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2025届高考数学一轮复习专练26 三角函数的图象与性质（Word版附解析）
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【基础落实练】
1.(5分)函数f(x)=ln(cs x)的定义域为( )
A. {x|kπ-π2
A.2B.4C.6D.8
【解析】选D.由2sin(2x+π3)-1=0得sin(2x+π3)=12,x∈0,4π,分别画出y1=sin(2x+π3)和y2=12在x∈0,4π上的图象,如图:
两函数图象有8个交点,故方程2sin(2x+π3)-1=0在区间0,4π上的解的个数为8.
3.(5分)(2024·重庆模拟)函数f(x)=sin 2x·tan x是( )
A.奇函数,且最小值为0
B. 奇函数,且最大值为2
C.偶函数,且最小值为0
D. 偶函数,且最大值为2
【解析】选C.由题可知,f(x)=sin 2x·tan x的定义域为x|x≠π2+kπ,k∈Z,关于原点对称,且f(x)=sin 2x·tan x=2sin xcs x·sinxcsx=2sin2x,而f(-x)=2sin2-x=2sin2x=f(x),即函数f(x)为偶函数;所以f(x)=2sin2x=1-cs2x,x≠π2+kπ,k∈Z,又cs 2x∈-1,1,
即f(x)=1-cs 2x∈0,2,可得函数f(x)最小值为0,无最大值.
4.(5分)给出下列函数:①y=sin|x|;②y=|sin x|;③y=|tan x|;④y=|1+2cs x|,其中是偶函数,且最小正周期为π的函数的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】选B.①的图象如下,根据图象可知,图象关于y轴对称,y=sin|x|是偶函数,但不是周期函数,故排除①;
②的图象如下,根据图象可知,图象关于y轴对称,y=|sin x|是偶函数,最小正周期是π,故②符合;
③的图象如下,根据图象可知,图象关于y轴对称,y=|tan x|是偶函数,最小正周期为π,故③符合;
④的图象如下,根据图象可知,图象关于y轴对称,y=|1+2cs x|是偶函数,最小正周期为2π,故排除④.
5.(5分)(多选题)(2023·长沙模拟)已知函数f(x)=4cs2x,则下列说法中正确的是( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的图象关于直线x=π4对称
D.f(x)的值域为[0,4]
【解析】选BD.f(x)=4cs2x=2cs 2x+2,该函数的定义域为R.
因为f(-x)=2cs(-2x)+2=2cs 2x+2=f(x),所以函数f(x)为偶函数,A错误;
函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π,B正确;
因为f(π4)=2cs(2×π4)+2=2,所以f(π4)既不是函数f(x)的最大值,也不是该函数的最小值,C错误;
因为-1≤cs 2x≤1,所以f(x)=2cs 2x+2∈[0,4],D正确.
6.(5分)(多选题)已知函数f(x)=sin2x-3cs2x+4sin xcs x,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最小正周期是π
B.f(x)的最大值是22-1
C.f(x)在(0,π2)上是增函数
D.直线x=π8是f(x)图象的一条对称轴
【解析】选AB.f(x)=sin2x-3cs2x+4sin xcs x=-2cs 2x-1+2sin 2x=22sin(2x-π4)-1,最小正周期为T=2π2=π,故A正确;结合正弦函数的性质可知,当sin(2x-π4)=1时,函数取得最大值22-1,故B正确;由-π2+2kπ<2x-π4<π2+2kπ,k∈Z,可得f(x)的单调递增区间为(-π8+kπ,3π8+kπ),k∈Z,故C错误;当x=π8时,2x-π4=0,故D错误.
7.(5分)写出一个最小正周期为3的偶函数为f(x)=______________.
【解析】f(x)=cs(2π3x)为偶函数,且T=2π2π3=3.
答案:cs(2π3x)(答案不唯一)
8.(5分)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与直线y=12的交点中,距离最近的两点间的距离为π3,那么此函数的最小正周期是________.
【解析】根据正弦型函数的周期性,当sin(ωx+φ)=12时,若ωx1+φ=π6,则最近的另一个值为ωx2+φ=5π6,所以ω(x2-x1)=2π3,而x2-x1=π3,可得ω=2.
故此函数的最小正周期是2πω=π.
答案:π
9.(10分)已知函数f(x)=sin(2x-π3)+32.
(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心;
(2)若f(x0)≤3,求x0的取值范围.
【解析】(1)f(x)的最小正周期T=π.由2x-π3=kπ,k∈Z得x=π6+kπ2,k∈Z,
故f(x)图象的对称中心为(π6+kπ2,32)(k∈Z).
(2)因为f(x0)≤3,所以sin(2x0-π3)+32≤3,即sin(2x0-π3)≤32,
所以-4π3+2kπ≤2x0-π3≤π3+2kπ,k∈Z,即-π2+kπ≤x0≤π3+kπ,k∈Z.
即x0的取值范围为[-π2+kπ,π3+kπ](k∈Z).
【能力提升练】
10.(5分)函数f(x)=cs x-cs 2x,则f(x)是( )
A.奇函数,最大值为2
B.偶函数,最大值为2
C.奇函数,最大值为98
D.偶函数,最大值为98
【解析】选D.由题意,f(-x)=cs(-x)-cs(-2x)=cs x-cs 2x=f(x),所以该函数为偶函数,又f(x)=cs x-cs 2x=-2cs2x+cs x+1=-2(cs x-14)2+98,所以当cs x=14时,f(x)取最大值98.
11.(5分)(多选题)对于函数f(x)=|sin x|+cs 2x,下列结论正确的是( )
A.f(x)的值域为[0,98]
B.f(x)在[0,π2]上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x=π4对称
D.f(x)的最小正周期为π
【解析】选AD.f(x)=|sin x|+cs 2x=-2|sin x|2+|sin x|+1=-2(|sin x|-14)2+98∈[0,98],故A正确;当x∈[0,π2]时,|sin x|∈[0,1],|sin x|=sin x在[0,π2]上单调递增,f(x)=-2(|sin x|-14)2+98,故f(x)在[0,π2]上先增后减,故B错误;f(0)=|sin 0|+cs(2×0)=1,f(π2)= |sin π2|+cs(2×π2)=0,f(0)≠f(π2),故C错误;易知y=|sin x|和y=cs 2x的最小正周期均为π,故f(x)的最小正周期为π,故D正确.
12.(5分)已知f(x)=sin[π3(x+1) ]-3cs[π3(x+1) ],则f(x)的最小正周期为______,
f(1)+f(2)+…+f(2 025)=________.
【解析】依题意可得f(x)=sin[π3(x+1) ]-3cs[π3(x+1) ]=2sin π3x,其最小正周期T=6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,故f(1)+f(2)+…+f(2 025)=f(1)+f(2)+f(3)=3+3+0=23.
答案:6 23
13.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π2)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2,且f(π12)=2,则f(π8)=__________.
【解析】因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为π2,
所以T2=π2,得T=π,即2πω=π,得ω=2,即f(x)=2sin(2x+φ),因为f(π12)=2,
所以f(π12)=2=2sin(π6+φ),即sin(π6+φ)=1,因为0<φ<π2,所以π6+φ=π2,
得φ=π2-π6=π3,则f(x)=2sin(2x+π3),则f(π8)=2sin(2×π8+π3)
=2sin(π4+π3)=2(sin π4cs π3+cs π4sin π3)=2(22×12+22×32)=2+62.
答案:2+62
14.(10分)设f(x)=2cs2(x+θ2)+3sin(2x+θ).
(1)若0≤θ≤π,求使函数f(x)为偶函数的θ的值;
(2)在(1)成立的条件下,当x∈[-π6,π3]时,求f(x)的取值范围.
【解析】(1)f(x)=2×1+cs(2x+θ)2+3sin(2x+θ)=1+2sin(2x+θ+π6),
因为函数f(x)为偶函数,所以θ+π6=π2+kπ,k∈Z,即θ=π3+kπ,k∈Z,
因为0≤θ≤π,所以θ=π3.
(2)在(1)成立的条件下,f(x)=2sin(2x+π3+π6)+1=2cs 2x+1,
因为x∈[-π6,π3],所以2x∈[-π3,2π3],所以cs 2x∈[-12,1],所以f(x)∈[0,3].
15.(10分)(2023·北京高考)设函数f(x)=sin ωxcs φ+cs ωxsin φ(ω>0,|φ|<π2).
(1)若f(0)=-32,求φ的值.
(2)已知f(x)在区间[-π3,2π3]上单调递增,f(2π3)=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.
条件①:f(π3)=2;
条件②:f(-π3)=-1;
条件③:f(x)在区间[-π2,-π3]上单调递减.
【解析】(1)因为f(x)=sin ωxcs φ+cs ωxsin φ(ω>0,|φ|<π2)
所以f(0)=sin 0cs φ+cs 0sin φ=sin φ=-32,因为|φ|<π2,所以φ=-π3.
(2)因为f(x)=sin ωxcs φ+cs ωxsin φ(ω>0,|φ|<π2)
所以f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π2),所以f(x)的最大值为1,最小值为-1.
若选条件①:因为f(x)=sin(ωx+φ)的最大值为1,最小值为-1,
所以f(π3)=2无解,故条件①不能使函数f(x)存在;
若选条件②:因为f(x)在[-π3,2π3]上单调递增,且f(2π3)=1,f(-π3)=-1,
所以T2=2π3-(-π3)=π,所以T=2π,ω=2πT=1,所以f(x)=sin(x+φ),
又因为f(-π3)=-1,所以sin(-π3+φ)=-1,所以-π3+φ=-π2+2kπ,k∈Z,
所以φ=-π6+2kπ,k∈Z,因为|φ|<π2,所以ω=1,φ=-π6;
若选条件③:因为f(x)在[-π3,2π3]上单调递增,在[-π2,-π3]上单调递减,所以f(x)在x=-π3处取得最小值-1,即f(-π3)=-1.以下与条件②相同.
【素养创新练】
16.(5分)对于正数a,函数f(x)=tanπxa,x∈(-a2,a2)∪(a2,a).如图所示,直线l1与y=f(x)的图象交于O,A,B三点,过点A且与x轴平行的直线l2与y=f(x)的图象交于另一点C.若△ABC为等边三角形,则△ABC的面积为( )
A.233B.433
C.3D.23
【解析】选B.函数f(x)的最小正周期是ππa=a,故AC=a,因为△ABC为等边三角形,所以AB=a,由函数f(x)图象的对称性可知OB=a2,
因为OB与x轴的夹角为60°,所以B(a4,3a4),
把点B的坐标代入函数f(x),得3a4=tan(πa·a4)=1,故a=43,所以S△ABC=3a24=34×
(43)2=433.
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