2025届高考数学一轮复习专练55 椭圆的几何性质（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(2024·大连模拟)椭圆x225+y29=1与椭圆x222+y26=1的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
【解析】选D.椭圆x225+y29=1的焦点在x轴上,
长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率为45.
椭圆x222+y26=1的焦点在x轴上,
长轴长为222,短轴长为26,焦距为8,离心率为22211,所以两椭圆焦距相等.
2.(5分)(2022·全国甲卷)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为( )
A.32B.22C.12D.13
【解析】选A.已知A(-a,0),
设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),
kAP=y0x0+a,kAQ=y0a-x0,
故kAP·kAQ=y0x0+a·y0a-x0=y02a2-x02=14①,
因为x02a2+y02b2=1,即y02=b2(a2-x02)a2②,
②代入①整理得:b2a2=14,
e=ca=1-b2a2=32.
3.(5分)(2022·全国甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为( )
A.x218+y216=1 B.x29+y28=1
C.x23+y22=1 D.x22+y2=1
【解析】选B.依题意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b),
BA1·BA2=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,
又C的离心率e=ca=1a=13,所以a=3,a2=9,
b2=a2-c2=8,即C的方程为x29+y28=1.
4.(5分)若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
【解析】选C.由题意,O(0,0),F(-1,0),
设P(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+1,y),
所以OP·FP=x(x+1)+y2=x2+y2+x.
又x24+y23=1,所以y2=3-34x2,
所以OP·FP=14x2+x+3=14 (x+2)2+2.
因为-2≤x≤2,所以当x=2时,OP·FP有最大值6.
5.(5分)(多选题)已知P是椭圆C:x24+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=14上的动点,则( )
A.椭圆C的焦距为3
B.椭圆C的离心率为32
C.圆D在椭圆C的内部
D.|PQ|的最小值为63
【解析】选BC.因为椭圆方程为:x24+y2=1,
所以a2=4,b2=1,c2=a2-b2=3,e=ca=32,焦距为23,故A错误,B正确;
由x24+y2=1(x+1)2+y2=14,得3x2+8x+7=0,
因为Δ=82-4×3×7=-20<0,
所以椭圆与圆无公共点,又圆心(-1,0)在椭圆内部,所以圆在椭圆内部,故C正确;
设P(x,y)(-2≤x≤2),
则|PD|=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x24=34x2+2x+2,
当x=2-2×34=-43时,|PD|取得最小值23=63,则|PQ|的最小值为63-12,故D错误.
6.(5分)(多选题)(2024·曲靖模拟)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为23,点P(1,1)在椭圆Γ外,点Q在椭圆Γ上,则( )
A.椭圆Γ的离心率的取值范围是(22,1)
B.当椭圆Γ的离心率为32时,|QF1|的取值范围是[3-32,32+3]
C.存在点Q使∠F2QF1=90°
D.1|QF1|+1|QF2|的最小值为2
【解析】选ABC.由题意得a=3,又点P(1,1)在椭圆Γ外,则13+1b2>1,解得0所以椭圆Γ的离心率e=ca=3-b23>22,即椭圆Γ的离心率的取值范围是(22,1),故A正确;
当e=32时,c=32,
所以|QF1|的取值范围是[a-c,a+c],
即[3-32,32+3],故B正确;
设椭圆的上顶点为A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),由于AF1·AF2=b2-c2=2b2-a2=2b2-3<0,所以存在点Q使得QF1·QF2=0,故C正确;因为点Q在椭圆Γ上,所以|QF1|+|QF2|=23,则1|QF1|+1|QF2|=(|QF1|+|QF2|)(1|QF1|+1|QF2|)·123=33+(|QF2||QF1|+|QF1||QF2|)·123≥33
+2|QF2||QF1|·|QF1||QF2|·123=233,
当且仅当|QF1|=|QF2|=3时,等号成立,
所以1|QF1|+1|QF2|的最小值为233,故D不正确.
7.(5分)(2024·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程: x29+y28=1(答案不唯一).
①中心为坐标原点;②焦点在坐标轴上;③离心率为13.
【解析】只要椭圆方程形如x29m+y28m=1(m>0)或y29m+x28m=1(m>0)即可.
8.(5分)(2024·大同模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,且四边形PF1QF2的面积为49a2,则C的离心率为73.
【解析】因为点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,
所以四边形PF1QF2为矩形,即PF1⊥PF2,
所以S四边形PF1QF2=2S△PF1F2=|PF1|·|PF2|,
由椭圆定义与勾股定理知:
|PF1|+|PF2|=2a|PF1|2+|PF2|2=4c2,
所以|PF1|·|PF2|=2b2,所以49a2=2b2= 2(a2-c2),所以ca=73,即C的离心率为73.
9.(10分)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
【解析】(1)连接PF1(图略),由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,
∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,
于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,
故C的离心率为e=ca=3-1.
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,
当且仅当12|y|·2c=16,
yx+c·yx-c=-1,x2a2+y2b2=1,
即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
x2a2+y2b2=1,③
由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2,又由①知y2=162c2,故b=4;
由②③及a2=b2+c2得x2=a2c2(c2-b2),
所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,
故a≥42.当b=4,a≥42时,存在满足条件的点P.
故b=4,a的取值范围为[42,+∞).
【能力提升练】
10.(5分)(2024·资阳模拟)如图,已知定圆A的半径为4,B是圆A内一个定点,且|AB|=2,P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q,当点P在圆上运动时,则点Q的轨迹是( )
A.面积为π的圆
B.面积为2π的圆
C.离心率为14的椭圆
D.离心率为12的椭圆
【解析】选D.连接BQ,AB,因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q,所以|BQ|=|PQ|,
因为|AQ|+|PQ|=|AP|=4>|AB|=2,
所以|AQ|+|BQ|=|AP|=4>|AB|=2,
所以点Q的轨迹是以A,B为焦点,4为长轴长,焦距为2的椭圆,所以椭圆的离心率为e=ca=2c2a=24=12.
11.(5分)(多选题)已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,B为椭圆短轴的一个端点,BF1·BF2≥14F1F22,则椭圆的离心率的取值可以是( )
A.12 B.36 C.33 D.32
【解析】选ABC.由椭圆的定义可知:
|BF1|=|BF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,
则sin∠OBF1=ca=e,
所以cs∠F1BF2=1-2sin2∠OBF1=1-2e2,
因为BF1·BF2≥14F1F22,即(1-2e2)a2≥c2,所以1-2e2≥e2,又012.(5分)(多选题)“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器,是中国探月工程的收官之战,实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示,月球探测器飞到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行,然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行,最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行,设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则以下说法正确的是( )
A.椭圆轨道Ⅱ的焦距为R-r
B.椭圆轨道Ⅱ的短轴长为Rr
C.若r不变,则椭圆轨道Ⅱ的离心率随R的增大而增大
D.若R不变,则椭圆轨道Ⅱ的离心率随r的增大而增大
【解析】选AC.在椭圆中,由题图可知PQ=2a=R+ra-c=QF=r,解得a=R+r2,c=R-r2,所以b=(R+r2) 2-(R-r2) 2=Rr,所以2c=R-r,2b=2Rr,A正确,B错误;
e=ca=R-rR+r=1-2rR+r,当r不变时,由反比例函数的性质可知,函数f(R)=1-2rR+r在(0,+∞)上单调递增,C正确;
e=ca=R-rR+r=-1+2RR+r,当R不变时,由反比例函数的性质可知,
函数f(r)=-1+2RR+r在(0,+∞)上单调递减,D错误.
13.(5分)(2024·武汉模拟)若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点M,使得∠F1MF2=
90°(F1,F2分别为椭圆的左、右焦点),则椭圆的离心率e的取值范围为[22,1).
【解析】方法一:设点M的坐标是(x0,y0),
则|x0|因为F1(-c,0),F2(c,0),
所以MF1=(-c-x0,-y0),MF2=(c-x0,-y0).
因为∠F1MF2=90°,所以MF1·MF2=-(c+x0)(c-x0)+y02=0,即x02+y02=c2.
又点M在椭圆上,即y02=b2-b2a2x02,
所以x02+y02=b2+c2a2x02∈[b2,a2),
即c2∈[b2,a2),
所以c2≥b2=a2-c2,即c2a2≥12,
又0故椭圆的离心率e的取值范围是[22,1).
方法二:设点M的坐标是(x0,y0),
由方法一可得x02a2+y02b2=1,x02+y02=c2,消去y0,得
x02=a2(c2-b2)c2,
因为0≤x02由②得c2-b2由①得c2≥b2,即c2≥a2-c2,所以a2≤2c2,
则e2=c2a2≥12.又0综上所述,椭圆的离心率e的取值范围是[22,1).
方法三:设椭圆的一个短轴端点为P,
因为椭圆上存在一点M,使∠F1MF2=90°,
所以∠F1PF2≥90°,则c≥b,(∠F1MF2最大时,M为短轴端点),
所以c2≥b2=a2-c2,即c2a2≥12,
又0故椭圆的离心率e的取值范围为[22,1).
【加练备选】
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2.点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,△PF2Q的面积S≥18|PQ|2,则C的离心率的取值范围为[22, 63].
【解析】连接QF1,PF1,由题意得,|OP|=|OQ|,|OF1|=|OF2|,又|PQ|=|F1F2|,所以四边形PF2QF1为矩形,
故S△PF2Q=S△PF2F1,
所以12|PF1|·|PF2|≥18(2c)2=12c2,
故|PF1|·|PF2|≥c2,
又|PF1|+|PF2|=2a,
由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=4c2,|PF1|·|PF2|=2b2,
故2b2≥c2,即2a2-2c2≥c2,故2a2≥3c2,c2a2≤23,解得ca≤63,
又C上存在关于坐标原点对称的两点P,Q,
使得|PQ|=|F1F2|,故2b≤2c,
所以b≤c,即a2-c2≤c2,所以a2≤2c2,c2a2≥12,解得ca≥22,
综上,C的离心率的取值范围是[22,63].
14.(10分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0),左顶点为A,点E的坐标为(0,c),A到直线EF2的距离为62b.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若P为椭圆C上的一点,∠F1PF2=60°,△PF1F2的面积为3,求椭圆C的标准方程.
【解析】(1)由题意得,A(-a,0),直线EF2的方程为x+y=c,因为A到直线EF2的距离为62b,
即|-a-c|12+12=62b,所以a+c=3b,即(a+c)2=3b2,又b2=a2-c2,所以(a+c)2=3(a2-c2),
所以2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0,
解得e=12或e=-1(舍),
所以椭圆C的离心率为12.
(2)由(1)知离心率e=ca=12,即a=2c,①
因为∠F1PF2=60°,△PF1F2的面积为3,
则12|PF1||PF2|sin 60°=3,
所以|PF1||PF2|=4,由方程组
|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs60°=4c2,
得a2-c2=3,②
联立①②得a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
【素养创新练】
15.(5分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴A1A2,短轴B1B2,椭圆上的动点M满足|MF1||MF2|=2,若△MA1A2面积的最大值为82,△MB1B2面积的最小值为2,则该椭圆的离心率为( )
A.63 B.33 C.22 D.32
【解析】选C.由题意知F1(-c,0),F2(c,0),|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,设M(x,y),则(|MF1||MF2|)2=(x+c)2+y2(x-c)2+y2=4,整理可得(x-5c3)2+y2=16c29,即点M轨迹是以(5c3,0)为圆心,4c3为半径的圆,所以|yM|max=4c3,|xM|min=5c3-4c3=c3,
所以(S△MA1A2)max=12·2a·4c3=4ac3=82,(S△MB1B2)min=12·2b·c3=bc3=2,
即ac=62,bc=6,所以ba=bcac=662=22,所以离心率e=1-(ba) 2=1-12=22.