2025届高考数学一轮复习专练17 导数与函数的单调性（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.f(b)>f(c)>f(a)
B.f(b)>f(c)=f(e)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(e)>f(d)>f(c)
【解析】选D.由题意可知,当x∈[c,e]时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,所以f(e)>f(d)>f(c).
2.(5分)(2023·广安模拟)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=sin xB.y=xex
C.y=x3-xD.y=ln x-x
【解析】选B.对于A,y=sin x是正弦函数,在(0,+∞)上不是单调函数,不符合题意;对于B,y=xex,其导数y'=ex+xex=(x+1)ex,当x>0时,y'>0恒成立,则其在(0,+∞)上单调递增,符合题意;对于C,y=x3-x,其导数y'=3x2-1,在区间(0,33)上,y'<0,函数单调递减,不符合题意;对于D,y=ln x-x,其导数y'=1x-1,在区间(1,+∞)上,y'<0,函数单调递减,不符合题意.
3.(5分)已知函数f(x)=x2-aln x+1在(1,3)内不是单调函数,则实数a的取值范围
是( )
A.(2,18)B.[2,18]
C.(-∞,2]∪[18,+∞)D.[2,18)
【解析】选A.因为f'(x)=2x-ax(x>0),f(x)=x2-aln x+1在(1,3)内不是单调函数,所以f'(x)在(1,3)内存在变号零点,
即a=2x2在(1,3)内有解,所以24.(5分)(2023·辽宁实验中学模拟)已知a∈R,则“a≤2”是“f(x)=ln x+x2-ax在(0,+∞)上单调递增”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为f(x)=ln x+x2-ax在(0,+∞)上单调递增,则f'(x)=1x+2x-a≥0对任意的x>0恒成立,即a≤2x+1x,当x>0时,由基本不等式可得2x+1x≥22x·1x=22,当且仅当x=22时,等号成立,所以a≤22.因为{a|a≤2}⫋{a|a≤22},因此“a≤2”是“f(x)=ln x+x2-ax在(0,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.
5.(5分)(多选题)若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是( )
A.-3B.-1C.0D.2
【解析】选BD.依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故a≠0,Δ=36+12a>0,解得a>-3且a≠0.
6.(5分)(2023·邯郸模拟)已知函数f(x)= (x-1x)ln x,且a=f(23),b=f(45),c=f(e-12),则( )
A.a>b>cB.c>a>b
C.a>c>bD.c>b>a
【解析】选B.由f(x)= (x-1x)ln x,
得f'(x)= (1+1x2)ln x+(1-1x2),
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
因为c=f(1e),0<1e<23<45<1,
所以f(1e)>f(23)>f(45),故c>a>b.
7.(5分)已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=x+2cs x,则f(x)的单调递增区间为__________.
【解析】f'(x)=1-2sin x,x∈(0,π).
令f'(x)=0,得x=π6或x=5π6,
当00,
当π6所以f(x)在(0,π6)和(5π6,π)上单调递增,在(π6,5π6)上单调递减.
答案: (0,π6),(5π6,π)
8.(5分)(2023·丽水模拟)已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+1的单调递减区间是(-3,1),则m+n的值为__________.
【解析】f'(x)=x2+2mx+n,
由f(x)的单调递减区间是(-3,1),
得f'(x)<0的解集为(-3,1),
则-3,1是f'(x)=0的解,
所以-2m=-3+1=-2,n=1×(-3)=-3,可得m=1,n=-3,故m+n=-2.
答案:-2
9.(10分)已知函数f(x)=aex-x,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)试讨论函数f(x)的单调性.
【解析】(1)因为a=1,
所以f(x)=ex-x,则f'(x)=ex-1,
所以f'(1)=e-1,f(1)=e-1,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y-(e-1)=(e-1)(x-1),
即y=(e-1)x.
(2)因为f(x)=aex-x,a∈R,x∈R,
所以f'(x)=aex-1,
当a≤0时,f'(x)=aex-1<0,则f(x)在R上单调递减;
当a>0时,令f'(x)=0,得x=-ln a,
当x<-ln a时,f'(x)<0,当x>-ln a时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,
在(-ln a,+∞)上单调递增,
综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;
当a>0时,f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
【能力提升练】
10.(5分)(多选题)(2023·衡水质检)下列不等式成立的是( )
A.2ln 32<32ln 2B.2ln 3<3ln 2
C.5ln 4<4ln 5D.π>eln π
【解析】选AD.设f(x)=lnxx(x>0),
则f'(x)=1-lnxx2,
所以当00,函数f(x)单调递增;
当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
因为32<2即2ln 32<32ln 2,A正确;
因为2<3即2ln 3>3ln 2,B不正确;
因为e<4<5,所以f(4)>f(5),
即5ln 4>4ln 5,C不正确;
因为e<π,所以f(e)>f(π),即π>eln π,D正确.
11.(5分)已知函数f(x)=ex-e-x+12sin π2x+1,实数a,b满足不等式f(3a+b)+f(a-1)<2,则下列不等式成立的是( )
A.2a+b<-1B.2a+b>-1
C.4a+b<1D.4a+b>1
【解析】选C.设g(x)=ex-e-x+12sin π2x,
则g(x)=f(x)-1,f(3a+b)+f(a-1)<2,即g(3a+b)+g(a-1)<0,
因为g(-x)=e-x-ex-12sin π2x=-g(x),所以函数g(x)是奇函数,
因为g'(x)=ex+e-x+π4cs π2x≥2ex·e-x+π4cs π2x=2+π4cs π2x>0,
所以g(x)是增函数,
因为g(3a+b)+g(a-1)<0,
所以g(3a+b)<-g(a-1)=g(1-a),
则3a+b<1-a,即4a+b<1.
12.(5分)(2023·大理模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R,且f'(x)x2-1>0,则f(x)的单调递减区间为____________;满足以上条件的一个函数是__________.
【解析】由f'(x)x2-1>0,可得f'(x)>0,x2-1>0或f'(x)<0,x2-1<0,所以当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1答案:(-1,1) f(x)=13x3-x(答案不唯一)
13.(5分)(2023·黔江模拟)函数f(x)=x2-axln x在(2e,2)上不单调,则实数a的取值范围是__________.
【解析】f'(x)=2x-a(ln x+1),
若函数f(x)=x2-axln x在(2e,2)上不单调,则方程f'(x)=0在(2e,2)上有根,
即方程a=2xlnx+1在(2e,2)上有根且方程的根是函数f'(x)的变号零点,
令g(x)=2xlnx+1,则g'(x)=2lnx(lnx+1)2,
当x∈(2e,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(1,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
又g(1)=2,g(2e)=4eln2,g(2)=4ln2+1,
由g(2)-g(2e)=4ln2+1-4eln2>0,
得g(x)∈[2,4ln2+1),故a∈(2,4ln2+1).
答案: (2,4ln2+1)
14.(10分)已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+2x在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意,知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-2时,f'(x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x,
由f'(x)<0得0故函数f(x)的单调递减区间是(0,1).
(2)由题意,得g'(x)=2x+ax-2x2,
因为函数g(x)在[1,+∞)上单调,
当g(x)在[1,+∞)上单调递增时,
则g'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
即a≥2x-2x2在[1,+∞)上恒成立.
设φ(x)=2x-2x2,
因为φ(x)在[1,+∞)上单调递减,
所以在[1,+∞)上,φ(x)max=φ(1)=0,
所以a≥0;
当g(x)在[1,+∞)上单调递减时,
则g'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,易知其不可能成立.
综上,实数a的取值范围为[0,+∞).
15.(10分)已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·(f'(x)+m2)在区间(t,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
且f'(x)=a(1-x)x,
当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞);
当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a=0时,f(x)为常函数,无单调区间.
(2)由(1)及题意得f'(2)=-a2=1,即a=-2,
所以f(x)=-2ln x+2x-3,
f'(x)=2x-2x(x>0).
所以g(x)=x3+(m2+2)x2-2x,
所以g'(x)=3x2+(m+4)x-2.
因为g(x)在区间(t,3)上不是单调函数,
即g'(x)在区间(t,3)上有变号零点.
由于g'(0)=-2,所以g'(t)<0,g'(3)>0,
当g'(t)<0时,即3t2+(m+4)t-2<0对任意t∈[1,2]恒成立,
由于g'(0)<0,故只要g'(1)<0且g'(2)<0,
即m<-5且m<-9,即m<-9,
又g'(3)>0,即m>-373,所以-373即实数m的取值范围是(-373,-9)
【素养创新练】
16.(5分)(多选题)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1,x2(x1≠x2)都有x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2>0,则称函数y=f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是( )
A.f(x)=exB.f(x)=x2
C.f(x)=ln xD.f(x)=sin x
【解析】选ACD.依题意,函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数.
对于A,g(x)=xex,g'(x)=(x+1)ex,
当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,故A中函数不是“F函数”;
对于B,g(x)=x3在R上单调递增,故B中函数为“F函数”;
对于C,g(x)=xln x,g'(x)=1+ln x,x>0,
当x∈(0,1e)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,1e)上单调递减,
故C中函数不是“F函数”;
对于D,g(x)=xsin x,g'(x)=sin x+xcs x,
当x∈(-π2,0)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(-π2,0)上单调递减,
故D中函数不是“F函数”.
17.(5分)若x1·2x1=x2·lg2x2=2 025,则x1x2的值为__________.
【解析】因为x1·2x1=x2·lg2x2=2 025,
所以2x1lg22x1=x2·lg2x2=2 025,
则2x1>1,x1>0,x2>1,
设f(x)=xlg2x(x>1),则f'(x)=lg2x+1ln2>0,
即f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以2x1=x2,
所以x1x2=x1·2x1=2 025.
答案:2 025