2025届高考数学一轮复习专练7 函数的单调性与最值（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)下列函数中,定义域是R且为增函数的是( )
A.y=x+sin xB.y=e-x
C.y=ln xD.y=|x|
【解析】选A.对于A,函数y=x+sin x的定义域是R,且y'=1+cs x≥0,所以y是R上的增函数,满足题意;
对于B,函数y=e-x=1ex是R上的减函数,所以不满足题意;
对于C,函数y=ln x的定义域是(0,+∞),所以不满足题意;
对于D,函数y=|x|=x,x≥0-x,x<0在定义域R上不单调,所以不满足题意.
2.(5分)函数f(x)=lg(x2-4)的单调递增区间为( )
A.(0,+∞)B.(-∞,0)
C.(2,+∞)D.(-∞,-2)
【解析】选C.由复合函数的单调性知,要使f(x)单调递增,需x2-4>0,x>0,解得x>2.
3.(5分)函数f(x)=1x2+1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是( )
A.12,15B.5,2
C.2,1D.1,12
【解析】选A.因为y=x2+1在(0,+∞)上单调递增,且y>1,所以f(x)=1x2+1在区间[1,2]上单调递减,所以函数f(x)=1x2+1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是f(1)=112+1=12,f(2)=122+1=15.
4.(5分)函数f(x)=2-xx+1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( )
A.(1,2)B.(-1,2)
C.[1,2)D.[-1,2)
【解析】选D.因为f(x)=2-xx+1=-1+3x+1在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递减,且当x∈(m,n]时最小值为0,即f(n)=0,n=2,所以m5.(5分)已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈(0,π),有f(x)-f(-x)=0,且x1,x2>0时,有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,设a=f(2),b=f(-2),c=f(3),则( )
A.aC.a【解析】选A.因为对任意x∈(0,π),f(x)-f(-x)=0,所以f(-2)=f(2),因为x1,x2>0时,有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,所以函数f(x)在区间(0,π)上单调递增,因为2<2<3,所以f(2)6.(5分)(多选题)关于函数y=4-(x+1)2,下列说法正确的是( )
A.在区间[-1,0]上单调递减
B.单调递增区间为[-3,-1]
C.最大值为2
D.没有最小值
【解题指南】先求出函数定义域,令t=4-(x+1)2,根据二次函数的性质,由已知解析式,逐项判断,即可得出结果.
【解析】选ABC.由4-(x+1)2≥0得-3≤x≤1,即函数y=4-(x+1)2的定义域为[-3,1].
令t=4-(x+1)2,则t=4-(x+1)2的图象是开口向下、对称轴为x=-1的抛物线,
所以函数t=4-(x+1)2在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减.
又y=t单调递增,所以y=4-(x+1)2在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,故A,B正确;ymax=4-(-1+1)2=2,当x=-3时,y=4-(-3+1)2=0,
当x=1时,y=4-(1+1)2=0,则ymin=0,故C正确,D错误.
7.(5分)函数y=-x2+2|x|+1的单调递增区间为____________,单调递减区间为________________.
【解析】y=-x2+2x+1,x≥0,-x2-2x+1,x<0,
即y=-(x-1)2+2,x≥0,-(x+1)2+2,x<0.
画出函数图象如图所示,
则其单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).
答案:(-∞,-1]和[0,1] [-1,0]和[1,+∞)
8.(5分)函数f(x)=-x+1x在[-2,-13]上的最大值是________.
【解析】易知f(x)在[-2,-13]上单调递减,
即f(-2)为最大值,为2-12=32.
答案:32
9.(5分)函数y=2x+x-1的最小值为__________.
【解析】方法1(单调性法):函数y=2x+x-1的定义域为[1,+∞),因为函数y=2x与y=x-1在定义域[1,+∞)上均单调递增,
故y=2x+x-1在[1,+∞)上单调递增,
所以当x=1时,ymin=2+1-1=2,
即函数y=2x+x-1的最小值为2.
方法2(换元法):令x-1=t,则t≥0,x=t2+1,所以原函数转化为f(t)=2t2+t+2=2(t+14)2+158,
易知在t∈[0,+∞)时,函数f(t)单调递增,
所以当t=0时,f(t)min=2,
故函数y=2x+x-1的最小值为2.
答案:2
10.(10分)已知函数f(x)=x+2x.
(1)写出函数f(x)的定义域和值域;
(2)证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值和最小值.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
又f(x)=1+2x,所以函数f(x)的值域为{y|y≠1}.
(2)由题意可设0又00,x2-x1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
在x∈[2,8]上,f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(8)=54.
【能力提升练】
11.(5分)(2023·兰州模拟)若函数f(x)=ln(ax-2)在(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(0,+∞)B.(2,+∞)
C.(0,2]D.[2,+∞)
【解析】选D.在函数f(x)=ln(ax-2)中,
令u=ax-2,函数y=ln u在(0,+∞)上为增函数,
而函数f(x)=ln(ax-2)在(1,+∞)上单调递增,则函数u=ax-2在(1,+∞)上单调递增,且∀x>1,ax-2>0,
因此a>0,a-2≥0,解得a≥2,
所以实数a的取值范围为[2,+∞).
12.(5分)(多选题)下列函数有最小值的是( )
A.f(x)=x2+1x2B.f(x)=2x+2x
C.f(x)=x-1x+1D.f(x)=lg(x+1)
【解析】选AD.对于A,f(x)=x2+1x2≥2,
当且仅当x2=1x2,即x=±1时等号成立,故f(x)min=2,A正确.
对于B,当x>0时,
f(x)=2x+2x≥22x·2x=4,
当且仅当2x=2x,即x=1时等号成立;
当x<0时,-f(x)=2(-x)+2-x≥22(-x)·2-x=4,当且仅当2(-x)=2-x,即x=-1时等号成立,故f(x)≤-4.所以f(x)=2x+2x的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最小值,B错误.
对于C,f(x)=x-1x+1=1-2x+1的值域为{y|y≠1},无最小值,C错误.
对于D,由题意可得x≥0x+1>0,解得x≥0,
故f(x)=lg(x+1)的定义域为[0,+∞).
因为y=lg u在定义域内单调递增,u=x+1在定义域[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=lg(x+1)在定义域[0,+∞)上单调递增,
则f(x)=lg(x+1)≥f(0)=0,故f(x)=lg(x+1)有最小值0,D正确.
13.(5分)若函数y=||x|-1x2|在{x|1≤|x|≤4,x∈R}上的最大值为M,最小值为m,则M-m=( )
A.3116B.2C.94D.114
【解析】选A.可令|x|=t,则1≤t≤4,y=t-1t2,
易知y=t-1t2在[1,4]上单调递增,
所以其最小值为1-1=0,最大值为2-116=3116,则m=0,M=3116,则M-m=3116.
14.(5分)能说明“若函数f(x)和g(x)在R上都是增函数,则h(x)=f(x)g(x)在R上为增函数”为假命题的函数f(x)和g(x)的解析式分别是________,________.
【解析】根据题意,“若函数f(x)和g(x)在R上都是增函数,则h(x)=f(x)g(x)在R上为增函数”为假命题,即函数f(x),g(x)在R上均为增函数,而函数h(x)=f(x)g(x)在R上不是增函数,可考虑f(x),g(x)均为一次函数,可取f(x)=x,g(x)=x,则函数f(x)和g(x)在R上都是增函数,但函数h(x)=f(x)g(x)=x2在R上不是增函数.
答案:f(x)=x g(x)=x(答案不唯一)
15.(10分)设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)=f(x),x≥0,-f(x),x<0.
(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.
【解析】(1)因为f(-1)=0,所以b=a+1.
由f(x)≥0恒成立,知a>0且在方程ax2+bx+1=0中,Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,所以a=1,b=2,
从而f(x)=x2+2x+1.
所以F(x)=(x+1)2,x≥0,-(x+1)2,x<0.
(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,
所以g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,
由g(x)在[-2,2]上是单调函数,
知-2-k2≤-2或-2-k2≥2,得k≤-2或k≥6.即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).
16.(10分)已知f(x)=x2+2x+ax,x∈[1,+∞).
(1)当a=12时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=12时,f(x)=x+12x+2,
任取1≤x1则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(12x1-12x2)=(x1-x2)(2x1x2-1)2x1x2.
因为1≤x1所以x1x2>1,所以2x1x2-1>0.
又x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在[1,+∞)上单调递增.
所以f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=72.
(2)在区间[1,+∞)上,f(x)=x2+2x+ax>0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立.
设g(x)=x2+2x+a(x≥1),则g(x)min>0.
又g(x)=(x+1)2+a-1,其图象的对称轴为x=-1,且开口向上,
所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以g(x)在[1,+∞)上的最小值为g(1)=3+a.
由3+a>0,得a>-3,所以a的取值范围是(-3,+∞).
【素养创新练】
17.(5分)已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>-1,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)+x是增函数
B.y=f(x)+x是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
【解析】选A.不妨令x1因为f(x1)-f(x2)x1-x2>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(x1)+x1令g(x)=f(x)+x,所以g(x1)又x118.(5分)如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,而函数y=f(x)x在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓减函数”,区间I叫“缓减区间”.可以证明函数f(x)=xa+bx(a>0,b>0)的单调递增区间为(-∞,-ab],[ab,+∞);单调递减区间为[-ab,0),(0,ab].若函数h(x)=12x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则下列区间中为函数h(x)的“缓减区间”的是( )
A.(0,2]B.(0,2]
C.[32,2]D.[1,3]
【解析】选C.对于h(x)=12x2-2x+1,单调递减区间是(-∞,2];对于y=h(x)x=x2+1x-2,单调递增区间是(-∞,-2]和[2,+∞),h(x)=12x2-2x+1的“缓减区间”为(-∞,-2]和[2,2],只有C中的[32,2]⊆[2,2],其他都不包含在上述区间中的任意一个之内.