第2.5练函数性质的综合应用（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第二章 函数

第2.5练函数性质的综合应用

一、单选题

1．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意得，即的定义域是

故选：B

2．已知函数，则的值是（    ）

A． B．0 C．1 D．e

【答案】C

【详解】由条件可得.

故选：C

3．函数有（    ）

A．最小值2 B．最小值

C．最大值2 D．最大值

【答案】B

【详解】由题意可知，，

因为，

所以.

当时，函数取得最小值为.

故选: B.

4．下列函数为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】对于A选项，函数为上的增函数；

对于B选项，函数在上不单调；

对于C选项，函数为上的减函数；

对于D选项，函数为上的减函数.

故选：A.

5．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ）

A．2 B．0 C．1 D．

【答案】D

【详解】因为，所以，且，

则，又可得，，

故，所以函数是周期的周期函数，

．

故选：D．

6．函数的图象大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【详解】易知的定义域为，且,

所以函数为奇函数，故排除AB.

令，可得,解得,

所以在上只有一个零点，故排除C,

故D正确.

故选:D.

7．已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】因为当时，，所以在单调递减；

当时，，所以在单调递增，

因为定义域为的奇函数，则过点，且，则过点，

由奇函数的图象关于原点对称，画出示意图如下：

或，

故选：D.

8．已知函数若函数有五个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】当时，则，此时，则或，

当时，则，此时，则，

故问题转为， 共有四个零点，

画出函数图象如下可知：则，

故选：D

9．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设，由题设条件，得，

故函数在上单调递减.

由为奇函数，得，得，

所以，

不等式等价于，即，

又函数在上单调递减，所以，

故不等式的解集是．

故选：D．

10．已知，函数，若对，恒有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】令，因为，则，由的图像可知或（舍），

则等价于在恒成立，由题意在时，，

因为，当且仅当时，取等号，所以；

因为，

所以的最大值为，的最小值为，所以可得，得.

故选：D.

二、多选题

11．下列函数为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【详解】对于A，定义域为，因为，所以为偶函数，所以A不符合题意，

对于B，定义域为，因为，所以为奇函数，所以B正确，

对于C，定义域为，因为，所以为奇函数，所以C正确，

对于D，定义域为，因为，所以为偶函数，所以D不符合题意，

故选：BC

12．下列函数在区间上是减函数的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【详解】对于选项A，为开口向下的二次函数且在区间上是减函数；

对于选项B，在区间上是增函数；

对于选项C，在上是增函数；

对于选项D，在区间上是减函数．

故选：AD.

13．已知函数 (a≠0)，下列说法正确的是（    ）

A．当时，在定义域上单调递增

B．当时，的单调递增区间为

C．当时，的值域为

D．当时，的值域为R

【答案】BCD

【详解】当时，，定义域为．

∵在上单调递增，故A错误；

又当时，，当时，，∴的值域为R，故D正确；

当时，，其图象如图所示：

由图象知：的单调递增区间为,值域为，故 B，C正确．

故选：BCD

14．已知函数是定义在R上的奇函数，，成立，当且时，有，则下列命题中正确的是（    ）

A．

B．在上有5个零点

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．点是函数图象的一个对称中心

【答案】ABD

【详解】A选项，令中得，，

又函数是定义在R上的奇函数，所以，

所以，所以，故A正确；

B选项，由，得，所以是周期为2的周期函数，

所以，

又且时，有，

所以函数在区间上单调递减，可作函数的示意图如下：

由图知B，D也正确，C不正确．

故选：ABD.

15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当时，

C．是图像的一条对称轴

D．在上单调递增

【答案】BD

【详解】当时，，而函数是上的奇函数，则，A错误；

当时，，B正确；

因为，不是图像的对称轴，C错误；

因为当时，，因此函数在上单调递增，D正确.

故选：BD

三、填空题

16．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则__________.

【答案】

【详解】因为，

，或，

，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

因为，

所以，故.

故答案为：

17．已知函数，则________.

【答案】

【详解】由题意可知的最小正周期.

因为，，

，，

所以.

又，

所以

.

故答案为：

18．函数在上的最大值为________．

【答案】

【详解】在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，.

故答案为：

19．已知函数是奇函数，当时，，则______．

【答案】

【详解】由函数是上的奇函数，得，

而当时，，

所以有，

综上所述，，

故答案为：

20．已知函数的图象是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增．若对任意恒成立，则的取值范围_____

【答案】

【详解】解：因为连续函数的图象关于点对称且在区间上单调递增，

所以函数的图象关于对称，函数在上单调递增，

由，可得，

也即，

则有恒成立，即，

因为，所以，

当时，得到恒成立；

当时，则有，

令，则，

因为函数在上单调递增，且，

所以，则

故答案为：.

四、解答题

21．已知函数，其中且.

(1)判断的奇偶性；

(2)若，解关于x的不等式.

【详解】（1）因为的定义域关于原点对称，

因为，

所以为奇函数；

（2）当时，由可得，

所以，

故，

故不等式的解集为．

22．已知函数是定义在上的偶函数，其中．

(1)求a的值；

(2)若关于x的不等式对都成立，求实数m的取值范围．

【详解】（1）因为是偶函数，所以，则，

所以对任意实数x都成立，所以，解得．

（2）由（1）知，，

因为关于x的不等式，即对恒成立，

因为，所以，

原问题转化为对恒成立，

设，则对任意的恒成立，

因为，其中，

而，当且仅当时，即时等号成立，

所以时，取最小值．

所以．因此实数m的取值范围是．

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，

当时，，故；

当时，，故无解；

当时，，故

因此，不等式的解集为或.

（2）因为，

当且仅当时取等号，

故当，即时，，

解得或.

所以的取值范围是.

24．已知定义在R上的偶函数和奇函数满足.

(1)和；

(2)判断的单调性，并用单调性的定义加以证明；

(3)若不等式对一切实数x都成立，求实数m的取值范围.

【详解】（1）由题意可知：，则，

且定义在R上的偶函数和奇函数，可得，

解得，

（2）在R上单调递增，证明如下：

对，且，

因为在定义域内单调递增，则，

可得，则，

可得，则，即，

所以在R上单调递增.

（3）因为，则，

令，当且仅当，即时，等号成立，

则，

因为，则，

整理得，

故原题意等价于对一切实数都成立，

因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，即实数m的取值范围.

25．已知函数，．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．

【详解】（1）当时，，原不等式为.

①当时，原不等式可化为，解得，所以有；

②当时，原不等式可化为，即，该不等式恒成立，所以有；

③当时，原不等式可化为，解得，所以有.

综上所述，不等式的解集为.

（2）由已知对任意，存在，使得可得，.

因为，

当时，等号成立，所以.

令，，则，设，

根据对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，

所以，当时，函数有最小值为，

所以.

则由可得，，

去绝对值整理可得，，解得或.