2025届高考数学一轮复习专练12 对数与对数函数（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练12 对数与对数函数（Word版附解析），共8页。

【基础落实练】
1.(5分)已知x,y为正实数,则( )
A.lg(x2y)=(lg x)2+lg y
B.lg (xy)=lg x+12lg y
C.eln x+ln y=x+y
D.eln x-ln y=xy
【解析】选B.x,y为正实数,lg(x2y)=lg x2+lg y=2lg x+lg y,故A错误;lg(xy)=lg x+lg y=lg x+12lg y,故B正确;eln x+ln y=eln x·eln y=xy,故C,D错误.
2.(5分)函数f(x)=lg0.5(2x-1)的定义域为( )
A.(12,1]B.[12,1)
C. (-∞,12]D.[1,+∞)
【解析】选A.由题意,要使函数f(x)=lg0.5(2x-1)有意义,则满足lg0.5(2x-1)≥0,所以0<2x-1≤1,解得12即函数f(x)的定义域为(12,1].
3.(5分)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)=1,则f(x)等
于( )
A.lg2xB.12x
C.lg12xD.2x-2
【解析】选A.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=lgax,
又f(2)=1,即lga2=1,所以a=2.故f(x)=lg2x.
4.(5分)设a=14lg213,b=(12)0.3,则有( )
A.a+b>abB.a+bC.a+b=abD.a-b=ab
【解析】选A.因为a=14lg213=-14lg23,32即-12(12)1=12,所以a+b>0,ab<0,所以a+b>ab.
5.(5分)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1,函数y=ax的图象如图所示,则函数f(x)=lga(-x+1)的部分图象大致为( )
【解析】选D.由函数y=ax的图象可判断出a>1.
当a>1时,y=lgax的图象经过定点(1,0),且为增函数.
因为y=lgax与y=lga(-x)的图象关于y轴对称,
所以y=lga(-x)的图象经过定点(-1,0),为减函数.而f(x)=lga(-x+1)可以看作y=lga(-x)的图象向右平移1个单位长度得到的.
所以f(x)=lga(-x+1)的图象经过定点(0,0),为减函数.
6.(5分)(多选题)已知函数f(x)=|lga(x+1)|(a>1),下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减
C.函数f(x)在区间[-12,1]上的最小值为0
D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2]
【解析】选ACD.将(0,0)代入函数f(x)=|lga(x+1)|(a>1),成立,故A正确;
当x∈(0,+∞)时,x+1∈(1,+∞),又a>1,所以f(x)=|lga(x+1)|=lga(x+1),由复合函数单调性可知,当x∈(0,+∞)时,f(x)=|lga(x+1)|=lga(x+1)单调递增,故B错误;
当x∈[-12,1]时,x+1∈[12,2],
所以f(x)=|lga(x+1)|≥lga1=0,故C正确;当x∈[1,2]时,f(x)=|lga(x+1)|=lga(x+1)≥1恒成立,所以由函数为增函数知lga2≥1,解得17.(5分)已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示lg1815=________.
【解析】lg1815=lg15lg18=lg3+lg5lg2+2lg3=lg3+1-lg2lg2+2lg3=b-a+12b+a.
答案:b-a+12b+a
8.(5分)(2023·泸州模拟)若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是__________.
【解析】因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以f(x)=lg5x,则f(x2-2x)=lg5(x2-2x).
设μ=x2-2x,则f(μ)=lg5μ,
由x2-2x>0,解得x<0或x>2,
因为f(μ)=lg5μ在其定义域上单调递增,
又μ=x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以y=f(x2-2x)的单调递减区间是(-∞,0).
答案:(-∞,0)
9.(10分)设f(x)=lg2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=lg212.
(1)求a,b的值;
(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的最大值.
【解析】(1)因为f(x)=lg2(ax-bx),
且f(1)=1,f(2)=lg212,
所以lg2(a-b)=1,lg2(a2-b2)=lg212,
即a-b=2,a2-b2=12,解得a=4,b=2.
(2)由(1)得f(x)=lg2(4x-2x),
令t=4x-2x,
则t=4x-2x=(2x-12)2-14,
因为1≤x≤2,所以2≤2x≤4,
所以94≤(2x-12)2≤494,即2≤t≤12,
因为y=lg2t在[2,12]上单调递增,
所以ymax=lg212=2+lg23,
即函数f(x)的最大值为2+lg23.
【能力提升练】
10.(5分)若实数x,y,z互不相等,且满足2x=3y=lg4z,则( )
A.z>x>yB.z>y>x
C.x>y,x>zD.z>x,z>y
【解析】选D.设2x=3y=lg4z=k>0,
则x=lg2k,y=lg3k,z=4k,
根据指数、对数函数图象易得4k>lg2k,4k>lg3k,即z>x,z>y.
11.(5分)(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)=x+1x-2,x∈(2,8),当x=m时,f(x)有最小值n.则在平面直角坐标系中,函数g(x)=lg1m|x+n|的图象是( )
【解析】选A.因为x∈(2,8),所以x-2>0,
所以f(x)=x-2+1x-2+2
≥2(x-2)·1x-2+2=4,
当且仅当x-2=1x-2,
即x=3时取等号,所以m=3,n=4.
则函数g(x)=lg13|x+4|的图象在(-4,+∞)上单调递减,在(-∞,-4)上单调递增,观察选项可知,A符合.
12.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则( )
A.f(ln 2)=ln 52
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(0,+∞)上单调递增
D.f(x)的最小值为ln 2
【解析】选ACD.f(ln 2)=ln(e2ln 2+1)-ln 2=ln 52,A正确;
f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln ex
=lne2x+1ex=ln(ex+e-x),
所以f(-x)=ln(ex+e-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,B错误;
当x>0时,y=ex+e-x在(0,+∞)上单调递增,因此y=ln(ex+e-x)在(0,+∞)上单调递增,C正确;
由于f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,
所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(0)=ln 2,D正确.
13.(5分)设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a【解析】由题意知,在(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个不同交点(如图),
所以ab=1,0所以abc的取值范围是(0,1).
答案:(0,1)
14.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=lga(x+1)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若-1【解析】(1)当x<0时,-x>0,
由题意知f(-x)=lga(-x+1),
又f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(-x)=f(x).
所以当x<0时,f(x)=lga(-x+1),
所以函数f(x)的解析式为
f(x)=lga(x+1),x≥0,lga(-x+1),x<0.
(2)因为-1所以lga1a①当a>1时,原不等式等价于1a<2,a>2,
解得a>2;
②当02,a<2,
解得0综上,实数a的取值范围为(0,12)∪(2,+∞).
15.(10分)已知函数f(x)=3-2lg2x,g(x)=lg2x.
(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;
(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围.
【解析】(1)h(x)=(4-2lg2x)lg2x
=2-2(lg2x-1)2.
因为x∈[1,4],所以lg2x∈[0,2],
故函数h(x)的值域为[0,2].
(2)由f(x2)·f(x)>k·g(x),
得(3-4lg2x)(3-lg2x)>k·lg2x,
令t=lg2x,因为x∈[1,4],
所以t=lg2x∈[0,2],
所以(3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立,
①当t=0时,k∈R;
②当t∈(0,2]时,k<(3-4t)(3-t)t恒成立,
即k<4t+9t-15,
因为4t+9t≥12,当且仅当4t=9t,
即t=32时取等号,
所以4t+9t-15的最小值为-3.所以k<-3.
综上,实数k的取值范围为(-∞,-3).
【素养创新练】
16.(5分)如图,已知过原点O的直线与函数y=lg8x的图象交于A,B两点,分别过A,B作y轴的平行线与函数y=lg2x的图象交于C,D两点,若BC∥x轴,则四边形ABDC的面积为__________.
【解析】设点A,B的横坐标分别为x1,x2,
由题设知,x1>1,x2>1.
则点A,B的纵坐标分别为lg8x1,lg8x2.
因为A,B在过点O的直线上,所以lg8x1x1=lg8x2x2,点C,D的坐标分别为(x1,lg2x1),(x2,lg2x2).由BC平行于x轴,知lg2x1=lg8x2,即lg2x1=13lg2x2,所以x2=x13.代入x2lg8x1=x1lg8x2得x13lg8x1=3x1lg8x1.由x1>1知lg8x1≠0,所以x13=3x1.考虑x1>1,解得x1=3.于是点A的坐标为(3,lg83),
即A(3,16lg23),所以B(33,12lg23),C(3,12lg23),D(33,32lg23).所以梯形ABDC的面积为S=12(AC+BD)·BC=12×(13lg23+lg23)×23=433lg23.
答案:433lg23