a=-3,b=-2,
则z在复平面内对应的点(-3,-2)在第三象限.
7.(5分)若实系数方程x2+ax+b=0的一个根是i,则a+b=__________.
【解析】由题意得i2+ai+b=0,即ai+b-1=0,即a=0,b=1,所以a+b=1.
答案:1
8.(5分)(2023·保定模拟)已知复数z满足|z-1+i|=22,z为z的共轭复数,则z·z的最大值为__________.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),
则|z-1+i|=22的几何意义为z在复平面内所对应的点(a,b)到(1,-1)的距离为22,
所以z所对应的点(a,b)的轨迹是以A(1,-1)为圆心,22为半径的圆,
而z·z=a2+b2可看作该圆上的点(a,b)到原点的距离的平方,所以(z·z)max=(2+22)2=18.
答案:18
9.(10分)(2023·朔州模拟)在复平面内,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i.分别求出满足下列条件的复数z.
(1)在虚轴上;
【解析】(1)若复数z对应的点在虚轴上,则m2-m-2=0,即m=-1或m=2.此时z=6i或z=0;
9.(10分)(2023·朔州模拟)在复平面内,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i.分别求出满足下列条件的复数z.
(2)在实轴负半轴上;
【解析】(2)若复数z对应的点在实轴负半轴上,
则m2-m-20,i是虚数单位),若|z|=10,则1z的虚部是( )
A.110 B.-110 C.110i D.-110i
【解析】选B.因为复数z=a+i(a>0,i是虚数单位),|z|=10,所以|z|=a2+1=10,解得a=3.
所以1z=13+i=3-i(3+i)(3-i)=310-110i,
故1z的虚部是-110.
12.(5分)(多选题)(2023·苏州模拟)已知i为虚数单位,以下四个说法正确的是( )
A.1i+1i2+1i3+1i4=0
B.3+i>1+i
C.若z=(1+2i)2,则复数z对应的点位于第四象限
D.已知复数z满足|z-2i|=3,则z在复平面内对应的点的轨迹为圆
【解析】选AD.A:1i+1i2+1i3+1i4=-i-1+i+1=0,本选项正确;
B:因为两个虚数不能比较大小,所以本选项不正确;
C:因为z=(1+2i)2=1+4i-4=-3+4i,
所以复数z对应的点位于第二象限,因此本选项不正确;
D:因为|z-2i|=3,所以z在复平面内对应的点的轨迹为圆心为(0,2),半径为3的圆,因此本选项正确.
13.(5分)(多选题)已知复数z1=1-i,z2=-2+3i,i为虚数单位,下列说法正确的是( )
A.z1+z2在复平面内对应的点位于第二象限
B.若向量OA,OB分别对应的复数为z1,z2,则向量AB对应的复数为3-4i
C.若z1(a+i)=z2+bi(a,b∈R),则ab=-3
D.若复数z3=x+yi(x,y∈R,i为虚数单位),且|z3|=1,则|z3-z1|的最大值为2+1
【解析】选ACD.对于A,z1+z2=-1+2i在复平面内对应的点(-1,2)位于第二象限,故A正确;
对于B,因为向量OA,OB分别对应的复数为z1,z2,
所以AB=OB-OA,z2-z1=-2+3i-(1-i)=-3+4i,AB对应的复数为-3+4i,故B错误;
对于C,由z1(a+i)=z2+bi得(1-i)(a+i)=-2+3i+bi,得a+1+(1-a)i=-2+(b+3)i,得a+1=-21-a=b+3,得a=-3,b=1,所以ab=-3,故C正确;
对于D,|z3|=1,则x2+y2=1,表示的轨迹为圆,而|z3-z1|=|(x-1)+(y+1)i|=(x-1)2+(y+1)2,表示圆上的点到定点(1,-1)的距离,因为圆心(0,0)到定点的距离d为2,则圆上的点到定点(1,-1)的距离的最大值为2+1=2+1,故D正确.
14.(10分)(2023·宁波模拟)已知复数z=4+ai,其中a是正实数,i是虚数单位.
(1)如果z(3a+ai)为纯虚数,求实数a的值;
【解析】(1)因为z(3a+ai)=(4+ai)(3a+ai)=12a-a2+(3a2+4a)i,
由z(3a+ai)为纯虚数,可得12a-a2=03a2+4a≠0,
解得a=12;
14.(10分)(2023·宁波模拟)已知复数z=4+ai,其中a是正实数,i是虚数单位.
(2)如果a=2,z1=z1-i是关于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,求b+c的值.
【解析】(2)因为a=2,所以z=4+2i,z1=4+2i1-i=(4+2i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i,
将z1=1+3i代入方程x2+bx+c=0(b,c∈R),
得(1+3i)2+b(1+3i)+c=0,
即有b+c-8+(6+3b)i=0,
所以b+c-8=06+3b=0,解得b=-2c=10,b+c=8.
15.(10分)(2023·苏州模拟)已知复数z=(m-1)+(m+1)i(m∈R).
(1)若z在复平面内的对应点位于第二象限,求m的取值范围;
【解析】(1)z在复平面内的对应点为(m-1,m+1),
因为点(m-1,m+1)位于第二象限,所以m-10,解得-1