2025届高考数学一轮复习专练40 数列求和（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则该数列的前10项和为( )
A.2 146B.1 122
C.2 148D.1 124
【解析】选A.因为an=2n+2n-1,所以前n项和Sn=2(1-2n)1-2+n(2n-1+1)2=2n+1+n2-2,所以前10项和S10=211+102-2=2 146.
2.(5分)在等差数列{an}中,若a3+a5+a7=6,a11=8,则数列{1an+3an+4}的前n项和Sn=( )
A.n+1n+2B.nn+1
C.nn+2D.2nn+1
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,由a3+a5+a7=6,a11=8,得a5=2,d=1,所以an=n-3,则an+3=n,an+4=n+1,所以1an+3an+4=1n(n+1)=1n-1n+1,所以Sn=1-1n+1=nn+1.
3.(5分)数列{(-1)n(2n-1)}的前2 024项和S2 024等于( )
A.-2 022B.2 022
C.-2 024D.2 024
【解析】选D.S2 024=-1+3-5+7-…-(2×2 023-1)+(2×2 024-1)=2×1 012=2 024.
4.(5分)已知数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,则1an的前100项和为( )
A.100101B.99100C.101100D.200101
【解析】选D.因为an+1=a1+an+n,a1=1,
所以an+1-an=1+n,所以an-an-1=n(n≥2),
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)2,
所以1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1),
所以1an的前100项和为2(1-12+12-13+…+1100-1101)=2(1-1101)=200101.
5.(5分)已知函数y=f(x)满足f(x)+f(1-x)=1,若数列an满足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1),则数列an的前20项的和为( )
A.230B.115
C.110D.100
【解析】选B.an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1)①,
an=f(1)+f(n-1n)+f(n-2n)+…+f(1n)+f(0)②,
两式相加,又因为f(x)+f(1-x)=1,故2an=n+1,所以an=n+12,
所以{an}的前20项的和为a1+a2+…+a20=22+32+…+212=20×1+20×192×12=115.
6.(5分)(多选题)已知数列{an}:12,13+23,14+24+34,…,110+210+…+910,…,若bn=1anan+1,设数列{bn}的前n项和为Sn,则( )
A.an=n2B.an=n
C.Sn=4nn+1D.Sn=5nn+1
【解析】选AC.由题意得an=1n+1+2n+1+…+nn+1=1+2+3+…+nn+1=n2,
所以bn=1n2·n+12=4n(n+1)=4(1n-1n+1),
所以数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+b3+…+bn
=4(1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1)
=4(1-1n+1)=4nn+1.
7.(5分)已知f(x)=21+x2(x∈R),若等比数列{an}满足a1a2 024=1,则f(a1)+f(a2)+…+
f(a2 024)=________.
【解析】因为f(x)=21+x2(x∈R),所以f(x)+f(1x)=21+x2+21+(1x) 2=21+x2+2x21+x2=2.
因为等比数列{an}满足a1a2 024=1,所以a1a2 024=a2a2 023=…=a2 024a1=1,所以f(a1)+
f(a2 024)=f(a2)+f(a2 023)=…=f(a2 024)+f(a1)=2,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a2 024)=2 024.
答案:2 024
8.(5分)已知数列{an}满足an+1=nn+1an,a1=1,则数列{anan+1}的前10项和为________.
【解析】因为an+1=nn+1an,a1=1,所以(n+1)·an+1=nan,所以数列{nan}是每项均为1的常数列,所以nan=1,所以an=1n,anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1,
所以数列{anan+1}的前10项和为(11-12)+(12-13)+…+(110-111)=1-111=1011.
答案:1011
9.(10分)(2023·西安模拟)已知数列an满足a1=1,an+1-an=n+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
【解析】(1)由题意数列an满足a1=1,an+1-an=n+1,则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)2.
9.(10分)(2023·西安模拟)已知数列an满足a1=1,an+1-an=n+1.
(2)若数列1an的前n项和为Sn,求数列lg2Sn的前n项和Tn.
【解析】(2)由(1)可得1an=2(1n-1n+1),故Sn=2(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=2nn+1,
所以lg2Sn=lg22nn+1=1+lg2nn+1,
故Tn=n+lg2(12×23×34×…×nn+1)=
n+lg21n+1=n-lg2(n+1).
【能力提升练】
10.(5分)122-1+132-1+142-1+…+1(n+1)2-1的值为( )
A.n+12(n+2)
B.34-n+12(n+2)
C.34-12(1n+1+1n+2)
D.32-1n+1+1n+2
【解题指导】先化简通项公式,再裂项求和.
【解析】选C.因为1(n+1)2-1=1n2+2n=1n(n+2)
=12(1n-1n+2),
所以122-1+132-1+142-1+…+1(n+1)2-1
=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2)=12(32-1n+1-1n+2)
=34-12(1n+1+1n+2).
11.(5分)化简Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1的结果是( )
A.2n+1+n-2B.2n+1-n+2
C.2n-n-2D.2n+1-n-2
【解析】选D.因为Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1①,2Sn=n×2+(n-1)×22+(n-2)×23+…+2×2n-1+2n②,所以①-②得,-Sn=n-(2+22+23+…+2n)=n+2-2n+1,所以Sn=2n+1-n-2.
【加练备选】
已知数列{an}的通项公式是an=2n-12n,其前n项和Sn=32164,则项数n=( )
A.13B.10C.9D.6
【解析】选D.由an=2n-12n=1-12n,得
Sn=(1-12)+(1-14)+(1-18)+…+(1-12n)
=n-(12+14+18+…+12n)
=n-12[1-(12) n]1-12=n-1+12n.
令n-1+12n=32164,即n+12n=38564,解得n=6.
12.(5分)已知数列an满足a1=1,an+1-an=2anan+1,则数列anan+1的前n项和为________.
【解题提示】由递推公式可知1an+1-1an=-2,因此1an是以1为首项,-2为公差的等差数列,求出an的通项公式,结合通项公式及裂项相消法求和.
【解析】因为a1=1,an+1-an=2anan+1,
所以an+1-ananan+1=2,即1an-1an+1=2,
即1an+1-1an=-2,所以1an是以1为首项,-2为公差的等差数列,所以1an=3-2n,所以an=13-2n,则anan+1=12n-32n-1
=1212n-3-12n-1.
设数列anan+1的前n项和为Tn,
则Tn=12(1-1-11+11-13+13-15+…+12n-3-12n-1)=12-1-12n-1=-n2n-1=n1-2n.
答案:n1-2n
13.(5分)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3·…·an=2bn(n∈N*).若数列{an}为等比数列,且a1=2,a4=16,则数列{bn}的通项公式bn=________,数列{1bn}的前n项和Sn=________.
【解析】因为数列{an}为等比数列,且a1=2,a4=16,所以公比q=3a4a1=3162=2,
所以an=2n,
所以a1a2a3·…·an=21×22×23×…×2n
=21+2+3+…+n=2n(n+1)2.
因为a1a2a3·…·an=2bn,
所以bn=n(n+1)2,
所以1bn=2n(n+1)=2(1n-1n+1),
所以数列{1bn}的前n项和Sn=1b1+1b2+1b3+…+1bn
=2(11-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+1.
答案:n(n+1)2 2nn+1
14.(10分)(2023·惠州模拟)记Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,若S3=6,a3是a1和a9的等比中项.
(1)求数列an的通项公式;
【解析】(1)由题意知a32=a1·a9,设等差数列an的公差为d,则a1(a1+8d)=(a1+2d)2,
因为d≠0,解得a1=d,
又S3=3a1+3d=6,可得a1=d=1,
所以数列an是首项为1和公差为1的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=n,n∈N*.
14.(10分)(2023·惠州模拟)记Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,若S3=6,a3是a1和a9的等比中项.
(2)记bn=1an·an+1·an+2,求数列bn的前20项和.
【解析】(2)由(1)可知bn=1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)-1(n+1)(n+2)].
设数列bn的前n项和为Tn,则
Tn=12[11×2-12×3+12×3-13×4+…+1n(n+1)-1(n+1)(n+2)]=12[12-1(n+1)(n+2)],
所以T20=12×(12-121×22)=115462.
所以数列bn的前20项和为115462.
【加练备选】
(2023·广州模拟)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=-3,S7=-21.
(1)求an的通项公式;
【解析】(1)设公差为d,则S3=3a1+3d=-3,S7=7a1+21d=-21,
所以3a1+3d=-37a1+21d=-21,解得a1=0d=-1,
所以an=a1+(n-1)d=-n+1;
(2023·广州模拟)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=-3,S7=-21.
(2)bn=-an+1,求数列1bnbn+2的前n项和Tn.
【解析】(2)bn=n,所以1bnbn+2=1n(n+2)=12(1n-1n+2),所以Tn=12(1-13)+12(12-14)+12(13-15)+…+12(1n-1-1n+1)+12(1n-1n+2)
=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-2n+32(n+1)(n+2).
15.(10分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=(λ+1)Sn+1(n∈N*,λ≠-2)且3a1,4a2,a3+13成等差数列.
(1)求数列an的通项公式;
【解析】(1)因为an+1=(λ+1)Sn+1,a1=1,
当n=1时,a2=(λ+1)S1+1=λ+2,
当n≥2时,an=(λ+1)Sn-1+1,
所以an+1-an=(λ+1)an,即an+1=(λ+2)an,
又因为λ≠-2,且a1=1,a2=λ+2,则a2a1=λ+2,
所以an是以1为首项,λ+2为公比的等比数列,
所以a2=λ+2,a3=(λ+2)2,
又3a1,4a2,a3+13成等差数列,
所以3+(λ+2)2+13=8(λ+2),即λ2-4λ+4=0,所以λ=2,an=4n-1;
15.(10分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=(λ+1)Sn+1(n∈N*,λ≠-2)且3a1,4a2,a3+13成等差数列.
(2)若anbn=lg4an+1,求数列bn的前n项和Tn.
【解析】(2)因为anbn=lg4an+1,
所以4n-1·bn=lg44n=n,即bn=n4n-1,
所以Tn=1+24+342+…+n4n-1,
14Tn=14+242+343+…+n4n,
所以34Tn=1+14+142+…+14n-1-n4n=1-14n1-14-n4n=43-4+3n3·4n,
所以Tn=169-4+3n9×4n-1.
【素养创新练】
16.(5分)已知在数列an中,a1=3,且an-1是公比为3的等比数列,则使a1-1a1a2+a2-1a2a3+…+an-1anan+1=80489的正整数n的值为________.
【解析】由题意,知an-1是首项为a1-1=2,公比为3的等比数列,所以an-1=2×3n-1,所以an=2×3n-1+1,
所以an-1anan+1=2×3n-1(2×3n-1+1)(2×3n+1)=12(12×3n-1+1-12×3n+1),
所以a1-1a1a2+a2-1a2a3+…+an-1anan+1=12(13-17+17-119+…+12×3n-1+1-12×3n+1)=12(13-12×3n+1)=16-14×3n+2=80489,解得n=4.
答案:4
17.(5分)(多选题)对于数列{an},定义H0=a1+2a2+…+2n-1ann为{an}的“优值”.现已知数列{an}的“优值”H0=2n+1,记数列{an-20}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是( )
A.an=2n+2B.Sn=n2-19n
C.S8=S9D.Sn的最小值为-72
【解析】选ACD.由题意可知,
H0=a1+2a2+…+2n-1ann=2n+1,则a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1 ①,
当n=1时,a1=21+1×1=4,当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n ②,
①-②得,2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n,an=2(n+1),当n=1时也成立,所以an=2n+2,A正确;
Sn=a1-20+a2-20+…+an-20=a1+a2+…+an-20n=2×1+2+2×2+2+…+2×n+2-20n=2(1+2+…+n)+2n-20n=n(n+1)-18n=n2-17n,B错误;
因为an-20=2n-18,当an-20≤0时,n≤9,a9-20=0,故当n=8或9时,{an-20}的前n项和Sn取得最小值,最小值为S8=S9
=92-17×9=-72,C,D正确.